Wykład 2
Transkrypt
Wykład 2
Modelowanie Agentowe Układów Złożonych Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Aperitif (2006) • Physicists pretend not only to know everything, but also to know everything better. • This applies in particular to computational statistical physicists like US. D. Stauffer, doktorat honoris causa Uniwersytet de Liege, 30.03.2006 Po co tu jesteśmy? • • • • Maciek Bieniek – „żeby napisać kilka prac” A po co Ty tu jesteś? Wiem co odpowie kilka osób … Jakie mamy możliwości: – Praca naukowa zakończona publikacją (grupy 2-4) – Wizualizacja modelu (w NetLogo) – Jakieś inne pomysły? Co to jest model agentowy? • Model mikroskopowy • Bottom – up • Agenci (jednostki) – – – – Ludzie, zwierzęta, rośliny, cząstki, … Organizacje, społeczności, populacje, gatunki, … Jednego typu lub więcej (np. ludzie i organizacje) Każdy agent ma pewne cechy • Oddziaływania • Środowisko (przestrzeń) Kiedy się pojawiły? • „Do 2002 ludzie nie zajmowali się na poważnie ABM” – Dlaczego? A. Borshchev, AnyLogic • Od 19 lat w naukach społecznych wg. F. Squazzoni, History of Economic Ideas, xviii/2010/2 • Wg. Web of Science 1991 1993 Źródło: M. Niazi, A. Hussain, Agent-based computing from multi-agent systems to agent-based models: a visual survey, Scientometrics (2011) 89:479–499 Co to jest układ złożony? • • • • Składa się z wielu elementów oddziałujących ze sobą „Nieliniowe oddziaływanie”: 2 + 2 ≠ 4 Całość to coś więcej niż suma jego części Typowe: – – – – – Emergencja Samoorganizacja Brak równowagi Sprzężenia zwrotne Prawa potęgowe Budowla termitów Płatki śniegu More Is Different • 1977 nagroda Nobla z fizyki prace nad nieuporządkowanymi układami magnetycznymi • P. W. Anderson, More Is Different, Science, New Series 177 (Aug. 4, 1972), pp. 393-396 • Przejścia fazowe – więcej to coś innego!!! – Teoria wielkiego wybuchu (cząstki elementarne, kosmologia) – Zastosowania interdyscyplinarne: ewolucja biologiczna, genetyka, lingwistyka, epidemiologia, … Przykład: Segregacja rasowa Przykład: Model Schellinga (1971) • Agenci mogą być tylko dwóch typów i początkowo rozmieszczeni są losowo na sieci • Agent jest nieszczęśliwy jeżeli ma w otoczeniu zbyt wielu obcych (>T) • W każdym kroku symulacji jeden nieszczęśliwy, losowo wybrany agent jest przesuwany do losowo wybranej wolnej komórki w sąsiedztwie Schelling, T.C. Dynamic Models of Segregation, Journal of Math. Sociology 1: 143-186 (1971) Przykład: Model Schellinga (1971) Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Models Library: Social Science: Segregation Jaka nauka płynie z tego modelu? • Model segregacji ze względu na pewną cechę (rasa, płeć, wiek, styl życia, pozycja, zamożność) • Nikt nie preferuje ścisłej segregacji • Ostra segregacja mimo „łagodnych” preferencji • Mikro motywy i makro zachowanie Przejście pomiędzy mikro a makro © Marcin Weron Temperatura Curie – ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk © Katarzyna Sznajd-Weron • • • • Przejście fazowe Ferromagnetyk 𝑇 ≤ 𝑇𝑐 Paramagnetyk 𝑇 > 𝑇𝑐 Jak to zrozumieć? Model Isinga (Lenza-Isinga?) • • • • • 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro 𝐿 𝐻 = −𝐽 𝑆𝑖 𝑆𝑗 <𝑖,𝑗> 1𝐷 𝐿 𝐻 = −𝐽 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 𝑖=1 Skąd taki Hamiltonian? Każdy układ dąży do minimalizacji energii LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze LÓD WODA Przechłodzona woda Skąd taki Hamiltonian? 𝐿 𝐻 = −𝐽 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii 𝑖=1 𝐿 𝐻 = −𝐽 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 = −𝐽 3 ∙ 1 + 4 ∙ (−1) 𝑖=1 𝐿 𝐻 = −𝐽 𝐿 𝑆𝑖 𝑆𝑖+1 = −𝐽 𝑖=1 1 = −𝐽𝑁 𝑖=1 Oddziaływania pomiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) • Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz – Ze zgodnością grupy – Z rozmiarem grupy • Wysoka temperatura –„nerwowo” © Piotr Nyczka Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na https://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Models Library: Chemistry & Physics: Ising NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL) Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura • Oddziaływanie – porządkuje • Temperatura – losowe zmiany 1 𝑚 =< 𝑆𝑖 > = 𝑁 – W niskich temperaturach porządek – W wysokich temperaturach nieporządek 𝑁 𝑆𝑖 𝑖=1 Dalsze losy modelu Isinga • Przejście fazowe w 2D bez pola – Onsager, lata czterdzieste • Symulacje Komputerowe – model Isinga w 3D i 2D z polem • Wykorzystanie poza fizyką Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga • • • • • • Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość 𝑚 𝑚 =< 𝑆𝑖 > = Powtarzaj to „dużo” razy Policz średnią magnetyzację • Jaka to średnia? 1 𝑁 𝑁 𝑆𝑖 𝑖=1 Średnia po czasie Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie Algorytm Metropolisa – 1MCS = N losowań • Wylosuj jeden spin 𝑆𝑖 • Oblicz energię E = 𝐸(𝑆𝑖 ) = −𝑆𝑖 𝐽 • Oblicz energię E ′ = 𝐸(−𝑆𝑖 ) = 𝑆𝑖 𝐽 𝑗∈𝑛𝑛 𝑆𝑗 𝑗∈𝑛𝑛 𝑆𝑗 • Oblicz zmianę energii ΔE = E′ − E • Jeżeli ΔE ≤ 0 to 𝑆𝑖 → −𝑆𝑖 • Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj 𝑟 z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: Δ𝐸 𝑟 < 𝑝 = 𝑒𝑥𝑝 − , 𝑘𝐵 = 𝐽 = 1 𝑘𝐵 𝑇 Przejście fazowe w modelu Isinga Po co model w fizyce? ? nieznane zjawisko Weryfikacja Model Eksperyment Konstrukcja © Marcin Weron Spojrzenie fizyka na rzeczywistość Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze Po co nam uproszczenia? Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki: Oryginalny obraz 𝑅, 𝐺, 𝐵 ∈ [0,255] Zdjęto kolor – jedna zmienna o 256 wartościach Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2 • Łatwiejsza analiza – może nawet analityczna • Większa kontrola (zrozumienie) • Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów (uwaga na przejścia fazowe!) „More can be worse” - dyfuzja cząstek leków przez błony komórkowe • Bardzo prosty model T. Rezai et all., J Am Chem Soc. 128(8): 2510-1 (2006) – Podstawowe założenie: tylko jedna konformacja cząstki zarówno w wodzie jak i membranie – Rzeczywistość: typowe cząstki organiczne mają tysiące konformacji • Policz konformacje! R. V. Swift, R. E. Amaro, J Comput Aided Mol Des. 25(11): 1007-17 (2011) • Gorsza prognostyka Przykładowe cząsteczki leku Ventolin (astma, choroby płuc), http://www.lpdlabservices.co.uk „More can be worse” - modele klimatu • Coraz bardziej realistyczne • Jednocześnie coraz mniej dokładne – w jakim sensie? • Mniej użyteczne prognostycznie M. Maslin and P. Austin, „Uncertainty: Climate models at their limit?”, Nature 486, 183–184 (2012) • Nie zawsze model bardziej skomplikowany jest gorszy! • Zacznij od prostego modelu Jak weryfikować modele? • Co to znaczy zweryfikować? • Eksperyment – przywilej fizyki? • Obserwacja – jak to robić? Jeden wzór może nie wystarczyć! • Podstawowe cechy modeli Boidów: – Starają się unikać zderzeń – Dopasowują prędkość do sąsiadujących osobników – Starają się trzymać blisko sąsiadów obserwowany NND<1 długości ryby 𝑝 = 00 wszystkie w tym samym kierunku 𝑝 = 900 – w losowych W rzeczywistości 𝑝 ∈ 100 ,200 Odporność na detale • W modelach 1-9 wpływ od uśrednionego sąsiedztwa, a w 10-11 wpływ od jednego • 9 modeli z regułą większościową dało prawie identyczne wyniki • Pozostałe różnice okazały się nieistotne • Odkrywamy najważniejszy mechanizm! Czy ABM może zastąpić eksperyment społeczny? • ABM powinno być uzupełnieniem • ABM może pomóc zrozumieć „Dlaczego” • ABM może pomóc odkryć najważniejsze czynniki • Jeżeli nie możemy zrobić eksperymentu to … • ABM odpowiada na „Co by było gdyby …” Przypadek jako narzędzie budowania modeli • Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki Karl Pearson (1857-1936) • Metoda Monte Carlo • ABM ≠ Metoda Monte Carlo Liczby losowe • Tippett (1927) – Random Sampling Numbers – Pierwsza tablica liczb losowych – 41 600 cyfr ułożonych w zestawach po 4 – Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry) Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę? 36 Albo … • Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD • Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954) 37 Generatory liczb pseudolosowych (PRNG) • PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła. • Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym): xn1 axn b mod c • a,b,c – liczby magiczne, np: a 75 , b 0, c 231 1 Cechy dobrego generatora do MC • Długi okres powtarzalności • Losowość – brak korelacji, równomierność (specjalne testy) • Szybki Generator Mersenne Twister (http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/emt.html) • Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997 – Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii • Zalety MT19937 Mersenne Twistera: – – – – Okres 219937 − 1 (udowodnione) Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia Spełnia większość testów losowości Szybki Metoda Monte Carlo Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu John von Neumann Idea metody Monte Carlo • Jaka jest szansa ułożenia pasjansa? • Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów • A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda ? Przegrana Przegrana Wygrana Przegrana Szansa ułożenia to ¼ ! Ręczne Monte Carlo • Pierwsze udokumentowane doświadczenie wykonał w XVIII w. uczony i pisarz francuski Buffon hr. Georges-Louis Leclerc Buffon (1707-1788) • Wykonał 4040 rzutów monetą ! • Otrzymał średnią wartość 0,5069 (orzeł = 1, reszka = 0) • W XX w. eksperyment powtórzył rosyjski statystyk Romanowski • Wykonał 80640 rzutów monetą !!! • Otrzymał średnią wartość 0,4923 Prawdopodobieństwo jako długoterminowa względna częstość Igła Buffona a liczba • Na kartkę papieru pokrytą liniami równoległymi oddalonymi od siebie o odległość d rzucamy losowo igłę o długości l < d • Zliczamy ile razy przetnie ona linie siatki (liczba m) w n rzutach • Można pokazać, że prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie linię wynosi: m 2l n d 45 Igła Buffona – sformułowanie problemu Igła Buffona - rozwiązanie Igła Buffona – eksperymentalne wyznaczenie Jak dobre jest to oszacowanie? • W 1864, kapitan O. C. Fox wykonał ten eksperyment gdy nudził się podczas rekonwalescencji n 500 m 236 l 3 d 4 Powierzchnia nieruchoma 3.1780 530 590 253 939 3 5 4 2 obracająca się 3.1423 obracająca się 3.1416 Sprawdźmy to sami ( = 3,14159) Współczesna historia metody Monte Carlo • Stanisław Ulam w trakcie ... rekonwalescencji układa pasjanse Canfield • Nicolas Metropolis nadaje nazwę nowej metodzie – „Monte Carlo” (od kasyna) • 1949r. – pierwsza publikacja na temat metody Monte Carlo napisana przez Ulama i Metropolisa Matematyczne podstawy MC • a - poszukiwana wielkość (np. magnetyzacja) • a=EX wartość oczekiwana pewnej zmiennej losowej X. • Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S1,S2,... z rozkładu zmiennej X, to • Prawo wielkich liczb: 1 lim S1 S2 ... Sn a n n Istota Monte Carlo • Metoda Monte Carlo polega na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby. • Co to znaczy odpowiednio dobranej? • Generowana z rozkładu zmiennej X (a=EX) EX x p xi W i i VarX E X EX 2 2 Zastosowania metody MC • • • • • • • • Szacowanie pól figur Obliczanie układów równań liniowych Obliczanie równań różniczkowych cząstkowych Obliczanie całek Interpolacja funkcji wielu zmiennych Prognozy pogody Wycena instrumentów pochodnych Modele mikroskopowe Szacowanie pól figur (c) 2009 K&R Weron 55 Literatura • D. W. Heermann, Podstawy symulacji komputerowych w fizyce, WNT 1997 • D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press 2005 Do zobaczenia w Monte Carlo