Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA
Transkrypt
Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 1 z 73 Zeszyt ćwiczeń do zajęć wyrównawczych z przedmiotu FIZYKA Opracował: dr inż. Adam Maoka Gliwice, 2011.04.01 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Spis treści: 1. Momenty bezwładności i dewiacji; Strona | 2 z 73 2. Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania; 3. Energia i jej przemiany. Część I; 4. Energia i jej przemiany. Część II; 5. Ciśnienie, elementy mechaniki płynów, zasada Archimedesa, równania ciągłości strugi, równania Bernoulliego; 6. Właściwości materii. Fizyka cząsteczkowa. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego I Momenty bezwładności i dewiacji 1. Powierzchniowe momenty bezwładności, momenty bezwładności względem osi, biegunowe momenty bezwładności, Strona | 3 z 73 momentydewiacji (zboczenia) Momenty pierwszego rzędu (Jednostka [m3], mogą byd >0, <0, =0) Powierzchniowe momenty bezwładności figury płaskiej Momentem statycznym Sl elementu pola F względem prostej L nazywa się iloczyn: Sl=y·F. Algebraicznie Sl yF . F Dzieląc pole F na nieskooczenie wiele małych elementów dF, można przejśd do wyrażenia: Sl y dxdy y dF F Moment statyczny całego pola względem danej prostej równa się sumie momentów statycznych poszczególnych części tego pola względem tejże prostej. Jednostka momentu statycznego to [m3]. Moment statyczny przekroju może osiągad wartości dodatnie i ujemne lub zero. Umownie moment statyczny Si nad osią oznaczamy ze znakiem „+” a pod osią „-”. Jeżeli prosta przechodzi przez środek ciężkości figury i można przyporządkowad pola dF po obu stronach prostej tak, że y 1=-y1 to jej moment statyczny jest równy „0” (symetria). dF y -y dF Przy przesunięciu równoległym osi l o odległośd a do m można wykorzystad zależnośd Sm=Sl+F·a. Ze względu na fakt występowania odległości (tu y) w pierwszej potędze moment ten zalicza się do momentów pierwszego rzędu. Momenty drugiego rzędu to moment dewiacji. Środek ciężkości figury płaskiej (przekroju) to taki punkt, w którym skupione całe pole figury daje względem obranej osi taki sam moment statyczny, jak sama figura: Sy=xcF; Sx=ycF. Na tej podstawie można napisad wzory na środek ciężkości powierzchni figury płaskiej: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego xc S F yi i F x F i yc i i S F xi i F y F i i i Moment bezwładności (geometryczny) pola względem osi Momenty drugiego rzędu (Jednostka [m4], momenty bezwładności zawsze >0) y x dF ρ y x O Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi x nazywa się wyrażenie: J x y 2dF F Momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem osi y nazywa się wyrażenie: J y x 2dF F Gdzie, x oznacza odległośd elementu dF pola F od osi y, a y oznacza odległośd dF od osi x. Biegunowym momentem bezwładności figury płaskiej o polu F względem punktu O nazywa się wyrażenie: (odległośd ρ2=x2+y2) J O ρ 2dF x 2dF y2dF F F F stąd JO J x J y [m4] Podsumowując, suma momentów bezwładności pola F względem dwóch osi prostopadłych do siebie równa jest biegunowemu momentowi bezwładności względem punktu O przecięcia się tych osi. Moment dewiacji – geometryczny – (moment zboczenia lub moment odśrodkowy) figury płaskiej o polu F względem osi x, y nazywa się wyrażenie: (momenty dewiacji mogą byd >0, <0, =0) D xy xydF F Momenty drugiego rzędu wykorzystywane są często w wytrzymałości materiałów, gdzie liczy się je najczęściej względem prostych centralnych, tj. przechodzących przez środek ciężkości figury. Momenty takie nazywa się centralnymi momentami bezwładności figury płaskiej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 4 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego W odróżnieniu od momentów statycznych, momenty bezwładności figur płaskich posiadają zawsze wartości dodatnie, ponieważ w wyrażeniach na nie odległośd jest w drugiej potędze. Momenty dewiacji mogą byd większe, mniejsze lub równe zero. Promieo bezwładności Strona | 5 z 73 Promieniem bezwładności pola F figury odpowiednio względem osi x i y oraz bieguna O nazywa się odpowiednio wyrażenia: J Jx J , i y y , iO O , F F F ix Na tej podstawie można zapisad równości: Jx=F·ix2, Jy=F·iy2, JO=F·iO2, oraz iO2= ix2+ iy2. Twierdzenie Steinera Moment bezwładności pola F figury względem prostej równa się momentowi bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek ciężkości pola plus iloczyn pola F figury i kwadratu odległości obu prostych. y v a u Środek ciężkości b x O Jx=Ju+b2F oraz Jy=Jv+a2F W wytrzymałości materiałów moment bezwładności przekroju wykorzystuje się do wyznaczenia wskaźnika wytrzymałości przekroju (na zginanie, skręcanie, itd.). WI Iz , ei gdzie, ei – to odległośd punktów skrajnych od osi obojętnej; Iz – moment bezwładności przekroju względem osi z. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Tabela 1.1 Momenty bezwładności figur płaskich *12+ Rysunek poglądowy Geometryczny moment bezwładności Wskaźnik wytrzymałości Strona | 6 z 73 I=bh3/3 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Przykład 1 Obliczyd z definicji moment statyczny pola prostokąta pokazanego na poniższym rysunku o bokach b i h względem prostej l, przechodzącej przez podstawę, oraz względem wysokości h. b Strona | 7 z 73 dF dy h y h½ l Rys. 1.1. Rozwiązanie: Oznaczając by·dy = ydF =dS1 lub inaczej dF=dy*b Można na podstawie wcześniejszej definicji napisad: h h 0 0 Sl y dF y bdy b ydy F bh2 h F 2 2 Zad. 1. Dla figury przedstawionej w przykładzie 1 obliczyd z definicji momenty drugiego rzędu względem prostej osi x i y przechodzących przez jego boki oraz moment dewiacji figury płaskiej (dF=dx*dy). Zad. 2. Proszę wyznaczyd dla obu przypadków pokazanych na rys. poniżej: momenty bezwładności figury płaskiej względem osi kartezjaoskiego układu współrzędnych, korzystając z definicji momentu bezwładności figury względem osi; biegunowy moment bezwładności względem początku układu współrzędnych; promienie bezwładności względem osi i początku kartezjaoskiego układu współrzędnych; moment dewiacji figury względem układu xy. y y b b r x r O h h x a). O b). Rys. 1.2. Figura płaska do zadania 2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zad. 3. Proszę wyznaczyd położenie środka ciężkości figury pokazanej na rys. 1.2 względem kartezjaoskiego układu współrzędnych oraz momenty bezwładności względem układu osi o początku w środku ciężkości figury i osiach równoległych do osi układu Oxy. Do rozwiązania należy posłużyd się twierdzeniem Steinera. Należy wyznaczyd również moment dewiacji oraz biegunowy moment Strona | 8 z 73 bezwładności względem nowego układu osi. y 2a O x 2a Rys. 1.3. Figura płaska do zadania 3 2. Masowe momenty bezwładności, momenty bezwładności względem osi, biegunowe momenty bezwładności, momenty dewiacji (zboczenia) Środek masy układu punktów materialnych Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promieo-wektor rs wyznacza się według wzoru: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 9 z 73 Współrzędne środka ciężkości Istnieje pełna analogia do twierdzenia o momentach statycznych; pole powierzchni figury i figur składowych zastępuje się masą bryły i brył składowych. Momentem bezwładności ciała o masie m (masowy moment bezwładności) względem płaszczyzny xy, yz, zx nazywamy granice, do których dążą sumy iloczynów mas elementów ciała dm przez kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn, gdy liczba elementów rośnie nieograniczenie, zaś ich wymiary dążą do zera. z dm, x dm, y dm 2 2 m m 2 m Jeżeli pod całką zamiast kwadratów odległości elementów od płaszczyzny wystąpią kwadraty odległości elementów od osi, wówczas będziemy mówid o momencie bezwładności ciała względem osi. Ponieważ e2=y2+z2 więc momenty bezwładności ciała względem osi x, y, z: I x e2dm y2 z 2 dm y2dm z 2dm m m m m Z powyższego wynika, że moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentów bezwładności tego ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn, których krawędzią przecięcia jest dana oś. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Moment bezwładności bryły względem osi z y I z r 2 dm r I z r 2 dV r 2 dV dm h Strona | 10 z 73 x y y x Moment bezwładności walca obrotowego względem jego osi obrotu I z r 2 dm objętośd elementarnej warstwy dV 2r dr H masa elementarnej warstwy dm 2r dr H moment bezwładności liczony z definicji: I z r 2 dm r 2 2r dr H I z 2H r 3dr R I z 2H r 3dr 0 I z 2H 4 r 4 R 0 HR 4 2 r H R 2 2 2 mR 2 2 Momenty bezwładności względem osi przykładowych brył [7]: Pręt o długości L i masie m ml 2 I 12 Pręt o długości L i masie m ml 2 I 3 Prostopadłościan o wysokości h, długości a, szerokości b i masie m Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego I m 2 a b2 12 Strona | 11 z 73 cylindryczna rura wykonana z cienkiego materiału; promieo r, masa m Im I mr 2 Im Walec o promieniu r i masie m: R 2 r2 2 r2 2 Momentem odśrodkowym (dewiacyjnym) ciała względem dwóch prostopadłych do siebie płaszczyzn nazywa się wyrażenie: I xy xy dm, I yz yz dm, I zx zx dm m m kg m 2 m Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności względem osi do niej równoległej i przechodzącej przez środek masy I XC zwiększonemu o iloczyn masy ciała i kwadratu odległości a między tymi osiami – twierdzenie Steinera. IX= IXC + ma2 3. Macierz bezwładności i jej transformacje Moment bezwładności ciała sztywnego W celu pełnego określenia momentów bezwładności bryły sztywnej należy wyznaczyd momenty bezwładności względem osi oraz momenty dewiacji. Pełny opis bezwładności bryły sztywnej przedstawia się za pomocą macierzy bezwładności J o następującej postaci: I xx I I yx I zx I xy I yy I zy I xz I yz I zz Macierz ta jest symetryczna gdyż poszczególne jej składowe Jyx=Jxy itd. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wykaz pozycji literaturowych: 1. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom I, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; 2. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom II, Strona | 12 z 73 Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; 3. Orear J.: Fizyka Tom I i Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2008; 4. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom I. – Statyka i kinematyka, WN PWN 2008, Warszawa 1999; 5. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom II. – Dynamika, WN PWN 2008, Warszawa 1999; 6. Niezgodzioski T.: Mechanika ogólna, WN PWN 2010, Warszawa; 7. Dyląg Zdzisław, Jakubowicz Antoni, Orłoś Zbigniew, Wytrzymałośd materiałów. Tom I, WNT, 2007; 8. Niezgodzioski Michał E., Niezgodzioski Tadeusz Wytrzymałośd materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010; 9. Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika Poznaoska; 10. Świtooski E., Tejszerska D., Mężyk A., Bachorz P., Laboratorium mechaniki ogólnej. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego II Zastosowanie zasad dynamiki. Prawa zachowania 1. Pierwsze i drugie zadanie dynamiki Pierwsze (proste) zadanie dynamiki – znane są skutki, nie znamy przyczyn ruchu tj. znane Strona | 13 z 73 jest równanie ruchu (w czasie) a poszukiwana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch. Przy prostym zadaniu dynamiki całkujemy równanie ruchu. Dane: • • x x(t) kinematyczne równania ruchu punktu masa punktu m y y(t) z z(t) Szukane: • wypadkowa sił działających na ciało P Drugie (odwrotne) zadanie dynamiki – znane są przyczyny wywołujące ruch, nie znamy skutków tj. znana jest wartośd siły (momentu) powodującej ten ruch ale nie znamy równania ruchu (w czasie). Przy odwrotnym zadaniu dynamiki różniczkujemy równanie równowagi dynamicznej ruchu. Dane: • • • • wypadkowa sił działających na punkt masa punktu położenie początkowe punktu prędkośd początkowa punktu Szukane: • kinematyczne równania ruchu punktu P (t) m x0 x(t0 ) y0 y (t0 ) z0 z (t0 ) x x(t ) y y (t ) z z (t ) v x 0 x (t0 ) v y 0 y (t0 ) v z 0 z (t0 ) P P P oo X mx Y m y Z m z oo oo Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zad. 1. (Proste zadanie dynamiki) Nowoczesna winda zawieszona na linie przemieszcza się w szybie ze znanym przyspieszeniem a [m/s2+. Siły oporu są również znane i wynoszą R=0,2·P=const *N+. Określid, ile wynosi siła napięcia liny N, na której zawieszono windę. Ciężar windy wynosi P *N+. Dane: Strona | 14 z 73 P [N] – siła ciężkości klatki; x R=0,2·P=const *N+ – siła oporu ruchu; oo N a= x [m/s2+=0,4·g *m/s2] – przyspieszenie windy; N= [N] szukane - siła napięcia liny; R Rozwiązanie: a y Równanie różniczkowe ma postad: oo oo P m· x =P-N-R stąd N=P-R-m· x oo podstawiając za masę m=P/g oraz wiedząc, że x =a=0,4·g P N P - 0,2 P - 0,4g g N=0,4·P *N+ 2. Prawa Newtona I - Prawo pierwsze (zasada dynamiki – zasada bezwładności) Punkt materialny, na który nie działa żadna siła, lub siły działające równoważą się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Jest to zasada bezwładności, tzn., że bez użycia siły nie można punktowi materialnemu nadad przyspieszenia ani go zatrzymad. Układ odniesienia, w którym słuszna jest ta zasada nazywamy układem inercjalnym. Prawo drugie (zasada dynamiki) W układzie inercjalnym przyspieszenie punktu materialnego (lub bryły materialnej) jest proporcjonalne do siły działającej na dany punkt (lub bryłę materialną) a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała i ma kierunek i zwrot działania siły. (F=m·a) d (mv ) F dt Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Jeżeli masa punktu jest wielkością stałą to równanie przyjmuje postad dm 0 dt m d (v ) mr ma F dt gdzie: r - promieo wektor opisujący położenie punktu materialnego Strona | 15 z 73 a - przyspieszenie punktu. Prawo trzecie (zasada dynamiki – zasada akcji i reakcji) Jeśli jedno ciało działa z określoną siłą na drugie ciało, to i wzajemnie drugie ciało działa na pierwsze ciało siłą taka samą, co do wartości, lecz przeciwnie zwróconą. Reakcja Siła ciężkości 3. Zasada zachowania pędu Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem układu sił m a Fi Zakładają, że m const a m dv dt dv Fi dt d m v Fi dt Pęd (ilośd ruchu) ciała (punktu materialnego) jest to iloczyn wektora prędkości punktu i jego masy. p m v Pęd jest to wektor o module m razy większym od modułu wektora prędkości, mający kierunek i zwrot wektora prędkości punktu. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym wektor p pozostaje stały bez względu na to jak poruszają się ciała wewnątrz układu. Inaczej: Pęd punktu materialnego jest wektorem stałym, jeżeli suma geometryczna sił działających na dany punkt materialny jest równa zeru. Strona | 16 z 73 m A v r v Jeżeli F 0 to i dp 0 p const. dt Zasada ta wynika bezpośrednio z drugiej zasady Newtona. 4. Zasada zachowania krętu Krętem punktu materialnego względem dowolnego bieguna O nazywamy wektor równy iloczynowi wektorowemu wektora promienia wodzącego punktu i wektora pędu poruszającego się punktu. Kręt to moment pędu. m rA v KO r p Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi sumy wszystkich sił działających na punkt materialny. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny układu sił działających na punkt materialny względem dowolnego bieguna jest równy zeru, to kręt punktu poruszającego się względem tego samego bieguna jest wielkością stałą. dK O M O Fi dt dK O Jeżeli M O 0 to 0 czyli kręt (moment pędu) jest KO const. dt Zad. 1 Człowiek o masie m1=70 *kg+ porusza się po brzegu poziomej tarczy o promieniu r = 4 [m] i masie m2 = 200 *kg+, jak podano na rysunku. Podad o jaki kąt φ1 obróci się tarcza, gdy człowiek przejdzie cały jej obwód. z m 2 m1 ω m2 O Vw m1 r Tarcza obraca się wokół pionowej osi bez tarcia, kręt = 0 w chwili początkowej (nim człowiek rozpocznie ruch) jest równy 0 w dowolnej chwili t. Człowiek porusza się względem tarczy z Vw, wówczas tarcza zacznie się obracad w przeciwnym kierunku z prędkością kątową ω. Vb=Vu+Vw (prędkośd bezwzględna=prędkośd unoszenia + prędkośd względna-wektorowo) Vu=ω·r K1=m1rVb= m1Vbr K1=m1r·(Vw-ω·r) względem osi obrotu Kręt tarczy: K2=-Jzω Jz= 1 m2r2 2 K1+K2=0 (zasada zachowania krętu) Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 17 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego m1r·(Vw-ωr)-Jzω=0 m1r·(Vw-ωr)- 1 m2r2ω=0 2 m1r·Vw-ω(m1r2- 1 m2r2)=0 2 ω m1rVw 1 m1r 2 m 2 r 2 2 ω m1Vw 1 r m1 m 2 2 Czas przemarszu po całym obwodzie tarczy z prędkością względną Vw=const wynosi: t1 czyli: 2r Vw 1 ωt1 m1Vw 2r 4m1 2,6 [rad] 1 2m1 m 2 Vw r m1 m 2 2 5. Zasada d'Alamberta W ruchu ciała (punktu materialnego) układ sił zewnętrznych równoważy się z siłą bezwładności. F i czynne Ri reakcje FB 0 (siły czynne (siła żywa) i bierne) Inaczej F+(-m·a)=0 Jeżeli do punktu materialnego oprócz sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożymy siłę bezwładności, otrzymamy układ sił pozostających w równowadze. Wprowadzając do zadao z zakresu dynamiki siłę bezwładności, można je rozwiązywad, stosując znane ze statyki równania równowagi, szczególnie korzystne dla określenia reakcji więzów. Przyjęcie sił bezwładności prowadzi do sprowadzenia zagadnieo dynamiki do zagadnienia statycznego (równowaga sił). F F 0 F F ma F i B B i i Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 18 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rzutując obie strony równania na trzy osie Ox, Oy, Oz, otrzymujemy dynamiczne równania ruchu: m a Fi m a x Fx m a y Fy m a z Fz Dla ciała – układu punktów materialnych do powyższych zależności dochodzi warunek sumy momentów tj. można stwierdzid, iż siły czynne, siły bierne i siła bezwładności działające na każdy punkt układu pozostają w równowadze. Muszą wobec tego spełniad warunki równowagi układu sił. Suma geometryczna musi byd równa zeru. Suma momentów od tych sił względem dowolnie obranego bieguna musi byd równa zeru. Warunki równowagi dla układu sił działającego na każdy punktu układu: F F 0 M F , F 0 i B o i B Zad. 1. Dachówka spada z dachu przebywając drogę AB = l = 4 *m+ w czasie τ = 1 *s+ z początkową prędkością V0 = 0, a następnie spada swobodnie z wysokości h = 5 *m+ na ziemię. Wyznaczyd w jakiej odległości od krawędzi dachu spadnie dachówka, jeżeli współczynnik tarcia dachówki o dach wynosi µ. B h α=6 0 0 z= ? I odcinek α N y a A T G x B µ Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 19 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Z dynamicznych równao równowagi: m x Gsinα T m y N Gcosα przyśpieszenie y =0 => N=Gcosα bo ruch jest prostoliniowy, odbywa się wzdłuż osi x m x Gsinα Gμμcos /:m G x Gsinα Gμμcos g /: T=µN Strona | 20 z 73 T=Gµcosα g G x gsinα gμμcos - całkujemy x gsinα gcosα t C1 x gsinα gcos t2 C1t C 2 2 Warunki początkowe: V0=0 dla t=0 t=0 x A = 0 czyli xA=0 czyli dla t=τ x=l x gsinα gcosα t x gsinα gcos C1=0 C2=0 VB=(gsinα-gµcosα)·τ t2 2 l ( g sin g cos ) 2l 2 2 2l τ gsinα g cos VB 2 2l VB = 8 [m/s] II odcinek x y m VB α A F ix 0 mx 0 my G Całkowanie: yg x C3 y gt C5 x=C3t+C4 yg 2 t C5 t C6 2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Warunki początkowe: V0=0 dla dla t=0 t=0 x = VBcosα czyli czyli C3=VBcosα C4=0 t=0 y = VBsinα czyli C5=VBsinα t=0 y=0 czyli C6=0 x=0 Strona | 21 z 73 x VBcosα y gt VBsinα yg x=VBcosα t2 VBsint 2 x=VBcosα yg t t2 VBsint 2 2 g x x gx 2 VBsinα y tgx 2 VB cosα VB cosα 2VB2 cos 2 α x VB cos y gx 2 xtg 2VB2 cos 2 α Szukamy x dla y = 5 g8x 2 5 3x 2 8 2 0,5 2 x1,2=-2,82±4,93 x=2,11 [m] Zad. 2. Jaką drogę przebędzie klocek o masie m umieszczony na poziomej, chropowatej powierzchni, jeżeli nada się mu prędkośd początkową V y Vp T N G x mg m x T m y N - mg y0 (przyspieszenie w y=0, bo nie ma ruchu w tej osi oraz siła N równoważy się z siłą mg) N=m·g T=N·µ=m·g·µ m x mgμ x gμ Całkujemy po czasie, aby uzyskad prędkośd a potem drogę. x μgt C1 Prędkośd Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego t2 C1t C2 Przemieszczenie 2 x μg Warunki początkowe: dla t=0 V=Vp t=0 x=0 C1=Vp C2=0 Strona | 22 z 73 x μgt Vp Prędkośd x μg t2 Vp t Przemieszczenie 2 dla t= τ x μg x x =0 Vp2 2μ 2 g 2 Vp Vp μg 0=-µgτ+Vp Vp2 2μμ Vp2 μg => τ Vp τ – czas, po którym klocek wyhamuje od zera μg Vp2 2g 2 p V 2g Zad. 3. Ciała o ciężarach G i Q połączono nicią przerzuconą przez krążek C jak przedstawiono na rysunku. Zakładając, że masa i opory ruchu krążka są pomijalnie małe wyznaczyd naciąg nici oraz prędkośd ciała G po przebyciu drogi h. µ T h Q µ N α y G x G x S Q T a S Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego dla ciała G G=mg => m G dla ciała Q Q=mg g F ix F 0 ix G-S=max 0 S T Qsinα F iy Q a g 0 N-Qcosα = 0 => N = Qcosα T=µN => T = µQcosα S Qcos Qsinα G Q a g G Q a Q sinα μcosα a g g G Q sinα μcosα G Q a a g g / g g G Q sinα μcosα a G Q a g G - Q sinα μcosα GQ oraz G g G - Q sinα μcosα SG g GQ S GQ G 2 G 2 GQ sinα μcosα GQ S tC 2h a h at 2 2 t 2h a VK=atC GQ (1 sinα μcosα) GQ dla ruchu jednostajnie przyspieszonego 2h at 2 6. Równania Lagrange'a Ruch w mechanice, a w szczególności drgania mechaniczne ciał stałych, opisad można za pomącą równao różniczkowych ruchu. Jednym ze sposobów jest opis za pomocą równania Lagrange’a II rodzaju: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 23 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego d L dt q i L R Q (r) q q i i Strona | 24 z 73 Gdzie: L(q1 , qi , t ) E U - energia Lagrange’a; Q – siła zewnętrzna; Energia potencjalna: U 1 2 ci x mi gx i (różnica wysokości, energia zgromadzona w ciele np. 2 sprężyna, akumulator hydrauliczny itp.); 2 Energia rozproszenia (Rayleigh’a): 1 R b j x energia wytracana w układzie i rozpraszana 2 j poprzez zamianę na ciepło, luminescencję, zużycie trybologiczne itp. procesy nieodwracalne; Rys. 2.1. Przykładowe oprogramowanie wykorzystujące do celów symulacji opis ruchu na bazie równania Lagrange’a Postad numeryczna równania Lagrange’a i metody całkowania – interpretacja graficzna czyli poszukiwanie prędkości a następnie drogi na bazie całkowania numerycznego z wykorzystaniem metody prostokątów lub trapezów. Zad. 1 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Dla układu przedstawionego na rysunku wyznaczyd równanie ruchu z wykorzystaniem równania różniczkowego Lagrange’a. Dane: m1,m2, c1, c2. Strona | 25 z 73 c2 x2 c1 x1 d L dt q i L R Q(r ) q q i i Funkcja Lagrange’a: LEU L 1 1 1 1 m1 x 1 m 2 x 2 C 2 x 2 C1 x 1 x 2 2 2 2 2 2 2 Energia kinetyczna: 2 2 1 1 E m1 x1 m 2 x 2 2 2 Energia potencjalna: 1 1 U C2 x 2 C1 x1 x 2 2 2 Pierwsza pochodna energii kinetycznej wynosi: E m1 x1 x1 m 2 x 2 x 2 - bo pochodna złożona x12=x1*x1 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego E x1 m1 x 1 E x2 m2 x 2 Obliczanie kolejnych składników równania: E 0 x 1 U C1 x 1 x 2 x 1 E 0 x 2 U C1 x 2 x 1 C 2 x 2 x 2 Po podstawieniu różniczek do równania otrzymujemy: C x x C x m1 x1 C1 x1 x 2 0 m2 x 2 1 1 2 2 2 0 Powyższe równania pozwalają na opis ruchu ciał w przedstawionym układzie w funkcji czasu. Wykaz pozycji literaturowych: 1. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom I, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; 2. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; 3. Orear J.: Fizyka Tom I i Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2008; 4. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom I. – Statyka i kinematyka, WN PWN 2008, Warszawa 1999; 5. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom II. – Dynamika, WN PWN 2008, Warszawa 1999; 6. Niezgodzioski T.: Mechanika ogólna, WN PWN 2010, Warszawa; 7. Dyląg Zdzisław, Jakubowicz Antoni, Orłoś Zbigniew, Wytrzymałośd materiałów. Tom I, WNT, 2007; 8. Niezgodzioski Michał E., Niezgodzioski Tadeusz Wytrzymałośd materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010; 9. Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika Poznaoska; 10. Świtooski E., Tejszerska D., Mężyk A., Bachorz P., Laboratorium mechaniki ogólnej. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 26 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego III Energia i jej przemiany. Część I 1. Energia kinetyczna, energia potencjalna Energia kinetyczna - jeżeli stała siła F wprawia w ruch jednostajnie zmienny ciało o masie m udzielając mu na drodze s prędkości V, to energia kinetyczna ciała spełnia równanie: EK = L = F · s podstawiając zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona wartośd F = a·m oraz z równania ruchu jednostajnie zmiennego o prędkości początkowej V0=0 -> s=at2/2 otrzymamy EK=m/2·a2t2, gdzie wielkośd AT wyraża prędkośd V=at ruchu jednostajnie zmiennego dla V0=0, stąd Energia kinetyczna EK ciała poruszającego się ruchem postępowym równa jest połowie iloczynu masy m ciała przez kwadrat prędkości V. Energia potencjalna - ciało o masie m położone na wysokości h nad pewnym poziomem odniesienia (za który najczęściej przyjmuje się powierzchnię kuli ziemskiej) posiada energię potencjalna położenia. Ep = m·g·h Zad. 1 Obliczyd energię kinetyczną pocisku o masie 40 kg, wyrzuconego z lufy armatniej z prędkością 600 m/s oraz średnią siłą parcia gazów prochowych w lufie, jeżeli długośd jej wynosi 2m. Rozwiązanie: m = 40 kg ≈ 4 kG·s2/m 2. Energia mechaniczna Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 27 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Ciało mające zdolnośd wykonania pracy (np. zawieszone, napięte lub będące w stanie ruchu) posiada energię, zaś zasób pracy L, którą to ciało może wykonad nazywamy jako energię mechaniczną E. E=L Strona | 28 z 73 Energia mechaniczna występuje w dwóch postaciach: jako energia potencjalna, którą posiadają niektóre ciała w spoczynku (np. zawieszony ciężar, napięta sprężyna) lub energia kinetyczna, którą obdarzone SA ciała w ruchu (np. pędząca kula). 3. Zasada zachowania energii mechanicznej Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu i układu punktów materialnych, równa sumie energii kinetycznej oraz energii potencjalnej sił wewnętrznych i zewnętrznych, zachowuje stałą wartośd E2+ VZ(2) + VW(2)=E1+ VZ(1)+VW(1) Wzór wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej. Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu E2- E1=W Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Zad. 1. Walec o masie m kg i promieniu podstawy r m jest owinięty w środku cienką linką, której koniec A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadad bez prędkości początkowej, odwijając się z linki. Obliczyd prędkośd osi walca V w chwili, gdy oś obniżyła się o wysokośd h. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 29 z 73 Rozwiązanie: W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna E2- E1=W Zatem stąd Zad. 2. Koło o masie m kg toczy się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie pochylenia α. Współczynnik tarcia tocznego wynosi f. Stały moment M Nm jest przyłożony do koła o masie 2m i promieniu 2r, obracającego się względem osi O. Z kołem tym jest połączone koło o masie m i promieniu r. Wyznaczyd przyspieszenie kątowe ε2. W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 30 z 73 Rozwiązanie: W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna Zależności między prędkościami: Wszystkie prędkości wyrażamy przez ω2 Pracę wykonują siły ciężkości oraz stały moment M i moment tarcia N·f Zależności na drogę: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wartośd siły nacisku Strona | 31 z 73 Po podstawieniu do wzoru E2- E1=W otrzymamy Po zróżniczkowaniu obu stron otrzymamy Zadanie do samodzielnego rozwiązania: Zad. 3. Ciężarek A o masie m1 kg opada zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej linie przeciągniętej przez bloczek B i nawiniętej na bęben o promieniu r m, na którym osadzone sztywno koło o promieniu R, toczące się bez poślizgu po poziomym torze. Współczynnik tarcia tocznego wynosi f. Wspólna masa koła i bębna jest równa m2 kg. Wyznaczyd przyspieszenie kątowe ε oraz liniowe a1 i a2. Wykaz pozycji literaturowych: 1. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom I, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 2. Kamioski Z, Kamioski W.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie techniczne Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2009; 3. Orear J.: Fizyka Tom I i Tom II, Wydawnictwo Techniczne Warszawa 2008; 4. Leyko J.: Mechanika ogólna Tom II. – Dynamika, WN PWN 2008, Warszawa 1999; 5. Niezgodzioski T.: Mechanika ogólna, WN PWN 2010, Warszawa; Strona | 32 z 73 6. Niezgodzioski Michał E., Niezgodzioski Tadeusz Wytrzymałośd materiałów, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010; 7. Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika Poznaoska; IV Energia i jej przemiany. Część II: 1. Praca i moc Praca jest to iloczyn siły P działającej w kierunku ruchu przez drogę s, którą przebywa punkt przyłożenia siły. Jeżeli więc kierunek działania siły jest zgodny z kierunkiem ruchu (tak jak to ma miejsce w przypadku podnoszenia ciężaru) to pracę określi równanie: L = F·s Jednak w przypadku, gdy siła nie działa w kierunku ruchu wielkośd pracy wynosi: L = F·s·cosα W ogólnym przypadku miarę pracy mechanicznej L, stanowi iloczyn siły działającej F przez drogę s i cosinus kąta α zawartego między kierunkiem działania siły i kierunkiem ruchu. Jednostką pracy jest dżul (J). Jest to praca, jaką wykonuje siła o wartości 1 N na drodze 1 metra przebytej w kierunku działania siły. Zad. 1 Obliczyd pracę jaką wykona wciągarka, wciągająca ciężar 200 kg wzdłuż równi o długości 4 m, nachylonej pod kątem 300 do poziomu. Współczynnik tarcia wynosi µ = 0,1. Obliczyd również, jaką pracę wykonują opory ruchu? N F µ T s α Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego - Praca wykonana przez siłę wciągającą N = Gcosα oraz F – T = Gsinα Wiedząc, że T = Nµ otrzymujemy F = Gµcosα + Gsinα; L = F·s L = G·s·(µcosα + sinα) = 200·4·(0,1·0,866 + 0,500) = 470 kGm - Praca wykonana przez opory ruchu – oporami ruchu są siła tarcia T = Gµcosα oraz siła powodująca zsuwanie się ciała z równi, czyli składowa siły ciężkości równa Gsinα, działająca w kierunku równi. Praca oporów ruchu L1 jest ujemna i wynosi: L1 = -Gsµcosα – Gssinα = -470 kGm Mocą nazywamy stosunek pracy L do czasu t, zużytego na jego wykonanie i oznaczamy literą P Jednostką mocy jest Wat (W), czyli dżul na sekundę (J/s) Zad. 2 Obliczyd moc wciągarki oraz moc układu technicznego narysowanego powyżej, jeżeli czas wykonania pracy wynosił 3 *s+. 2. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu. E2 – E1 = L Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Zad. 1 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 33 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Walec o masie m *kg+ i promieniu podstawy r *m+ jest owinięty w środku cienką linką, której koniec A przymocowano do punktu stałego. Walec zaczyna opadad bez prędkości początkowej odwijając się z linki. Obliczyd prędkośd osi walca V w chwili, gdy oś obniży się o wysokośd h. Ponadto wyznaczyd wartośd siły w linie. W chwili początkowej częśd linki nie nawinięta na walec miała Strona | 34 z 73 kierunek pionowy. S Rozwiązanie: W chwili początkowej układ znajdował się w spoczynku, energia kinetyczna E2- E1=W Zatem stąd Wartośd siły w nici można wyznaczyd z dynamicznych równao ruchu płaskiego i równao więzów. ∑Fix=m·a, m·g-S=m·a Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ∑Mio=Io·, -S·r = Io· Równania więzów: a=·r Strona | 35 z 73 3. Energia wewnętrzna – entalpia Entalpia – jest termomechaniczną funkcją stanu, którą definiuje zależnośd: gdzie U - energia wewnętrzna, p - ciśnienie, V - objętośd Entalpia jest funkcją stanu z której jest dogodnie korzystad przy przemianach prowadzonych pod stałym ciśnieniem dla układów, których objętośd może się zmieniad w czasie przemiany. Dla takich przemian zmiana entalpii jaka się w ich czasie odbywa równa jest ciepłu tych przemian. Przemiany takie są bardzo często spotykane w praktyce (silniki atmosferyczne, przemiany fazowe, reakcje chemiczne w roztworach, itd, itp.) stąd entalpia jest bardzo często wykorzystywaną funkcją stanu. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 36 z 73 V Ciśnienie, elementy mechaniki płynów, zasada Archimedesa, równania ciągłości strugi, równania Bernoullego 1. Definicja ciśnienia, urządzenia do mierzenia ciśnienia, Ciśnieniem nazywamy iloraz wartości siły F, działającej prostopadle do wycinka powierzchni ograniczającej dane ciało i powierzchni S tego wycinka. Przy definicji ciśnienia zakładamy, że wycinek powierzchni jest tak mały, że można go uważad za zupełnie płaski. Siłę F, działającą prostopadle do płaskiego wycinka powierzchni ograniczającej dane ciało, nazywamy siłą parcia. Ciśnienie jest wielkością skalarną, jednostką ciśnienia w układzie SI jest paskal. Ciśnienie wynosi 1 paskal, gdy na płaszczyznę o polu jednego metra kwadratowego działa prostopadle siła jednego niutona. 1 Pa = Prawo Pascala: Ciśnienie w danym punkcie cieczy lub gazu w stanie równowagi nie zależy od ustawienia powierzchni na którą działa. W nieobecności pól grawitacyjnych ciśnienie w każdym punkcie gazu czy cieczy jest jednakowe. Każda ciecz może mied ciśnienie wyższe od ciśnienia atmosferycznego, potocznie nazywane nadciśnieniem lub niższe, czyli podciśnienie. Do pomiarów nadciśnienia służą przyrządy zwane manometrami, których zasada działania opiera się z reguły na pomiarze siły parcia, jaka działa na powierzchnię umieszczoną określonym obszarze wewnątrz cieczy czy gazu. W związku z faktem, że powierzchnia ta jest zawsze taka sama, pomiar siły parcia wyznacza automatycznie ciśnienie. Manometry używane do pomiarów ciśnienia powietrza w atmosferze nazywane są barometrami. Do pomiaru podciśnieo służą wakuometry. Są również przyrządy pomiarowe do pomiaru obu ciśnieo Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego zwane manowakuometrami. Oba rodzaje mierników dzielimy na: hydrostatyczne (cieczowe), prężne (rurkowe lub przeponowe) oraz obciążeniowe. Strona | 37 z 73 2. Ciśnienie w mechanice płynów, napór na ściany płaskie Zad. 1 Wyznaczyd siłę naporu F na okrągłą ścianę zbiornika w którym znajduje się ciecz wypełniająca rurkę do wysokości h. Wyznaczyd różnicę Δh pomiędzy środkiem ciężkości a środkiem naporu. Gęstośd wody wynosi . h p0 H2O D T P h F Dane: Wyznaczyd: h= 1.4 m F=? D= 0.8 m h = ? = 1000 kg.m-3 Rozwiązanie: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zad. 2 Wyznaczyd siłę naporu F i środek naporu hp dla kwadratowego wieka kanału znajdującego się na głębokości hT pod poziomem wody (p0=const). Wyznaczyd średnią wartośd ciśnienia p na wieko. Strona | 38 z 73 hP hT p0 p0 F P a H2O Dane: T Wyznaczyd: hT = 1.6 m F =? a= 1m hp = ? = 1000 kg/m3 p =? Rozwiązanie: Do samodzielnego rozwiązania: Zad. 3 Wyznaczyd wartośd siły naporu F na okrągłe wieko zbiornika oraz położenie środka naporu xp. Wyznaczyd składową pionową siły naporu Fy. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ht F xT Strona | 39 z 73 H2O P T xP D Dane: Wyznaczyd: D= 1m F = ? xT = 1.8 m xp = ? = 40 deg Fy = ? 1000 kg.m-3 Napór hydrostatyczny na sztywne ściany zakrzywione Zad. 1 Wyznaczyd wartośd siły naporu F na ścianę zakrzywioną o przekroju walcowym wyrażonym promieniem R oraz szerokością B. Wyznaczyd składowe Fx, Fy oraz kąt α. R F H2O Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Dane: Wyznaczyd: R= 0.8 m Fx = ? B= 3 m Fy = ? 1000 kg.m-3 F= ? = ? = Strona | 40 z 73 Rozwiązanie: Zad. 2 h Wyznaczyd siłę naporu wody F na walcową ścianę zbiornika o szerokości B. F R S Dane: Wyznaczyd: h= 0.8 m Fx = ? R= 0.4 m Fy = ? B= 4.0 m F= ? Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego = 1000 kg.m-3 Rozwiązanie: Strona | 41 z 73 Do samodzielnego rozwiązania: Zad. 3 h Wyznaczyd składowe Fx, Fy, kąt α oraz wypadkową siłę naporu wody F na ścianę w kształcie półkuli. R Dane: F Wyznaczyd: h= 6.5 m Fx = ? R= 4m Fy = ? = 1000 kg.m-3 F=? = ? Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 3. Zasada Archimedesa, równania ciągłości strugi Prawo Archimedesa - każde ciało zanurzone w cieczy traci pozornie na swym ciężarze na tyle, ile wynosi ciężar cieczy przezeo wypartej. W jednorodnym polu grawitacyjnym o natężeniu g na ciało Strona | 42 z 73 zanurzone w cieczy działa siła wyporu Fw skierowana przeciwnie do kierunku pola, jej wartośd równa jest ciężarowi cieczy wypartej przez ciało. Fw=-Vdg Wartośd wektora dg oznaczamy często symbolem D i nazywamy ciężarem właściwym. 4. Równania Bernoulliego Przepływ cieczy w rurze może byd spowodowany różnicą poziomów wlotu i wylotu rury lub różnicą ciśnieo. Przepływem stacjonarnym idealnej cieczy nieściśliwej przez rury rządzi prawo Bernoulliego - wzdłuż rury spełniona jest równośd: gdzie: p – ciśnienie w danym punkcie rury; d - gęstośd cieczy; V – prędkośd cieczy; g – przyspieszenie ziemskie; h – wysokośd względem dowolnie wybranego poziomu zerowego. h S1 h1 p1 V1 h2 V2 p2 S2 Z prawa tego wynika, że jeżeli ciecz płynie w poziomej rurze, a więc gdy h=const, równanie Bernoulliego przybiera postad: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Jeżeli w rurze znajduje się przewężenie, to prędkośd cieczy V2 w tym punkcie jest większa niż prędkośd V1 w pozostałej części rury, a więc ciśnienie p2 w tym obszarze jest mniejsze niż w Strona | 43 z 73 pozostałej części rury. Prawo Bernoulliego obowiązuje nie tylko w przypadku przepływu przez rurę, lecz przy każdym stacjonarnym ruchu cieczy. W ogólnym sformułowaniu prawo to brzmi następująco: przy przepływie stacjonarnym idealnej cieczy nieściśliwej, wzdłuż linii prądu cieczy spełniona jest równośd Linia prądu jest to linia w każdym swoim punkcie styczna do wektora prędkości cieczy w danym punkcie, linia prądu pokrywa się z torem ruchu wybranej cząsteczki cieczy. Zad 1 W zbiorniku o szerokości b i długości l poziom wody obniżył się o wielkośd h w czasie t. Wyznaczyd średnie objętościowe natężenie przepływu wody Qv . b= 40 m l= 300 m h = 8m t = 30 min Qv h Wyznaczyć: Dane: =? Q l Rozwiązanie: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 V Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zad. 2 p Ze zbiornika poprzez rurkę o średnicy d wypływa płyn o gęstości oraz ciśnieniu 0 . Zbiornik jest otwarty, także na płyn w zbiorniku działa również ciśnienie atmosferyczne. Są dane wysokości h1 oraz h2 . Wyznaczyd objętościowe natężenie wypływu płynu Qv , oraz ciśnienie p1 w punkcie 1. Strona | 44 z 73 1 Wyznaczyd: p0 d = Qv = ? d 0 h2 12 cm h1 Dane: = 1000 kgm-3 h1 = 1m h2 = 1m p1 = ? v = konst 2 p0 p 0 = 100000 Pa Rozwiązanie: Równanie Bernoulliego 0-2 Równanie Bernoulliego 1-2 Objętościowe natężenie wypływu płynu Qv : Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Do samodzielnego rozwiązania: Zad. 3 Woda wypływa ze zbiornika z objętościowym natężeniem d1 na d 2 pod kątem . Wyznaczyd odpowiadającą wysokośd poziomu wody H, oraz p0 p 1 ciśnienie p1 w punkcie . Ciśnienie atmosferyczne Dane: wynosi 101325 Pa. 0 Wyznaczyd: d1 1 200 m .h v2 = ? 1m H=? -1 v1 p1 l Qv = 3 0 H zwężający się z Qv poprzez otwór o długości l, l = 2 p0 v2 d2 d2 = 75 mm d2 = ? = 10 o p1 = ? = 1000 kg.m-3 Zad. 4. Dwa identyczne naczynia napełniono po brzegi wodą. W jednym z naczyo pływa korek. Która szalka obniżyłaby się, gdybyśmy naczynia ustawili na wadze? Zad. 5 Cienkościenną rurkę (zatkaną z jednego kooca) o długości l, polu powierzchni przekroju poprzecznego S i masie m powoli zanurzamy w cieczy o gęstości ρ w sposób pokazany na rysunku poniżej. Początkowe ciśnienie gazu doskonałego, wypełniającego rurkę, równa się ciśnieniu gazu nad cieczą p. Rozpuszczalnośd gazu w cieczy oraz masę gazu w rurce zaniedbujemy. Jak głęboko należy zanurzyd rurkę, by siła z jaką ciecz działa na rurkę równała się jej ciężarowi? Czy zawsze jest to możliwe? I II Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 45 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zad. 6 Nierównoramienną dźwignię dwustronną zrównoważono zawieszając na jednym jej koocu kulke aluminiową, a na drugim – ołowianą. następnie pod dźwignię podstawiono naczynie z wodą tak, że kulki zanurzyły się całkowicie. Które ramię dźwigni obniżyło się i dlaczego? Strona | 46 z 73 Wykaz pozycji literaturowych: 1. Blinowski J., Trylski J.: Fizyka dla kandydatów na wyższe uczelnie. PWN, Warszawa 1973 6. Właściwości materii. Fizyka cząsteczkowa 1. Atomowa struktura materii Doskonały kryształ składa się z uporządkowanych atomów w sieci krystalicznej, opisanej przez trzy podstawowe wektory translacji; a, b, c , tak, że układ atomów pozostaje niezmieniony czy obserwujemy go z punktu P(r) czy z punktu P(r’). a b T r r’ Rys. 6.1. Częśd kryształu w przestrzeni dwuwymiarowej Uporządkowanie atomów w krysztale wygląda dokładnie tak samo bez względu na to, czy obserwujemy z punktu r’, czy r, pod warunkiem, że wektor T, który łączy r’ i r można przedstawid jako iloczyn liczb całkowitych wektorów a i b. Relacja między wektorami r i r’ jest następująca (dla przypadku trójwymiarowego): r ' r n1a n2 b n3c gdzie: n1 , n2 , n3 są dowolnymi liczbami całkowitymi. Zbiór punktów określonych tym równaniem dla wszystkich wartości i definiuje sied krystaliczną. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Sied: jest regularnym i periodycznym układem punktów w przestrzeni. Ze strukturą krystaliczną mamy doczynienia wówczas, gdy baza atomów jest przyporządkowana jednoznacznie do każdego węzła sieci. Baza: składa się z jednego atomu dla najprostszych kryształów może byd również 105 atomów lub cząsteczek np. w białkach. Strona | 47 z 73 Przekształcenie translacji sieci lub przekształcenie translacji kryształu definiujemy jako przesuniecie równoległe kryształu względem siebie o wektor translacji kryształu T. T n1a n2 b n3c Komórka prosta sieci: Równoległościan a, b, c nazywamy komórką prostą, która jest jednym z typów komórki elementarnej. Komórka elementarna stanowi przestrzeo powstałą z przekształceo translacji kryształu. Istnieje pięd sieci dwuwymiarowych Bravais’ego, parametry sieci są przedstawione w tabeli 6.1. Istnieje czternaście rodzajów sieci krystalograficznych. trójwymiarowych, występujących w siedmiu układach Tabela 6.1. Pięd sieci dwuwymiarowych Bravego Sied Umowna komórka elementarna Parametry sieciowe komórki elementarnej Ukośnokątna równoległobok a b; 90O Kwadratowa kwadrat a = b; = 90O Heksagonalna romb a = b; = 120O prostokątna prosta prostokąt a b; = 90O Prostokątna centrowana prostokąt a b; = 90O Wiązania w krysztale Całkowicie odpowiedzialne za spójnośd ciała stałego jest oddziaływanie przyciągające – elektrostatyczne, między ujemnymi ładunkami elektronów, a dodatnim ładunkiem jąder. Siły magnetyczne mają mały wpływ na spójnośd kryształu, a siły grawitacyjne można w ogóle pominąd. Energię wiązania kryształu można obliczyd z danych o przestrzennym rozkładzie elektronów i jąder w krysztale (z praw mechaniki kwantowej) oraz z danych o rozkładzie ich prędkości. W zagadnieniu spójności porównujemy całkowitą energię ciała stałego (energia kinetyczna + potencjalna) z energia dla tej samej liczby swobodnych atomów nieskooczenie odległych od siebie. Kryształ jest stabilny gdy jego całkowita energia jest mniejsza od całkowitej energii swobodnych atomów i cząstek. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Energia spójności = energia swobodnych atomów – energia kryształu Rodzaje wiązao: b) a) Strona | 48 z 73 c) C C C C C diament Rys. 6.2. Podstawowe rodzaje wiązao krystalicznych: a) van der Waalsa, b) jonowe, c) kowalencyjne Tabela 6.2. Typy wiązao i ich własności Typ wiązania Przykład kowalentne diament Energia wiązania kJ/mol 710.60 jonowe NaCl, LiF 752.40, 1003.20 metaliczne Na, Fe 108.68, 392.92 Molekularne (van der Waalsa) Ar, CH4 7.52, 10.03 Charakterystyczne własności Twarde, małe przewodnictwo elektryczne Pochłanianie w podczerwieni, małe przewodnictwo elektronowe w niskich temperaturach, duże przewodnictwo jonowe w wysokich temperaturach Duże przewodnictwo elektryczne i przewodnictwo cieplne Niska temperatura topnienia i wrzenia, duża ściśliwośd Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wiązanie van der Waalsa - Londona: Występuje w gazach szlachetnych (tworzą strukturę o możliwie najgęstszym upakowaniu) Potencjał elektrostatyczny od kulistego rozkładu ładunku elektronów znosi się na zewnątrz obojętnego atomu z potencjałem elektrostatycznym ładunku zawartego w jądrze. Wydaje się więc, że atomy gazów szlachetnych nie mogą tworzyd struktury krystalicznej. Wszystkie średnie momenty elektryczne są Strona | 49 z 73 równe zeru. Lecz ze względu na ruch elektronu wokół jądra w pewnym momencie istnieje różny od zera elektryczny moment dipolowy. Rys. 6.3. Oddziaływanie van der Waalsa, Rysunek rys. 6.3. przedstawia oddziaływanie przyciągające dwóch atomów dla czasów ta i tb dla których w atomie 1 występuje moment dipolowy P1. Ten moment dipolowy wytwarza pole elektryczne E, którego linie sił obejmują atom 2 wzbudzając w nim moment dipolowy P2. Chwilowy, dipolowy moment elektryczny P1 wytworzony w atomie pierwszym wytwarza w środku atomu drugiego, odległego o R, pole elektryczne: E 2 p1 R3 Pole to wywołuje dipolowy moment elektryczny w atomie 2-gim: p2 E 2p1 R3 gdzie: a jest polaryzowalnością elektronową : *a+=*długośd+3 [ro]3 ro jest promieniem atomowym Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego *p+ = *ładunek+*długośd+ er0, gdzie e jest ładunkiem elektronu. Energia potencjalna dipoli: U ( R) 2 p1 p2 4p12 R3 R6 Strona | 50 z 73 4e 2 r 5 U ( R) 6 O R o 10 58 U ( R) 6 dla rO 10 58 cm 1 A R [U]=erg dla [R] w cm U ( R) C R6 gdzie stała C 10-58 erg cm6 Jest to pola energia oddziaływania van der Waalsa-Londona, czyli energia fluktuującego Występuje również oddziaływanie odpychające. Energia potencjalna tego oddziaływania wynosi: U ( R) B gdzie B > 0 R12 Nakładanie powłok elektronowych (potencjałów) atomów o zapełnionych powłokach może zachodzid wówczas gdy elektrony są przeniesione do stanów o większej energii, wówczas wzrasta całkowita energia układu, co wprowadza do układu przyczynek odpychający. Wówczas całkowita energia wynosi: 12 6 U ( R ) 4 R R 6 12 gdzie: i są współczynnikami określonymi przez relacje: 4 C , 4 B Energia potencjalna U(R) znana jest jako potencjał Lennarda – Jonesa. Wiązanie jonowe Kryształy jonowe są utworzone z dodatnich i ujemnych jonów. Jony są tak rozmieszczone, że kulombowskie siły przyciągania pomiędzy jonami o przeciwnych znakach są większe od sił odpychania między jonami tych samych znaków. Zasadniczy wkład do energii wiązania kryształów jonowych daje oddziaływanie elektrostatyczne Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego zwane energią Madelunga. U i U ij j i Strona | 51 z 73 gdzie: U ij Ui jest energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem, jest energią całkowitą jednego dowolnego i-tego jonu. Całkowita energia oddziaływania między i-tym i j-tym jonem wynosi: r q2 U ij exp ij rij Gdzie: Człon q2 jest potencjałem kulombowskim zwanym energią Madelunga, a pierwszy człon równania rij stanowi potencjał odpychający: wypełnione powłoki elektronowe zachowują sztywnośd i przeciwdziałają nakładaniu się rozkładów elektronowych sąsiednich jonów. rij jest potencjałem odpychającym, który pochodzi od pola centralnego exp , są współczynnikami empirycznymi, wyznacza się je znając wartośd stałej sieciowej i współczynnika ściśliwości. Wiązanie kowalencyjne Siła wiązania jest porównywalna z wiązaniem jonowym, mimo, że wiązanie występuje między atomami a nie jonami. Wiązanie jest izotropowe. Wiązanie tworzą dwa elektrony; po jednym z każdego z sąsiadujących atomów. Następuje wymiana elektronów o spinach przeciwnych. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 52 z 73 Rys. 6.4. Energia cząsteczki wodoru H2 odpowiadająca energii potrzebnej do rozdzielenie atomów obojętnych. Ujemne wartości energii dotyczą wiązania Krzywą N obliczono w sposób klasyczny przy położeniu gęstości ładunku dla atomu swobodnego: A jest krzywą otrzymaną przy założeniu równoległych spinów elektronów i uwzględnieniu zasady Pauliego, a S (stan stabilny) – przy założeniu spinów antyrównoległych. Linki konturowe przedstawiają gęstośd ładunków dla stanów A i S. Wiązanie metaliczne Kryształ o wiązaniu metalicznym można przedstawid jako zbiór jonów dodatnich zanurzonych w morzu elektronów. W przypadku metali przejściowych mogą występowad dodatkowe siły wiązania wynikające z oddziaływao między wewnętrznymi powłokami elektronowymi. 2. Rozkład Fermiego-Diraca (F-D): Założenia: - cząstki są nierozróżnialne, Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego - cząstki nie oddziaływują ze sobą, - spełniony jest zakaz Pauliego: w jednym stanie energetycznym opisanym przez zespół liczb kwantowych może znajdowad się jedna cząstka (dwie ze względu na spinową liczbę kwantową: 1 ms 2 Rozważamy: i – liczba poziomów (przedziałów energii), ni – liczba cząstek na i-tym poziomie, gi – liczba dostępnych stanów, Ei – energia i-tego stanu, N – całkowita liczba cząstek, E - całkowita energia układu N cząstek w danej temperaturze T Celem opisu statystycznego jest znalezienie odpowiedzi na pytanie, jaki jest rozkład cząstek N między różnymi poziomami, żeby całkowita energia Ei była stała, czyli gdy spełnione są warunki: N ni const (6.1) i E ni Ei const (6.2) i Wyrażenie: ni gi 1 (6.3) Ei 1 exp( ) k BT określa prawdopodobieostwo obsadzenia Ei poziomu w temperaturze T . Dla dużych wartości energii Ei , rozkład ten przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmannna: ni E exp( i ) (6.4) gi k BT Funkcja rozkładu opisana powyższym związkiem jest to funkcja rozkładu Fermiego Diraca: fi (E) ni gi 1 (6.5) Ei E F 1 exp( ) k BT gdzie EF jest to energia Fermiego. Określimy funkcje gęstości stanów i , określa ona liczbę stanów w jednostkowym przedziale Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 53 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego energii: gi (6.6) Ei ni f i gi f i ( Ei ) i Ei (6.7) i Zgodnie z zapisem we wzorze (1.1), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy: N f ( E ) ( E )dE (6.8) Zgodnie z zapisem we wzorze (1.2), przy wykorzystaniu równania (6.7) otrzymujemy: E f ( E ) E ( E )dE (1.9) Całka w granicach od - do + redukuje się do granic w ramach, których (E) > 0. Interpretacja energii Fermiego; Ef W temperaturze T =0 K jest to poziom odcięcia, oznacza to, że wszystkie poziomy o energii mniejszej niż energia Fermiego są na pewno obsadzone: czyli dla tych poziomów funkcja rozkładu f(E) =1, natomiast poziomy o energii większej niż energia Fermiego są puste, dla tych poziomów funkcja rozkładu f(E) =0 . Rys. 6.5. Funkcja rozkładu Fermirgo-Diraca F(E) dla T=0 oraz dla dowolnej temperatury T a) przypadek E < Ef : Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 54 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego f (E) 1 1 (6.10a) 1 exp( ) f (E) 1 0 (6.10b) 1 exp( ) b) przypadek E > Ef : Dla T >0 oraz dla E =Ef funkcja rozkładu f ( E ) 1 2 Cząstki podlegające statystyce F-D noszą nazwę fermionów, należą do nich: - elektrony, - protony, - neutrony. Ogólnie, są to cząstki o spinie połówkowym (liczba kwantowa związana z ruchem obrotowym cząstki wokół własnej osi). Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 55 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 3. Rozkład Bosego – Einsteina (B-E) Założenia: - cząstki są nierozróżnialne, - cząstki nie oddziaływują ze sobą, - nie jest spełniony zakaz Pauliego . Strona | 56 z 73 Funkcja rozkładu Bosego- Einsteina ma postad: f (E) 1 (6.11) Ei exp( ) 1 k BT Cząstki podlegające statystyce B-E noszą nazwę bosonów, należą do nich: - fotony, - fonony, - He4. Ogólnie są to cząstki o spinie całkowitym. Fale materii Hipoteza de Broglie ( 1924) głosi, że dwoiste korpuskularno – falowe zachowanie jest cechą nie tylko promieniowania, lecz również materii. W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu fizycznego jest związaną z częstotliwością fali stowarzyszonej, opisującej jego ruch, następującą relacją: E h (6.12) gdzie: h=6,6×10-34 J ·s jest stałą Plancka. Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją: p h h (6.13) p Definiujemy: h 2 , k 2 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego gdzie k jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o długości . Wówczas związek (6.13) ma postad: p k (6.14) Strona | 57 z 73 Wielkości charakterystyczne dla cząstki: energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą Plancka h z wielkościami charakterystycznymi dla ruchu falowego; częstotliwośd , oraz długośd fali . Wyrażenie h opisuje długośd fali de Broglie, czyli długośd fali materii stowarzyszonej z p ruchem cząstki o pędzie p. Przykłady: a) obiekt makroskopowy piłka o masie m =1kg , porusza się z prędkością v =10 m/s, długośd fali de Broglie stowarzyszonej z tym obiektem wynosi: o h 6,6 10 34 J s 6,6 10 35 m 6,6 10 25 A m p 1,0 10kg s Długośd fali stowarzyszonej z ruchem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ fizyczny, który umożliwiłby zaobserwowad aspekty falowe (interferencja, dyfrakcja) związane z tym ruchem. b) obiekt mikroskopowy elektron o masie m = 9,1 ×10-31kg posiada energię kinetyczną Ek =100eV. h p o h 1,2 10 10 m 1,2 A 2mEk jest małe i dlatego w celu zaobserwowania falowych aspektów związanych z ruchem elektronów o należy dysponowad układem o przesłonach posiadających rozmiary o porównywalne z 1 A , takim układem jest sied krystaliczna. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Doświadczenie Davissona – Germera Strona | 58 z 73 Rys. 6.6. Schemat doświadczenia Davissona – Germera e (elektrony) - są przyspieszane regulowaną różnicą potencjału Rys. 6.7. Zależnośd natężenia kolektora detektora od energii kinetycznej elektronów Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Kryształ powinien silnie rozpraszad wiązkę elektronów ; atomy kryształu stanowią trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną. W obrazie detekcyjnym widad maksimum dla = 50°. Istnienie tego maksimum można wytłumaczyd jedynie jako wynik konstruktywnej interferencji fal rozproszonych na periodycznie rozmieszczonych atomach tworzących płaszczyzny kryształu. Nie tylko elektrony, lecz wszystkie poruszające się materialne obiekty naładowane i elektrycznie Strona | 59 z 73 obojętne wykazują cechy falowe w warunkach charakterystycznych dla optyki fizycznej. Np. wiązki atomów wodoru i helu ulegają rozproszeniu na monokrysztale fluorku litu, natomiast powolne neutrony na krysztale chlorku sodu (sól kuchenna). Cechy korpuskularne staja się bardzo wyraźne, gdy badamy zjawiska emisji lub absorpcji. Cechy falowe staja się wyraźne, gdy badamy rozchodzenie się materii i promieniowania. Dwoistośd falowo – korpuskularna: Stosunek e/m (ładunek elektronu/masa elektronu) wyznaczony z eksperymentu pomiaru śladu jonizacji wskazuje na stosowalnośd modelu korpuskularnego, natomiast zjawisko dyfrakcji sugeruje model falowy. Einstein sugerował, że średnia wartośd kwadratu amplitudy fali, która w teorii elektromagnetyzmu jest proporcjonalna do energii przypadającej na jednostkę objętości, można interpretowad, jako miarę średniej liczby fotonów znajdujących się w jednostce objętości. Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrödingera dało początek mechanice kwantowej. Fala de Broglie jest interpretowana przez funkcje falową, która dla przypadku jednowymiarowego ma postad: x ( x, t ) A sin 2 ( vt) A sin(kx t ) Wyrażenie (1.16) jest jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pole elektrycznego fali elektromagnetycznej. E ( x, t ) EO sin(kx t ) Zasada nieoznaczoności: Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określid zarówno pęd p jak i położenie x materii (promieniowania)? Nie można ich określid dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności Heisenberga. Zasada ta stanowi odpowiedź daną przez mechanikę kwantową, w postaci analitycznej jest zapisana, np. dla przypadku jednowymiarowego: p x x 2 gdzie: px - jest dokładnością pomiaru x-owej składowej pędu, x - jest dokładnością pomiaru położenia. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowych, ale odnosi się do samego procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie miedzy obserwatorem i mierzonym obiektem, oddziaływanie to zawsze występuje. Zasada ta wynika z hipotezy de Broglie oraz z pewnych prostych wspólnych dla wszystkich fal własności. Odnosi się ona również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie Strona | 60 z 73 energetycznym: E (6.18) 2 p x x (6.17) 2 gdzie: E - jest dokładnością pomiaru energii, - jest dokładnością pomiaru czasy życia . Przykład: a) Obiekt makroskopowy; kula o masie m=50g b) Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m=9.1·10-28 g Poruszają się z taka sama prędkością 300 m/s , prędkośd ta jest wyznaczona z dokładnością 0,01%. Pytanie jak dokładnie możemy wyznaczyd położenie kuli i elektronu? Ad. a) p 15kg x m m 3 , p 0,0001 15 1,5 10 kg s s O 3 1022 A 2p wielkośd ta stanowi 10-17 średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Czyli dla obiektów makroskopowych istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na procedurę pomiarową żadnych ograniczeo. 28 Ad. b) p 2,7 10 kg x m m 32 , p m 2,7 10 kg s s O 0,2cm 2 107 A 2p wielkośd ta stanowi 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowych występują w praktyce zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 4. Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej Postad funkcji falowej dla fali dr Broglie (przypadek jednowymiarowy): x ( x, t ) sin 2 ( vt) sin(kx t ) Postad ta została określona metodą zgadywania, wykorzystano twierdzenie: Cząstka swobodna ma stały pęd p, gdyż nie działa na nią żadna siła, a zatem odpowiada jej długośd fali h p Równanie to jest znaną postacią fali bieżącej o stałej długości l. Ma ona także stałą częstotliwośd , której wartośd otrzymuje się ze związku Einsteina E , gdzie E jest energią całkowitą h stowarzyszonej z falą cząstki. Równanie falowe dla struny można wyprowadzid z równania Newtona, równanie falowe dla fal elektromagnetycznych można wyprowadzid z równao Maxwella. Nie należy oczekiwad, by kwantowe równanie falowe otrzymad z równao mechaniki klasycznej. Można sadzid, że pomocne będą postulaty de Broglie oraz Einsteina: E h oraz E h p h Poszukiwane równanie kwantowe musi spełniad następujące założenia: 1. Równanie musi byd zgodne z postulatami de Broglie i Einsteina 2. Równanie musi byd zgodne ze związkiem na całkowita energię: E p2 V pomija się energię masy spoczynkowej 2m 3. Równanie musi byd liniowe względem (x, t), czyli: 1(x, t) oraz 2(x, t) są są dwoma rozwiązaniami odpowiadającymi tej samej energii potencjalnej, wówczas dowolna kombinacja liniowa: (x, t) = c11(x, t) + c22(x, t) jest tez rozwiązaniem. Kombinacja nazywa się liniowa, gdyż zawiera pierwsze potęgi funkcji, dowolna, gdyż stałe c1 i c2 mogą przyjmowad dowolne wartości. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawad do siebie funkcje falowe tworząc charakterystyczna dla fal interferencję konstruktywną i destruktywną Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 61 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 4. Energia potencjalna, przedstawiona dla przypadku ogólnego: V =V ( x,t ) musi byd wielkością stałą; gdyż dla V =const to cząstka jest swobodna i wówczas fala stowarzyszona ma stałą częstotliwośd oraz długośd 5. Całkowita energia E = h =Ek +V , uwzględniając hipotezę de Broglie mamy: Strona | 62 z 73 E wykorzystujemy związki: 2 , k 2 p2 h2 2m 2m2 , h wówczas całkowita energia jest 2 przedstawiona równaniem: 2k 2 V 2m Szukane równanie ma postad: 2 ( r, t ) ( r, t ) V ( r, t )( r, t )) i 2m t Powyższe równanie jest równaniem Schrödingera. Przykład: (F1) Cząstka swobodna V ( x)=0 , przypadek jednowymiarowy. Zgodnie z mechaniką klasyczną cząstka swobodna porusza się ze stałym pędem p lub jest w spoczynku. W obu przypadkach jej całkowita energia E jest stała. Równanie Schrodingera dla takiego zagadnienia: 2 d ( x ) E ( x ) 2m dx 2 Szukamy rozwiązania w postaci: (x) = Aexp( x) Rozwiązanie dla równania Schrodingera zależnego od czasu ma postad: E ( r, t ) ( x ) exp i t Zgodnie z postulatem Einsteina E i wówczas rozwiązanie jest w postaci: Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ( x, t ) ( x) exp it Ostatecznie ze otrzymujemy rozwiązanie równania stacjonarnego ( x, t ) A exp i kx t Strona | 63 z 73 lub: ( x, t ) A coskx t iA sinkx t Jest to równanie fali bieżącej. 5. Podstawy Mikroskopii Elektronowej Podstawowe zasady działania mikroskopu skaningowego. W mikroskopach skaningowych wiązka elektronów bombarduje próbkę, skanując jej powierzchnię linia po linii. Pod wpływem wiązki elektronów próbka emituje różne sygnały (m. in. elektrony wtórne, elektrony wstecznie rozproszone, charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie), które są rejestrowane za pomocą odpowiednich detektorów, a następnie przetwarzane na obraz próbki lub widmo promieniowania rentgenowskiego. Mikroskop skaningowy składa się z (rys. 6.7): działa elektronowego, gdzie wytwarzana jest wiązka elektronów, kolumny, w której następuję przyspieszanie i ogniskowanie wiązki elektronów, komory próbki, gdzie ma miejsce interakcja elektronów wiązki z próbką, zestawu detektorów odbierających różne sygnały emitowane przez próbkę systemu przetwarzania sygnałów na obraz. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 64 z 73 Rys. 6.8. Schemat budowy elektronowego mikroskopu skaningowego (SEM) Wiązka elektronów jest wytwarzana przez działo elektronowe (rys.6.8) na szczycie kolumny mikroskopu. Pole elektrostatyczne w dziale elektronowym kieruje wyemitowane z niewielkiego obszaru na powierzchni katody elektrony do małego otworu – źrenicy elektrono-optycznej. Włókno Napięcie katody np. 30.0 kV Napięcie wehneltu np. 30.5 kV Wehnelt pró ba Źrenica elektrono-optyczna Średni Anoda (0 V) ca plamki Elektrony Rys. 6.9. Schemat budowy działa elektronowego Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Następnie elektrony są rozpędzane (przyspieszane) w kolumnie mikroskopu, w kierunku próbki, z energią od kilkuset do kilkudziesięciu tysięcy elektronowoltów. Jest kilka rodzajów dział elektronowych: wolframowe, LaB6 (lanthanum hexaboride) i działa z emisją polową. Wykonane są one z różnych materiałów i ich działanie opiera się na różnych zjawiskach fizycznych, lecz wszystkie mają za zadanie wytworzenie wiązki elektronów o stabilnym i wystarczającym prądzie przy możliwie Strona | 65 z 73 małym rozmiarze. Elektrony wydostające się z działa elektronowego tworzą wiązkę rozbieżną. Wiązka ta zyskuje zbieżnośd i zostaje zogniskowana przez zestaw soczewek magnetycznych i apertur w kolumnie. Zestaw cewek skanujących u podnóża kolumny odpowiada za przemieszczanie wiązki w obszarze skanowania. Soczewka obiektywu ogniskuje wiązkę w możliwie małą plamkę (spot) na powierzchni próbki. Komora próbki jest wyposażona w ruchomy stolik umożliwiający przesuwanie próbki w trzech prostopadłych kierunkach, jej obrót wokół osi pionowej i odchylanie od pionu. Specjalne drzwiczki pozwalają na umieszczanie próbki w komorze. Kilka portów dostępu umożliwia zainstalowanie różnych detektorów. Elektrony wiązki oddziaływująca z próbką powodują emisję energii pod różnymi postaciami. Każdy rodzaj emitowanej energii jest potencjalnym sygnałem do przetworzenia na obraz. Zasady powstawanie obrazu w SEM Obraz oglądany w skaningowej mikroskopii elektronowej (SEM) nie jest obrazem rzeczywistym. To co widzimy w SEM jest obrazem wirtualnym skonstruowanym na bazie sygnałów emitowanych przez próbkę. Dzieje się to poprzez zeskanowanie linia po linii prostokątnego obszaru na powierzchni próbki. Obszar skanowania odpowiada fragmentowi próby oglądanemu na obrazie. W każdym momencie czasu wiązka oświetla tylko jeden punkt w obszarze skanowania. Przemieszczanie się wiązki od punktu do punktu wywołuje zmiany w generowanym przez nią sygnale. Zmiany te odzwierciedlają zróżnicowanie próbki w poszczególnych punktach. Sygnał wyjściowy jest więc serią danych analogowych, które w nowoczesnych mikroskopach są przetwarzane na serię wartości liczbowych, z których tworzony jest obraz cyfrowy. Rozdzielczośd Rozdzielczośd odpowiada rozmiarom najmniejszych obiektów, które jesteśmy w stanie zobaczyd przy pomocy mikroskopu. Określa ona granicę, poza którą mikroskop nie jest w stanie odróżnid dwóch bardzo małych sąsiadujących obiektów od pojedynczego obiektu. Rozdzielczośd jest określana w jednostkach długości, zwykle Angstremach lub nanometrach. Lepsza rozdzielczośd nazywana jest „wyższą”, mimo że określa ją liczba jest niższa. Np. rozdzielczośd 10 jest wyższa (lepsza) niż rozdzielczośd 20 Å. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wielkośd spotu Rozmiar plamki utworzonej przez wiązkę na powierzchni próbki stanawi podstawowe ograniczenie dla rozdzielczości. SEM nie może rozróżnid elementów mniejszych niż rozmiar spotu. Dodatkowy wpływ na rozdzielczośd ma rodzaj rejestrowanego sygnału, penetracja wiązki (obszar oddziaływania) i skład próbki. Strona | 66 z 73 Obszar oddziaływania Rejestrowane sygnały powstają nie tylko na powierzchni próbki. Elektrony wiązki penetrują próbkę na pewną głębokośd i na swej drodze mogą wielokrotnie oddziaływad z atomami próbki. Obszar, gdzie na skutek tych oddziaływao powstają różnego rodzaju sygnały, które po wydostaniu się na powierzchnię próbki są rejestrowane przez odpowiednie detektory nazywamy obszarem oddziaływania (wzbudzenia) – rys. 6.10. Rodzaj rejestrowanego sygnału, skład próbki i napięcie przyspieszające decydują o rozmiarze i kształcie obszaru wzbudzenia, a co za tym idzie wpływają na rozdzielczośd. W większości przypadków obszar oddziaływania jest większy niż spot, a więc to jego wielkośd stanowi faktyczne ograniczenie rozdzielczości. Napięcie przyspieszające Napięcie przyspieszające określa ilośd energii przenoszonej przez elektrony wiązki (elektrony pierwotne). Wpływa ono na rozmiar i kształt obszaru oddziaływania na kilka sposobów. Elektrony o wyższej energii głębiej penetrują próbkę (tab. 6.4). Ponadto, mogą one generowad sygnały o wyższej energii, które mogą się wydostad z większej głębokości w próbce. Energia elektronów pierwotnych jest również czynnikiem określającym prawdopodobieostwo wystąpienia jakiejkolwiek interakcji. We wszystkich tych przypadkach wzrost energii wywoła zwiększenie obszaru oddziaływania, co spowoduje spadek rozdzielczości. Wzrost napięcia przyspieszającego może jednak również wpływad pozytywnie na rozdzielczośd, gdyż zmniejsza on aberrację soczewek w kolumnie, czego rezultatem jest mniejszy spot. Od warunków pracy, właściwości próbki i rodzaju rejestrowanego sygnału zależy, które wpływy będą przeważające. Skład próbki Skład próbki wpływa zarówno na głębokośd jak i kształt obszaru penetracji. W próbkach o większej gęstości głębokośd penetracji i odległośd jaką mogą przebyd elektrony pierwotne przed zaabsorbowaniem jest mniejsza. W rezultacie w takich próbkach obszar oddziaływania jest płytszy i ma kształt bardziej spłaszczony (zbliżony do półkuli) – tab. 6.4, rys.6.10. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Tabela. 6.4. Wielkości obszarów wzbudzenia (w μm) dla wybranych pierwiastków. Z 4 SYMBOL Be PIERWIASTEK Beryllium 10KV 1.5 15KV 2.9 20KV 4.9 25KV 7.2 30KV | 9.9 5 C Carbon 1.2 2.4 4.0 5.9 8.1 11 Na Sodium 2.9 5.6 9.3 13.6 18.8 12 Mg Magnesium 1.6 3.1 5.2 7.5 10.4 13 Al Aluminum 1.0 2.0 3.4 4.9 6,7 14 Si Silicon 1.2 2.2 3.7 5.5 7.5 15 P Phosphorus 1.5 3.0 5.0 7.2 10.0 16 S Sulfur 1.4 2.8 4.7 6.9 9.5 19 K Potassium 3.2 6.2 10.4 15.2 20.9 20 Ca Calcium 1.8 3.5 5.8 8.5 11.7 22 Ti Titanium 0.6 1.2 2.0 2.9 4.0 24 Cr Chromium 0.4 0.8 1.3 1.8 2.6 25 Mn Manganese 0.4 0.7 1.2 1.8 2.5 26 Fe Iron 0.4 0.7 1.2 1.7 2.3 27 Co Colbalt 0.3 0.6 1.0 1.5 2.1 28 Ni Nickel 0.3 0.6 1.0 1.5 2.0 29 Cu Copper 0.3 0.6 1.0 1.5 2.0 30 Zn Zinc 0.4 0.8 1.3 1.8 2.6 32 Ge Germanium 0.5 1.0 1.7 2.4 3.4 38 Sr Strontium 1.1 2.2 3.6 5.3 7.3 40 Zr Zirconium 0.4 0.8 1.4 2.0 2.8 42 Mo Molybdenum 0.3 0.5 0.9 1.3 1.8 Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Strona | 67 z 73 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 46 Pd Palladium 0.2 0.4 0.7 1.1 1.5 47 Ag Silver 0,3 0.5 0.9 1.3 1.7 48 Cd Cadmium 0.3 0.6 1.0 1.5 2.1 50 Sn Tin 0.4 0.7 1.2 1.8 2.5 56 Ba Barium 0.8 1.5 2.6 3.8 5.2 74 W Tungsten 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 76 Os Osmium 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 78 Pi Platinum 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 79 Au Gold 0.1 0.3 0.5 0.8 0.9 80 Hg Mercury 0.2 0.4 0.7 1.0 1.3 82 Pb Lead 0.2 0.5 0.8 1.2 1.6 92 U Uranium 0.1 0.3 0.5 0.7 1.0 Strona | 68 z 73 Rodzaj rejestrowanego sygnału Do tego momentu rozważaliśmy uogólniony obszar oddziaływania, z którego pochodzą wszystkie rodzaje sygnałów. Obszar ten można podzielid na strefy związane z sygnałami każdego typu – rys.6.11. Niska liczba atomowa Wysoka liczba atomowa Wysokie napięcie Niskie napięcie Rys. 6.10. Zależnośd wielkości i kształtu obszaru wzbudzenia od liczby atomowej i napięcia Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strona | 69 z 73 Rys. 6.11. Wielkości obszarów, z których pochodzą różne rodzaje sygnałów emitowane przez próbkę Głębia ostrości W mikroskopii skaningowej można otrzymad obrazy o znacznie większej głębi ostrości niż w mikroskopii świetlnej. Głębia ostrości to zakres powyżej i poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości, w którym utrzymana jest dobra jakośd obrazu (rys. 6.12). Przy większej głębi ostrości mikroskop daje lepsze odwzorowanie próbek trójwymiarowych. Obrazy uzyskiwane w SEM doskonałą jakośd zawdzięczają nie tylko bardzo dobrej rozdzielczości lecz również dużej głębi ostrości. W mikroskopie optycznym głębia ostrości jest limitowana kątem rozwartości pomiędzy skrajnymi promieniami wchodzącymi do obiektywu. Dla dużych powiększeo kąt ten jest większy, a głębia ostrości mniejsza. W mikroskopie skaningowym nie ma bezpośredniej zależności głębi ostrości i powiększenia. Powiększenie jest zdefiniowane jako stosunek wymiarów liniowych obszaru skanowania do wymiarów liniowych obrazu. Kąt zbieżności wiązki ma wpływ na zmianę wielkości spotu wraz z odległością powyżej lub poniżej płaszczyzny najlepszej ostrości. Mimo, że w mikroskopie skaningowym kąt zbieżności i rozmiar spotu zmieniają się wraz z odległością roboczą, zawsze kąty te będą mniejsze, a głębia ostrości większa niż w mikroskopie optycznym. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Wiązka elektronów Powierzchnia próbki Strona | 70 z 73 Zakres głębii ostrości Płaszczyzna najlepszej ostrości Obszar odwzorowywany ostro Rys. 6.12. Zakres głębi ostrości Mikroanalizy Charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie Widmo charakterystyczne powstaje w wyniku oddziaływania elektronów wiązki z elektronami wewnętrznych powłok atomów próbki. Normalnie powłoki K i L atomów o liczbach atomowych większych od 10 są zapełnione. Jeśli jeden z elektronów K zostanie usunięty, atom może doznad przejścia, w którym elektron L lub M "przeskoczy" na puste miejsce, a wyzwolona przy tym energia potencjalna zostanie wyemitowana jako kwant promieniowania elektromagnetycznego. Typowe wartości energii takich przejśd leżą w zakresie rentgenowskim widma promieniowania elektromagnetycznego. Energia tego kwantu jest ściśle określona dla każdego rodzaju przejścia w danym pierwiastku i dlatego jest cechą diagnostyczną. Spektrometr rentgenowski rejestruje charakterystyczne promieniowanie rentgenowskie. Zadaniem spektrometru jest zliczenie impulsów promieniowania rentgenowskiego i posegregowanie ich. Spektroskopia promieni rentgenowskich może byd przeprowadzona dwiema metodami: - metoda dyspersji energii promieniowania rentgenowskiego (Energy Dispersive Spectrometry EDS). Stosuje się detektory, w których natężenie sygnału wyjściowego jest proporcjonalne do energii padających impulsów, np. liczniki scyntylacyjne, proporcjonalne liczniki przepływowe, detektory Li/Si. W naszym mikroskopie zainstalowany jest detektor Sapphir Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego - metoda dyspersji długości fali promieniowania rentgenowskiego (Wave Dispersive Spectrometry - WDS). Stosuje się spektrometr promieni rentgenowskich z kryształem analizującym. Linie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego Strona | 71 z 73 W celu wytworzenia charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego konieczna jest luka w wewnętrznych powłokach elektronowych atomu. W zależności od tego, na której powłoce powstała luka, wyróżniamy odpowiednie serie linii. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki K to obserwowane w widmie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego linie, odpowiadające emisji energii towarzyszącej przejściu elektronu w celu uzupełnienia luki nazywamy liniami K: K - gdy przejście elektronu następuje z powłoki L, K - dla przejścia z powłoki M, K - dla przejścia z powłoki N. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki L to mamy do czynienia z liniami L: L - gdy przejście elektronu następuje z powłoki M, L - dla przejścia z powłoki N. Jeśli wybity zostanie elektron z powłoki M to obserwujemy linie M (patrz rys. 6.13) Rys. 6.13. Powstawanie charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Ogólne zasady dotyczące linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego: Dla danego pierwiastka niższe linie mają wyższą energię niż linie wyższe: EK > EL > E M W obrębie danej serii linie pierwiastków o niższej liczbie atomowej mają niższą energię, np. linia Strona | 72 z 73 K węgla ma niższą energię niż linia K tlenu Linie niższych serii (K) są wyraźne i mają prostą strukturę, natomiast linie serii wyższych (L i M) mają strukturę złożoną i zachodzą na siebie. Promieniowanie ciągłe stanowi tło linii charakterystycznego promieniowania rentgenowskiego w mikroanalizatorze rentgenowskim. Znajomośd natężenia tego tła jest bardzo istotna przy określaniu granicy wykrywalności badanego pierwiastka. Analizy rentgenowskie Ze względu na słabą rozdzielczośd, impulsy rentgenowskie są bardziej przydatne do celów analitycznych niż do odwzorowywania próbki. Analiza jakościowa dąży do ustalenia czy badany obszar próbki zawiera dane pierwiastki, w oparciu o występowanie lub brak ich charakterystycznych pików w widmie. Celem analizy ilościowej jest ustalenie stosunków zawartości pierwiastków na podstawie porównania intensywności odpowiednich pików tych pierwiastków pomiędzy sobą lub porównania z wzorcami. Analiza ilościowa jest procesem skomplikowanym, ze względu na możliwośd wystąpienia różnorodnych interakcji pomiędzy atomami próbki i charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim. Literatura: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. „Encyklopedia fizyki współczesnej”, Komitet Redakcyjny pod kierunkiem prof. Andrzeja Kajetana Wróblewskiego, Warszawa 1983 Acosta V., Cowan C.L., Graham B.J.: Podstawy fizyki współczesnej, PWN, 1981. Adamowicz L., Mechanika kwantowa, Formalizm i zastosowania. Białynicki-Birula I., Cieplak M., Teoria kwantów, PWN, Warszawa 1991. Bogusz W., Garbarczyk J., Krok F., Podstawy fizyki Eisberg R., Resnik R.: „Fizyka kwantowa atomów, cząsteczek i ciał stałych”, PWN, Warszawa 1983. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003. http://pl.wikipedia.org//wiki/ Fizyka_kwantowa Huang K., Mechanika statystyczna Jackson J.D., Elektrodynamika klasyczna Kasas S., Dumas G., Dietler G., Catsicas S., Adrian M. Vitrification of cryoelectronmicroscopy specimens revealed by high-speed photographic imaging. Journal of Microscopy (2003), 211 (1) , 48–53 Kruger DH, Schneck P and Gelderblom HR. Helmut Ruska and the visualisation of viruses. The Lancet 355 (9216): 1713-1717. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego 13. Nellist P. D., Chisholm M. F., Dellby N., Krivanek O. L., Murfitt M. F., Szilagyi Z. S., Lupini A. R., Borisevich A., Sides W. H., Pennycook Jr., S. J. Direct Sub-Angstrom Imaging of a Crystal Lattice. Science 305 (5691): 1741. 14. Oleś Andrzej: „Metody doświadczalne fizyki ciała stałego” – Wydanie II, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003. Strona | 73 z 73 15. Rubinowicz W., Królikowski W., Mechanika klasyczna 16. Schiff L.I., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1997 17. Sukiennicki A., Zagórski A, Fizyka ciała stałego, 18. Średniawa B., Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1981 19. von Ardenne M and Beischer D. Untersuchung von metalloxud-rauchen mit dem universalelektronenmikroskop. Zeitschrift Electrochemie (1940). 46: 270-277. 20. Walker J., Halliday D., Resnick R.: „Podstawy fizyki” – tom II, PWN, 2003. Biuro Projektów PO KL 04.01.02-128/10-00; 04.01.02-0026/10-00; 04.01.02-0027/10-00 Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechniki Śląskiej, 44-100 Gliwice, ul. Konarskiego 18a p. 39 tel: 32 237 24 20; fax: 32 237 12 67; e-mail: [email protected]; Kierownik projektu tel: 32 237 24 26
Podobne dokumenty
Zadanie 2
Środek masy układu punktów materialnych Środkiem masy układu nazywa się punkt geometryczny S, którego promieo-wektor rs wyznacza się wg wzoru:
Bardziej szczegółowo