Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

napisał Michał Wierzbicki
Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej ma~ = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość prądu związanego wewnątrz
gnetyzacji M
~ = 0. Gęstość prądu związanego na powierzchni magnesu wynosi:
magnesu:~zw = ∇ × M
~ × n~ = M ~ez × ~er = M sin θ ~eϕ
κ~zw = M
(1)
gdzie n~ = e~r jest wersorem prostopadłym do powierzchni magnesu. Jak widać magnes
kulisty można zastąpić cewką nawiniętą na powierzchni kuli z gęstością uzwojenia proprocjonalną do sin θ.
Potencjał wektorowy pola magnetycznego, który wytwarza wokół siebie kula, obliczamy za pomocą wzoru całkowego. Jest to ogólne rozwiązanie równania Poissona
~ = −µ0~ , przepisane dla przypadku gęstości prądu powierzchniowego κ~zw :
∆A
I
κ~zw (~r 0 )
µ
0
~ r)=
A(~
dS
(2)
4π
|~r − ~r 0 |
S
gdzie wektor ~r wskazuje na punkt obserwacji, dla którego obliczamy potencjał wektorowy, wektor ~r 0 wskazuje na źródło pola magnetycznego. Korzystając ze wzoru (1) i
zauważając, że stały wektor magnetyzacji nie podlega całkowaniu możemy napisać:
~ r ) = µ0 M
~ × F~
A(~
4π
(3)
gdzie całka wektorowa F~ wynosi:
F~ =
I
S
~e r0
dS
|~r − ~r 0 |
(4)
Przy obliczaniu powyższej całki wskazane jest obrócenie osi z układu współrzędnych,
tak aby pokryła się ona z kierunkiem wektora ~r , który nie podlega całkowaniu. Wówczas
składowe kartezjańskie wektora ~r wyniosą:
~r = [0, 0, r]
(5)
Do zapisu składowych kartezjańskich wersora ~e r0 możemy zastosować współrzędne sferyczne:
~e r0 = [cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ]
1
(6)
gdzie kąt θ jest kątem pomiędzy wektorami ~r i ~r 0 . Odległość między źródłem pola i
punktem obserwacji można obliczyć z twierdzenia cosinusów:
√
|~r − ~r 0 | = r 2 + R2 − 2r R cos θ
(7)
Element całkowania powierzchni sfery dS w układzie sferycznym wynosi
dS = R2 · sin θ dθ · dϕ
(8)
Składowe kartezjańskie x i y wersora ~e r0 zawierają funkcje sin ϕ i cos ϕ, które wycałkowane po ϕ dają zero. Jedyną niezerową składową całki wektorowej F~ jest składowa z,
która wynosi:
Z2π Zπ
Fz =
ϕ=0 θ=0
cos θ
R2 · sin θ dθ · dϕ
√
2
2
r + R − 2r R cos θ
(9)
Całka po ϕ daje 2π, do całki po θ można zastosować podstawienie u = cos θ:
Z1
Fz = 2π
u=−1
R2 · u du
√
r 2 + R2 − 2r R u
(10)
Pole magnetyczne na zewnątrz kuli
W obszarze na zewnątrz kuli, dla punktu obserwacji r > R możemy wprowadzić zmienną
ξ = R/r < 1.
Z1
Fz = 2πr
u=−1
ξ 2 · u du
p
1 + ξ 2 − 2ξ u
(11)
Wielkość występująca pod całką ma związek z funkcję tworzącą wielomianów Legendre’a:
1
=
p
1 + ξ 2 − 2ξ u
∞
X
Pn (u) ξ n
(12)
u Pn (u) du
(13)
n=0
Równanie (11) można więc przepisać w postaci:
Fz = 2πr
∞
X
Z1
ξ n+2
n=0
u=−1
2
Całkę po u można łatwo obliczyć, zauważając że P1 (u) = u i korzystając z warunku
ortogonalności wielomianów Legendre’a
Z1
P1 (u) Pn (u) =
u=−1
2
2
δn,1 = δn,1
2n + 1
3
(14)
Wysumowana delta Kroneckera działa jak zamiana indeksu n na wartość 1. Składowa z
całki wektorowej wynosi więc:
2
4π R3
(15)
· (R/r)3 =
3
3 r2
Po wykonaniu całkowania możemy oś z ustawić z powrotem wzdłuż kierunku wektora prędkości kątowej. Wielkość Fz będzie wówczas oznaczała składową radialną całki
wektorowej: F~ = Fz ~er . Zgodnie z równaniem (3) potencjał wektorowy na zewnątrz kuli
wyniesie:
Fz = 2πr ·
3
~zew = µ0 M~ez × Fz ~er = µ0 MR sin θ ~eϕ
A
(16)
4π
3 r2
Jest to potencjał wektorowy dipola punktowego o momencie dipolowym m = MV ,
gdzie V jest objętością magnesu.
Pole magnetyczne wewnątrz kuli
W przypadku gdy punkt obserwacji znajduje się we wnętrzu kuli zachodzi r < R. Możemy wtedy wprowadzić zmienną ξ = r/R < 1. Całka (10) przyjmuje postać:
Z1
Fz = 2πR
u=−1
u du
p
1 + ξ 2 − 2ξ u
(17)
Wykonując rachunek analogiczny do poprzedniego przypadku otrzymujemy:
2
4π
· (r/R)1 =
r
3
3
Potencjał wektorowego dla punktu obserwacji wewnątrz magnesu wynosi:
Fz = 2πR ·
~wew = µ0 M
~ × Fz ~er = µ0 M
~ × ~r = µ0 M r sin θ ~eϕ
A
4π
3
3
(18)
(19)
Wektor indukcji pola magnetycznego wewnątrz kuli jest stały:
h
i
h
i
~ ×~r = µ0 M(∇
~ (20)
~ = µ0 ∇× M
~ · ~r ) − M
~ · ∇~r = µ0 3 M
~ −M
~ · 1̂ = 2 µ0 M
B~ = ∇× A
3
3
3
3
3
Jak widać wewnątrz magnesu w kształcie kuli pole magnetyczne jest jednorodne i równoległe do magnetyzacji. Korzystając z równania materiałowego można obliczyć wektor
natężenia pola magnetycznego:
~ = 1 B~ − M
~ = −1M
~
H
µ0
3
(21)
Wewnątrz magnesu natężenie pola magnetycznego jest skierowane przeciwnie do kierunku magnetyzacji.
Linie sił pola magnetycznego
Wektor indukcji pola magnetycznego jest równy rotacji potencjału wektorowego. We
współrzędnych sferycznych, w przypadku gdy potencjał wektorowy ma tylko jedną składową Aϕ (r, θ) mamy:
1
∂
1 ∂
(sin θ Aϕ ) , Bθ = −
(r Aϕ ) ,
r sin θ ∂θ
r ∂r
Równanie linii sił pola magnetycznego w układzie sferycznym
Br =
Bϕ = 0
dr r dθ
=
Br
Bθ
daje się zapisać jako warunek różniczkę zupełną
(23)
∂
∂
(r sin θ Aϕ ) dr + (r sin θ Aϕ ) dθ = d(r sin θ Aϕ ) = 0
∂r
∂θ
Linie sił pola magnetycznego są więc określone przez równanie:
r sin θ Aϕ = const
Linie sił pola magnetycznego można narysować na płaszczyźnie x, z przyjmując:
sin θ =
|x|
,
r
r=
4
(22)
p
x 2 + z2
(24)
(25)
Azew [x , z ] = Abs[x]/(x ∧ 2 + z∧ 2)∧ (3/2);
Awew [x , z ] = Abs[x];
A[x , z ]:=If x ∧ 2 + z∧ 2 < 1, Awew [x, z], Azew [x, z]
rys = ContourPlot[Abs[x] ∗ A[x, z], {x, −2, 2}, {z, −2, 2},
Contours → {0.003, 0.03, 0.1, 0.2, 0.35, 0.55, 0.8},
ContourShading → False, PlotPoints → 50];
Show[Graphics[Circle[{0, 0}, 1]], rys]
5