3,5 MATEMATYKA WYŻSZA ZADANIA DODATKOWE Uwaga
Transkrypt
3,5 MATEMATYKA WYŻSZA ZADANIA DODATKOWE Uwaga
3,5 MATEMATYKA WYŻSZA ZADANIA DODATKOWE Uwaga: Niektóre zadania są nieco trudniejsze. Jeśli Państwo będą mieć problemy z ich rozwiązaniem, chętnie je omówimy dokładnie na wykładzie. 0. Oblicz: 3!, 5!, 6!, 4 8 n , , , 0 1 n n n n+1 Udowodnij + = . k k+1 k+1 1. Obliczyć granice następujących √ ciagów liczbowych: 2 2 2 2 n n+2 n2 +4 b) bn = √n3 +n2 , c) cn = 1 +2 +3n2+...+n , d) dn = a) an = n3 +2n2 +n−3 , p √ √ √ √ √ n , n + 1 − n, e) en = n2 + n − n, f) fn = n + n − n, g) gn = 22n −1 +1 p √ √ √ n n 2 n 2 h) n + n, k) kn = 1 + 2 , u) un = n + n − n, w) wn = √ hn = √ 2 n + n − n, 3 2 2. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu 1 1 1 an = + + ... + . n n+1 n+n 3. Obliczyć √ granice ciągów a) an = n 2n + 3n + 4n , b) bn = √n12 +1 + √n12 +2 + ... + √n21+2n , n c) cn = aan +1 w zależności od a √−1 n2 e) en = √n, n 2 k) kn = √3n3+2+n n +1 , √ , r) rn = [√n] n 1 n s) (1 − n ) , √ t) tn = (1 + √1n! ) n! 4. Udowodnij nierówność: 5. Sprawdź, że ciąg wyrazów. √ n √ n n≤1+ q 2 . n n jest ściśle malejący po odrzuceniu dwóch pierwszych 6. a, b > 0. Wykaż, że lim √ n an + bn = max(a, b) 7. Podać przykłady a) ciągu zawierającego podciągi zbieżne do trzech różnych granic. b) ciągu zbieżnego, który nie jest monotoniczny. c) ciągu zawierającego pociągi rozbieżne do +∞ i −∞ 1