Rachunek Matematyka, lista 2

Rachunek Matematyka, lista 2
Zad.20. Niech P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) > 0. Wykaż, że zachodzi równość:
P (A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P (An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ).
Zad.21. Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których
możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi
otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że
trafi na właściwy klucz za k-tym razem. Wsk. Zastosuj wzór z poprzedniego zadania lub narysuj
odpowiednie drzewo.
Zad.22. W puszce są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest p, przegrywających q, jest też r losów „graj dalej”. Po wyciągnieciu takiego losu, wrzucamy go do puszki i dokonujemy ponownego
losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Zad.23. W zbiorze 100 monet jest 99 prawdziwych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy
losowo jedną monetę i rzucili nią 5 razy, otrzymując 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest
to moneta z orłami po obu stronach? Jakie jest to prawdopodobieństwo, gdy dodatkowo rzucimy 15
razy tą monetą i otrzymamy 15 orłów?
Zad.24. Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 1000. Opracowano test do badania jego obecności.
Test jednak czasami myli się: wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 100, a w
przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 100. Wylosowano jedną osobę
i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn.
wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można w tym przypadku udzielić wynalazcy tego testu
(oprócz ogólnie prawdziwej: warto uczyć się matematyki) ?
Zad.24A. Telegraficzne przekazywanie informacji polegało na przesyłaniu alfabetem Morse’a „kropek” (sygnał krótki) lub „kresek” (sygnał długi). Np. bip - biiip to kropka - kreska czyli „a”. Zauważmy, że to sposób wykorzystywany dziś w informatyce: kropka to 0, a kreska to 1. Załóżmy, że przy
wysłaniu sygnału „kropka” następuje przekłamanie w 2 przypadkach na 15 (tzn. wysłano kropkę,
odczytano kreskę), a przy wysyłaniu „kreski” przekłamanie następuje w jednym przypadku na 10.
Wiemy też, że stosunek liczby wysyłanych kropek do kresek jest równy 5 do 3 (tak jest mniej więcej
w tekście angielskim). Odbiorca otrzymał „kreskę”. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wysłano
„kropkę”.
Zad.25. (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny
wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia: a) białej kuli za drugim razem? b) czarnej za trzecim razem? c) k kul czarnych w
n losowaniach? Wsk. Książka W. Fellera, tom I, rozdz. V.2 str. 108–109.
Zad.26. ♥ (problem Serbelloni, kłótnia o jego rozwiązanie omal nie doprowadziła do zerwania pewnej
konferencji z zastosowań matematyki w willi Serbelloni we Włoszech w 1966 roku)
Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany*, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający
strażnika, korzystając z okazji poprosił go: „Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto
będzie zwolniony, podaj mi jedno nazwisko.” Strażnik namyślał się chwilę i, nie widząc przeciwwskazań, powiedział, że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A
1
2
zmalało z do ?
3
2
* W pierwotnej wersji zadania jeden z więźniów miał być po prostu ścięty.
Zad.26A. ♥ (problem Monty Halla – „Let’s make a deal”)
Teleturniej (prowadzony przez Monty Halla, stąd nazwa zadania) polegał na wyborze jednej z trzech
bram, przy czym nagroda była tylko za jedną z nich. Prowadzący oczywiście wiedział, za którą bramą
jest nagroda. Załóżmy, że uczestnik teleturnieju wybrał już bramę, np. numer 2. Ponieważ nie mamy
żadnej informacji, a nagroda może być za każdą z trzech bram, więc prawdopodobieństwo wygrania
nagrody (= nagroda za bramą nr 2) jest równe 13 . I teraz prowadzący otwiera jedną bramę — jedną z
tych, za którymi nie ma nic. Dla ustalenia uwagi powiedzmy, że otwiera bramę numer 1. Po otwarciu
tej bramy prowadzący pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór i wybrać bramę numer 3.
Co powinien teraz zrobić gracz: pozostać przy początkowym wyborze (brama nr 2), czy zmienić go
na bramę numer 3? Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej po zmianie numeru bramy z 2 na 3?
Wsk: narysuj drzewo ilustrujące wszystkie możliwości. Jakie byłoby analogiczne prawdopodobieństwo
w przypadku 100 bram i otwarcia 98?
Zad.27. ♥ Następująca własność prawdopodobieństw warunkowych jest zupełnie nieoczywista: Niech
A, B, C będą takimi zdarzeniami, że C ⊂ A ∩ B oraz B nie zawiera się w A. Wtedy
P (C|A) > P (C|A ∪ B).
Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że
ma asa pik jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej
jednego asa.
Wsk. Porównaj z paradoksem Simpsona – książka Jakubowskiego i Sztencla rozdział 2, zadanie 11.