Przekształcenia liniowe

1
Przeksztaªcenia liniowe.
1. Które z poni»szych funkcji s¡ odwzorowaniami liniowymi? (V ,W - ustalone przestrzenie liniowe
nad ciaªem k )
(a)
T : V → W,
T (x) = Θ ;
(b)
T :V →V,
T (x) = x ;
(c)
T : R → R,
T (x) = 2x + 1 ;
(d)
T : R → R,
T (x) = 2x ;
(e)
T : R → R,
T (x) = x ;
(f)
T :R→R ,
T (x) = [x, 3x] ;
(g)
T :R →R ,
(h)
T : R → R,
T ([x1 , x2 ]) = x1 x2 ;
(i)
T :R →R ,
T ([x1 , x2 ]) =
[x1 + 2x2 , x1 + x2 ] ;
(j)
T :R →R ,
T ([x1 , x2 , x3 ])=
[x1 + x2 , 2x2 + 3x3 ] ;
(k)
T : C R → CR ,
T (z) = z ;
(l)
T : CC → CC ,
T (z) = z ;
(m)
T : R[x]2 → R[x]2 ,
T (ax + bx + c) =
2ax + (a − c) ;
(n)
T : R[x]3 → R[x]3 ,
T (f ) = f 0 ;
(o)
T : R3 → R[x]2 ,
T ([a, b, c]) =
(a + b)x2 + (b + 1) ;
(p)
T : R[x]2 → R,
T (ax2 + bx + c) =
2a − b + 2c ;
(q)
T : R[x]2 → R2 ,
(r)
T : R[x]2 → R2 ,
(s)
T : M2 (R) → M2 (R),
T (f ) =
[f (1), f 0 (1) + 2f (1)] ;
h
i
T ( ac db ) =
h
i
c
d
;
a+b 0
(t)
T : M2 (R) → R4 ,
T (f ) =
[f (1), f 0 (1) + 1] ;
h
i
T ( ac db ) =
2
2
2
2
T ([x1 , x2 ]) = [x1 +
2
x2 , x22 ] ;
2
2
2
3
2
[a, a + b, d, c] .
2. Uzasadnij, »e poni»ej zdeniowane funkcje s¡ odwzorowaniami liniowymi.
(a)
Ustalmy n ∈ N, a1 , a2 , . . . , an ∈ R. Deniujemy funkcj¦ T : Rn → R kªad¡c
T ([x1 , . . . , xn ]) = a1 x1 + . . . + an xn , dla ka»dego [x1 , . . . , xn ] ∈ Rn .
(b)
Ustalmy ciaªo k , liczby n, m ∈ N oraz macierz A ∈ Mn×m (k). Deniujemy funkcj¦
T : k m → k n kªad¡c T (x) = A · x, dla ka»dego x = [x1 , . . . , xm ]t ∈ k m .
3. Przeksztaªcenie liniowe F : R2 → R2 zadane jest przez poni»sze przyporz¡dkowania. Wyznacz wzór
na warto±¢ F ([x1 , x2 ]).
(a)
[ 12 , 0] 7→ [1, 2],
[0, 2] 7→ [5, 5];
(b)
[1, 1] 7→ [0, 1],
[1, 0] 7→ [1, 0];
(c)
[1, 3] 7→ [1, 1],
[3, 7] 7→ [5, 7];
(d)
[4, 5] 7→ [4, 7],
[3, 4] 7→ [3, 5].
4. Przeksztaªcenie liniowe F : R[x]2 → R2 zadane jest przez poni»sze przyporz¡dkowania. Wyznacz
wzór na warto±¢ F (ax2 + bx + c).
(a)
1 7→ [2, 2],
2x 7→ [2, 3],
x2 7→ [2, 3];
(b)
1 + x 7→ [1, 0],
x + x2 7→ [1, 1],
x2 7→ [0, 1];
(c)
1 + x2 7→ [0, 0],
x 7→ [2, 1],
5 7→ [0, 0];
(d)
2 + x 7→ [1, 2],
x2 7→ [2, 1],
x 7→ [0, 1].
5. Wyznacz bazy j¡der i obrazów odwzorowa« liniowych zdeniowanych w zadaniach 1, 3, 4.
6. W±ród powy»szych odwzorowa« liniowych wska» monomorzmy, epimorzmy i izomorzmy.
7. Jakie wymiary mo»e mie¢ j¡dro odwzorowania zdeniowanego w zadaniu 2.(a)?
8. Spróbuj wypracowa¢ ogólny przepis na znajdowanie bazy j¡dra i obrazu dla odwzorowa« takich,
jak w zadaniu 2.(b) i nast¦pnie zastosowa¢ go do znalezienia tych baz dla odwzorowa« zadanych
przy pomocy poni»szych macierzy.


1 0 0 0 0
1 2 2
2 4 6 8
0 2
2 2 2 0 0
(a) 1 1 , (b) 1 3 2 , (c) 1 2 3 4 , (d)  3 3 3 0 0 .
0
0
2
4
4
4
8
12 16
4
5
4
5
4 4 0
5 5 5
9. Wska» (o ile to mo»liwe!) przykªad odwzorowania liniowego T speªniaj¡cego poni»sze warunki.
(a)
T : R 3 → R2 ,
dimk (ker T ) = 1;
(b)
T :R →R ,
dimk (ker T ) = 2,
dimk (im T ) = 2;
(c)
T :R →R ,
dimk (im T ) = 2,
[1, 3, 7] ∈ im T ,
[2, 1, 1, 1] ∈ ker T ;
(d)
T : R[x]2 → R ,
dimk (ker T ) = 2,
x + 2x + 1 ∈ ker T ,
[2, 1] ∈ im T ;
4
4
4
3
2
2
2
(e)
T :R →R ,
T epimorzm;
(f)
T :R →R ,
T monomorzm;
(g)
T :R →R ,
ker T = { [x1 , x2 ] : x1 = 0 ∨ x2 = 0 };
(h)
T :R →R ,
im T = { [x1 , x2 ] : x1 + x2 = 0 };
(i)
T :R →R ,
ker T = lin({ [1, 1, 1], [1, 1, 0] });
(j)
T :R →R ,
im T = lin({ [1, 0, 0], [1, 0, 1] });
(k)
T :R →R ,
ker T = lin({ [1, 0, 0], [0, 1, 0] }),
im T = lin({ [1, 0, 1], [1, 1, 2] });
(l)
T :R →R ,
ker T = lin({ [1, 1, 2], [2, 2, 4] }),
im T = lin({ [1, 0, 1], [1, 1, 2] });
(m)
T : R[x]2 → R ,
(n)
3
3
2
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
3
3
3
ker T = lin({ x + 2x + 3 }),
nh
i h
io
0 0
0 0
T : M2 (R) → R2 , lin
⊆ ker T ,
1 1 , 0 1
2
2
T epimorzm;
im T = lin({ [2, 1] }).
10. Zbadaj, czy poni»sze pary przestrzeni liniowych nad ciaªem R s¡ izomorczne. Je»eli s¡, wska»
konkretny izomorzm.
(a) M2 (R), R3 ;
(b) M2 (R), R4 ;
(c) R[x]4 ,
R4 ;
(d)
R[x]3 ,
R4 ;
(e)
R4 ,
C2 ;
(f)
M3×2 (R),
C3 .
11. Ustalmy odwzorowanie F : R2 → R3 dane wzorem F ([x1 , x2 ]) = [x1 + 2x2 , x1 − 2x2 , x2 ]. Wyznacz
macierz AB,C (F ), gdy B ,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni R2 i R3 :
(a)
B = ( [1, 0], [0, 1] ),
C = ( [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] );
(b)
B = ( [1, 1], [1, 2] ),
C = ( [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] ).
12. Ustalmy odwzorowanie F : R[x]2 → R2 dane wzorem F ([ax2 + bx + c]) = [c + a, c + 2b]. Wyznacz
macierz AB,C (F ), gdy B ,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni R[x]2 i R2 :
(a) B = ( 1, x, x2 ), C = ( [1, 0], [1, 1] );
(b) B = ( 1 + x, x, 3x2 ), C = ( [1, 6], [0, 6] ).
h
i
a b
13. Ustalmy odwzorowanie F : M2 (R) → R[x]2 dane wzorem F
= ax2 +(b+c)x+d. Wyznacz
c d
macierz AB,C (F ), gdy B ,C s¡ nast¦puj¡cymi bazami przestrzeni M2 (R) i R[x]2 :
h
i h
i h
i h
i
1 0
0 2
0 0
0 0
(a) B =
,
,
,
, C = ( x2 + x + 1, x2 + x, x2 );
0 0
0 0
3 0
0 4
h
i h
i h
i h
i
1 1
0 2
0 0
0 0
(b) B =
, C = ( 1, x, 1 + x2 ).
1 1 , 2 2 , 3 3 , 0 4
14. Poni»ej dane s¡ przeksztaªcenia R-liniowe F : V → W okre±lone przez macierz AB,C . Wyznacz
wzór na F (v), dla dowolnego v ∈ V .
h
i
(a) V = R2 , W = R2 ,
B = ( [1, 0], [0, 1] ), C = ( [1, 0], [0, 1] ),
AB,C = 18 −3
−5 ;
h
i
(b) V = R2 , W = R2 ,
B = ( [8, 2], [7, 1] ), C = ( [6, 7], [4, 5] ),
AB,C = 11 −12 ;
1 0
(c) V = R2 , W = R[x]2 , B = ( [1, 1], [1, 0] ), C = ( 1 + x, x, x2 ), AB,C = −1 0 .
1
15. Ustalmy odwzorowania R-liniowe F : M2 (R) → R2 oraz G : R2 → C okre±lone wzorami: F
1
h
a
c
b
d
i
[a + 2b + 3c + 4d, a + d], G([x1 , x2 ]) = (x1 + 5x2 ) +h
2x1 i. Stosuj¡c
wzór na macierz zªo»enia A(G ◦ F )
i
a b
(w dowolnych bazach) wyznacz wzór na (G ◦ F )
.
c d
16. Znajduj¡c macierz odwzorowania F : R3 → R3 zadanego wzorem F ([x1 , x2 , x3 ]) = [x1 , x1 +
2x2 , x1 + 2x2 + 3x3 ] (w dowolnej wybranej bazie R3 ) wyka», »e F jest izomorzmem.
h
i
7 −3
17. Dane jest przeksztaªcenie T : R2 → R2 zadane w bazie standardowej przez macierz 10
−4 .
Znajd¹ macierz tego przeksztaªcenia w bazie ( [1, 2], [3, 5] ).
18. Dane jest przeksztaªcenie T : R → R zadane w bazach z 11.(b) przez macierz
2
3
1
1
2
0
1
2
. Znajd¹
macierz tego przeksztaªcenia w bazach ( [0, 1], [1, 0] ), ( [1, 0, 0], [1, 1, 1], [0, 0, 1] ) przestrzeni R2 i R3 ,
odpowiednio.
h
i
19. Dane jest przeksztaªcenie T : R[x]2 → R2 zadane w bazach z 12.(b) przez macierz 10 21 31 . Znajd¹
macierz tego przeksztaªcenia w bazach ( x2 + x + 1, x + 1, 1 ), ( [1, 2], [1, 0] ) przestrzeni R[x]2 i R2 ,
odpowiednio.
=