zestaw nr 25.

25.Prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na
prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa.
Niezależność zdarzeń. Schemat Bernoulliego.
Definicja 1. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech B ⊂ F będzie takie,
że P (B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia A ⊂ F , pod warunkiem zajścia
zdarzenia B nazywamy prawdopodobieństwo:
P (A | B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Przykład 1. Rodzina ma dwoje dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród dzieci są same
dziewczynki jeżeli wiemy, że przynajmniej jedno dziecko jest dziewczynką?
Ω = {(d, d), (c, c), (d, c), (c, d)}
A = {(d, d)}
B = {(d, d), (c, d), (d, c)}
Wtedy:
P (A | B) =
P (A ∩ B)
=
P (B)
card(A∩B)
card(Ω)
card(B)
card(Ω)
=
1
card(A ∩ B)
=
card(B)
3
Twierdzenie 1 (wzór łańcuchowy). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech
A1 , A2 , . . . , An ⊂ F będą takie, że P (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0. Zachodzi wtedy wzór:
P (A1 ∩ . . . ∩ An ) = P (A1 ) · P (A2 | A1 ) · P (A3 | (A1 ∩ A2 )) · . . . · P (An | (A1 ∩ . . . ∩ An−1 ))
Jest to tak zwany wzór łańcuchowy.
Definicja 2. Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Powiemy, że zdarzenia B1 , . . . , Bn
stanowią
Sn rozbicie przestrzeni Ω, gdy są one parami rozłączne (Bi ∩ Bj = ∅ dla każdego i 6= j)
oraz i=1 Bi = Ω
Twierdzenie 2 (prawdopodobieństwo całkowite). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, B1 , . . . , Bn ⊂ F stanowią rozbicie przestrzeni Ω oraz P (Bi ) > 0 dla każdego i = 1, . . . , n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia A ⊂ F zachodzi wzór:
P (A) =
n
X
P (A | Bi ) · P (Bi )
i=1
Powyższy wzór jest wzorem na prawdopodobieństwo całkowite.
Przykład 2. Mamy 3 urny. W pierwszej jedną czarną kulę i jedną białą, w drugiej dwie czarne a
w trzeciej dwie białe. Z losowo wybranej urny losuję jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
będzie to kula czarna?
B1 - losujemy z pierwszej urny
B2 - losujemy z drugiej urny
B3 - losujemy z trzeciej urny
A - wylosujemy kulę czarną
P (Bi ) = 31 dla każdego i = 1, 2, 3
P (A | B1 ) = 12
P (A | B2 ) = 1
P (A | B3 ) = 0
Zatem: P
3
P (A) = i=1 P (A | Bi ) · P (Bi ) =
1
2
·
1
3
+1·
1
3
+0·
1
1
3
=
1
2
Twierdzenie o prawdopodobieństwie można zilustrować za pomocą tzw. drzewa stochastycznego.
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite to suma iloczynów po wszystkich drogach, które kończą się w A. Drzewo stochastyczne zaczyna się początkiem, w węzłach drzewa umieszczamy wyniki
kolejnych etapów doświadczenia. Węzły łączymy krawędziami. Obok każdej krawędzi dopisujemy
prawdopodobieństwo otrzymania wyniku danego etapu. Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego węzła jest równa 1.
Twierdzenie 3 (wzór Bayesa). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, B1 , . . . , Bn ⊂
F stanowią rozbicie przestrzeni Ω oraz P (Bi ) > 0 dla każdego i = 1, . . . , n. Wtedy dla dowolnego
zdarzenia A ⊂ F takiego, że P (A) > 0 oraz i = 1, . . . , n zachodzi wzór:
P (Bi | A) =
P (A | Bi ) · P (Bi )
P (A)
Jest to wzór Bayesa.
Twierdzenie Bayesa stosujemy głównie wtedy, gdy znamy wynik doświadczenia, a pytamy o
jego przebieg.
Przykład 3. Ciąg dalszy poprzedniego przykładu.
Załóżmy, że wylosowaliśmy kulę czarną. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze losowaliśmy z drugiej
urny?
P (B2 | A) =
1· 1
2
P (A | B2 ) · P (B2 )
= 13 =
P (A)
3
2
Definicja 3 (niezależność dwóch zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną,
A, B ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Przykład 4. Rzucamy dwa razy monetą. Zdarzenie A polega na wylosowaniu jednego orła i jednej
reszki. Zdarzenie B polega na wylosowaniu za drugim razem orła.
Wtedy:
Ω = {(o, o), (r, o), (o, r), (r, r)}
A = {(o, r), (r, o)}
B = {(o, o), (r, o)}
P (A) = P (B) = 12
Zatem:
P (A ∩ B) = 41 = 12 · 12 = P (A) · P (B)
Definicja 4 (niezależność skończonej liczby zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, A1 , . . . , An ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A1 , . . . , An są niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy
k
Y
∀1≤i1 ≤i2 ≤...≤ik ≤n P (Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) =
P (Ail )
l=1
2
Definicja 5 (niezależność nieskończonej liczby zdarzeń). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, A1 , A2 . . . ⊂ F . Mówimy, że zdarzenia A1 , A2 . . . są niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego n ∈ N A1 , . . . , An są niezależne.
Twierdzenie 4 (własności zdarzeń niezależnych). Niech (Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną, wtedy:
1. Jeżeli A, B ⊂ F oraz A, B niezależne, to zdarzenia A, B 0 ; A0 , B; A0 , B 0 są niezależne.
2. Jeżeli A, B, C ⊂ F oraz A, B, C są niezależne, to A, B ∪ C niezależne.
Definicja 6. Ciąg n niezależnych doświadczeń, takich samych i kończących się jednym z dwóch
wyników (sukces lub porażka) nazywamy ciągiem prób Bernoulliego.
Twierdzenie 5 (schemat Bernoulliego). Jeżeli przeprowadzimy n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedyńczej próbie równym p ∈ (0, 1) i prawdopodobieństwem porażki równym
q = 1 − p, to prawdopodobieństwo k sukcesów, 0 ≤ k ≤ n, liczymy ze wzoru:
n k n−k
Pn (k) =
p q
k
Przykład 5. Biatonista trafia do celu z prawdopodobieństwem 53 . Jakie jest prawdopodobieństwo,
że trafi 4 z 5 tarcz w pojedyńczym strzale?
Prawdopodobieństwo sukcesu: p = 35
Prawdopodobieństwo porażki: q = 1 − p = 1 − 35 = 52
Zatem prawdopodobieństwo trafienia w 4 z 5 tarcz wynosi:
5 3 4 2 1
81 2
162
P5 (4) =
=5·
· =
4 5
5
625 5
625
3