Tensory

dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski
Analiza matematyczna II; MAT. S-II 0 .
14 listopada 2015
Tensory
1. Udowodni¢, »e
a) dimQ R = ∞;
b) przestrze« liniowa R nad ciaªem Q nie ma bazy przeliczalnej.
2. Udowodni¢, »e T k (V ) ⊗ T l (V ) = T k+l (V ).
3. Niech b¦d¡ dane nast¦puj¡ce odwzorowania:
a) f : R3 × R3 × R3 → R
b) g : R3 × R3 × R3 → R
c) h : R3 × R3 × R3 → R
f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 )) = x2 z1 − x1 z2 ;
g((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 )) = x1 y1 z1 − x3 y3 z3 ;


x1 x2 x3
h((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 )) = det  y1 y2 y3  .
z1 z2 z3
Rozwa», ich 3-liniowo±¢ i antysymetryczno±¢.
4. Niech C oznacza przestrze« liczb zespolonych nad R z baz¡ {1, i}, gdzie i2 = −1. Zdeniujmy
funkcj¦ f : C × C × C → R dan¡ wzorem f (c1 , c2 , c3 ) = Re(c1 c2 c3 ). Wykaza¢, »e f ∈ T 3 (C )
oraz znale¹¢ wspóªczynniki tego 3-tensora w podanej bazie.
5. Niech dane b¦d¡ nast¦puj¡ce tensory:
• f : R2 × R2 → R dany wzorem f (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) = x1 y1 + x2 y2
• g : R2 → R dany wzorem g (x, y) = x − y.
Oblicz f ⊗ g oraz g ⊗ f.
6. Niech b¦dzie dany tensor f : R3 × R3 × R3 → R, f ((x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 )) = x2 y3 z1 .
Wyznacz za pomoc¡ alternacji tensor antysymetryczny dla f.
7. Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne 2-tensora f : R3 ×R3 → R zadanego
wzorem f (v, w) = (v × w)1 , gdzie
v v3 .
(v × w)1 = (v1 , v2 , v3 ) × (w1 , w2 , w3 ) 1 = 2
w2 w3 8. Udowodni¢, »e (f ⊗ g) ⊗ h = f ⊗ (g ⊗ h).
9. Niech V = {f (x); f ∈ W (R, 3)}, gdzie W (R, 3) oznacza przestrze« wielomianów zmiennej
rzeczywistej stopnia mniejszego lub równego 3. Jest to przestrze« liniowa nad R wymiaru 4,
której baz¡ jest {1, x, x2 , x3 }. Wykaza¢, »e odwzorowanie zadane wzorem φ(f ) = f 0 (x) jest
liniowe i znale¹¢ macierz φ w danej bazie i bazie {1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 }.
10. Udowodni¢, »e dla ka»dego ω ∈ T k (V ) mamy Alt ω ∈ Λk (V ).
11. Udowodni¢, »e Alt(ω ⊗ Alt η) = Alt(ω ⊗ η) = Alt(Alt ω ⊗ η).
12. Wykaza¢, »e (ω ∧ η) ∧ ξ = ω ∧ (η ∧ ξ).
13. Wykaza¢, »e ω k ∧ η l = (−1)k·l η l ∧ wk .
1
dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski
Analiza matematyczna II; MAT. S-II 0 .
14. Udowodni¢, »e ω1 ∧ . . . ∧ ωm =
(k1 +...+km )
k1 !...km !
14 listopada 2015
Alt(ω1 ⊗ . . . ⊗ ωm ).
15. Udowodni¢, »e φ∗ ◦ Alt = Alt ◦φ∗ .
16. Udowodni¢, »e ω ∈ Λk (V ) ⇔ ω ∈ T k (V ) oraz Alt ω = ω.
17. Udowodni¢, »e φ∗ (ω ∧ η) = φ∗ (ω) ∧ φ∗ (η).
Informacje pomocnicze
Denicja 1. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem R oraz V k oznacza k-krotny produkt
kartezja«ski przestrzeni V. Przeksztaªcenie f : V k → W nazywamy k-liniowym (form¡ k-liniow¡),
je»eli jest ono liniowe ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienna z osobna, tzn. dla dowolnych j = 1, 2, . . . , k
dowolnych wektorów v1 , . . . vj , vj0 , . . . vk ∈ V oraz skalarów r, s ∈ R zachodzi:
f (v1 , . . . , rvj s + vj0 , . . . , vk ) = rf (v1 , . . . , vj , . . . , vk ) + sf (v1 , . . . , vj0 , . . . , vk )
Denicja 2. k-tensorem na przestrzeni liniowej V nazywamy ka»e przeksztaªcenie k-liniowe f : V k →
R. Zbiór wszystkich k-tensorów na przestrzeni linowej V oznaczamy przez T k (V ).
Denicja 3. Przestrze« V ∗ = T 1 (V ) nazywamy przestrzeni¡ dualn¡ (sprz¦»on¡) do V.
Denicja 4. Iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych V1 , V2 nazywamy przestrze« wektorow¡
E wraz z dwuliniowym odwzorowaniem φ : V1 × V2 → E takim, »e dla ka»dej przestrzeni wektorowej
F i dla ka»dego odwzorowania dwuliniowego ψ : V1 × V2 → F istnieje jednoznaczne odwzorowanie
f : E → F takie, »e:
f ◦ φ = ψ.
Denicja 5. Dla tensorów f ∈ T k (V ), g ∈ T l (V ) deniujemy iloczyn tensorowy ⊗ : T k (V )×T l (V ) →
T k+l (V ) za pomoc¡ wzoru:
(f ⊗ g)(v1 , . . . , vk , vk+1 , . . . , vk+l ) = f (v1 , . . . , vk )g(vk+1 , . . . , vk+l ).
Niech ukªad wektorów {e1 , . . . , en } b¦dzie baz¡ przestrzeni V, a {e∗1 , . . . e∗2 b¦dzie baz¡ do niej
dualn¡ tzn.
(
1 dla i = j,
e∗i (ej ) = δij =
0 dla i 6= j.
Wówczas
a) e∗i1 ⊗ . . . ⊗ e∗ik (ej1 , . . . , ejk ) = δi1 j1 · . . . · δik jk
b) dla dowolnego wektora x =
n
P
xi ei , mamy e∗i (x) = xi
j=1
c) dla dowolnych wektorów x1 =
n
P
xi1 ei , . . . , xk =
j=1
n
P
j=1
xik ei mamy e∗i1 ⊗ . . . ⊗ e∗ik (v1 , . . . , vk ) =
xi11 · . . . · xikk
Twierdzenie 6. Niech {e1 , . . . , en } jest baz¡ przestrzeni V. Wówczas ukªad {e∗i1 , . . . , e∗ik } jest baz¡
przestrzeni T k (V ), gdzie (i1 , i2 , . . . , ik = 1, 2, . . . , n). Ponadto dimT k (V ) = nk .
2
dr J.Kluczenko, dr K. ›yjewski
Analiza matematyczna II; MAT. S-II 0 .
14 listopada 2015
Denicja 7. Tensor ω ∈ T k (V ) nazywamy antysymetrycznym (sko±nie symetrycznym) je»eli
∀σ∈Sk ∀v1 ,...,vk ∈V ω(v1 , . . . , vk ) = sgn σ ω(vσ(1) , . . . , vσ(k) ),
gdzie Sn oznacza zbór wszystkich permutacji zbioru n-elementowego.
Zbiór wszystkich k-liniowych tensorów antysymetrycznych okre±lonych na przestrzeni V oznaczamy
poprzez Λk (V ).
Z dowolnego k-tensora mo»na otrzyma¢ k-tensor antysymetryczny poprzez operacj¦ alternacji.
Denicja 8. Niech ω ∈ T k (V ). Operacj¦ alternacji (Alt) deniujemy wzorem
Alt(ω)(v1 , . . . , vk ) :=
1 X
sgn σω(vσ(1) , . . . , vσ(k) )
k! σ∈S
k
Iloczyn tensorowy tensorów antysymetrycznych zazwyczaj nie jest tensorem antysymetrycznym.
Uzyskamy to poprzez operacj¦ iloczynu zewn¦trznego.
Denicja 9. Niech ω ∈ Λk (V ) oraz η ∈ Λl (V ). Iloczyn zewn¦trzny tensorów antysymetrycznych
∧ : Λk (V ) × Λl (V ) → Λk+l (V ) deniujemy wzorem:
ωk ∧ ηl =
(k + l)!
Alt(ω k ⊗ η l ).
k! · l!
Denicja 10. Niech φ : V1 → V2 , gdzie V1 , V2 s¡ przestrzeniami liniowymi sko«czonego wymiaru.
Okre±lamy operacj¦ cofania tensorów φ∗ : T k (V2 ) → T k (V1 ) dan¡ wzorem:
φ∗ ω)(v1 , . . . , vk ) := ω(φ(v1 ), . . . , φ(vk ) ,
gdzie ω ∈ T k (V2 ) oraz v1 , . . . vk ∈ V1 .
Wªasno±ci cofania:
1) φ∗ jest liniowe,
2) niech φ : V1 → V2 oraz ψ : V2 → V3 , wówczas (ψ ◦ φ)∗ = φ∗ ◦ ψ ∗ ,
3) je»eli φ = idV , to φ∗ = idT k (V ) ,
4) φ∗ (ω ⊗ η) = φ∗ (ω) ⊗ φ∗ (η),
5) φ∗ ◦ Alt = Alt ◦φ∗ ,
6) niech φ : V1 → V2 oraz ω ∈ Λk (V2 ), to φ∗ (ω) ∈ Λk (V1 ),
7) φ(ω ∧ η) = φ∗ (ω) ∧ φ∗ (η).
Fakt 11. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad R wymiaru sko«czonego z baz¡ {e1 , . . . , en }. Wów-
czas zbiór wszystkich iloczynów zewn¦trznych postaci:
e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗i1 ,
gdzie 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n
stanowi baz¦ przestrzeni Λk (V ), a jej wymiar wynosi
3
n
k
.