Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa

Wykład 3
Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego
Kiedy dwa zdarzenia są niezależne?
Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia
A:
P (A | B) = P (A),
to mówimy, że zdarzenia A i B są niezależne.
• Przekształćmy równość P (A | B) = P (A) do postaci
•
P (A ∩ B)
= P (A),
P (B)
skąd
•
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Definicja niezależności
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy
P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Przykład
• Dwukrotny rzut monetą:
• Ω = {OO, OR, RO, RR}
• A=w pierwszym rzucie orzeł
• B=w drugim rzucie orzeł
• P (B) = 12 ,
•
P (B | A) =
P (B ∩ A)
1/4
1
=
= .
P (A)
1/2
2
• Zdarzenia A i B są niezależne.
Zadanie Założenie: prawdopodobieństwo urodzenia chłopca =
prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki = 12 .
• Spośród rodzin mających n dzieci, n ­ 2, wybieramy losowo jedną rodzinę.
• A=w tej rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka
• B=w tej rodzinie są i dziewczynki i chłopcy
• Czy zdarzenia A i B są niezależne?
• Spróbujmy odgadnąć odpowiedź!
1
Rozwiązanie
• Ω = {x1 , x2 , ..., xn }, gdzie xi = d lub c
• |Ω| = 2n , wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
• |A|=(sami chłopcy lub jedna dziewczynka)= n + 1.
• |B| = 2n − 2,
|A ∩ B|=(dokładnie jedna dziewczynka)=n.
• niezależność A i B:
n
n + 1 2n − 2
=
·
,
2n
2n
2n
P (A ∩ B) = P (A) · P (B) ⇔
• czyli tylko wtedy, gdy n = 3.
Niezależnośc trzech zdarzeń
Zdarzenia A, B oraz C są niezależne, gdy
• P (A ∩ B) = P (A)P (B),
• P (A ∩ C) = P (A)P (C),
• P (B ∩ C) = P (B)P (C),
• P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).
Zadanie
W urnie są cztery kule:
• biała,
• czerwona,
• niebieska
• i taka, na której są wszystkie trzy powyższe kolory.
• Losujemy jedną kulę. Czy zdarzenia: na wylosowanej kuli jest kolor B, C, N są niezależne? Czy są
parami niezależne?
Rozwiązanie
• P (B) = P (wylosujemy kulę, na której jest kolor biały)= 12 ,
• Podobnie P (C) = P (N ) = 21 .
• Oczywiście P (B ∩ C) = P (wylosujemy kulę, na której są kolory biały i czerwony)= 41 .
• P (B ∩ C) = P (B)P (C) =
1
4
←− te zdarzenia są niezależne!
• Tak samo pary B i N oraz C i N są niezależne.
• Ale P (B ∩ C ∩ N ) = 14 , natomiast P (B)P (C)P (N ) =
2
1
8
i te zdarzenia NIE SĄ niezależne!
Ogólna definicja zdarzeń niezależnych
Zdarzenia A1 , A2 , ..., An są niezależne, gdy
dla każdego ich podzbioru Ai1 , Ai2 , ... Aik zachodzi równość
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) · ... · P (Aik ).
• To jest łącznie aż 2n − n − 1 równości do sprawdzenia!
• Na szczęscie zwykle nie musimy ich sprawdzać.
Schemat Bernoulliego
Powtarzamy n razy doświadczenie, którego wynikami mogą być „sukces” lub „porażka”, przy czym:
• kolejne doświadczenia są niezależne;
• w każdym doświadczeniu prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, a porażki 1 − p.
• Niech Sn oznacza liczbę sukcesów w n powtórzeniach. Wówczas
•
!
P (Sn = k) =
n k
p (1 − p)n−k ,
k
k = 0, 1, 2, ..., n.
Ilustracja: deska Galtona
Kulka opada, napotykając na kilka rzędów przeszkód, przy czym na każdej przeszkodzie może skręcić w
prawo z prawdopodobieństwem p lub w lewo z prawdopodobienstwem q = 1 − p.
Gdy rzucimy tak kilkaset kulek, to ile ich zbierze się w kolejnych przegródkach na dole?
Odpowiedź dla n = 10 i p =
1
2
• Ponieważ tutaj p = 12 , więc pk (1 − p)10−k =
10
1
2
, zatem
• liczby kulek w poszczególnych przegródkach są niemal proporcjonalne do
• współczynników newtonowskich
!
10
k
dla k = 0, 1, 2, ..., 10
• czyli do liczb
• 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
Zmienna losowa
Załóżmy, że znamy wszystkie mozliwe wyniki (czyli zdarzenia elemantarne) Ω pewnego doświadczenia losowego. Funkcję
X : Ω −→ R
nazywamy zmienną losową.
3
Przykłady zmiennych losowych
• Liczba oczek przy jednokrotnym rzucie kostki.
• Suma oczek w dwóch rzutach kostką.
• Liczba sukcesów Sn w schemacie Bernoulliego.
• Numer próby, w której pojawi się pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego.
• Liczba wypadków drogowych, które zdarzą się w Polsce w przyszłym tygodniu.
• Wzrost losowo wybranego studenta WPPT.
• Błąd pomiaru pewnej wielkości.
• Suma wypłacona przez firmę ubezpieczeniową.
• Cena akcji spółki X jutro o 12:00 (za tydzień, za miesiac).
• Pierwszy moment, w którym cena akcji spółki Y przekroczy 100 zł.
Dwa typy zmiennych loswych
• Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x1 , x2 , ...},
to mówimy, że jest to zmienna o rozkładzie dyskretnym.
• Które wymienione uprzednio zmienne mają rozkłady dyskretne?
• Jeśli wszystkich wartości zmiennej NIE MOŻNA wypisać w postaci ciągu, to mówimy, że jest to
zmienna o rozkładzie ciągłym.
• Tak jest zawsze, gdy zbiór wartości zawiera jakiś przedział (a, b).
• Które z wymienionych zmiennych mają rozkłady ciągłe?
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej
Rozkład takiej zmiennej to opis jej możliwych wartości i prawdopodobieństw, z jakimi te wartości zmienna
przyjmuje.
• X = wynik rzutu symetryczną kostką
• Wartości, jakie może przyjąć X to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
• Prawdopodobieństwo każdej z tych wartości jest równe 61 .
• Y = suma oczek przy dwóch rzutach = 2, 3, ..., 10, 11, 12.
• Jakie są prawdopodobieństwa tych wyników?
Zmienne związane z próbami Bernoulliego
• Liczba sukcesów Sn w n próbach.
• P (Sn = k) =
n k
k p (1
− p)n−k ,
k = 0, 1, 2, ..., n.
• Numer próby X, w której pojawi się pierwszy sukces.
4
• P (X = k) =?, k = 1, 2, 3, ...
• X = k, gdy próby: pierwsza, druga,...,(k − 1)-sza dały porażki, a k-ta sukces.
• Stąd P (X = k) = (1 − p)k−1 · p,
k = 1, 2, 3, ...
Rozkład Poissona
• Zmienna X przyjmująca wartości 0, 1, 2, ... ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, gdy
•
P (X = k) =
λk −λ
e ,
k!
k = 0, 1, 2, ...
• Rozkład Poissona mają:
• liczba wypadków w ustalonym dniu (tygodniu, roku, kraju);
• liczba sygnałów (np. rozpadów atomów radioaktywnych w czasie 1 minuty);
• liczba gwiazd w losowo wybranym fragmencie nieba, itp.
Wartość średnia zmiennej losowej
• Jeżeli P (X = xk ) = pk ,
k = 0, 1, 2, 3, ..., to
• wartość średnia (wartość oczekwiana) zmiennej X
E(X) =
X
xk · pk .
k
• Intuicja: na prostej rozmieszczamy masy pi w punktach xi , i = 0, 1, 2....
• Wartość średnia to środek ciężkości tego układu (może nie istnieć!)
Wariancja zmiennej losowej
• Jeżeli P (X = xk ) = pk ,
k = 0, 1, 2, 3, ..., to
• wariancja zmiennej X
V ar(X) =
X
(xk − E(X))2 · pk .
k
• Wariancję oznacza się też symbolem D2 (X).
• Wariancja mierzy rozrzut wyników — średnie odchylenie od wartości średniej.
• Wariancję można też obliczyć ze wzoru
V ar(X) =
X
x2k · pk − (E(X))2 .
k
Rozkłady ciągłe (z gęstością)
• Jeśli dana jest taka funkcja f : R → [0, ∞), że
R∞
−∞ f (x) dx
• f nazywamy gęstością rozkładu zmiennej X i obliczamy
5
= 1, to
• prawdopodobieństwa
Z b
P (a < X < b) =
f (x) dx.
a
Przykłady gęstości
• Rozkład jednostajny na odcinku [a, b]
•
f (x) =

1

 b−a ,
gdy x ∈ [a, b],

 0,
gdy x ∈
/ [a, b].
Przykłady gęstości
• Rozkład normalny z parametrami m ∈ R i σ > 0
•
f (x) = √
(x−m)2
1
e− 2σ2 ,
2π σ
6
x∈R