Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 6 Aksjomatyka teorii

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 6
Aksjomatyka teorii mnogo±ci
Paradoks Russela, omówiony na poprzednim wykªadzie demonstruje, »e nie ka»dy obiekt deniowany poprzez wskazanie nale»¡cych do« elementów jest zbiorem. Aby unikn¡¢ podczas dyskusji wªasno±ci zbiorów podobnych paradoksów skorzystamy z aksjomatycznego sformuªowania teorii
zbiorów (teorii mnogo±ci). Przyjmiemy nast¦puj¡cy zestaw aksjomatów:
I. Aksjomat jednoznaczno±ci: je»eli zbiory A i B maja te same elementy, to A i B s¡ identyczne
(równe).
II. Aksjomat sumy:
dla dowolnych zbiorów
A
którego elementami s¡ wszystkie elementy zbioru
i
A
B
istnieje zbiór (oznaczany symbolem
i wszystkie elementy zbioru
B,
A ∪ B ),
i który »adnych
innych elementów nie zawiera.
III. Aksjomat ró»nicy: dla dowolnych zbiorów A i B
którego elementami s¡ te i tylko te elementy zbioru
A,
istnieje zbiór (oznaczany symbolem
A \ B ),
B,
i który
które nie s¡ elementami zbioru
»adnych innych elementów nie zawiera.
IV. Aksjomat istnienia: istnieje co najmniej jeden zbiór.
Oznaczmy teraz zbiór, którego istnienie gwarantuje aksjomat IV, liter¡
III istnieje zbiór
A \ A,
A.
Na mocy aksjomatu
nie zawieraj¡cy »adnych elementów. Zbiór ten oznaczamy symbolem
∅
i
nazywamy zbiorem pustym.
Dla dowolnych zbiorów
AiB
mo»emy teraz zdeniowa¢ ich cz¦±¢ wspóln¡ jako
A ∩ B = A \ (A \ B).
Na mocy aksjomatu III cz¦±¢ wspólna dwóch dowolnych zbiorów jest zbiorem.
Kolejny aksjomat pozwala w efektywny sposób deniowa¢ caªy szereg zbiorów. Ma on posta¢:
V.
Dla ka»dej formy zdaniowej
elementów
x
zbioru
A,
φ
i dla ka»dego zbioru
dla których
φ(x)
A
istnieje zbiór zªo»ony z tych i tylko tych
jest zdaniem prawdziwym. Zbiór ten oznaczmy symbolem:
{x ∈ A : φ(x)}.
Uwaga.
Zbiory zdeniowane na mocy aksjomatu V s¡
podzbiorami zbioru
A.
Jest to istotne ogra-
niczenie: gdyby±my z niego zrezygnowali, uzyskaliby±my obiekt w ogólnym przypadku nie b¦d¡cy
zbiorem. Na przykªad, dla formy zdaniowej
φ(x) : x
jest zbiorem
obiekt
Ω = {φ(x)}
1
zawieraj¡cy ze swojej denicji dowolne (wszystkie) zbiory, sam zbiorem nie jest (dowód tego stwierdzenia ma struktur¦ podobn¡ do paradoksu Russela). Ogólnie, obiekty ogólniejsze ni» zbiory,
zdeniowane jako
{φ(x)}
gdzie
φ
jest form¡ zdaniow¡, i w których nie podajemy »adnego ograniczenia na zakres zmiennej
nazywamy
x,
klasami.
We¹my teraz zbiór
A = {a, b, c, d}
i form¦
φ(x) : x = a.
Aksjomat V pokazuje, »e obiekt
{x ∈ A : φ(x)} = {x ∈ A : x = a} = {a}
zawieraj¡cy pojedynczy element zbioru
A,
sam jest zbiorem. Podobnie, stosuj¡c form¦ typu
φ(x) : (x = a) ∨ (x = b)
dostajemy, »e obiekt zbudowany z dwóch elementów zbioru
raj¡cy elementy
sko«czon¡ ilo±¢
A (w tym konkretnym przypadku zawie-
a, b) jest zbiorem. Kontynuuj¡c t¦ konstrukcj¦ pokazujemy, »e dowolny (zawieraj¡cy
elementów) podzbiór dowolnego zbioru A jest zbiorem.
Zauwa»my te», »e nasz ukªad aksjomatów nie jest minimalny: je±li przyjmiemy aksjomat V, to
aksjomat III staje si¦ niepotrzebny, bowiem ró»nic¦ zbiorów
AiB
mo»emy zdeniowa¢ jako
A \ B = {x ∈ A : ∼ (x ∈ B)}.
Wszystkie, podane do tej pory aksjomaty (poza aksjomatem IV) pozwalaªy konstruowa¢ nowe
zbiory, gdy mieli±my ju» do dyspozycji jaki± zbiór lub zbiory. Aksjomat IV pozwoliª nam skonstruowa¢ zbiór pusty. Aby móc skonstruowa¢ zbiór maj¡cy niezerow¡ ilo±¢ elementów, wprowadzimy
aksjomat VI:
VI Dla dowolnego zbioru A obiekt zªo»ony z wszystkich jego podzbiorów jest zbiorem.
We¹my zbiór pusty. Jego jedynym podzbiorem jest zbiór pusty. Aksjomat VI orzeka, »e
A = {∅}
jest (niepustym!) zbiorem. Korzystaj¡c ponownie z aksjomatu VI budujemy zbiory
{∅, {∅}},
{∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
i tak dalej. Š¡cz¡c t¦ konstrukcj¦ z aksjomatem V mo»emy budowa¢ zbiory o dowolnej (sko«czonej)
liczbie elementów. Do zbiorów o niesko«czonej liczbie elementów jeszcze powrócimy, a t¦ cz¦±¢
wykªadu po±wi¦con¡ aksjomatyce teorii mnogo±ci zako«czymy podaniem aksjomatu
VII. Aksjomat wyboru:
dla dowolnej, niepustej rodziny niepustych zbiorów
który z ka»dym podzbiorem rodziny
R
ma dokªadnie jeden element wspólny.
2
R
istnieje zbiór,
Iloczyn kartezja«ski zbiorów
Def. 6.1 Niech a ∈ A oraz b ∈ B
(dopuszczamy sytuacj¦, w której zbiory
AiB
s¡ równe). Zbiór:
⟨a, b⟩ = {a, {a, b}}
(prosz¦ pokaza¢, korzystaj¡c z aksjomatów, »e to istotnie jest zbiór) nazywamy
której
poprzednik jest elementem zbioru
A
za±
nast¦pnik elementem zbioru
par¡ uporz¡dkowan¡,
B.
Def. 6.2 Zbiór wszystkich par uporz¡dkowanych, których poprzednik jest elementem zbioru A za±
nast¦pnik elementem zbioru
B
(dopuszczamy sytuacj¦, w której zbiory
iloczynem kartezja«skim zbiorów
AiB
i oznaczamy symbolem
A × B.
AiB
s¡ równe) nazywamy
Symbolicznie
⟨a, b⟩ ∈ A × B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B.
Przykªad: Dla A = {a1 , a2 }, B = {b1 , b2 } mamy
A × B = {⟨a1 , b1 ⟩, ⟨a1 , b2 ⟩, ⟨a2 , b1 ⟩, ⟨a2 , b2 ⟩},
A × A = {⟨a1 , a1 ⟩, ⟨a1 , a2 ⟩, ⟨a2 , a1 ⟩, ⟨a2 , a2 ⟩},
B × B = {⟨b1 , b1 ⟩, ⟨b1 , b2 ⟩, ⟨b2 , b1 ⟩, ⟨b2 , b2 ⟩}.
Niech teraz
⟨a, b⟩ ∈ A × B
oraz
⟨a′ , b′ ⟩ ∈ A × B.
Denicja 6.1 oraz aksjomat I daj¡
(
(⟨a, b⟩ = ⟨a′ , b′ ⟩) ⇔
{a, {a, b}} = {a′ , {a′ , b′ }}
(
)
⇔ (a = a′ ) ∧ (b = b′ ) .
)
⇔
(
)
a = a′ ∧ {a, b} = {a′ , b′ }
Równowa»no±¢ ta pozwala poda¢ inn¡ (równowa»n¡, czasami wygodniejsz¡ w zastosowaniu) denicj¦
pary uporz¡dkowanej:
Def. 6.1' Niech A i B
b¦d¡ zbiorami. Pary
⟨a, b⟩
oraz
⟨a′ , b′ ⟩
gdzie
parami uporz¡dkowanymi o poprzednikach nale»¡cych do zbioru
zbioru
B,
gdy
(⟨a, b⟩ = ⟨a′ , b′ ⟩) ⇔
(
a, a′ ∈ A i b, b′ ∈ B
A
nazywamy
i nast¦pnikach nale»¡cych do
)
a = a′ ∧ b = b′ .
To»samo±ci rachunku zbiorów wykazujemy, korzystaj¡c z aksjomatu I. Na przykªad, dowód to»samo±ci
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
ma posta¢: dla ka»dej pary uporz¡dkowanej
(
⟨x, y⟩ ∈ A × (B ∪ C)
)
⟨x, y⟩ :
(
) (2)
(
)
(1)
⇔ (x ∈ A) ∧ y ∈ (B ∪ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ (y ∈ B) ∨ (y ∈ C)
(3)
(
) (
)
(x ∈ A) ∧ (y ∈ B) ∨ (x ∈ A) ∧ (y ∈ C)
(4)
(
) (
) (5) (
)
⟨x, y⟩ ∈ A × B ∨ ⟨x, y⟩ ∈ A × C ⇔ ⟨x, y⟩ ∈ (A × B) ∪ (A × C)
⇔
⇔
3
gdzie równowa»no±ci (1) i (4) wynikaj¡ z denicji iloczynu kartezja«skiego zbiorów, równowa»no±ci
(2) i (5) z denicji sumy zbiorów za± równowa»no±¢ (3) z prawa rozdzielno±ci koniunkcji wzgl¦dem
alternatywy.
Relacje
Formy zdaniowe dwóch argumentów typu
φ(x, y) : x > y,
ψ(x, y) : x = y
s¡ na tyle wa»ne, »e zasªu»yªy na odr¦bn¡ nazw¦.
Def. 6.3 Form¦ zdaniow¡ dwóch zmiennych x, y
o zakresach
x∈X
oraz
y∈Y
b¦dziemy nazywa¢
X × Y.
relacj¡ okre±lon¡ na zbiorze
Uwaga dotycz¡ca notacji. W relacji x > y symbole x oraz y oznaczaj¡ zmienne; symbolem samej
relacji jest znak wi¦kszo±ci
>.
Podobnie, w relacji
x=y
symbolem relacji jest znak równo±ci
Byªoby rzecz¡ nienaturaln¡ zapisywa¢ te relacje w postaci
> (x, y)
lub
= (x, y).
=.
Aby utrzyma¢
zapis z symbolem relacji umieszczonym pomi¦dzy zmiennymi b¦dziemy tak»e i dla abstrakcyjnych
relacji, oznaczanymi symbolami typu
ρ
lub
R
pisa¢:
x ρ y,
xR y
zamiast
ρ(x, y),
R(x, y).
R wyznacza jednoznacznie podzbiór iloczynu kartezja«skiego X × Y, którego elementy speªniaj¡ form¦ R. Podzbiór ten oznaczamy t¦ sam¡ liter¡, co sama relacj¦ (w tym przypadku jest to
litera R). Mamy wi¦c
Relacja
⟨x, y⟩ ∈ R ⇔ xR y.
Odwrotnie, ka»dy podzbiór
R ⊂ X×Y
odczytywa¢ jako stwierdzenie, »e zdanie
gdy
⟨x, y⟩ ̸∈ R.
(∗).
R : wzór (∗) mo»emy
gdy ⟨x, y⟩ ∈ R oraz faªszywe,
wyznacza posta¢ formy (relacji)
xR y
jest prawdziwe wtedy,
Pokazuje to, »e denicja 6.3 jest równowa»na nast¦puj¡cej denicji:
Def. 6.3' Relacj¡ R (okre±lon¡ na zbiorze X × Y ) nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ X × Y.
Uwaga dotycz¡ca notacji. Gdy o R my±limy (w duchu denicji 6.3') jako o podzbiorze iloczynu
kartezja«skiego
X ×X
wygodniej, zamiast zapisu
xR y
stosowa¢ zapis
⟨x, y⟩ ∈ R.
4
Def. 6.4 O relacji R okre±lonej na zbiorze X × X
• zwrotna,
gdy
• symetryczna,
• przechodnia,
∀ x ∈ X : ⟨x, x⟩ ∈ R,
gdy
gdy
∀ x, y ∈ X : ⟨x, y⟩ ∈ R ⇒ ⟨y, x⟩ ∈ R,
∀ x, y, z ∈ X : (⟨x, y⟩ ∈ R) ∧ (⟨y, z⟩ ∈ R) ⇒ ⟨x, z⟩ ∈ R.
Def. 6.5 O relacji F ⊂ X × Y
1)
2)
mówimy, »e jest
mówimy, »e jest
funkcj¡, gdy
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : ⟨x, y⟩ ∈ F,
(
∀ x ∈ X ∀ y, y ′ ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ F ) ∧ (⟨x, y ′ ⟩ ∈ F ) ⇒ (y = y ′ ).
Zbiór
X
nazywamy
warto±ci) funkcji
dziedzin¡ (lub zbiorem argumentów), a zbiór
Y przeciwdziedzin¡ (lub zbiorem
F.
Warunek 1) mówi, i» dla dowolnego argumentu
x∈X
warto±¢
jest »¡daniem, by warto±¢ ta byªa okre±lona (dla zadanego
5
x)
y∈Y
jest okre±lona; warunek 2)
jednoznacznie.