Wartość pieniądza w czasie - E-SGH

Marek Garbicz
Wartość pieniądza w czasie
Ekonomista
często
staje
przed
problemem
prowadzenia
rachunku
ekonomicznego w sytuacji, gdy przychody i nakłady pochodzą z różnych okresów
czasu. W takim rachunku nie możemy po prostu sumować kosztów (czy przychodów)
z różnych momentów czasowych. Nie jest także poprawne proste porównywanie
poniesionych nakładów i osiągniętych korzyści. We wszystkich tych przypadkach
musimy bowiem brać pod uwagę, że pieniądz zmienia swą wartość
w czasie.
Dlaczego wartość pieniądza ulega zmianie?1 Zróbmy zatem pewien eksperyment
myślowy. Zapytajmy mianowicie samych siebie czy potraktowalibyśmy jako
równorzędne dwie oferty: (a) otrzymać dziś 100 zł, (b) otrzymać te same 100 zł za
rok. Nasza odpowiedź jest na ogół taka, że wolimy otrzymać określoną sumę
pieniędzy dziś.
To, że bardziej cenimy złoty dziś niż ten sam złoty w przyszłości wynika z trzech
przyczyn:

kosztu utraconych możliwości,

ryzyka,

inflacji.
Koszt utraconych możliwości:
Lokując
pieniądze w jakiekolwiek przedsięwzięcie tracimy możliwość
osiągania korzyści z tytułu alternatywnego wykorzystania naszych środków
pieniężnych. Jeżeli
istnieje więcej niż jedna alternatywa (może ona polegać na
założeniu lokaty
bankowej, zakupie papierów wartościowych, uruchomieniu
dochodowej działalności produkcyjnej lub handlowej, zakupie nieruchomości z którą
1
Interesujące studium tej sytuacji i jej konsekwencji czytelnik może znaleźć w: R. Pindyck, D. Rubinfeld:
Microeconomics, 6th edition, Pearson Education International, New Jersey 2005, rozdział 15. Sporo
przykładów jest także dostępnych w rozdziale Economics of Time pozycji J. Hirshleifer, A. Glazer: Price
Theory and Applications, Prentice - Hall International Editions New Jersey, wydanie 5 i późniejsze
1
wiążemy nadzieję na przyszły wzrost wartości, zakupie dzieł sztuki, rzadkich
znaczków czy wyrobów jubilerskich), wybieramy najkorzystniejszą.
Przyjmijmy, że ta najlepsza alternatywa oznacza lokatę bankową przynoszącą
nam r% przychodu od kapitału rocznie. W rezultacie po roku mielibyśmy K + r K =
(1+r)K pieniędzy zakładając, że inicjujemy naszą działalność gospodarczą z
kapitałem K zł. Właśnie dlatego wolimy dostać obiecaną sumę pieniędzy wcześniej,
bo możemy posiadany kapitał pieniężny wykorzystać jako źródło dochodu. Jeśli
kapitał otrzymamy później te dochody nie pojawią się. Te nieosiągnięte dochody
stanowią koszt alternatywny, koszt utraconych możliwości.
Po drugim roku kapitał, który lokujemy wyniesie:
Lokata: (1+r)*K plus oprocentowanie po roku r (1+r)K, co daje razem (1+r)K +
2
r(1+r)K = (1+r) K zł po drugim roku. Po trzecim roku mamy do dyspozycji kapitał na
lokatę w wysokości (1+r)2 K plus oprocentowanie r (1+r)2 K, co łącznie przynosi:
(1+r)2 K + r(1+r)2 K = (1+r)2 K (1+r) = (1+r)3 K
Widać (formalnie można to pokazać metodą indukcji), że po t latach kapitał
t
t
powiększyłby się do K(1+r) . Dzisiejsze K zł równoważne jest K(1+r) zł po t latach.
Odwróćmy teraz nasze rozumowanie: skoro 1 zł - dziś wart jest (1+r)t - w roku
t, to jaka jest wartość 1 zł z roku t w złotych roku zerowego (czyli dziś).
Rok 0
1
1/(1+r)t
Rok t
≡
(1+r)t
≡
1
Wyrażenie 1/(1+r)t może być interpretowane jako dzisiejsza cena 1 złotego w
roku t – tym ze względu na koszt utraconych możliwości.
Przykład 1: Niech koszt alternatywny mierzony oprocentowaniem rocznych bonów
skarbowych wynosi 7,3% w skali rocznej2. Zakładamy, że oprocentowanie to jest
stałe w czasie. Ile warta jest dziś (rok 2007) dywidenda w wysokości 32 zł jaką
zapłaci spółka X w 2011 roku?
Rozwiązanie: Koszt alternatywny 7,3% = 0,073. Dywidenda zostanie wypłacona za
4 lata, czyli t = 4. Jeden złoty za cztery lata w dzisiejszych złotych wart jest
1/(1+0,073)4 = 1/1,0734. Cała dywidenda warta jest 32 razy tyle, tj. 32/1,073 4.
2
Operacja, jaką wykonaliśmy nazywa się dyskontowaniem. Dyskontowanie to
sprowadzanie wartości pieniężnych z różnych okresów do wartości pieniądza z
okresu bazowego (z reguły jest to moment dzisiejszy). By zdyskontować - wystarczy
pomnożyć ilość złotych z dowolnego okresu t przez współczynnik dyskontujący o
znanej nam już postaci 1/(1+r)t. Wielkość r nazywa się stopą dyskonta.
Współczynnik dyskontujący dla okresu bazowego ma wartość 1 (bo dla tego okresu
zachodzi t = 0). Współczynniki dyskontujące pokazują, że wraz z wydłużaniem się
okresu t, wartość pieniądza spada. Niech np. jak poprzednio r = 7,3%, wówczas
wartość współczynnika dyskontującego, tj. wartość 1 zł z przyszłych okresów w
złotych z 2007 roku będzie wynosiła odpowiednio dla różnych lat (w pierwszym
wierszu odległość w latach od dziś):
1
2
3
4
8
10
30
50
100
0,932
0,869
0,809
0,754
0,569
0,494
0,121
0,030
0,001
Oznacza to, że przyszłe, odległe zdarzenia mają znikomą wartość dla rachunku
ekonomicznego. W naszym przykładzie, dla stopy dyskonta 7,3%, zdarzenia za 30
lat i więcej mogą być w praktyce zaniedbywane jako nieistotne.
Ryzyko
Całe powyższe rozumowanie dotyczy sytuacji pewności. Co stanie się jeżeli
uwzględnimy stan ryzyka?
Niech f(s) oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa, iż spodziewany
dochód w przyszłym roku uszczuplony zostanie o sK, gdzie 0  s  1 i tym samym
dochód wyniesie K - sK. Wtedy, możemy zdefiniować sobie miarę ryzyka w postaci
wartości oczekiwanej p = E(s) = sf(s)ds iż spodziewany dochód w przyszłym roku
ulegnie zmniejszeniu, średnio biorąc, p razy (0  p  1).
Przykład 2: Przyjmijmy, że posiadamy majątek o wielkości D. Istnieją jednak różne
zagrożenia poniesienia straty. Na przykład, prawdopodobieństwa potencjalnych strat
wyglądają następująco: 40% - brak strat, 20% - strata połowy majątku, 30% - strata
2
Uwaga: wielkość fikcyjna, nie odpowiada polskim realiom; przyjęta jedynie dla potrzeb zadania.
3
trzeciej części, 10% - utrata wszystkiego. Oczekiwane ryzyko strat p wynosi więc w
naszym przykładzie: p = 0,4*0+0,2*0,5+0,3*0,333+0,1*1 = 0,3.
Jeżeli porównujemy pewny dochód obecnie z przyszłym oczekiwanym
dochodem to, biorąc pod uwagę stopień ryzyka związany z przyszłymi dochodami i
miarę ryzyka p, przewidywany, przyszły dochód K równoważny jest bieżącemu - i
traktowanemu jako pewny - dochodowi w wysokości K(1 - p). Dla małych wartości p
(tj. kiedy p jest małym ułamkiem) wyrażenie 1 - p może być w przybliżeniu3 zapisane
jako 1/(1+p). Zatem wyrażenie K(1 - p) jest w przybliżeniu równe K/(1+p). Ale wiemy,
że K(1 - p) jest wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego. K/(1+p) jest
więc też wartością K zł z roku 1 wyrażoną w zł roku bazowego.
W efekcie czynnik ryzyka skłania nas
do
wyceny przyszłego dochodu
według stopy dyskonta 1/(1+p). Ponieważ p jest miarą ryzyka tylko dla jednego
okresu, to stopa dyskonta dla t - tego roku wyniesie - o ile
stopy ryzyka
są
t
identyczne dla wszystkich lat 1/(1+p) .
Inflacja
Najbardziej oczywistym powodem spadającej wartości pieniądza w czasie jest
inflacja, tj. zjawisko wzrostu cen. Jeżeli uwzględnimy roczne tempo wzrostu cen , to
po upływie roku wartość 1 złotego wyniesie, mierząc go wartością dzisiejszych
złotówek, 1/(1+). Po dwóch latach ta wartość złotego będzie 1/(1 + )2. Ostatecznie
dyskontujemy (dla okresu 0) dochody przyszłych okresów stopą 1/(1+)t, gdzie t –
numer okresu.
Stopa dyskonta
Niech koszt utraconych możliwości wynosi w poszczególnych latach r1, r2,... ri . ;
niech stopa ryzyka wynosi p1, p2, ....pi,....; niech stopa inflacji wynosi 1, 2, .... i,....
Wówczas stopa dyskonta dla roku i wynosić będzie:
Wynika to z rozwinięcia wyrażenia 1/(1+p) w szereg Maclaurina. Tym samym przyszły dochód K
traktujemy jako wartość K/(1+p) z okresu t = 0.
3
4
1
__________________________
i
i
i
[ (1+rk )*  (1+pk )*  (1+k )]
k=1
k=1
k=1
Jest często stosowaną praktyką założenie, że wszystkie ri = r, pi = p oraz i = .
Uzasadnieniem dla tej praktyki jest fakt, że zazwyczaj nie posiadamy dostatecznych
informacji by móc w sposób zobiektywizowany różnicować wartości tych parametrów
dla poszczególnych lat i wówczas na ogół przyjmujemy wartości aktualne. W tych
okolicznościach stopa dyskonta dla roku i upraszcza się do postaci:
1
_________________________
[(1+r)(1+p)(1+)]i
Stopa dyskonta może być interpretowana jako cena pieniądza w roku i-tym wyrażona
w jednostkach roku zerowego. Jeżeli wielkości r, p,  nie są duże możemy w
przybliżeniu zapisać (1+r)(1+p)(1+)  1 + r + p + . W praktyce posługujemy się
takim zapisem, gdzie wyrażenie R = r + p +  łącznie ujmuje trzy elementy rachunku:
koszt utraconych możliwości (w wymiarze realnym), ryzyko i inflację. Uwzględniając
tę notację współczynniki dyskontujące są wówczas wyrażeniami o postaci 1/(1+R) i.
Jak oszacować stopę dyskonta dla potrzeb praktycznych?
Wykonując praktyczne obliczenia musimy znać wartość stopy dyskonta.
Wymaga to prognozy wielkości inflacji , oszacowania przyszłego ryzyka p oraz
kosztu alternatywnego r. Przy niskiej wartości inflacji (jak obecnie w Polsce)
prognoza przyszłej dynamiki cen może być oparta na aktualnych wskaźnikach zmian
cen. Nie popełnimy zapewne wielkiego błędu, gdy przyjmiemy do rachunków
prognozowaną inflację roczną na poziomie 2 – 3%. Ocena wielkości kosztu
alternatywnego jest z reguły oparta o realną (czyli po odjęciu inflacji) stopę zwrotu z
5
aktywów pozbawionych ryzyka. Takimi aktywami są skarbowe papiery dłużne, tj.
bony i obligacje skarbowe. Ponieważ papiery te emituje minister finansów, ryzyko ich
nie odkupienia jest praktycznie zerowe. Roczne stopy zwrotu z tych aktywów są
publikowane (np. w dzienniku „Rzeczpospolita”, czy też są dostępne w serwisach
internetowych). Na przykład średnia rentowność 5-letnich obligacji skarbowych (w
ujęciu rocznym) wynosi obecnie 4,99% (Rzeczpospolita z 21 lutego 2007). I ta
wielkość może być potraktowana jako przybliżona miara kosztu alternatywnego dla
polskiej gospodarki w 2007 roku i ewentualnie dla lat przyszłych. Z jednym jednak
kluczowym zastrzeżeniem. Zauważmy bowiem, że powyższa stopa zwrotu z obligacji
jest stopą nominalną, a nie realną. Rentowność ta zawiera już prognozowaną
inflację. Jeśli zatem wykorzystamy wielkość 4,99% dla szacowania stopy dyskonta,
to nie wolno nam dodawać jeszcze inflacji, bo wówczas inflacja zostałaby
uwzględniona dwukrotnie: raz poprzez zastosowanie nominalnej stopy zwrotu z
obligacji (zawierającej przyszłą dynamikę cen), i drugi raz przez dodanie
prognozowanej dynamiki cen. Z kolei jednak, gdy prowadzimy rachunki w cenach
stałych, musimy pamiętać, by posługując się rentownością papierów skarbowych
korygować dane źródłowe (zawierające wielkości nominalne) o prognozę inflacyjną.
Najbardziej arbitralną oceną jest szacunek ryzyka. Nie posiadamy tu
zobiektywizowanych miar. Dla polskiej gospodarki praktyczną wskazówką jest
odwołanie się do pomiaru ryzyka gospodarczego w krajach najwyżej rozwiniętych.
Ryzyko w Polsce nie może być niższe niż np. w USA czy w Europie Zachodniej. Dla
tych ostatnich krajów, o długiej tradycji gospodarki rynkowej, można statystycznie
wyliczyć ryzyko jako różnicę między średnią stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z
papierów skarbowych. Akcje są papierami ryzykownymi, gdyż firmy mogą zawsze
zbankrutować. Rynek musi wynagradzać to ryzyko w postaci wyższych stóp zwrotu z
akcji niż z bezpiecznych obligacji. Jeśli dysponujemy dostatecznie długim szeregiem
czasowym (co najmniej kilkadziesiąt lat dla wyeliminowania skutków wahań
koniunktury; w Polsce okres funkcjonowania giełdy jest niestety raczej za krótki), to
wówczas możemy przeprowadzić odpowiednie rachunki. Dla krajów rozwiniętych
nadwyżka stopy zwrotu z akcji nad rentownością papierów skarbowych, czyli miara
ryzyka, wynosiła w latach 1970 – 1990 około 3,5% - 5,5% w skali rocznej. Wyznacza
to dolny pułap dla ryzyka szacowanego dla Polski. Po wejściu do Unii Europejskiej
6
średnie ryzyko dla polskiej gospodarki można zatem przyjąć na poziomie około 6%
(także w skali rocznej).
Powyższe rozważania sugerują, że przy rachunkach prowadzonych w cenach
bieżących stopa dyskonta R = r + P +  dla polskiej gospodarki może być ostatecznie
wyznaczana (dla warunków 2007 roku) na poziomie R = 4,99% + 6,00% ≈ 11,0%.
Rachunki w cenach stałych wymagałyby korekty R polegającej na odjęciu
prognozowanej inflacji rzędu 2% rocznie, co wyznacza stopę dyskonta R ≈ 9,0%.
Wycena papierów wartościowych
Zakładamy, że dany papier wartościowy wart jest tyle ile przyniesie on dochodu
w całym okresie jego życia. W przypadku akcji - teoretycznie - okres ten jest
nieskończenie wielki, natomiast dla obligacji obejmuje on okres do momentu wykupu.
Przeprowadzamy następujące rozumowanie: kurs bieżący papieru równy jest
sumie zdyskontowanych przychodów w całym okresie życia papieru. Przyszłe
przychody są zdyskontowane, bowiem jest to procedura pozwalająca sprowadzić
"przyszłe złotówki" do "dzisiejszych złotówek", wyrazić dochody przyszłych okresów
w dzisiejszej cenie pieniądza.
Ustalenie stopy dyskonta może być dość kłopotliwe. Po pierwsze, koszt
utraconych możliwości jest jednak wielkością subiektywną i różną dla każdego
podmiotu. Po drugie, ocena ryzyka jest także indywidualnie bardzo zróżnicowana,
zaś ocena przyszłej inflacji niepewna. W efekcie każdy podmiot może przyjmować
różne stopy dyskonta zależne od jego oceny ryzyka, przewidywanego tempa wzrostu
cen i kosztu utraconych możliwości. Powoduje to, że nawet wówczas gdy przyszłe
przychody oceniane są identycznie przez dwa różne podmioty, wartość danego
aktywu może być różnie oszacowana ze względu na różnice w przyjętej stopie
dyskontowej.
W jaki sposób określamy przyszłe przychody? Dochody z akcji to np. coroczne
dywidendy, zaś z obligacji to coroczne oprocentowanie plus, w ostatnim roku,
nominalna wartość obligacji (wykup obligacji). Zauważmy przy tym, że prognoza
7
wielkości
wypłacanych
w przyszłości
dywidend
wymaga
dwóch
zabiegów:
umiejętności przewidywania przyszłych zysków spółki i prawidłowej oceny przyszłej
polityki spółki co do podziału zysku. Są to wielkości jedynie przewidywane, a zatem
niepewne. Będą zapewne duże różnice w subiektywnej ocenie inwestorów co do
przyszłych dokonań spółek. W mniejszym stopniu dotyczy to obligacji, bo tu
nominalne oprocentowanie jest ustalone z góry.
Niech zatem obecny rynkowy kurs akcji np. firmy MAX wynosi K. Jeżeli nasza
ocena wartości tego aktywu oszacowana według powyższej metodologii wynosi L <
K, to jako właściciel sprzedajemy papier bo zarabiamy K - L. Wszyscy dla których L
< K kreują tym samym podaż akcji MAX. Są zapewne i tacy, dla których L > K i ci
zechcą
akcje
MAX kupować bowiem zyskują L
- K. Ostatecznie suma
indywidualnych strumieni podaży i popytu wyznaczy rynkowy kurs akcji MAX.
Akcje
Niech roczne realne dochody z akcji MAX (dywidendy) są stałe i wynoszą d.
Operując wielkością realnych przychodów możemy pominąć czynnik inflacyjny .
Czynnik dyskontujący jest stały R = r + p. Wartość akcji szacujemy zatem jako sumę:


 d/(1+R)i = d* 1/(1+R)i = d/R
i=1
i=1
Ponieważ d jest stałe, to możemy ten czynnik wyciągnąć przed nawias.
Nieskończona suma  1/(1+R)i jest sumą wyrazów postępu geometrycznego o
ilorazie 1/(1+R) i pierwszym wyrazie równym 1/(1+R). Suma takiego postępu jest
dana wzorem: Suma = a1
wyraz. Suma =
1
, gdzie q – iloraz postępu q < 1 oraz a 1 pierwszy
1 q
1 1 R
1
= .
1 R R
R
Jeżeli dochody d są wielkościami nominalnymi konieczne jest dodanie do
współczynnika R składnika inflacyjnego .
Przykład 3: Niech firma Y płaci rocznie 2,5 zł dywidendy w przeliczeniu na akcję.
Przyjmijmy oszacowaną wyżej stopę dyskonta na poziomie R = 11%. Aktualny kurs
8
akcji wynosi 26,30 zł. Ile warta jest ta akcja? Czy opłacalny jest zakup akcji? Czy
może warto akcje sprzedać?
Rozwiązanie: R = 0,11, zaś d = 2,5 zł. Wartość akcji = d/R = 2,5/0,11 = 22,73 zł.
Jeśli jesteś posiadaczem takiej akcji to sprzedaż jest opłacalna, bo dostajesz więcej
niż jest ona warta (26,30 > 22,73).
Obligacje
Niech obligacja o wartości nominalnej B i oprocentowaniu rocznym  żyje T lat.
Zdyskontowana suma przychodów wyznaczająca wartość obligacji może być
szacowana następująco:
T
B* *  1/(1+R)i + B/(1+R)T
i=1
Zakładamy, że wyliczamy wartość obligacji w momencie emisji. Zdyskontowana
suma jest skończona bowiem właściciel obligacji czerpie stałe, coroczne przychody
w wysokości B* przez T lat. Ponadto w roku T następuje wykup obligacji po cenie
nominalnej B. Ponieważ B jest nominalną wartością obligacji (cena zakupu w
momencie t=0), to współczynnik dyskontujący musi zawierać  (R = r + p + ).
Przykład 4: Niech obligacja ma wartość nominalną B = 200 zł w momencie emisji, tj.
na rynku pierwotnym. Oprocentowanie obligacji , wypłacane raz do roku, wynosi
4% w stosunku do ceny nominalnej, tj. 8 zł rocznie na 1 obligację. Czas życia
obligacji (tzw. okres zapadalności) T = 5 lat. Stopę dyskonta wyliczamy na poziomie
R = 10,5%. Ile warta jest ta obligacja?
Rozwiązanie: R = 0,105, zaś B = 200,  = 0,04, T = 5.
B = 200*0,04 = 8. Wartość obligacji =
8
8
8
8
208
+
+
+
+
=
3
4
5
1,105
1,105
1,105
1,105
1,105 2
151,34 zł. Ostatni wyraz sumy poza odsetkami zawiera wykup obligacji po cenie
nominalnej w piątym roku.
9
Wartość bieżąca netto (NPV)
Przyjmijmy, że przez g lat realizujemy inwestycję która przynosić będzie po jej
ukończeniu roczne, stałe zyski w wysokości d. Niech łączny okres budowy i
eksploatacji
obiektu
wynosi
T
lat.
W
roku
T inwestycja jest całkowicie
zamortyzowana i wartość środków trwałych = 0. Zakładamy, że Ki oznacza nakłady
inwestycyjne w roku i. Kiedy uznamy opłacalność inwestycji? Sensowne jest
przyjęcie kryterium, iż warunkiem opłacalności jest by przychody z inwestycji w całym
okresie jej eksploatacji przewyższały nakłady. Nie możemy jednak zastosować
prostej formuły:
g
 Ki < (T - g)*d
i=1
jako kryterium bowiem musimy uwzględnić zmiany wartości pieniądza w czasie. Stąd
musimy dyskontować zarówno nakłady jak i zyski dla jakiegoś ustalonego momentu.
Niech momentem tym będzie początek budowy obiektu (t = 0). Wówczas nasze
kryterium przyjmie postać:
g
T
 Ki /(1+R)i <  d/(1+R)i
1
g+1
Po lewej stronie nierówności mamy zdyskontowane na rok zerowy nakłady
inwestycyjne. Suma nakładów ma g składników, bo tyle lat trwa budowa. Po prawej
stronie występują zdyskontowane zyski, które pojawiają się dopiero w roku g+1, tj.
po zakończeniu inwestycji i są realizowane do roku T. Jeżeli warunek ten będzie
spełniony, wówczas możemy uznać inwestycję za opłacalną. Powyższy warunek
można zapisać także nieco inaczej:
T
g
 d/(1+R)i -  Ki /(1+R)i > 0
g+1
1
Wyrażenie po lewej stronie nazywamy wartością bieżącą netto (net present value,
NPV). Zarówno przychody jak i nakłady dyskontowane są na ten sam moment i
10
dodawane do siebie, z tym iż nakłady traktowane są jako wielkości ujemne. Dodatnia
wartość NPV świadczy, że nakłady z nadwyżką pokryte są przez przychody. W tym
przypadku, gdy NPV > 0 uznajemy inwestycję za opłacalną. Gdy zachodzi natomiast
NPV < 0 inwestycja nie jest atrakcyjna.
Przykład 5: Cykl inwestycyjny trwa 2 lata, a rozkład nakładów inwestycyjnych w
czasie jest następujący: rok 1 – 31,0 mln zł, rok 2 – 2,6 mln zł. Po zakończeniu
okresu budowy rozpoczynamy eksploatację obiektu, która trwa 3 lata przynosząc
zyski po 14,0 mln zł rocznie. Czy inwestycja jest opłacalna, jeśli przyjęta stopa
dyskonta wynosi 11%?
Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,11. Wyliczamy wartość bieżącą netto jako:
3
4
5
2
NPV(R = 0,11) = 14/1,11 +14/1,11 +14/1,11 - 31/1,11 – 2,6/1,11 = - 2,27 < 0
Nakłady inwestycyjne (ze znakiem minus) dyskontujemy dla pierwszego i drugiego
roku, zaś zyski (ze znakiem plus) dyskontujemy dla okresu od trzeciego do piątego.
NPV = - 2,27 i jest ujemne co oznacza, że nie opłaca się inwestować.
Przykład 6: Czy coś zmieni się w poprzednim zadaniu jeśli nakłady inwestycyjne
będą rozłożone inaczej, tj. w roku 1 – 2,6 mln zł, w roku 2 – 31 mln zł?
Rozwiązanie: Teraz wyliczamy wartość bieżącą netto jako:
NPV(R = 0,11) = 14/1,113 +14/1,114 +14/1,115 - 2,6/1,11 – 31/1,112 = 0,26 > 0
NPV = 0,26 i jest dodatnie co oznacza, że tym razem inwestycja byłaby opłacalna.
Zauważmy porównując wynik z przykładu 5 i 6, że łącznie nakłady inwestycyjne były
w obu przykładach takie same tj. 33,6 mln zł. Ale ich rozkład w czasie był odmienny.
Procedura dyskontowania oznacza, że im bardziej odległy w przyszłości moment,
tym mniejsza jest wartość złotego wyrażona w dzisiejszych złotych. Zatem - z punktu
widzenia opłacalności projektu inwestycyjnego - im później ponosimy nakłady i im
wcześniej pojawiają się efekty tym lepiej. Wyliczenie wartości
bieżącej netto
pozwala uchwycić ten ważny aspekt czasowy rozkładu przychodów i nakładów.
Przykład 7: Wylicz wartość bieżącą netto następującego przedsięwzięcia. Kupujesz
dziś po cenie 95 zł obligację o nominale 100 zł. Wiesz, że podlega ona wykupowi za
11
2 lata przynosząc po 5% odsetek rocznie. Zakładamy brak ryzyka i inflacji, zaś stopa
procentowa od lokat wynosi 6% rocznie. Czy transakcja jest opłacalna?
Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,06 (równa stopie procentowej od lokat, bo nie
ma ryzyka i inflacji), wartość nominalna obligacji B = 100, roczne oprocentowanie
obligacji  = 0,05, okres do wykupu T = 2.
NPV(R = 0,06) = 100*0,05/(1+0,06) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,06) 2 – 95 = 3,17 > 0
Wyliczamy wartość NPV dla stopy dyskonta 6% jako zdyskontowaną sumę
przychodów (w tym przypadku odsetki i wartość wykupionej przez emitenta obligacji)
pomniejszoną o zdyskontowaną sumę nakładów (w tym przypadku jest to koszt
zakupu papieru wartościowego). Pierwszy składnik sumy to wartość odsetek w roku
nr 1 w złotych roku bazowego (zerowego), drugi składnik – odsetki plus wartość
nominalna wykupionej obligacji zdyskontowana dla dwóch lat. Od tej sumy
odejmujemy 95 zł jako nakład na zakup obligacji. Ponieważ zakup ten nastąpił w
roku zero współczynnik dyskonta jest tu równy 1. Wartość bieżąca netto NPV wynosi
3,17 zł i jest dodatnia co oznacza, że transakcja jest opłacalna.
Przykład 8: Co zmieni w poprzednim przykładzie wzrost stopy dyskonta do 10%?
Rozwiązanie: Stopa dyskonta R = 0,1, wartość nominalna obligacji B = 100, roczne
oprocentowanie obligacji  = 0,05, okres do wykupu T = 2.
NPV(R = 0,1) = 100*0,05/(1+0,1) + (100*0,05 + 100)/(1 + 0,1)2 – 95 = -3,68 < 0
Widać, że wzrost stopy dyskonta spowodował, że inwestycja przestała być opłacalna
(NPV < 0)
Przykład 8 pokazuje bardziej ogólną prawidłowość. Wartość bieżąca netto jest
malejącą funkcją stopy dyskontowej. Pokazuje to rysunek poniżej.
12
NPV
R
Dla dostatecznie dużej stopy dyskontowej NPV będzie zawsze ujemne, a
przedsięwzięcie inwestycyjne nieopłacalne.
Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR)
Wartość R taka, że dla danych Ki i di wartość bieżąca netto równa się zero
nazywana jest wewnętrzną stopą zwrotu (internal rate of return, IRR). Oznacza to, że
wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa, dla której zachodzi NPV (IRR) = 0.
Wewnętrzna stopa zwrotu mówi nam, na jaką średnioroczną stopę przychodu od
inwestycji możemy liczyć. By dokonać wyboru musimy porównać wyliczoną IRR z
minimalną stopą, którą uznamy za graniczną. Jeżeli IRR będzie wyższa niż przyjęta
stopa minimalna uważamy decyzję inwestycyjną za opłacalną.
Przykład 9: Czy kupiłbyś za 180 zł obligację o wartości nominalnej 200 zł i terminie
wykupu za 3 lata, jeśli wiesz, że jej oprocentowanie wynosi 2.5% rocznie.
Rozwiązanie: Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR. Nakład K0 = 180, zaś
dochody di = 200*0,025 dla i = 1,2 oraz d 3 = 200*0,025 + 200. W okresie trzecim
13
inkasujemy odsetki, ale następuje także wykup obligacji. Musimy rozwiązać
równanie:
-180 + 200*0,025/(1+R) + 200*0,025/(1+R) 2 + (200*0,025 + 200)/(1+R)3 = 0
Oczywiście możemy to zrobić szukając miejsc zerowych wielomianu metodą prób i
błędów, ale na ogół korzystamy z funkcji IRR w arkuszu kalkulacyjnym Excel. W
Excelu znajdujemy, że stopa dyskonta R, dla której równanie jest spełnione wynosi
6,26%.
Czy jest to wystarczająca stopa zwrotu? Minimalna stopa zwrotu, jaką możemy
zaakceptować jest równa sumie kosztu alternatywnego powiększonego o inflację i
ryzyko. Wiemy, że dla polskiej gospodarki miarą kosztu utraconych możliwości
(nominalnie) jest rentowność papierów skarbowych. Wynosi ona dla obligacji
skarbowych 5-letnich 4,99%, zaś dla obligacji dwuletnich 4,72% (Rzeczpospolita z
21 lutego 2007). Uśredniając, mamy koszt alternatywny na poziomie 4,86%.
Ponieważ średnie ryzyko wynosi około 6%, ostatecznie otrzymujemy minimalną
pożądaną stopę dyskonta na poziomie 10,86%. Ponieważ stopa IRR = 6,26% jest
mniejsza niż wartość minimalna, transakcję zakupu traktujemy jako nieatrakcyjną.
Przykład 10: Wahamy się między zakupem energochłonnej (A) a energooszczędnej
lodówki (B). Poza zużyciem energii oba sprzęty mają identyczne walory. Lodówka A
kosztuje o 2000 zł taniej, lecz jest w eksploatacji droższa o 500 zł rocznie. Lodówki
zużywają się po 6 latach. Co wybierzemy?
Rozwiązanie: Płacąc jednorazowo drożej o 2000 zł osiągamy przez 6 lat coroczne
korzyści w postaci oszczędności na kosztach energii. Nakład K = 2000, roczne
korzyści di = 500. Wyliczmy wewnętrzną stopę zwrotu IRR, czyli taką stopę R, która
spełnia równanie: -2000 + Σ 500/(1+ R)i = 0 (sumowanie po i od 1  6).
IRR = 13%. Porównując ją z minimalną żądaną stopą zwrotu w wysokości 10,86%
konkludujemy, że opłaca się nam kupić lodówkę droższą, ale tańszą w eksploatacji.
14