Transformata Laplace`a

1. TRANSFORMATA LAPLACE'A
Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi matematycznych słuŜących do
rozwiązywania liniowych równań róŜniczkowych zwyczajnych. W porównaniu
z metodą klasyczną, metoda transformaty operatorowej przekształca równanie
róŜniczkowe zwyczajne w równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator
Laplace'a „s”. Wówczas, w celu uzyskania rozwiązania w dziedzinie operatora s
przekształca się równanie algebraiczne przy uŜyciu prostych reguł
matematycznych.
Ostateczne rozwiązanie równania róŜniczkowego uzyskiwane jest poprzez
zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a.
1.1. DEFINICJA TRANSFORMATY LAPLACE'A
Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek
∫
∞
0
f (t )e −σt dt < ∞
dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę Laplace'a tej funkcji
wyznacza się następującej całki
£ { f (t )} = F ( s) = ∫0
∞
f (t )e − st dt
Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest zmienną
zespoloną określoną wzorem
s =σ + jω .
Równanie drugie znane jest równieŜ pod nazwą jednostronnej
transformaty Laplace'a, w której wykonywane jest całkowanie w zakresie czasu
od t = 0 do ∞ . Oznacza to, Ŝe wszystkie informacje zawarte w funkcji f(t) przed
czasem t = 0 są pomijane lub przyjmowane jako równe zero.
ZałoŜenie to nie nakłada Ŝadnych ograniczeń na stosowanie transformaty
Laplace'a do rozwiązywania problemów w liniowych układach sterowania. W
zwykłych problemach w dziedzinie czasu, czas odniesienia jest przyjmowany
jako t = 0. W układach fizycznych w których sygnał wejściowy jest przyłoŜony
w chwili t = 0, odpowiedź na to pobudzenie nie moŜe pojawić się wcześniej,
aniŜeli w t = 0; tzn. odpowiedź nie moŜe wyprzedzać pobudzenia. Transformata
Laplace'a powinna zostać zdefiniowana dla przedziału czasu od t = 0− do ∞ .
1
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Symbol t = 0− oznacza, Ŝe granica dla czasu t →0 brana jest z lewej strony
t = 0. Takie ograniczenie brane jest pod uwagę w tych przypadkach, gdy funkcja
f(t) ma postać funkcji skokowej lub impulsowej w których to funkcjach zmiana
następuje w chwili t = 0. Jednak równanie definiujące transformatę Laplace'a
bardzo rzadko jest uŜywane, rozwiązując zadania korzysta się z wyraŜeń
zawartych w tabeli transformat Laplace'a, dlatego teŜ w dalszej części tego
opracowania pominięto ten problem i wszystkie warunki początkowe
rozpatrywane są dla czasu t = 0.
2. Podstawowe twierdzenia dotyczące transformat
a. Liniowość
£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe
b. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej
£ {∫
t
−∞
}
F ( s ) 1 0−
f (t )dt =
+ ∫ f (t )dt
s
s −∞
c. RóŜniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej
n −1
 d n f (t ) 
n
s n − k −1 f ( k ) (0)
£  dt n  = s F (s) − ∑
k =0


d. pierwsza pochodna
£ 
df (t ) 
 = sF ( s ) − f (0)
 dt 
e. druga pochodna
 d 2 f (t ) 
2
 = s F ( s ) − sf (0) − f ' (0)
2
dt


£
2
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
f. Całkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
∞
 f (t ) 
=
£  t  ∫s F (s)ds
g. RóŜniczkowanie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
{
}
d n F ( s)
£ t f (t ) = (−1) ds n
n
n
h. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej
£ { f (t − T )} = e
− sT
F ( s ) , T jest stałą
i. Przesunięcie w dziedzinie zespolonej (zmiennej s)
{
}
£ e f (t ) = F (s − a ) , a jest stałą dodatnią
at
j. Zmiana skali
1 s
{
}
f
(
at
)
=
F   , a jest stałą dodatnią
£
a a
k. Splot funkcji (twierdzenie Borela)
£{f1(t) ∗ f2(t)} = F1(s)F2(s) , gdzie f1(t)* f2(t) = £
∫
t
0−
f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
3
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
3. Transformaty Laplace’a najczęściej spotykanych funkcji
Lp.
Oryginał f(t)
Transformata F(s)
1.
δ (t ) − impuls jednostkowy
1
( funkcja Diraca)
2.
1(t ) − skok jednostkowy
1
s
( funkcja Heavyside' a )
3.
t
1
s2
4.
1
t n −1
(t − 1)!
1
;n ≥ 1
sn
5.
e m αt
1
s ±α
6.
t ⋅ e m αt
1
(s ± α ) 2
7.
t n −1 mαt
e
(t − 1)!
1
(s ± α ) n
8.
sin ωt
9.
10.
11.
12.
cos ωt
sinh αt
cosh αt
e mαt sin ωt
ω
s +ω2
2
s
s +ω2
2
α
s −α 2
2
s
s −α 2
2
ω
(s ± α ) 2 + ω 2
4
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]