prosto ass

TRANSFORMATA LAPLACE’A
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Zadanie 1 (Rachunek Operatorowy)
Problem:
Rozwiązać metodą operatorową równanie różniczkowe
T
dy (t )
+ y (t ) = x(t )
dt
x(t ) = 1(t )
przy warunkach początkowych
a.
b.
c.
d.
y(0) = 0
y(0) = 0,5
y(0) = 1
y(0) = 2.
Rozwiązanie:
Stosując przekształcenie Laplace’a z uwzględnieniem warunków początkowych otrzymuje się:
T [ s y(s) – y(0) ] + y(s) =
(Ts + 1) y(s) =
y(s) =
−
t
T
y(0)= 0
yt) = 1 - e
y(0) = 0,5
y(t) = 1 – 0,5 - e
y(0) = 1
y(t) = 1
y(0) = 2
y(t) = 1 + e
−
t
T
−
t
T
1
+ T • y(0)
s
1
1
+T
y (0)
s (Ts + 1)
Ts + 1
y(t) = (1- e
Dla
1
s
−
t
T
) + y(0) - e
−
t
T
.
Zadanie 2 (Rachunek Operatorowy)
Problem:
Za pomocą rozkładu na ułamki proste znaleźć funkcje czasowe odpowiadające następującej funkcji
operatorowej:
1
F(s) =
2
s (s + 1) (2 s + 1)
2
Rozwiązanie:
Rozkładamy funkcję operatorową na ułamki proste
F (s ) =
1
2
s (s + 1) (2 s + 1)
2
=A
1
1
1
1
+ B +C
+D
+E
2
2
s
s +1
s
(s + 1)
1
1
s+
2
Współczynniki A,B,C,D,E obliczamy metodą podaną przez Heavside’a. Mnożymy równanie (1) przez s2



1
1
1
1 
2
=
A
+
sB
+
s
C
+
D
+
E

 (2)
2
1
s
+
1
(
s
+
1
)
(s + 1)2 (2s + 1)

s+ 

2 
w równaniu (2) podstawiamy s = 0, otrzymamy
A=1
Różniczkujemy równanie (2) względem s.
(
)
 − 6 s 2 + 10 s + 4
d 
1
2 d

=
=
B
+
2
s
[
...
]
+
s
[...]
2
2
ds  (s + 1) (2 s + 1)  (s + 1)2 (2 s + 1)
ds
[
]
W otrzymanym równaniu podstawimy s = 0, otrzymamy
B = -4
Mnożymy równanie (1) przez (s+1)2




1
1
1
1
2
= (s + 1)  A 2 + B + E
 + C + (s + 1)D
2
1
s
s (2s + 1)
s

s+ 

2 
(3)
(1)
Wstawiamy s = -1 otrzymujemy
C = -1
Różniczkujemy równanie (3) względem s i podstawiamy s = -1, otrzymamy
D = -4
Mnożymy (1) przez ( s +
1
1
) i podstawiamy s = otrzymamy
2
2
E = 8.
Rozkład funkcji F(s) na ułamki proste wyraża się wzorem
F (s ) =
1
1
1
1
1
−4 −
−4
+8
2
2
1
s (s + 1)
s +1
s
s+
2
Zadanie 3 (rachunek operatorowy)
Problem:
Metodą operatorową rozwiązać równanie różniczkowe
d2y
− 4y = ex
2
dx
przyjmując zerowe wartości warunków początkowych.
Rozwiązanie:
Tok postępowania przy zastosowaniu metody operatorowej jest następujący:
1° Dokonujemy obustronnej transformacji równania różniczkowego
Wykorzystujemy twierdzenia:
L{kf (t )} = cL{ f (t )}
L{± f (t ) ± g (t )} = L{ f (t )} ± L{g (t )}
d 2 y

L 2 − 4 y = L e x
 dx

{ }
[Y ( s ) s 2 − y ' (0) s − y (0)] − 4Y ( s ) =
1
s −1
 d n f (t ) 
n
n −1
L
 = s L{ f (t )} − s f (0) − s
n
 dt 
− ...... − s
d n− 2 f f (t )
d n −1 f (t )
−
dt n− 2 t =0
dt n −1 t =0
2° Podstawiamy warunki początkowe:
y ' (0) = 0
∩
y (0) = 0
1
Y ( s ) s − 4Y ( s ) =
s −1
2
3° Wyznaczamy operatorową postać rozwiązania:
Y (s) =
1
(s − 1) s 2 − 4
(
)
4° Wyznaczamy transformatę odwrotną:
L−1 {Y ( s )} = y ( x)
Transformaty Laplace’a – dodatek A
Wykorzystujemy metodę Heviside’a:
1°
M m ( s ) = ( s 2 − 4)( s − 1)
L1 ( s ) = 1
Y(s)-jest funkcją wymierną.
2°
l =0 m=3→
l<m
3° L1(s) nie ma miejsc zerowych
M m ( s ) = ( s 2 − 4)( s − 1) = 0
( s − 2)( s + 2)( s − 1) = 0 ⇒ s1 = 2
s 2 = −2
s3 = 1
Miejsca zerowe licznika i mianownika są różne od zera.
4° Na podstawie 3° można stwierdzić, że wielomian mianownika nie ma miejsc zerowych wielokrotnych.
Wyznaczamy pochodną mianownika
M ' ( s) =
dM ( s ) d 2
=
s − 4 (s − 1) = 2 s ( s − 1) + ( s 2 − 4)
ds
ds
[(
)
]
Wartość wielomianu licznika L1(s) jest stała i równa 1.
M ' ( s1 ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 − 1) = 4
M ' ( s 2 ) = 2(−2)(−2 − 1) = 12
M ' ( s3 ) = (1 − 4) = −3
Wyznaczamy transformatę odwrotną:

 1 2 x 1 −2 x 1 x
1
L−1  2
= e + e − e
12
3
 s − 4 (s − 1)  4
(
m=n
Ll ( s m ) smt
e
m =1 M ' ( s m )
L−1 {F ( s )} = f (t ) = ∑
)
Zadanie 4 (rachunek operatorowy)
Problem:
Wyznaczyć równania i znaleźć transmitancję operatorową układu podanego na rys.2.1 jeśli wielkość
wejściowa – U1, wielkość wyjściowa – U2 .
Parametry podane na rysunku są różne od zera i skończone.
Rys.2.1. Czwórnik RC
Rozwiązanie:
Układ z rys.2.1 można przedstawić w postaci ogólnej jak na rys.2.2, gdzie Z1 , Z2 - impedancje.
Rys.2.2 Schemat ogólny czwórnika biernego
Transmitancje tego czwórnika łatwo określić z jego równań operatorowych
U 1 ( s ) = [Z 1 ( s ) + Z 2 ( s )]I ( s ),

U 2 ( s ) = Z 2 ( s ) I ( s ),

gdzie Z1(s), Z2(s) – impedancje operatorowe, stąd
U 1 ( s ) = [Z 1 ( s ) + Z 2 ( s )]
U 2 (s)
.
Z 2 (s)
A zatem
U 2 (s)
Z 2 ( s)
=
U 1 ( s) Z1 (s) + Z 2 ( s)
W rozpatrywanym przypadku
R1

,
1 + sCR1 


Z 2 ( s ) = R2 + sL. 
Z1 ( s) =
Zastępcza impedancja operatorowa Z1 powstała z
równolegle połączonych C i R1.Przy połączeniu
równoległym impedancja zastępcza jest iloczynem
składników impedancji podzielonym przez sumę
składników impedancji.
Zastępcza impedancja operatorowa Z2 powstała z
szeregowo połączonych L i R2.Przy połączeniu
szeregowym impedancja zastępcza jest sumą
składników impedancji.
W metodzie operatorowej:
R⇒R
C⇒1/sC
L⇒sL
Stąd
U 2 (s)
=
U 1 (s)
R2 + sL
R1
+ R2 + sL
1 + sCR1
=
( R2 + sL)(1 + sCR1 )
.
R1 + R2 (1 + sCR1 ) + sL(1 + sCR1 )
Wyrażenie to można przekształcić do postaci
G (s) =
U 2 (s)
( R2 + sL)(1 + sT1 )
=
,
U 1 ( s ) R1 + R2 (1 + sT1 ) + sL(1 + sT1 )
gdzie T1=R1C .
Zadanie 5 Rachunek operatorowy (Transformata Laplace’a)
Problem:
Znaleźć transformatę Laplace’a równania:
Przyjmujemy że
y ≡ y (t )
dy
+ 3 y = 5e 2t
dt
przy warunku początkowym y (0) = 4
Poddajemy obie strony równania (1) przekształcenia Laplace’a
L{ y '} + 3L{ y} = 5L{e 2t } (2)
(1)
Funkcje e2t przekształcamy za
pomocą transformat Laplace’a
L{e at } =
1
s−a
L{e 2t } =
1
s−2
(3)
Wykorzystując tablice transformat i podstawiając do wzoru (2) otrzymujemy wzór (3)
sL{ y} − f (0 + ) + 3L{ y} =
5
s−2
(4)
Korzystamy z własności transformat pochodnej
funkcji Laplace’a
L{ f ' (t )} = sL{ f (t )} − f (0 + )
Otrzymaliśmy w ten sposób algebraiczne równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
L{y} . Podstawiając f (0 + ) = 4 oraz wyznaczamy
sL{ y} − 4 + 3L{ y} =
 5
 1
sL{ y} + 3L{ y} = 
− 4
s−2
 ( s + 3)
4s − 3
L{ y} =
( s − 2)( s + 3)
5
s−2
(5)
(6)
(7)
Rozkładając prawą stronę na sumę dwóch ułamków prostych
4s − 3
A
B
=
+
( s − 2)( s + 3) (s − 2) (s + 3)
(8)
Aby ułatwić rozwiązywani
równanie (7)rozkładamy na sumę
ułamków prostych, wymnażamy,
porządkujemy doprowadzając do
układu równań, po rozwiązaniu,
którego mamy współczynniki A,B,
które podstawiamy powrotem do
równania (8) i otrzymujemy w ten
sposób o wiele prostszą postać
równania (7)
4 s − 3 = A( s + 3) + B ( s − 2)
(9)
a podstawiając
4 s − 3 = As + 3 A + sB − 2 B (10)
4s − 3 = s( A + B) + 3 A − 2 B
(11)
4 s = s ( A + B )

− 3 = 3 A − 2 B
(12)
A = 4 − B

 − 3 = − ( 4 − B ) − 2 B ⇒ −3 = −4 + B − 2 B
B = −1
A=3
(13)
A więc
L{ y} =
3
1
+
s−2 s+3
(14)
na podstawie wzoru (2) otrzymujemy równanie
y = 3e 2t + e 3t
(15)
Wykorzystując tablice transformat
Laplace’a przechodzimy z postać
transformaty funkcji do jej postaci
czasowej
Zadanie 6 Rachunek operatorowy (Transformata Laplace’a)
Problem:
Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji: z funkcji
Korzystamy z definicji
transforanaty Laplace’a
∞
− st
(1)L{ f (t )} = ∫ f (t )e dt = F ( s)
f (t ) = sin(ωt )
Do obliczenia tej całki korzystamy z
podstawienia
∞
L{sin( ω t )} = ∫ sin( ω t ) e − st dt
(2)
0
u = sin(ωt ); dv = e − st
1
du = ω cos(ωt ); v = − e − st
s
L{sin(ωt )} = − 1s sin(ωt ) e
− st
∞
+
0
ω∞
cos(ωt )e − st dt
∫
s 0
(3)
∞
L{sin(ωt )} =
ω 1
ω∞
− st
(− cos(ωt ) e
− ∫ e − st dt
s s
s 0
0
(4)
Po przeniesieniu stronami otrzymujemy
ω2 ∞
ω
(1 + 2 ) ∫ sin(ωt )e − st dt = 2
s 0
s
(5)
Do obliczenia tej całki korzystamy z
podstawienia
u = cos(ωt ); dv = e − st
2
po podzieleniu (1 +
ω
) (5) otrzymujemy
s2
1
du = −ω sin(ωt ); v = − e − st
s
∞
∫ sin(ωt )e
0
− st
dt =
ω
ω2
s (1 + 2 )
s
2
(6)
∞
∫ sin(ωt )e
− st
ω
dt =
2
s2 + s2
0
∞
∫ sin(ωt )e
− st
dt =
0
ω
s2
=
ω
(7)
s +ω2
2
ω
s +ω 2
(8)
2
Wzór (8) jest taki sam w tablicy transformat Laplace’a .
DODATEK
Definicja transformaty Laplace’a:
∞
L[ f (t )] = ∫ f (t )e −st = F (s )
0
Transformata pochodnej funkcji we wzorze ogólnym:
n − k −1
 d n f (t ) 
f (0)
n
k d
L
= s F (s ) − ∑ s

n
n − k −1
dt
 dt 
Właściwości transformaty Laplace’a:
1. Twierdzenie o liniowości:
L[a1 f1 (t ) ± a2 f 2 (t )] = a1 L[ f1 (t )] ± a2 L[ f 2 (t )]
2. Twierdzenie o podobieństwie:
L[ f (t )] = F (s ) ⇒ L[ f (at )] =
1 s
F 
a a
3. Transformata iloczynu:
L[af (t )] = aL[ f (t )]
4. Transformata sumy i różnicy dwóch funkcji:
L[± f1 (t ) ± f 2 (t )] = ± L[ f1 (t )] ± L[ f 2 (t )]
Transformaty Laplace’a F(s) i odpowiadające im funkcje f(t)
F(s)
F(t)
1
s
c
s
1
sn
1(t )
c
t n −1
; n = 1,2,3,...
(n − 10)!
1
s+a
1
s (s + a )
1
(s + a )
n
1
(s + a )(s + b )
1
s + a2
1
2
s − a2
a
s (s + a )
a
2
s − a2
2
e − at
1
1 − e − at
a
(
)
1
t n −1e − at ; n = 1,2,3,...
(n − 1)!
1
e − at − e − bt ; a ≠ b
b−a
1
sin at
a
1
sinh at
a
1 − e − at
(
)
sinh at
ω
2
s +ω2
s
2
s +ω2
s
2
s + a2
s
2
s − a2
s
(s − a )2
sin ωt
cos ωt
cos at
cosh at
(1 − at )e − at