1 PROCESY STOCHASTYCZNE ZADANIA DOMOWE

1
PROCESY STOCHASTYCZNE
ZADANIA DOMOWE - czȩśċ 1
1. Wyznacz wartośċ oczekiwana̧ i odchylenie standardowe nastȩpuja̧cego procesu stochastycznego:
a) P (Xt = t) = 0.2, P (Xt = 2t) = 0.5, P (Xt = 3t) = 0.3 dla t ∈ (0, 1) .
t
b) P (X = t) = 1t , P (X = t−1
) = t−1
dla t = 2, 3, 4, . . ..
t
1
1
c) P (X = 0) = 2 , P (X = t) = 2 .
2. Rzucamy 100 razy moneta̧. Jeśli w rzucie o numerze t wypadnie orzel. to wygrywamy 5t zlotych
a jeśli reszka, to przegrywamy 10t zlotych. Oblicz wartośċ oczekiwana̧ i odchylenie standardowe
wygranej w t-tym rzucie moneta̧. Wyniki zinterpetuj na wykresie.
3. Oblicz wartośċ oczekiwana̧ i odchylenie standardowe procesu stochastycznego (Xt ) o gȩstości
prawdopodobieństwa postaci:
(
f (x) =
t , dla 0 < x < 1t
0 , dla pozostalych x
4. Oblicz wartośċ oczekiwana̧ i odchylenie standardowe procesu stochastycznego (Xt ) o gȩstości
prawdopodobieństwa postaci:
(
f (x) =
q
t · x , dla 0 < x < 2t
0
, dla pozostalych x
5. Dany jest proces Poissona (Xt ) z parametrem λ = 1. Niech Y oznacza czas pomiȩdzy kolejnymi
zmianami stanu procesu. Wyznacz a)P (Y < 3), b)P (Y ≥ 1), c)P (2 ≤ Y < 4), d)E(Xt ).
6. Dany jest proces (Xt ) bla̧dzenia przypadkowego cza̧steczki po osi OX (Xt -oznacza stan cza̧steczki
w chwili t). Wiadomo, że w momencie t = 0 cza̧steczka jest w stanie 1 oraz w momentach k ·∆t,
k = 1, 2, 3, . . . cza̧steczka wykonuje albo skok w prawo o 1 z prawdopodobieństwem p albo w
lewo o 1 z prawdopodobieństwem q albo pozostaje w danym stanie z prawdopodobieństwem
r = 1 − p − q. W punkcie x = 12 jest ekran odbijaja̧cy.
a) Wyznacz wartośċ oczekiwana̧ tego procesu dla t ∈ (0; 3∆t).
b) Czy proces ten jest jednorodny?
7. Dany jest procesu (Xt ) bla̧dzenia przypadkowego cza̧steczki po osi OX (Xt -oznacza stan cza̧steczki
w chwili t). Wiadomo, że w momencie t = 0 cza̧steczka jest w stanie 2 oraz w momentach k ·∆t,
k = 1, 2, 3, . . . cza̧steczka wykonuje albo skok w prawo o 1 z prawdopodobieństwem p albo w
lewo o 1 z prawdopodobieństwem q = 1−p. W punktach x = 21 oraz x = 72 sa̧ ekrany odbijaja̧ce.
a) Wyznacz wartośċ oczekiwana̧ tego procesu dla t ∈ (0; 4∆t).
b) Czy proces ten jest jednorodny?
ODPOWIEDZI
q 2
t
1)a) E(Xt ) = 2.1t, D(Xt ) = 0.7t, b) E(Xt ) = 2, D(Xt ) = t−1
− 4, c) EXt = 2t , D(Xt ) =
√
2 2
,
3t
1
2) EXt = 15
t, D(Xt ) = 52 t. 3) E(Xt ) = 2t1 , D(Xt ) = √12t
. 4) E(Xt ) =
2
−3
−1
−2
−4
5) a) 1 − e , b)e , c) e − e , d) E(Xt ) = t.
6) a)


dla 0 < t < ∆t
 1
dla ∆t < t < 2∆t
E(Xt ) = r + q + 2p


2rq + 3pq + r2 + q 2 + 3p2 + 4rp dla 2∆t < t < 3∆t
b) nie.
7) a)
E(Xt ) =
b) nie.

1




q + 3p

q 2 + 4pq + 3p2


 3
q + 4q 2 p + 8p2 q + p3
dla
dla
dla
dla
0 < t < ∆t
∆t < t < 2∆t
2∆t < t < 3∆t
3∆t < t < 4∆t
D(Xt ) =
√t .
2
1
√
.
3 t