MMF – ćwiczenia nr 1

MMF – ćwiczenia nr 1
-
Równania różnicowe
1. Rozwiązać równania różnicowe pierwszego rzędu:
(a) yn+1 – yn = 1 ,
(b) yn+1 – nyn = n! ,
y1 = 1
y1 = 1
Wsk. Podzielić równanie przez n! i podstawić zn  y n /(n  1)!
2. Rozwiązać równania różnicowe drugiego rzędu:
(a)
(b) Fn2  Fn1  Fn ,
(c)
x0  1, x1  2
xn2  5xn1  6 xn  0 ,
y n2  y n 1 y n 1 ,
F0  0, F1  1 (ciąg Fibonacciego).
y 0  4, y1  1
Wsk. Zlogarytmować równanie i potem podstawić z  ln y .
n
3. Rozwiązać równanie: y (n)  y    n ,
2
y(1) = 3.
Wsk.Podstawić n = 2k, po czym
rozwiązać równanie na yk.
4. Obliczyć wyznacznik Dn zdefiniowany jako:
|4 1 0 . . . .
|
|1 4 1 0 . . . .
|
|0 1 4 1 0 . . .
|
|0 0 1 4 1 0 . .
|
|..............
|
|
1 4 | nxn
MMF – ćwiczenia nr 2
1. Znaleźć graficznie liczby: z 3 ,
Funkcje zespolone
3
z , ln z dla (a) z  (4,0)
oraz (b) z  (1, 3 ) .
2. Rozwiązać równania na x: e ix 1, e ix  1, e ix  i .
3. Wyrazić przez „zwykłe” funkcje trygonometryczne/hiperboliczne następujące wyrażenia:
sin(ix), cos(ix), tg(ix),
sh(ix), ch(ix), th(ix).
4. Oszacować wartość wyrażenia W = | sin(i+/4) |.
5. Znaleźć obraz odcinka L przy odwzorowaniu F(z) , jeśli:
(a) F(z) = ez , L – odcinek AB o końcach A=(1,0), B = (1, ) lub
L – prosta o równaniu y = /2 .
(b) F(z) = eiz , L – odcinek AB o końcach A=(,0), B = (, 1).
(c) F(z) = i z , L – oś Oy .
6. Stosując metodę funkcji zespolonych rozwiązać równanie: x' '2x  x  F cos t .
Wsk. Dokonać zamiany: x na z=x+iy oraz cost na eit.
7. Obliczyć całki:
2
I1 =

0
d
2  sin 

,
I2 =


cos x dx
x 4
2

,
I3 =
e

( x i ) 2
dx .
MMF – ćwiczenia nr 3
Funkcje Eulera
Wyrazić przez funkcje Eulera, a następnie uprościć, całki:


1.

x n e  x dx
2
,
2.

1
5.
 (1 

2
,

3.
,
6.
(  ln t ) 3 / 2 dt
,
 (tan t )
4.
0
0
1
t )1 / 3 dt
 /2
1
x n e  x dx
 (1  t )
1/ 3
1/ 3
dt
,
0
(1  t ) 1 / 2 dt
1
0
7. Wyprowadzić zwarty wzór na „silnię” (-n + ½).
N
8. Obliczyć x, dla którego wyrażenie ln   osiąga maksimum.
x
MMF – ćwiczenia nr 4
Transformacja Laplace’a
1. Obliczyć transformaty Laplace’a funkcji: f (t )  t sin t , g(t )  sinht h(t )  cosh t
2. Znaleźć funkcję f(t), dla której transformata Laplace’a wynosi;
~
s 1
f ( s)  2
s 2 s
~
s 3  2s
f ( s)  2 2
( s 1)
,
~
f ( s) 
,
s
s 4s  13
2
.
3. Metodą transformat Laplace’a rozwiązać równania:
(a)
(b)
(c)
f   f   t 2  2t,
f (0)  4 ,
f (0)  2 ,
f   f   6 f  2 ,
f (0)  1,
f (0)  0 ,
f   f  t
f (0)  1,
f (0)  2 .
4. Podobną metodą rozwiązać układ równań:
f   2 g  3t
g  2 f  4
f (0)  2 ,
g (0)  3
.
5. Określić przebieg natężenia prądu elektrycznego I(t) w obwodzie RC , podłączonym do
stałego napięcia U0. Przyjąć, że początkowo kondensator nie był naładowany: Q(0) = 0.
6. Określić przebieg natężenia prądu elektrycznego I(t) w obwodzie RL , podłączonym do
zmiennego napięcia U (t) = U0 sint. Przyjąć, że I(0) = 0.
MMF – ćwiczenia nr 5 – 6
Wielomiany ortogonalne
1. Zortogonalizować wielomiany: 1 ; x ; x2
dla x  1,1 .
2. Napisać równania różniczkowe dla wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa.
3. Podać rozwiązanie równania: (1  x 2 ) f   2 xf   12 f  0 ,
x  1,1 .
f(0)=0,
4. Korzystając ze wzoru Rodriguesa obliczyć współczynniki an i bn przy pierwszych dwóch
najwyższych potęgach wielomianów Legendre’a Pn i Laguerra Lmn (m = 0, 1, 2, . . .) .
5. Obliczyć wartość wielomianu Lmn (m = 0, 1, 2, . . .) dla x = 0.
6. Obliczyć kwadraty norm wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa:
Lmn
2
oraz Pn
2
.
7. Napisać związki rekurencyjne dla wielomianów Laguerre’a i Czebyszewa.
8. Korzystając ze związków rekurencyjnych dla wielomianów obliczyć całki:


(a)

e  x x 2 H 1 ( x ) H 3 ( x ) dx
2
,
(b)

e
x 2 1
x L2 ( x ) L13 ( x )
dx
.
0
9. Korzystając z odpowiednich funkcji tworzących obliczyć Pn (1) ; Hn(0) ; L0n (0) ; L1n (0) .
10. Korzystając z równania rekurencyjnego dla wielomianów Czebyszewa sprawdzić wzór:
Tn ( x ) 
1
2 n 1
cos( n arccos x ) , n
> 1,
T0(x) = 1.
11. Określić wszystkie miejsca zerowe wielomianu T5(x) ,
x  1,1 .
12. Sprawdzić rozwinięcie dla funkcji tworzącej dla wielomianów Czebyszewa:

4  w2

w n Tn ( x ) .

2
4  4wx  w
n 0
Wsk. Pomnożyć całe równanie przez mianownik lewej strony, a następnie
przyrównywać współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej w po obu
stronach otrzymanej równości. Porównac wyniki z równaniem rekurencyjnym dla
tych wielomianów.
MMF – ćwiczenia nr 7
-
Funkcje sferyczne
1. Napisać jawne wzory na wszystkie funkcje sferyczne Ylm(,) wywodzące się z
wielomianu Legendre’a P2(t), gdzie t = cos .
2. Obliczyć normę Y2,1 .
3. Wyrazić wielomian Pl(t) przez funkcje sferyczne Ylm(t,).
4. Wyrazić funkcję f(x,y,z) = xy przez funkcje sferyczne Ylm(,).
5. Na sferze jednostkowej zaznaczyć punkty, gdzie Y2,1(,) = 0.
6. Sprawdzić, że równanie Laplace’a jest spełnione również przez funkcję
f ( r, , )  r l 1 Yl ,m ( , ) [niezależnie od funkcji f ( r, , )  r l Yl ,m ( , ) ].
7. Wykazać, że funkcje sferyczne są funkcjami własnymi operatora trzeciej składowej
L3 momentu pędu, tzn. że L3 Yl ,m  m Yl ,m (  - stała Plancka podzielona przez 2),
gdzie L3 =  i


.
2
8. Sprawdzić, że funkcja f ( x, y, z) =
 ( z  ix cos u  iy sin u)
l
e imu du
speełnia równanie
0
Laplace’a. Na tej podstawie podać – z dokładnością do stałej - całkowe przedstawienie
funkcji sferycznych.
MMF – ćwiczenia nr 8 – 9
1. Wykazać, że J n ( x)  (1) n J n ( x)
-
Funkcje Bessela
(n – liczba naturalna).
2. Podać (nieosobliwe) rozwiązanie równania: x 2 f   xf   (4 x 2  9) f  0 .
3. Podać szereb Bessela dla równania: x 2 f   xf   ( x 2  v 2 ) f  0 .
4. Wyrazić funkcje sin x oraz cos x przez funkcje Bessela (we wzorze na funkcję tworzącą
podstawić w = i ).
5. Wykazać, że J n ( x  y ) 

J
n k ( x ) J k ( y )
. (Wsk. Funkcje tworzące).
k  
2
6. Zapisać w postaci szeregu liczbowego całkę I =
 cos( 2 sin  3 ) d
.
0
~
7. Wykazać, że transformata Laplace’a funkcji Bessela J0(t) wynosi J 0 ( s) 1 / s 2  1 , zaś
1
funkcji J 0 (2 t ) wynosi e 1 / s
s
8. Wyrazić przez funkcje elementarne funkcję J 3 / 2 ( x) .
9. Znaleźć dwa związki między funkcjami J0 oraz J1 . (Wsk. Wzory rekurencyjne dla
funkcji Bessela).
10. Udowodnić, że J v 1  J v 1 
2v
Jv .
x
11. To samo dla sferycznych funkcji Bessela:
12. Rozwiązać równanie: R' '
jl 1  jl 1 
2
l (l  1) 

R   k 2 
R 0
r
r 2 

Wsk. Dokonać zamiany zmiennych: r  y = kr,
czyli r 
2l  1
jl .
x
R = R(r) .
RS=
y
R,
y
, R  y 1 / 2 S .
k
13. Sprawdzić ortogonalność funkcji J 1/ 2 (2 x) oraz J 1/ 2 ( x) dla L = 1.
MMF – ćwiczenia nr 10 - 11
-
Dystrybucje
1. Sporządzić wykresy funkcji:  ( x) ,  ( x 2  a 2 ) ,  (a 2  x 2 ) ,  ( x 2  4 x  3) , gdzie (x) –
funkcja schodkowa Heaviside’a.
2. Obliczyć sploty dwóch ciągów (an) i (bn) : a  a oraz a  b , gdzie an  1,n   2,n ,
bn = 1,n  2 2,n   3,n , n – liczba całkowita.
3. Obliczyć sploty funkcyjne f  g dla:
(a) f ( x)   (1  x 2 ) , g ( x)   ( x)
(c)
f ( x)  G ( x) ,
g ( x )  G ( x ) ,
f ( x)  x 2 (1  x 2 ) , g ( x)  x ( x) ,
(b)
G – funkcja Gaussa równa G ( x ) 
1
2 
ex
2
/ 2 2
Na podstawie otrzymanego wyniku napisać zwarty wzór na n – krotny splot:
G  G . . .  G .
4. Obliczyć wartości główne całek:
(a) I = P

4
0
dx
x 1
,
(b)
5. Znaleźć granice ciągów przy n → :
I=P

x dx

x 1

(a) P
6. Znaleźć granice ciągów dystrybucyjnych: (a)
2
2A
. Porównaj z całką: lim
A
cos nx
(b)
x
f n ( x)  n e n |x 1| ,

A
x dx
x2 1
.
cos ( x / n )
.
x
(b) f n ( x)  n e  |nx1|| .
P
7. Napisać ciąg -podobny ( ) startując z funkcji (- f F (x) ) , gdzie funkcja Fermiego
f F ( x) 
1
ex 1
.
8. Uprościć iloczyny: A = x  (3  2 x) ,
9. Uprościć sploty: A = x  (3  2 x) ,
B = x  ( x 2  4) , C = sin(x)  ( x 2  4)
B = x  ( x 2  4) , C = sin(x)  ( x 2  4)
10. Naszkicować wykresy pierwszej i drugiej pochodnej dystrybucyjnej dla funkcji:
(a) f ( x)  e |x| ,
(b) f ( x)   ( 2  x 2 ) sin x .
11. Obliczyć pochodną dystrybucyjną funkcji f (x) = ln( | x |) .
12. Uprościć wyrażenia: A = x (x) ,
B = x 2 ( x)


13. Rozwiązać równanie: f (r )  k 2 f (r )   (r)
C = x 3 ( x) .
1
r
(Wsk. Skorzystać ze wzoru na laplasjan funkcji f o ( r )  e r : f 0   2 f 0  4 (r) ).
.
MMF – ćwiczenia nr 12 - 13
-
Transformacja Fouriera
1. Obliczyć transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f ( x)  e  | x | ,
(c) f ( x ) 
x
x 1
2
(b) f ( x ) 
(d) f ( x ) 
,
1
x2 1
cos x
x2 1
,
.
2. Obliczyć dwuwymiarowe transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f ( x, y )   ( R  r) ,
1
r
(b) f ( x, y )  e  r .
r  x2  y2 ,
W zadaniu (b) przyjąć następującą definicję transformaty:

fˆ ( q ) 
 


e  2i qr f ( r ) d 2 r

R
.
2
3. Obliczyć trówymiarowe transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f ( x, y, z)   ( R  r) ,
1
r
(b) f ( x, y, z )  e  r .
r  x2  y2  z2 ,
4. Obliczyć dystrybucyjne transformaty Fouriera dla funkcji:
(a) f ( x ) 
x3
x2 1
,
(c) f ( x)  x sin x ,
(b) f ( x)  cos 2 x ,
(d) f ( x )  P
5. Znaleźć szczególne rozwiązania równania:
(a) f ( x)  4 f ( x)   ( x) ,
(b) f ( x)  f ( x)  f ( x)   ( x) .
1
.
x
MMF – ćwiczenia nr 14 -
Szeregi Fouriera
1. Napisać wykładniczy i trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji okresowych:
(a) f (x)  sin3x ,
(b) f ( x)  1 (dla x0, 1) ) oraz f(x) = 0
Okres periodyczności L = 2.
(c) f(x) = x2 , dla x-1, 1),
(dla x1, 2) ).
L = 2.
2. Rozwinąć w (wykładniczy i trygonometryczny) szereg Fouriera dystrybucje:

(a) f ( x ) 
 ( x  2m  1)
m  

(b) f ( x ) 
[ ( x  4m  1)   ( x  4m  2)] .
m  
(c) f(x) = (sinx).
3. Napisać skończony szereg Fouriera Â dla ciągu An = 1,n   2,n , n, v = 0, 1, 2, .. . N-1.
TEMATYKA WYKŁADÓW
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Liczba wykładów
Wstęp. Funkcje zespolone
Funkcje Eulera
Transformacja Laplace’a
Wielomiany ortogonalne
Funkcje sferyczne
Funkcje Bessela
Dystrybucje
Transformacja Fouriera
Szeregi Fouriera
1
1
1
2
1
2
2
2
2
Kolokwia
- Siódmy i czternasty tydzień zajęć (zamiast wykładów)
- Każde kolokwium: 5 zadań po 2 punkty (łącznie za dwa kolokwia 20 pkt.)
- Osoby, które uzyskają 16 lub więcej punktów, mogą być zwolnione z egzaminu (z oceną
końcową 3; 3,5 ; 4; 4,5 ; lub 5).
- Dopuszczalne 3 nieusprawiedliwione nieobecności. Każda następna – jeden punkt ujemny.