zagadkimetamagiczne - Wydział Elektroniki i Telekomunikacji

Sudoku
zagadki
metamagiczne
>> r e d a g u j e j a c e k s z c z a p
cyfry w celibacie
Zaraza wyszła z Japonii. Po opanowaniu USA, Australii
Indii, Wysp Brytyjskich i połowy Europy (wraz z Europą
wschodnią) trafiła do nas. Prezentujemy jako pierwsi w
Polsce najbardziej wyrafinowane, bo trójwymiarowe sudoku.
PIOTR WOŁOWIK
M
ILIONY LUDZI NA CAŁYM ŚWIECIE straciły głowę
dla tej magicznej gry. Rozwiązywanie łamigłówek
sudoku niewymaga wielkiego umysłowego wysiłku,
zapewnia za to doskonałą zabawę. W Japonii, Wielkiej Brytanii czy USA wielu ludzi nie wyobraża sobie dnia
bez tej logicznej krzyżówki. Niektórzy skarżą się na całkowite uzaleznienie: nie uwierzycie. Zapomniałem pójść do pracy
(...) nie odebrałem dzieci ze szkoły. Miałem wyłączoną komórkę,
więc nauczycielka nie mogła się do mnie dodzwonić. Wolę nie
wracać do domu – zwierzają się na internetowych forach
sudokumaniaków.
Reguły zabawy są proste, a do rozwiązania wystarczy
odrobina zapału, trochę cierpliwości i coś do pisania. Niektórzy nauczyciele zalecają krzyżówki sudoku jako ćwiczenie rozwijające umiejętności logicznego wnioskowania, co
tym samym może mieć wpływ na rozwój ilorazu inteligencji ich podopiecznych.
Samotnośc cyfry
Typowa układanka sudoku to kwadrat 9x9 z wydzielonymi
dodatkowo 9-cioma kwadratowymi sektorami o wymia-
xxxxx
56
WIEDZA I ŻYCIE
xxxxx
LIPIEC 2005
rach 3x3. Zabawa polega na takim wypełnieniu pustych
pól cyframi od 1 do 9, tak aby w każdym rzędzie, w każdej
kolumnie i w każdym sektorze znalazło się dokładnie po
jednej z cyfr od 1 do 9 (i żadna się nie powtarzała). Stąd
zresztą wzięła sie nazwa tej liczbowej krzyżówki: sudokujest skrótem od Suji wa dokushin ni kagiru, co w wolnym
tłumaczeniu brzmi: „liczby muszą trwać w celibacie”.
Dla ułatwienia, niektóre z cyrfr są ujawnione na początku zabawy. Ile? Zwykle nie więcej niż 30. Im mniej
– tym zabawa trudniejsza, choć na poziom skomplikowania wpływa również ich wzajemne ułożenie.
Kiedy rozwiążemy wszystkie sudoku?
Xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxx
Sudoku jest odmianą matematycznych obiektów zwanych
kwadratami łacińskimi (ang. latin squares) lub magicznymi.
Liczby od 1 do n są w nich tak uporządkowane, że w każdym wierszu i kolumnie każda liczba występuje tylko jeden
raz. Po raz pierwszy kwadraty te zostały wprowadzone do
świata matematyki przez Leonarda Eulera w 1783 roku.
To, co spędza sen z powiek najzagorzalszym sudokomaniakom to pytanie: co będę robił, kiedy już je wszystkie rozwiążę?
Spieszymy uspokoić, że przypadek taki nikomu nie grozi.
O ile można skonstruować jedynie dwa kwadraty magicznych o wymiarach 2x2, to kwadratów 3x3 jest już 12 a dla
wraz ze wzrostem rozmiaru – ilość możliwości rośnie w
tempie astronomicznym. Dla kwadratu łacińskiego o wymiarze 9x9 (odpowiednik popularnego rozmiaru sudoku)
możliwa liczba dostępnych uporządkowań jest ogromna.
Krzyżówka sudoku nakłada jednak pewne ograniczenie na
ten kwadrat łaciński. Należy uwzględnić, że w układance
sudoku ograniczeniem jest jeszcze wymóg, aby każdy z we-
xxxxx
xxxxx
wnętrznych 9 elementowych kwadracików-regionów, zawierał również niepowtarzalną permutację liczb od 1 do 9.
Sprawia to, że liczba 5524751496156892842531225600
redukuje się do liczby możliwych rozwiązań wynoszących
6670903752021072936960. Liczba ta, mino że mniejsza
od poprzedniej o parę rzędów wielkości – i tak jest wielkością astronomiczną. Określa ona liczbę wszystkich rozwiązań
krzyżówek sudoku jakie istnieją dla wymiarów 9 wierszy
na 9 kolumn. Jest to ogromny zbiór. Gdyby cała ludzkość
(6 mld – razem z niemowlętami i starcami) zajmowała się
wyłącznie rozwiązywaniem sudoku, i gdyby każdy utrzymywał tempo rozwiązywania jedno sudoku na minutę, zajęło
by nam to – bagatelka – ponad 2 mln lat! Można więc mieć
pewność, że nigdy nie zabraknie nowych łamigłówek nawet
dla najbardziej nałogowego ich zwolennika.
Rozwiązywanie sudoku z punktu widzenia matematycznego należy do klasy tak zwanych problemów obliczeniowych NP-zupełnych. Są to zagadnienia, które nie mają
precyzyjnie zdefiniowanego algorytmu rozwiązywania. Charakteryzują się tym, że poprawność ich rozwiązania łatwo
sprawdzić, ale sposób znalezienia rozwiązania przez komputerowe algorytmy obliczeniowe rośnie w sposób wykładniczy wraz ze wzrostem zakresu elementów, wśród których
poszukiwane jest optymalne rozwiązanie.
Kostka sudoku dczyli krzyżówka liczbowa w 3-D
Xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xx xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxx xxxx
xxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxx
xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx
xxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx
Rozmiar nxn
1
2
3
4
5
6
7
Ilość możliwych kwadratów magicznych
1
2
!!
12
KE!
AM
R
576
BIC
ZRO
161280
812851200
61479419904000
108776032459082956800
95524751496156892842531225600
109982437658213039871725064756920320000
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
Xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
LIPIEC 2005
WIEDZA I ŻYCIE
57
Klasycznym przykładem tego typu jest problem komiwojażera, który wyrusza w trasę i musi kilkanaście punktów wyszczególnionych w planie miasta, tak aby rozwieść
sprzedawane produkty. Problem przed jakim staje, to wybór najkrótszej drogi (np. z uwagi na koszt paliwa). Problemy NP-zupelne stanowią klasę zagadnień o wielkim znaczeniu naukowym i prace nad poszukiwaniem rozwiązań
ich optymalizujących mają wielkie znaczenie praktyczne
– oprócz możliwości ich wykorzystania do rozwiązywania
łamigłówek sudoku.
KWADRAT LO SHU – podstawa sudoku
Według chińskich legend około 4 tys. lat temu z rzeki Lo i środkowych Chinach
wyłonił sie wielki żółw. Na jego skorupie widniał wzór ułożony z kropel wody.
Mędrcy zachwycili sie jego prawidłowością i orzekli zbadawszy go dokładnie,, że
jest to objawiony układ wyjaśniający ruch energii we wszechświecie.
Ta matematyczna konstrukcja jest podstawą chińskiej magii i astrologii. Liczby
od 1 do 9 przyporządkowane zostały stronom świata. Strony świata z kolei
odpowiadają polom działania praw natury i człowieka, a także względnej relacji
między nimi. Cały kwadrat stanowi zamknięta i spójną całość, a tym samym
odzwierciedla te same cechy w realnym świecie.
Gdzie tkwi tajemnica?
Liczbowe kwadraty od zawsze intrygowały umysły ludzi.
Ich harmonia sprawiała, że ludzie doszukiwali się w nich
magicznych i tajemnych własności.
Kwadrat od wieków symbolizował absolut, boski rozum i porządek świata materii. Powszechnie wierzono,
że wstawienie do kwadratu ciągu odpowiednich liter albo liczb może dać mu ogromną magiczną moc. Dlatego
też z magicznych kwadratów tworzono talizmany.
Interesowali się nim także alchemicy. W czasach nowożytnych, ten fenomenalny układ zaintrygował matematyków. Twórcami i teoretykami rozpraw na jego temat byli
tak wielcy naukowcy jak: Frenicle de Bessy (1605-1675),
który opisał aż 880 magicznych kwadratów zbudowanych
z 16 pól, Pierre Fermat (1601-1665), współtwórca geometrii analitycznej, rachunku różniczkowego i rachunku
prawdopodobieństwa.
PR
dac
i do
3
10
6
15
2
11
7
14
13
8
12
1
Najsłynniejszym
kwadratem magicznym
jest kompozycja, którą
widać na sztychu
Alberta Dürera
MELANCHOLIA. Suma
liczb w każdym rzędzie,
w każdej kolumnie oraz
po obu przekątnych
wynosi tyle samo,
czyli 34. Ciekawostką
jest to, że dwie liczby
(15 i 14) to data
powstania Melancholii
– 1514 rok)
WIEDZA I ŻYCIE
LIPIEC 2005
dy
kla
op
ieg
!!!!
n
mia
rze
16
5
9
4
58
!
!!
AC
W
YSO
ZER
s
zk
u
Do końca XIX wieku magiczny kwadrat był niemal obowiązującym “elementem zdobniczym” każdego banku, kantoru, domu kupieckiego i każdego
miejsca, w którym dochodziło do wymiany pieniędzy
oraz handlu. W formie medalionu - amuletu wisiał on
na honorowym (ale niezbyt widocznym dla klientów)
miejscu. Wieszany w domu miał zapewnić dostatek,
spokój oraz harmonię.
Fascynacja i wiara w moc magicznego kwadratu nie została zapomniana nawet dzisiaj. Co ciekawe, psycholodzy jednego z największych koncernów
samochodowych zalecili instalację w komputerach i
codzienną, kilkuminutową kontemplację indywidualnych magicznych kwadratów. Niby nic, a okazało
się, że już po kilku miesiącach znacznie poprawiła
się skuteczność działania pracowników. Sami zainteresowani stwierdzili (bez zbędnego zagłębiania się w
“psychologizmy”, że odczuwalnie poprawiło się ich
analityczne myślenie i szybkość koncentracji. Zwrócono również uwagę, że kilkuminutowe obserwowanie
magicznego kwadratu umożliwia umysłowy odpoczynek i uporządkowanie myśli.
PIOTR WOŁOWIK jest doktoprantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji
Politechniki Poznańskiej.
LIPIEC 2005
WIEDZA I ŻYCIE
59