Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki
dr inż. Andrzej Grosser
Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej
Politechnika Częstochowska
Rok akademicki 2013/2014
Twierdzenie 2.1
Niech G będzie grafem prostym mającym n wierzchołków. Jeżeli
graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia
nierówności:
n − k ¬ m ¬ (n − k)(n − k + 1)/2
Wniosek
Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż
(n-1)(n-2)/2 krawędzi jest spójny.
Most
I
Zbiór rozspajający grafu G to zbiór takich krawędzi tego
grafu, że usunięcie którejś z nich spowoduje, że graf G
przestanie być spójny.
I
Rozcięcie jest takim zbiorem rozspajającym, którego żaden
podzbiór właściwy nie stanowi już zbioru rozspajającego.
I
Rozcięcie składające się z jednej krawędzi jest nazywane
mostem.
Grafy eulerowskie
Graf eulerowski
I
Graf eulerowski to taki graf, w którym istnieje zamknięta
ścieżka zawierająca każdą jego krawędź.
I
Ścieżka tego rodzaju jest nazywana cyklem Eulera.
I
Graf, w którym istnieje ścieżka zawierająca każdą krawędź jest
nazywany półeulerowskim.
Grafy eulerowskie
Twierdzenie 2.2 [Wilson2008]
Graf spójny jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
jego krawędzie można podzielić na rozłączne cykle.
Wniosek ze wcześniejszego twierdzenia
Graf spójny jest grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy
ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystych stopni.
Algorytm Fleury’ego
Algorytm
Jeżeli G jest grafem eulerowskim, wtedy możliwe jest wykonanie
następującej konstrukcji cyklu Eulera (zaczynając od dowolnego
wierzchołka i dowolnej kolejności) zachowując następujące zasady:
1. przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane są usuwane w
kolejnych krokach,
2. przechodzenie przez most wykonywane jest tylko wtedy, gdy
nie ma innej możliwości
Algorytm Fleury’ego
Grafy hamiltonowskie
I
Grafem hamiltonowskim jest nazywany graf, w którym istnieje
zamknięta ścieżka przechodząca przez każdy wierzchołek
dokładnie jeden raz.
I
Cykl tego rodzaju jest nazywany cyklem Hamiltona.
I
Graf niehamiltonowski, w którym istnieje ścieżka przechodząca
dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek jest nazywany
grafem półhamiltonowskim.
Graf hamiltonowski
Twierdzenie 2.3
Jeżeli graf prosty G ma n wierzchołków (n ­ 3) oraz
deg (v ) + deg (w ) ­ n
dla każdej pary wierzchołków niesąsiednich v i w, to graf G jest
hamiltonowski.
Wniosek
Jeżeli w grafie prostym G, który ma n wierzchołków (n ­ 3),
deg (v ) ­ n/2 dla każdego wierzchołka v, to rozważany graf G jest
hamiltonowski.
Graf z wagami
Graf z wagami to graf, w którym każdej krawędzi przypisano liczbę
nieujemną. Przypisaną do krawędzi liczbę nazywa się wagą tej
krawędzi.
A
B
1
C
2
1
2
1
5
F
2
E
D
4
4
I
5
3
J
3
G
2
H
4 2
K
1
Las i drzewo
1. Las to graf, który nie zawiera cykli.
2. Drzewo to las spójny.
3. Lasy i drzewa są grafami prostymi.
Własności drzew
Niech T będzie grafem zawierającym n wierzchołków. W tej
sytuacji następujące warunki są równoważne[Wilson2008]:
1. T jest drzewem,
2. T nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi,
3. T jest grafem spójnym i ma n-1 krawędzi,
4. T jest grafem spójnym i każda krawędź jest mostem,
5. każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną drogą,
6. T nie zawiera cykli, ale po dodanie dowolnej nowej krawędzi
otrzyma się graf z dokładnie jednym cyklem
Własności drzew
I
(1) ⇒ (2)
1. Usunięcie którejkolwiek krawędzi spowoduje podział grafu T na
dwie części.
2. Każda z powstałych części jest drzewem.
3. Liczba krawędzi w każdym z tych drzew jest o jeden mniejsza
od liczby wierzchołków (założenie indukcyjne).
4. Liczba wszystkich krawędzi grafu T wynosi n − 1.
I
(2) ⇒ (3)
1. Jeżeli graf T jest niespójny, to posiada przynajmniej dwie
spójne składowe.
2. Liczba krawędzi w każdej tej składowej jest równa liczbie
wierzchołków pomniejszonej o 1.
3. Całkowita liczba krawędzi w grafie T, będzie mniejsza o co
najmniej dwa od liczby wierzchołków - zaprzeczenie
założeniom z punktu 2.
Własności drzew
I
(3) ⇒ (4)
1. Usunięcie krawędzi spowoduje powstanie grafu posiadającego n
wierzchołków i n − 2 krawędzi.
2. Na podstawie twierdzenia z początku wykładu taki graf jest
niespójny.
I
(4) ⇒ (5)
1. Graf jest spójny - każda para wierzchołków jest połączona
przynajmniej jedną drogą.
2. Parę wierzchołków nie może łączyć więcej niż jedna droga,
gdyż przeczyłoby to założeniu, że każda krawędź jest mostem
(wymagałoby zataczania cyklu).
Własności drzew
I
(5) ⇒ (6)
1. Gdyby graf zawierał cykl to dwa różne wierzchołki byłyby
połączone przynajmniej dwoma drogami - zaprzeczenie (5).
2. Jeżeli dodano krawędź e do grafu, to zostanie stworzony cykl,
gdyż wierzchołki incydentne z e były już połączone w
pierwotnym grafie T.
I
(6) ⇒ (1)
1. Założenie - graf T jest niespójny.
2. Dodając do T krawędź łącząca wierzchołki należące do
różnych składowych nie zostanie utworzony cykl (przeczy 6).
Zliczanie drzew
Twierdzenie Cayleya (2.4)
Istnieje nn−2 różnych drzew oznakowanych mających n
wierzchołków.
1
2
3
4
4
3
2
1
4
1
2
3
Drzewo spinające grafu
Wybierając dowolny cykl w grafie spójnym G i usuwając którąś z
krawędzi z tego cyklu otrzymuje się graf, który nadal jest grafem
spójnym. Ten proces można kontynuować, aż uzyska się graf bez
cykli. Powstanie drzewo spinające wszystkie wierzchołki grafu, nosi
ono nazwę drzewa spinającego grafu G (lub rozpinającego graf G).
Grafy planarne
Graf planarny to graf, który można narysować na płaszczyźnie bez
przecięć, żadna z krawędzi nie będzie się przecinała na rysunku w
innym miejscu niż wierzchołek (oczywiście chodzi o krawędzie
incydentne).
Grafy planarne
Dwa grafy są homeomorficzne jeżeli oba grafy można otrzymać z
tego samego grafu przez wstawienie nowych wierzchołków stopnia
2 wewnątrz ich krawędzi.
Twierdzenie Kuratowskiego (2.5)
Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera
podgrafu homeomorficznego z grafem K5 lub z grafem K3,3 .
Grafy planarne
Graf H jest grafem ściągalnym do grafu K5 lub K3,3 , jeżeli można
uzyskać graf K5 lub K3,3 ściągające kolejne krawędzie grafu H.
Twierdzenie 2.6
Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera grafu
ściągalnego do grafu K5 lub grafu K3,3 .
Kolorowanie grafów
I
Jeżeli graf G jest grafem bez pętli, to graf G jest grafem
k-kolorowalnym, jeżeli każdemu wierzchołkowi można
przypisać jeden z k kolorów w taki sposób, by sąsiednie
wierzchołki miały inne kolory.
I
Graf G, który jest k-kolorowalny, ale nie (k-1)-kolorowalny jest
nazywany grafem k-chromatycznym. Jego liczba
chromatyczna jest równa k.
Kolorowanie grafów
Twierdzenie 2.7
Jeżeli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem
wierzchołka jest ∆, to graf G jest ∆ + 1-kolorowalny.
Twierdzenie 2.8
Jeżeli G jest spójnym grafem prostym, niebędącym grafem pełnym,
i jeśli największy stopień grafu G wynosi ∆ (∆ ­ 3), to graf G jest
∆-kolorowalny.
Kolorowanie grafów
Twierdzenie 2.9
Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny.
Twierdzenie 2.10
Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny.
Twierdzenie 2.11
Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny.
Kolorowanie map
Mapa
Mapa jest grafem planarnym 3-spójnym - mapa nie zawiera rozcięć
mających 1 lub 2 krawędzie, nie ma wierzchołków stopnia 1 lub 2).
K-kolorowanie(f)
Mapa jest k-kolorowalna(f), jeżeli jej ściany można pokolorować w
ten sposób, by żadne dwie ściany ograniczone wspólna krawędzią
nie były pokolorowane tym samym kolorem. (Kolorowanie jak było
określone wcześniej dla map - k-kolorowanie(v))
Literatura
Do napisania materiałów wykorzystano:
1. R.J. Wilson ”‘Wprowadzenie do teorii grafów”’, PWN 2008
2. R. Sedgewick ”‘Algorytmy w C++ - grafy”’, Wydawnictwo
RM 2003
3. K.A. Ross ”‘Matematyka dyskretna”’, PWN 2003