Graf to nie tylko tytuł szlachecki

Kàcik olimpijski
Grafy • Graf to nie tylko tytuł szlachecki
karta pracy 1
Graf to nie tylko tytuł szlachecki
Graf – co to takiego?
Pojęcie grafu wprowadził szwajcarski matematyk Leon­
hard Euler (1707–1783). Grafem nazwał zbiór punktów
(zwanych wierzchołkami) połączonych liniami (zwanymi kra­
wędziami) w taki sposób, że każda krawędź zaczyna się i kończy
w którymś z wierzchołków.
Ten graf ma 4 wierzchołki i 5 krawędzi.
WP0412
Ten graf ma 7 wierzchołków i 7 krawędzi.
1 Narysuj graf, który ma 2 Narysuj dowolny graf. Zapisz, ile
5 wierzchołków i co najmniej 6 krawędzi.
ma wierzchołków i krawędzi.
3 Uzupełnij zdanie.
Ten graf ma ________ wierzchołków i ________ krawędzi.
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze 13m.indd 139
www.raabe.com.pl
139
12-05-03 18:25
Kàcik olimpijski
Grafy • Graf pełny
karta pracy 2
Graf pełny
Graf pełny
Graf pełny to taki, w którym każdy wierzchołek jest połączony bezpośrednio krawę­
dzią z każdym innym.
1 Uzupełnij tabelkę.
Liczba
wierzchołków
grafu
Rysunek grafu pełnego
Liczba
krawędzi
grafu
1
0
2
3
WP0412
4
5
6
21
28
2Porównaj liczbę wierzchołków i liczbę krawędzi każdego z grafów. Nie wy­
konując rysunku, zapisz, ile krawędzi ma graf o 10 wierzchołkach.
Odp.: _______________________________________________________________
140
13m.indd 140
www.raabe.com.pl
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze
12-05-03 18:25
Kàcik olimpijski
Grafy • Figury unikursalne
karta pracy 3
Figury unikursalne
Figury unikursalne
Figury unikursalne to takie, które można narysować jednym pociągnięciem ołówka,
bez powtarzania raz już narysowanych linii.
WP0412
1 Sprawdź, która z poniższych figur jest unikursalna.
Tylko pierwszej figury nie można narysować jednym pociągnięciem ołówka. Figury
druga i trzecia są unikursalne, ale między nimi występuje różnica. Kopertę otwartą
z jednej strony narysujemy tylko wtedy, gdy zaczniemy od jednego z dolnych rogów
koperty, a skończymy w drugim z dolnych rogów. Natomiast kopertę otwartą
z dwóch stron możemy zacząć rysować z dowolnego miejsca i skończymy do­
kładnie w tym samym punkcie. Narysowane koperty są grafami spójnymi, co
oznacza, że z każdego wierzchołka możemy dojść do każdego innego.
2 Narysuj 2 grafy spójne, z których każdy jest figurą unikursalną.
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze 13m.indd 141
www.raabe.com.pl
141
12-05-03 18:25
Kàcik olimpijski
Grafy • Figury unikursalne
karta pracy 3
3Według legendy prorok Mahomet zamiast podpisu rysował jednym pociąg­
nięciem ołówka dwa półksiężyce takie, jak na rysunku.
Narysuj te półksiężyce jednym pociągnięciem ołówka.
WP0412
Aby określić warunki, jakie musi spełniać graf będący figurą unikursalną,
należy wprowadzić pojęcie stopnia wierzchołka. Jest to liczba krawędzi
wychodzących z danego wierzchołka.
Wierzchołek 3 stopnia
Wierzchołek 1 stopnia
Euler zauważył, że figurą unikursalną może być graf, którego każdy
wierzchołek jest stopnia parzystego (jest to graf Eulera I rodzaju, który
można zacząć rysować od dowolnego wierzchołka), lub graf, w którym
dokładnie dwa wierzchołki są stopnia nieparzystego (jest to graf Eulera
II rodzaju, który narysujemy tylko wtedy, gdy zaczniemy go rysować od jed­
nego wierzchołka stopnia nieparzystego, a skończymy w drugim). Widzimy
zatem, że zamknięta koperta nie jest figurą unikursalną, gdyż jest to graf
mający 4 wierzchołki stopnia trzeciego. Koperta otwarta z jednej strony ma
dokładnie dwa (dolne rogi) wierzchołki stopnia nieparzystego (trzeciego),
więc jest grafem Eulera II rodzaju. Koperta obustronnie otwarta ma każdy
wierzchołek stopnia parzystego, więc jest grafem Eulera II rodzaju.
142
13m.indd 142
www.raabe.com.pl
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze
12-05-03 18:25
Kàcik olimpijski
Grafy • Figury unikursalne
karta pracy 3
4 Sprawdź, które z poniższych figur są unikursalne.
b
c
d
e
f
g
h
i
j
WP0412
a
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze 13m.indd 143
www.raabe.com.pl
143
12-05-03 18:25
Kàcik olimpijski
Grafy • Grafy w mieÊcie
karta pracy 4
Grafy w mieÊcie
1Przez Królewiec, miasto w Prusach, przepływała rzeka, w której rozwidleniach
znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których
jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki.
Euler zastanawiał się, czy można przejść
kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby
każdy przekroczyć tylko raz i wrócić do
miejsca, z którego się wyruszyło.
a Zastanów się, jaka jest odpowiedź na pytanie Eulera.
bZastanów się, jaka byłaby odpowiedź, gdyby wybudowano jeszcze jeden most.
WP0412
2Zosia bardzo lubi spacerować po parku, którego plan ścieżek zamieszczono
poniżej. Wejścia do parku są oznaczone kolejnymi literami alfabetu od A do J.
Dzisiaj Zosi udało się przejść po wszystkich ścieżkach parkowych dokładnie
jeden raz. Którędy Zosia weszła do parku, jeżeli wiadomo, że litera, którą
oznaczono to wejście, jest figurą unikursalną? Narysuj przykładową trasę
spaceru Zosi.
A
B
C
D
F
E
G
144
13m.indd 144
www.raabe.com.pl
H
I
J
Rozwijamy zdolnoÊci matematyczne i przyrodnicze
12-05-03 18:25