Definicje i charakteryzacja mierników efektywności finansowych:

Definicje i charakteryzacja mierników efektywności finansowych:

Definicje i charakteryzacja mierników efektywności finansowych:
Inwestycja finansowa – nakład dający inwestorowi możliwości uzyskania w przyszłości dodatnich
przepływów finansowych
Mierniki efektywności inwestycji finansowych:
1. Stopą zwrotu z inwestycji (stopa zysku) nazywamy liczbę:
R= (K-K0)/ K0,
gdzie K0 – kapitał początkowy, K - kapitał końcowy
Przekształcając ostani wzór otrzymujemy
K = K0 (1+R)
2. Ciąg inwestycji zamkniętych (średnia geometryczna stopa zwrotu):
Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji zamkniętych, jeżeli kapitał końcowy jednej inwestycji staje się
kapitałem początkowym następnej
Twierdzenie: Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji zamkniętych, o stopach zwrotu odpowiednio: r1, r2,
r3,... rn. Zakładamy, że zawsze 1 + ri > 0. Wtedy stopa zwrotu tego ciągu inwestycji wynosi:
R = Πni=1(1+ ri) – 1 *
Zaś średnia roczna stopę zwrotu rs wynosi (średnia geometryczna stopa zwrotu):
rs = ( Πni=1(1+ ri) )1/n -1 **
(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji)
Dowód. Rzeczywiście:
K1 = K0 (1+ r1)
K2 = K1 (1+ r2) = K0 (1+ r1) (1+ r2)
K3 = K2 (1+ r3) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)
.............................................................................
Kn = Kn-1 (1+ rn) = K0 (1+ r1) (1+ r2) (1+ r3)… (1+ rn)
Stąd otrzymanin w powietrze wysadzi
mujemy *
Aby średnia roczna stopa zwrotu rs generowała stopę zwrotu R z całej inwestycji, musi zachodzić równość:
(1+ rs)n = Πni=1(1+ ri) , stąd otrzymujemy **.
Powyższy wzór można przedstawić w postaci:
rs = ( R + 1)1/n –1, czyli
rs = n R +1−1
3. Ciąg inwestycji kompensowanych (średnia arytmetyczna stopa zwrotu):
Ciąg inwestycji nazywamy ciągiem inwestycji kompensowanych, jeżeli kolejna inwestycja ma taki sam kapitał
początkowy jak poprzednia (kapitał jest uzupełniany w przypadku straty, odprowadzany - w przypadku zysku).
Twierdzenie: Niech dany będzie ciąg n rocznych inwestycji kompensowanych, o stopach zwrotu odpowiednio:
r1, r2, r3,..., rn. Wtedy stopa zwrotu R całego ciągu inwestycji wynosi :
R = ∑ni=1 ri
zaś średnia roczna stopa zwrotu rsa wynosi (średnia arytmetyczna stopa zwrotu):
rsa =
1 n
∑ ri
n i =1
(przez średnią roczną stopę zwrotu rozumiemy stałą roczną stopę generującą stopę zwrotu R z całej inwestycji).
Dowód. Niech K0 oznacza kapitał początkowy.
Po roku dysponujemy kapitałem K1 = K0 (1+ r1) , odprowadzamy K0 r1.
Po drugiej inwestycji - kapitałem K2 = K0 (1+ r2) , odprowadzamy K0 r2, i.t.d.
Po n-tej inwestycji mamy Kn = K0 (1+ rn) , odprowadzamy K0 rn, pozostało K0.
Kapitał końcowy to suma K0 oraz wszystkich odprowadzonych kwot, początkowy to K0.
R = ( K0+ K0 r1+ K0 r2+...+ K0 rn – K0 ) / K0.
Stąd
R = r1 + r2 + ...+ rn
Ponieważ stopa zysku jest sumą stóp z poszczególnych inwestycji, więc średnia roczna stopa zwrotu musi czynić
zadość równości:
rsa+ rsa + ...+ rsa= n rsa= R
czyli rsa = R/n lub inaczej
1 n
rsa = ∑ ri .
n i =1
4. Efektywna stopa procentowa:
Efektywna stopa procentowa jest to faktycznie uzyskiwana stopa procentowa, która uwzględnia kapitalizację
odsetek. Oblicza się ją wzorem:
gdzie: Re - efektywna stopa procentowa, R - nominalna roczna stopa
procentowa, m - liczba okresów kapitalizacji w roku.
Przykład:
Chcemy zainwestować 100 000 PLN w roczną lokatę terminową, której oprocentowanie nominalne wynosi 12
%. W przypadku braku kapitalizacji odsetek po zakończeniu inwestycji otrzymamy 112 000 PLN.
100 000 x 1,12 = 112 000
Zakładając kapitalizacje półroczną otrzymamy więcej, gdyż po pół roku do naszej lokaty dopisuje się odsetki:
100 000 x 1,06 x 1,06 = 100 000 x 1,062 = 112 360
Analogicznie przy kapitalizacji kwartalnej otrzymamy 112 550 PLN:
100 000 x 1,034 = 112 550
Jeżeli założymy, że jest możliwa kapitalizacja ciągła, tzn. że odsetki kapitalizują sie w każdej chwili efektywna
stopa procentowa wyraża się wzorem:
gdzie: Re - efektywna stopa procentowa, e - jest to stała - podstawa logarytmu
naturalnego (wynosi w przybliżeniu 2,7183), R - nominalna roczna stopa procentowa, n - liczba lat
5. Realna stopa procentowa:
Realna stopa procentowa to stopa procentowa nominalna pomniejszona o stopę inflacji, czyli procent wzrostu
średniego poziomu cen. Mierzy przyrost wartości nabywczej pieniądza w okresie jednego roku.
Aby realna stopa procentowa pozostała stała, nominalna stopa procentowa musi wzrastać w tempie inflacji.
Niech K oznacza początkowy koszt standardowego koszyka dóbr, f – roczną stopę inflacji, re - efektywną roczną
stopę zwrotu zaś re - realną roczną stopą zwrotu. Koszt koszyka po roku wynosi więc K(1+f) . Kwota K po rocznej
inwestycji wzrosła do K(1+ re). Zatem po roku można nabyć K(1+ re)/ K(1+f) koszyków. Ponieważ przed rokiem
mogliśmy nabyć 1 koszyk więc przyrost wartości nabywczej rr wynosi:
rr =
K (1 + re )
1 + re
r −f
−1 =
−1 = e
K (1 + f )
1+ f
1+ f
Po dodaniu 1 do obu stron równania otrzymujemy tzw. wzór Fischera:
1 + rr =
1 + re
1+ f
6. Wartość bieżąca netto (NPV):
Inwestycję finansową traktujemy jako ciąg nakładów i dochodów (przepływów finansowych), znanych co do
wielkości i momentów wystąpienia.
Def. Wartość bieżąca netto inwestycji to suma zdyskontowanych nakładów i dochodów z inwestycji przy
ustalonej stopie dyskontowej.
Przy założeniu, że aktualizacja jest przeprowadzona w oparciu o model oprocentowania wykładniczego (a nie
ciągłego) wartość tego wskaźnika można obliczyć ze wzoru:
n
NPV = ∑ (1+ ri ) ti
C
i=0
, gdzie Ci - i-ty przepływ finansowy, ti – czas od przepływu zerowego
do i - tego, mierzony w liczbie okresów bazowych, r – stopa dyskontowa w okresie bazowym. Okres bazowy
może być rokiem, kwartałem, miesiącem, itp.
Dodatnie Ci oznaczają dochód, ujemne – wydatek. Kolejność wydatków i dochodów jest dowolna. Na ogół
przepływ C0 jest ujemny (wydatek). Przy jedynym nakładzie dokonanym na początku wzór na NPV przyjmuje
postać
n
NPV = − I + ∑ (1+ ri ) ti
i =1
C
, gdzie I oznacza wielkość początkowego nakładu, Ci są w
tym przypadku dodatnie.
Uwaga 1. Jeżeli wartość wskaźnika NPV jest dodatnia, to oznacza, że inwestycja jest opłacalna. Przy ujemnej
wartości tego wskaźnika inwestycją uważamy za nieopłacalną.
Uwaga 2. Jeżeli dane są dwie inwestycje o tym samym NPV, to korzystniejsza jest ta, która angażuje mniejszy
kapitał.
Przykład. Czy warto zainwestować 1500 $ w przedsięwzięcie, które przyniesie za rok 100 $, po dwóch latach
200 $, po trzech 300 $, po czterech 400 $ i po pięciu 500 $, jeżeli roczna stopa procentowa wolna od ryzyka
wynosi w tym okresie 6 % ?
Korzystając ze wzoru na NPV otrzymujemy:
NPV=
− 1500 +
100 200
300
400
500
+
+
+
+
= −285,31
2
3
4
1,06 1,06
1,06 1,06
1,06 5
Oceniając inwestycję na podstawie NPV, stwierdzamy, że jest ona nieopłacalna.
Z
wyżej
otrzymanych
równości
mamy
także
100 200
300
400
500
+
+
+
+
= −285,31 + 1500 = 1214,69
2
3
4
1,06 1,06
1,06 1,06
1,06 5
Otrzymaną równość interpretujemy następująco: kwota 1214,69 $ powinna wygenerować dany ciąg wpływów
przy rocznej stopie w wys. 6 %. Jest to bowiem kwota kredytu, która przynosi bankierowi od dłużnika
wymienione dochody w odpowiednich latach zgodnie z zasadą równoważności długu i spłat. (pożyczka
udzielona przez bankiera jest zwykłą inwestycją). Inwestując 1500 $ przepłacamy zatem 285,31 $. Jest to
wielkość straty, którą ujawnia NPV. Gdyby te same dochody można było uzyskać inwestując tylko 1000 $, wtedy
inwestycja miałaby NPV równy 214,69 $. To oznacza „zysk” 214,69 $, gdyż dopiero kwota 1214,69 $ powinna
wygenerować ten ciąg dochodów.
Wniosek 1. Jeżeli NPV=0, to inwestycja jest tak samo opłacalna jak lokata bankowa o oprocentowaniu
rocznym równym stopie dyskontowej użytej do obliczenia NPV przy rocznej kapitalizacji odsetek. Jeżeli NPV >
0, to inwestycja jest bardziej opłacalna niż bankowa, zaś przy NPV < 0 – mniej opłacalna.
Zalety wskaźnika:
•
•
•
łatwość w obliczeniu
jednoznaczność (przy ustalonej stopie dyskontowej)
mianowanie w użytych jednostkach monetarnyc
Wady:
•
•
zależność od skali inwestycji (nakłady i dochody pomnożone przez liczbę skutkują pomnożeniem NPV
przez tę liczbę)
zależność od wyboru stopy dyskontowej (nietrafny wybór stopy może zmienić znak wskaźnika)
7. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR).
Wewnętrzną stopą zwrotu ciągu przepływów finansowych C1 , C2 ,...,Cn jest taka stopa procentowa przy której
wartość bieżąca netto tej inwestycji jest równa zeru, czyli takie r, że
n
∑
i=0
Ci
(1+ r ) ti
=0
Wzór jest równaniem względem r, stopnia tn. Niektóre Ci są dodatnie, niektóre ujemne. Muszą wystąpić
przepływy różnych znaków.
Przykład. Bankier udzielił pożyczki w kwocie 800 zł. Dłużnik spłaci po roku 100 zł, po dwóch latach 120, po
trzech 200 zł, po czterech 250 zł, po pięciu 300 zł. Jaka jest wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji bankiera ?
Szukana stopa jest rozwiązaniem równania
− 800 +
100
150
200
250
300
+
+
+
+
=0
2
3
4
1 + r (1 + r )
(1 + r )
(1 + r )
(1 + r ) 5
Jest to równanie 5 – tego stopnia. Jedynym jego pierwiastkiem jest liczba 6,69 % (z dokł. do setnej).
Uwaga 1 . Z dwóch inwestycji lepsza jest ta, która ma wyższy IRR
Uwaga 2. Równanie może mieć kilka rozwiązań.
Uwaga 3. Jeżeli występuje tylko jeden początkowy nakład, to IRR jest wyznaczona jednoznacznie.
Uwaga 4. Inwestycja jest opłacalna, jeżeli jej IRR przewyższa stopę procentową wolną od ryzyka (np.
oprocentowania lokat bankowych), jeżeli zaś jest od niej mniejszy, to inwestycja jest nieopłacalna.
Zalety:
•
brak wrażliwości na skalę inwestycji
•
porównywalność z innymi miernikami efektywności inwestycji (stopa efektywna, stopa rentowności
obligacji)
•
pełnienie roli okresowej efektywnej stopy zwrotu
Wady:
•
wskaźnik IRR (w wielu przypadkach) możliwy do obliczenia tylko metodami numerycznymi
•
niejednoznaczność (równanie może posiadać więcej niż jedno rozwiązanie)
8. Stopa zwrotu z inwestycji o wielu przychodach bez reinwestycji:
Niech inwestycja I przynosi w kolejnych latach przypływy finansowe c1,..., cn . Stopa zwrotu R z inwestycji dana
jest wzorem:
9. Średnia okresowa stopa zwrotu rs gdy ostatni przepływ nastąpił po tn okresach:
10. Zewnętrzna stopa zwrotu:
Zewnętrzną stopą zwrotu nazywamy średnią okresową stopę zwrotu, przy założeniu
reinwestycji wpływów przy stopie procentowej r:
Co jest równoznaczne:
Natomiast poniższe wyrażenie możemy rozumieć jako stopę zwrotu z całej inwestycji:
11. Stopa rentowności obligcji:
Rentowność obligacji zależy od wysokości kuponu oraz ceny, po jakiej nabywa się obligację. Nabywca obligacji
musi zapłacić za kwotę nominalną obligacji (może to być 100% wartości nominalnej, ale również 95% lub 80%)
oraz odsetki narosłe od momentu ostatniej płatności. W notowaniach giełdowych podawana jest wyłącznie
cena w procentach wartości nominalnej (określana jako kurs obligacji), do której trzeba doliczyć jeszcze narosłe
odsetki.
Rentowność obligacji o stałym oprocentowaniu wyraża się najczęściej w postaci tzw. stopy dochodu w terminie
do wykupu. Oblicza się ją na podstawie równania:
Gdzie P – cena obligacji na rynku, C – kupon, M – wartość nominalna, n – liczba lat
YTM – stopa rentowności obligacji w terminie do wykupu
Dla obligacji o stałym oprocentowaniu wypłacającej kupon k-razy w roku mamy:
Stopa dochodu w terminie do wykupu jest średnią stopą dochodu z obligacji nabytej po określonej cenie P i
przetrzymanej n – lat do momentu wykupu, przy założeniu, że odsetki wypłacane od obligacji będą ponownie
inwestowane przy tej samej stopie dochodu. Jeżeli nie mamy zamiaru trzymania obligacji do wykupu, stopa
dochodu nie oddaje dobrze rentowności inwestycji, ponieważ nie znamy ceny jej sprzedaży.
Wyróżniamy również Rentowność bieżącą obligacji określoną jako:
Rentowność bieżąca = oprocentowanie obligacji / cena czysta (giełdowa)