Wykład 4 - pdf 406 KB

ELEKTROSTATYKA
Oddziaływania elektromagnetyczne:
o zjawiska elektryczne,
o promieniowanie elektromagnetyczne i optyka,
o powiązane z mechaniką kwantową.
Ładunek elektryczny
Siła oddziaływania między elektronem a protonem znajdującymi się w odległości równej promieniowi
atomu wodoru:
o grawitacyjne: F = Gm p me / r 2 = 3.61×10–47 N
( me = 9.11×10–31 kg, m p = 1.67×10–27 kg),
o
elektrostatyczne: 8.19×10–8 N, siła 2,27×1039 razy większa.
W dużych obiektach ilość elektronów i protonów jest jednakowa i dlatego ogromne siły przyciągania i
odpychania elektrostatycznego wzajemnie kompensują się i pozostaje jedynie słaba siła
grawitacyjna.
Oddziaływanie grawitacyjne dużych obiektów może okazać się silniejsze od oddziaływania
elektrostatycznego (przykładem są czarne dziury we Wszechświecie).
Źródłem siły grawitacyjnej jest masa grawitacyjna.
Siła elektrostatyczna wywołana jest ładunkiem elektrycznym.
Ładunek elektryczny może być dodatni lub ujemny.
o
o
o
Ładunek elementarny e = 1.60×10–19 C
Niektóre cząstki elementarne (np. neutron, foton i neutrino) charakteryzują się zerowym
ładunkiem elektrycznym.
Naładowana cząstka ma ładunek skwantowany, tzn. równy całkowitej wielokrotności e.
Prawo zachowania ładunku sformułowane przez Franklina w 1747 r.
W układzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje stały.
Prawo to jest spełnione nawet przy anihilacji naładowanych cząstek.
Prawo Coulomba
Siła działająca pomiędzy dwoma naładowanymi cząstkami jest proporcjonalna do iloczynu
ładunków q1 i q2 i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi
F = ko
q1q 2
r
2
(4.1)
gdzie k o jest współczynnikiem proporcjonalności.
Jednostka ładunku jest C. Stała k o w układzie SI wynosi 1 / 4πε o . Wówczas
1 q1 ⋅ q 2
F =
4π ε o r 2
(4.2)
gdzie ε o = 1 4πk o = 8.854×10–12 C2/(Nm2). Wielkość tę nazywamy przenikalnością elektryczną
próżni.
(a)
(b)
q1
F3
F
F3
q
F2
q3
F1
q2
F2
F1
Rys. 4.1. (a) Siły działające na ładunek q za strony ładunków q1, q2, q3. (b) Wypadkowa siła
otrzymana w wyniku dodania wektorowego sił działających na ładunek q.
Zasada superpozycji sił elektrostatycznych potwierdzona jest eksperymentalnie.
Pole elektryczne
Definicja pola
r
v F
E=
q
(4.3)
Wielkość E mierzona jest w N/C lub V/m.
Pole elektryczne ładunku punktowego Q w odległości r:
r 1  1 Q q rr  r
 = E ( x , y , z )
E = 
2
q  4π ε o r r 
czyli
r
E=
1 Q r
r'
4π ε o r 2
(4.4)
r
gdzie r ' jest wektorem jednostkowym skierowanym od ładunku Q do punktu P(x, y, z).
Pole elektryczne pochodzące od n ładunków punktowych
r
E=
n
Q j r,
1
r =
4π ε o j =1 r j2 j
∑
n
∑
j =1
r
E j (x , y , z )
(4.5)
W przypadku ładunku rozłożonego o gęstości ładunku ρ = dQ/dV = ρ(x,y,z) [jednostka C/m3]
E=
1
4π ε o ε r
ρ ( x' , y' , z' )
∫ r 2 dx' dy' dz'
V
(4.6)
ε r określa względną przenikalność elektryczną ośrodka.
W skali mikro (np. w atomie) gęstość ładunku zmienia się silnie od punktu do punktu i wtedy takie
pojęcie traci sens.
Dipol
Dipol
l
+
+Q
-
-Q
r
r
Dipol elektryczny charakteryzujemy momentem
dipolowym p = Ql. Zauważmy, że F / F1 = l / r ,
czyli
F = rl F1 =
l
r
(k ) = q k
Qq
o
r2
p
o
r3
(4.7)
Pole elektryczne dipola
E=
F2
F
q
F1
Rys. 4.2. Siły działające na ładunek q ze
strony dipola o momencie p = Ql.
1 p
4π ε o r 3
(4.8)
Strumień pola
Każdemu r elementowi dS przypisujemy
wektor dS j normalny do powierzchni i
określający orientację elementu dS
r
dS j = dS ;
r
dS j
r
=n
dS j
Strumień natężenia
pola elektrycznego przez
r
powierzchnię dS j
dΦ E
r
r
= E j ⋅ dS j
(4.9)
Całkowity strumień przez powierzchnię S:
ΦE =
∑
j
Rys. 4.3. Strumień pola elektrycznego.
r
r
E j ⋅ dS j
=∫
r r
E ⋅ dS
S
Jednostka strumienia ma wymiar Vm.
(4.10)
Prawo Gaussa
Dla ładunku punktowego q otoczonego kulą o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem
ładunku, strumień Φ E przechodzący przez sferę
r r
2
q
q
2
1
Φ E = ∫ E ⋅ dS = E 4πr =
4
π
r
=
4π ε o ε r r 2
ε oε r
(4.11)
Strumień pola nie zależy od wielkości powierzchni.
Rozpatrzymy dowolną powierzchnię, która zawiera
A
θ
kulę wraz z ładunkiem i udowodnimy, że całkowity
strumień przez tę powierzchnię jest identyczny jak
strumień przez powierzchnię
kulistą.
r
R
Powierzchnia
r elementu A jest większa od powierzchni
elementu a
a
r
( ) cos1 θ
A=aR
r
2
ze względu na ten sam kąt bryłowy
dΩ = a2 = A2 cos θ
r
R
Rys. 4.4 Strumień przez dowolną
zamkniętą powierzchnię zawierającą
ładunek q.
oraz ze względu na nachylenie elementu do kierunku
radialnego.
Kąt θ jest kątem zawartym zewnętrzną normalną a
kierunkiem radialnym.
Strumień natężenia pola przez oba elementy jest równy
dΦ E ,a
oraz
dΦ E, A
r r
= Er ⋅ a = Er a
r
r
= E R ⋅ A = E R A cos θ
Wstawiając do równania na strumień wartości
ER
q
1
=
4πε o ε r R 2
i
( ) cos1 θ
A= a R
r
2
dostajemy
dΦ E, A =
q
a = Er a
4πε o ε r
(4.12)
Strumienie przez oba elementy są równe. Również całkowity strumień przez obie powierzchnie
będzie jednakowy, a więc strumień natężenia pola przez dowolną zamkniętą powierzchnię
otaczającą ładunek q będzie równy q εε o .
Jeżeli ładunek leży na zewnątrz zamkniętej dowolnej powierzchni, to strumień przez tę powierzchnię
znika.
Jeżeli mamy n ładunków punktowych objętych powierzchnią, to strumień przez tę powierzchnię
wynosi:
ΦE =
n
qi
∑ ε oε r
(4.13)
i =1
W przypadku ładunku o gęstości objętościowej ρ(x,y,z)
∫
S
r
r
E ⋅ dS = 1
ε oε r
∫ ρdV
(4.14)
V
Prawo Gaussa brzmi: strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię
zamkniętą równa się iloczynowi całkowitego ładunku zamkniętego w tej powierzchni przez.
Powierzchniowy rozkład ładunku
Całkowity strumień natężenia pola elektrycznego
r r
∫ E ⋅ dS = 2ES o
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
So
a
a
Fig. 4.6. Nieskończona powierzchnia
metalowa o gęstości powierzchniowej
ładunku σ.
2ESo =
σ So
ε oε r
czyli pole elektryczne naładowanej płaszczyzny
jest równe
E=
σ
2ε o ε r
(4.17)
Kondensator płaski
a
b
Pole wytworzone przez płaszczyznę b wynosi
E b = σ / 2ε o ε r i jest skierowane od tej
płaszczyzny.
W obszarze I:
E I = E aI + E bI =
I
II
III
σ
σ
−
=0
2ε o ε r 2ε o ε r
W obszarze II:
E II = E aII + E bII = −
σ − σ =− σ
2ε o ε r 2ε o ε r
ε oε r
(4.18)
W obszarze III:
E III = E aIII + E bIII = −
Fig. 4.7. Pole elektryczne między dwoma
płaszczyznami o równych gęstościach
ładunku
powierzchniowego
σ
lecz
przeciwnych znakach.
σ + σ =0
2ε o ε r 2ε o ε r
Na zewnątrz płaszczyzn pole elektryczne
znika, natomiast między płaszczyznami wynosi
σ / ε oε r .
Powierzchnia przewodnika
Większość ciał stałych dzielimy na przewodniki i izolatory (dielektryki).
Dodatkowy ładunek umieszczony na powierzchni lub wewnątrz dielektryka pozostaje nieruchomy.
W przewodniku pole elektryczne może istnieć jedynie
w ciągu krótkiego okresu czasu dopóki swobodne
elektrony nie zgromadzą się na powierzchni
przewodnika pod wpływem działania zewnętrznego
pola i nie utworzą przeciwnie skierowanego pola.
+
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
+ + + + + + ++
+
++
r r Qw
++
++
+
E ⋅ dS =
Powierzchnia ∆S
+
ε oε r
S
+
+
o W stanie równowagi ładunkowej przewodnika Ew
+
Przewodnik
= 0, ładunek wewnętrzny przewodnika Qw = 0.
o Linie sił pola elektrycznego na powierzchni
Rys. 4.9 Wewnątrz prostopadłościanu
przewodnika są skierowane prostopadle do
o podstawie ∆S znajduje się ładunek σ∆S.
powierzchni.
∫
E ∆ S = σ∆ S
ε oε r
czyli natężenie pola na powierzchni przewodnika
E= σ
ε oε r
(4.20)
Potencjał elektryczny
r
Pokażemy, że całka z pola elektrycznego E po krzywej łączącej punkty A i B
B
∫
r r
E ⋅ ds = const
A
przybiera tę samą wartość dla wszystkich dróg łączących punkty A i B.
Dla ładunku punktowego praca sił pola elektrostatycznego wynosi
B
W AB
B
A
r r
r r
r r
= F ⋅ d s = q E ⋅ d s = −q E ⋅ d s = U A − U B
∫
A
∫
∫
A
(4.21)
B
i jest równa zmianie energii potencjalnej pola elektrostatycznego.
Przyjmujemy U = 0, gdy ładunek znajduje się w nieskończoności. Wówczas
A
r r
U A = −q E ⋅ d s
∫
∞
(4.22)
Jeżeli przesuniemy ładunek q z nieskończoności do punktu położonego w odległości r od ładunku
punktowego Q, to energia potencjalna będzie równa pracy przeciwko sile elektrostatycznej
[ ]
r
Q
1
1 qQ − 1
U = −q
dr
=
−
r
4πε o ε r r 2
4πε o ε r
∞
∫
r
∞
Wobec tego, energia potencjalna ładunku punktowego q umieszczonego w polu ładunku Q wynosi
U=
qQ
1
4π ε o ε r r
(4.23)
Potencjał elektryczny określamy jako energię potencjalną jednostkowego ładunku
V =U
q
(4.24)
Jednostką potencjału elektrycznego jest wolt V = J/C.
Potencjał ładunku punktowego Q
V =
1 Q
4πε o ε r r
(4.25)
Potencjał elektryczny jest pracą jaką należy wykonać aby przesunąć ładunek jednostkowy z
nieskończoności na odległość r od ładunku punktowego Q.
Różnica potencjałów (napięcie elektryczne) pomiędzy dwoma punktami stanowi pracę jaką
należy wykonać w celu przesunięcia jednostkowego ładunku z jednego punktu pola do
drugiego.
A
r r
V A − VB = − E ⋅ ds
∫
(4.26)
B
Z ostatniego wyrażenia wynika
r r
dV = −E ⋅ ds
(4.27)
dV = ∂ V dx + ∂ V dy + ∂ V dz
∂ x
∂ y
∂z
(4.28)
r
Z kolei wektor przesunięcia ds
r
Przyjmując teraz, że E = −gradV
r
r
r r
ds = i dx + j dy + kdz
r
r ∂ V r ∂ V r ∂ V 
E = − i
+j
+k

∂
x
∂
∂
y
z


(4.29)
widzimy, że iloczyn skalarny
r r


E ⋅ ds = − ∂ V dx + ∂ V dy + ∂ V dz  = − dV
∂y
∂z 
∂ x
co potwierdza relację (4.27). Pokazaliśmy zatem, że
r
E = −gradV
(4.30)
Znak minus oznacza, że wektor natężenia pola elektrycznego skierowany jest od większego do
mniejszego potencjału. Wektor grad V pokrywa się z kierunkiem wzrostu funkcji V.
Przykład: różnica potencjałów pomiędzy dwiema przeciwnie naładowanymi równoległymi płytkami
Zgodnie z (4.27)
V = −Ex o
σ+
σ_
Ponieważ
linie
sił
pola
elektrycznego
skierowane są od ładunków dodatnich do
ujemnych, to znak minus wskazuje, że dodatnia
płytka charakteryzuje się wyższym potencjałem.
Różnica potencjałów między płytkami wynosi
∆V =
xo
Rys. 4.11. Dwie równoległe płytki naładowane
równymi co do wartości lecz przeciwnymi
ładunkami.
σx o
x Q
= o
ε oε r ε oε r S
(4.31)
Jeżeli kilka naładowanych ciał położonych jest w odległościach odpowiednio r1 , r2 ,... , r n od punktu P,
to potencjał elektryczny w tym punkcie jest równy sumie potencjałów od poszczególnych ciał.
∫(
)
r r
r
r
r
r
V = − E ⋅ ds = − E1 + E 2 + K + E n ds = V1 + V2 + K + Vn
∫
Siły elektrostatyczne są zachowawcze.
∫
r r
E ⋅ ds = 0
(4.32)
Powyższa całka po konturze zamkniętym nazywana jest cyrkulacją wektora natężenia pola
elektrycznego.
Wzór (4.32) nie jest słuszny w przypadku zmiennych w czasie pól elektrycznych. Pola takie nie są
potencjalne.
Pojemność elektryczna
Stosunek nagromadzonego ładunku do różnicy potencjałów V nazywamy pojemnością C:
C=
Q
∆V
(4.33)
Jednostka pojemności: C/V = F (farad). Stosuje się mniejsze jednostki jak mikrofarad (µF), nanofarad
(nF), pikofarad (pF).
Różnica potencjałów pomiędzy dwoma płytkami wynosi ∆ V = x o Q/ ε o ε r S . Stąd wynika, że
pojemność kondensatora płaskiego wynosi
C=
ε ε S
Q
= o r
∆V
xo
(4.34)
Gęstość energii pola elektrycznego
Załóżmy, że początkowo nienaładowany kondensator stopniowo ładowano, przy czym różnica
potencjałów wzrastała od 0 do Vo. Ładunek na okładkach kondensatora będzie wzrastał od 0 do Qo,
gdzie Qo = CVo. Praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
naładowanej dodatnio wynosi
dW = Vdq
Energia zmagazynowana w kondensatorze
Vo
∫
W = Vdq =
0
Qo
∫
0
2
Qo
q
1
dq =
C
2 C
Zauważmy, że
Qo
∆
V
E=
=
xo
ε oε r S
czyli
Podstawiając to do (4.35) otrzymamy
W =
2
(
)
ε
ε
SE
1 o r
2
C
Uwzględniając z kolei (4.34) mamy
ε oε r E 2
W =
Sx o
2
Qo = ε o ε r SE
(4.35)
Teraz dzieląc obie części przez objętość kondensatora Sxo, otrzymujemy gęstość energii pola
elektrycznego
w = 1 ε oε r E 2
2
(4.36)
Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej złożonych rozważań wynika, że całkowita energia
2
konieczna do uformowania dowolnego rozkładu ładunków, jest równa dokładnie całce po ε o ε r E / 2
liczonej po całej przestrzeni V, gdzie E jest polem utworzonym przez taki rozkład ładunku
ε oε r
W =
2
∫
E 2 dV
(4.37)
Dielektryki
Jeżeli między okładkami umieścimy substancję, to pojemność kondensatora wzrasta od C do C’.
Możemy wówczas określić względną przenikalność dielektryczną substancji
ε r = C'
C
σ’
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
−σ0
−σ’
+
+
+
_
_
_
+
_
+
_
+
_
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(4.38)
W dielektrykach ładunki nie mają możliwości
swobodnego przemieszczania
Polaryzacja dielektryka to indukcja ładunku
na powierzchni dielektryka pod wpływem
zewnętrznego pola elektrycznego.
Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia się
wartość
natężenia
pola
w
ośrodku
dielektrycznym; wpływ pola wewnętrznego.
σ0
Rys. 4.12. Powstanie ładunku indukowanego
σ' na powierzchni dielektryka umieszczonego
między okładkami kondensatora.
Cząsteczki niespolaryzowane (np. H2, Cl2,
CCl4, węglowodory): środki ciężkości ładunków
dodatnich i ujemnych pokrywają się.
Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego w cząstkach niespolaryzowanych indukuje się
moment dipolowy
r
r
pe = ε o α E
(4.39)
gdzie α jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
r
Cząsteczki spolaryzowane o samoistnym momencie dipolowym pe (H2O, NH3, HCl, CH3Cl)
Rodzaje polaryzacj
Polaryzacja skierowana: pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego cząsteczki dielektryka
r
dążą do zajęcia takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów dipolowych pe był
r
zgodny z kierunkiem wektora E .
Polaryzacja elektronowa: cząsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu elektrycznym momenty
dipolowe indukowane w wyniku odkształcenia orbit elektronowych.
Polaryzacja jonowa (NaCl, CsCl): rozsunięcie jonów pod wpływem pola elektrycznego.
Wskaźnik ilościowy polaryzacji – wektor polaryzacji
r
Pe = lim 1
V →0 V
N
∑
r
pei
i =1
(4.40)
r
N oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości V dielektryka, a pei moment elektryczny i-tego dipola.
W przypadku dielektryka jednorodnego o cząsteczkach niespolaryzowanych
r
r
Pe = N o pe
(4.41)
gdzie N o oznacza liczbę cząsteczek w jednostce objętości. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy
r
r
r
Pe = N o ε oαE = ε o χE
Współczynnik χ e = N oα – podatność dielektryczna substancji.
(4.42)
Twierdzenie Gaussa w przypadku obecności dielektryków.
Wektor indukcji elektrycznej
r
Wartość liczbowa E jest zawszerodwrotnie proporcjonalna do stałej dielektrycznej ε ośrodka. Z tego
względu wprowadzono wielkość D niezależną od stałej dielektrycznej danej substancji
r
r
(4.43)
D = εε o E
r
Dr nazywamy wektorem indukcji elektrycznej i mierzymy w C/m2:
D charakteryzuje zatem to pole elektryczne, które wytwarzają w danej substancji same tylko ładunki
swobodne. Ładunki związane powstające w dielektryku wywołują zmianę rozkładu w przestrzeni
ładunków swobodnych wytwarzających pole.
Strumień indukcji elektrycznej
dΦ D
Całkowity strumień
ΦD
r
r
= D j ⋅ dS j
r r
= ∫ D ⋅ dS =∑ q swob
S
gdzie zgodnie z definicją wektora indukcji elektrycznej uwzględniono tylko ładunki swobodne.
(4.45)
W próżni D = ε o E , a zatem równanie (4.45) przybiera postać
r r
∫ ε o E ⋅ dS = ∑ q swob
(4.46)
S
Pole w dowolnym środowisku różni się od pola w próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno
swobodne, jak i związane. W ogólnym przypadku
r r
∫ ε o E ⋅ dS = ∑ q swob + ∑ q zwią
(4.47)
S
Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole elektryczne, natomiast ładunki związane
wytwarzają pole wewnętrzne spolaryzowanego dielektryka.
(a)
A’
(b)
B’
+σp -σ
+
+
+σ -σp
+
-
-
l
-
Ep
B
n
+
l/2
l/2
Pe
α
n
+
+
A
α
Pe
Eo
E
E
∆S
∆S
Rys. 4.13. Powstawanie ładunku związanego.
r
Pole elektryczne E p ładunków związanych jest skierowane przeciwnie względem pola zewnętrznego
r
E o , wytworzonego przez ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego
r r
r
E = Eo + E p
Znajdziemy teraz sumę ładunków związanych, które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,
objętego zamkniętą powierzchnią S.
Suma algebraiczna wszystkich ładunków dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.
Przy obliczaniu
∑ q zwią
uwzględnia się zatem tylko te dipole, które przecinają powierzchnię S. Warunek ten spełniają
wszystkie dipole, których środki leżą wewnątrz objętości l∆Scosα.
Liczba dipoli przeciętych przez element ∆S wynosi No l∆Scosα.
Całkowity ładunek związany ∆q zwi ą , powierzchni ∆S
∆ q zwią = −N o ql cos α∆ S = −N o p e cos α∆S
Iloczyn N o pe równy jest modułowi wektora polaryzacji. A zatem
∆ q zwią
r
r
r r
r
= −Pe cos α∆ S = −Pe ⋅ n∆ S = −Pe ⋅ dS
(4.48)
Sumy ładunków związanych, znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S
∑ q zwią
r
r
= − ∫ Pe ⋅ dS
S
Twierdzenie Gaussa
r
r r
r
∫ ε o E ⋅ dS = ∑ qswob − ∫ Pe ⋅ dS
S
S
(4.49)
stąd
r
r r
ε o E + Pe dS = ∑ q swob
∫(
)
(4.50)
S
Wstawiając tu
∑ qswob
z równania (4.45) otrzymujemy
∫(
S
Przeto
r
r r
r r
ε o E + Pe dS = ∫ D ⋅ dS
)
S
r
r r
D = ε o E + Pe
(4.51)
Uwzględniając (4.42) mamy
r
r
r
r
D = ε o E + ε o χ e E = ε o (1 + χ e )E
r
Z drugiej strony, w myśl definicji (4.43), wektor D równy jest
r
r
D = ε oε r E
(4.52)
Zatem
ε r = 1+ χ e
(4.53)
Stała dielektryczna równa się podatności dielektrycznej zwiększonej o 1. Dla próżni ε r = 1, a
χe = 0.