Schematy blokowe

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Schematy blokowe
Mirosław Tomera
1. ELEMENTY SCHEMATU BLOKOWEGO
Opis układu przy użyciu schematu blokowego jest szeroko i powszechnie stosowany w analizowaniu
działania układów automatyki. Schemat blokowy dostarcza informacji o powiązaniach pomiędzy
blokami i sygnałami. Projektant może w łatwy sposób dodawać bloki do istniejącego schematu w celu
poprawienia jakości sterowania.
Układy sterowania mogą składać się z pewnej liczby składników (podzespołów). Schemat
blokowy układu jest graficznym opisem funkcji wykonywanych przez każdy element i przepływające
sygnały. Takie schematy opisują współzależności, które istnieją pomiędzy różnymi składnikami.
W odróżnieniu od abstrakcyjnego opisu matematycznego, schematy blokowe mają tę zaletę, że
bardziej realistycznie przedstawiają przepływy sygnałów w układzie.
Blok. Na schematach blokowych wszystkie zmienne są powiązane ze sobą poprzez bloki
funkcjonalne. Bloki te są symbolami operacji matematycznych wykonywanych na sygnałach
wejściowych i wytwarzających odpowiednie sygnały wyjściowe. Zazwyczaj transmitancja jest
funkcją opisującą zależność pomiędzy sygnałami wchodzącymi do bloku oraz wychodzącymi z niego.
Bloki połączone są strzałkami oznaczającymi kierunek przepływających sygnałów. Sygnały mogą
przemieszczać się tylko w kierunku strzałek. Na rysunku 1(a) pokazany został podstawowy element
schematu blokowego jakim jest blok. Zwrot strzałki w kierunku bloku oznacza wejście, a kierunek
strzałki od bloku wskazuje wyjście. Strzałki oznaczają przepływające sygnały.
Zaletą schematu blokowego jest to, że łatwo jest uformować schemat blokowy dla całego
układu poprzez połączenie bloków przepływającymi sygnałami i wówczas możliwa jest ocena udziału
każdego składnika na jakość całego układu. Schemat blokowy zawiera informacje o zachowaniu
dynamicznym układu, lecz nie zawiera żadnych informacji o jego fizycznej konstrukcji.
X2(s) X1(s)
X1(s)
G(s)
X2(s)
X6(s)
X3(s)
X(s)
X(s)
X(s)
X4(s)
X(s)
X5(s)
X 2 ( s) = G (s ) X 1 ( s )
(a)
X 6 ( s) = X 1 ( s ) − X 2 ( s) + X 3 ( s )
− X 4 ( s) + X 5 ( s )
(b)
Rys. 1. Elementy schematów blokowych w układach sterowania liniowego.
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
(c )
Teoria sterowania
Schematy blokowe
Węzeł sumacyjny. Okrąg na schematach blokowych oznacza operację algebraicznego sumowania
sygnałów. Znak plus lub minus przy każdej strzałce informuje o tym czy sygnał ten jest dodawany czy
też odejmowany. Na schematach blokowych znaku plus może, ale nie musi być zaznaczony. Przy
strzałkach przy których nie zaznaczono żadnego znaku to wykonywane jest dodawanie. Dla sygnałów,
które mają być odejmowane musi być zawsze zaznaczony znak minus. Na schemacie blokowym
węzeł sumacyjny może mieć wiele sygnałów wchodzących, ale tylko jeden wychodzący. Przykład
węzła sumacyjnego znajduje się na rysunku 1(b).
Węzeł rozgałęźny. Węzeł rozgałęźny (rys. 1c) jest punktem z którego sygnał rozchodzi się do innych
bloków lub węzłów sumacyjnych.
2. WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWYCH
Schematy blokowe są bardzo często upraszczane do prostszych postaci o mniejszej ilości bloków lub
przekształcane specjalnych struktur przy użyciu algebry schematów blokowych. Rodzaje przekształceń
blokowych zebrane zostały w tabeli 1.
Schematy blokowe przedstawiają transformowane przy użyciu przekształcenia Laplace'a równania
układu, dlatego też przekształcanie układu jest równoważne algebraicznemu przekształcaniu równań.
Ogólnie, przekształcanie schematów jest łatwiejsze niż posługiwanie się bezpośrednio równaniami
i dostarcza lepszego wglądu w strukturę fizyczną układu. Dla schematów blokowych z pojedynczym
wejściem i wyjściem, redukcja oznacza upraszczanie schematu do postaci w której pozostanie już
tylko pojedynczy blok zawierający transmitancję znajdującą się pomiędzy wejściem i wyjściem.
W redukcji schematów blokowych, bardzo pomocne jest prowadzenie jej krok po kroku, zawsze
utrzymując tą samą zależność pomiędzy wejściem i wyjściem. Zastosowanie przekształceń schematów
blokowych zilustrowane zostanie na poniższym przykładzie, w którym przeprowadzona została
redukcja schematu blokowego.
Tabela 1. Zasady przekształcania schematów blokowych
Przekształcenie
1. Połączenie kaskadowe
Schemat wyjściowy
X1
G1 (s)
X2
Schemat równoważny
X3
G2 (s)
X1
G1G2
X3
lub
X1
2. Połączenie równoległe
X1
G1(s)
X1
X2
G2G1
G1+G2
X3
X2
G2(s)
3. Eliminowanie pętli sprzężenia
X1
X2
G
X1
G
1 + GH
X3
H
4. Przeniesienie węzła
sumacyjnego z wejścia na
wyjście bloku
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
X1
G
X2
 M. Tomera
X3
X1
G
X3
G
X2
2
Teoria sterowania
Schematy blokowe
c.d. tabeli 1.
Przekształcenie
Schemat wyjściowy
X1
5. Przeniesienie węzła
sumacyjnego z wyjścia na
wejście bloku
Schemat równoważny
X3
G
X1
G
X1
7. Przeniesienie węzła
rozgałęźnego z wejścia na
wyjście bloku
X1
8. Zamiana miejscami węzłów
sumacyjnych sąsiadujących
ze sobą
X2
G
X1
X2
G
X2
1
G
X2
6. Przeniesienie węzła
rozgałęźnego z wyjścia na
wejście bloku
X3
X2
X2
G
G
X1
X1
G
X1
X1
X2
X2
1
G
Y1
X1
Y1
X3
X2
X3
X1
X1
X2
9. Zamiana miejscami węzłów
rozgałęźnych sąsiadujących
ze sobą
X1
X1
X1
X1
X1
X1
10. Zamiana miejscami węzła
sumacyjnego i rozgałęźnego
X1
Y1
Y1
X2
X1
Y1
X1
X2
Y1
X1
X1
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
Y1
Y1
X2
11. Zamiana miejscami węzła
rozgałęźnego i sumacyjnego
X1
 M. Tomera
X2
3
Teoria sterowania
Schematy blokowe
Przykład 1
Schemat blokowy składający się z wielu pętli pokazany został na rysunku 1.1. Istotne jest
zwrócenie uwagi na to, że sygnał H 1 ( s )Y ( s ) jest sygnałem sprzężenia dodatniego, natomiast
pętla G3 ( s )G 4 ( s) H 1 ( s ) nazywana jest pętlą dodatniego sprzężenia zwrotnego. Procedura
przekształcania schematu blokowego z rysunku 1.1 opiera się na zastosowaniu reguły numer 3
z tabeli 1, która eliminuje pętle sprzężenia.
H2
R(s)
G1
G2
G3
G4
Y(s)
H1
H3
Rys. 1.1. Układ sterowania z wieloma pętlami
Aby wyeliminować pętlę G3 G 4 H 1 , należy przesunąć blok H 2 za blok G 4 poprzez
zastosowanie reguły 7 z tabeli 1, uzyskuje się wówczas schemat pokazany na rysunku 1.2.
Następnie eliminując pętlę G3 G 4 H 1 przez zastosowanie reguły 3 z tabeli 1, uzyskuje się układ
pokazany na rysunku 1.3. Po wyeliminowaniu pętli wewnętrznej zawierającej H 2 G 4 uzyskuje
się schemat pokazany na rysunku 1.4. Ostatecznie poprzez zredukowanie pętli zewnętrznej
zawierającej H 3 uzyskuje się wypadkową transmitancję zastępczą całego układu pokazaną na
rysunku 1.5.
H2
G4
R(s)
G1
G2
G3
G4
Y(s)
H1
H3
Rys. 1.2. Pierwszy krok przekształcania schematu z rysunku 1.1.
H2
G4
R(s)
G1
G3G4
1−G 3G4H1
G2
Y(s)
H3
Rys. 1.3. Drugi krok przekształcania schematu z rysunku 1.1.
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
4
Teoria sterowania
Schematy blokowe
R(s)
G2G3G4
G1
Y(s)
1− G3G4H1+G2G3H2
H3
Rys. 1.4. Trzeci krok przekształcania schematu z rysunku 1.1.
R(s)
G1G2G3G4
1− G 3G4H1+G2G3H2+G1G2G3G4H3
Y(s)
Rys. 1.5. Transmitancja wypadkowa uzyskana w wyniku przekształcania schematu z rysunku 1.1.
Pouczające jest przeanalizowanie licznika i mianownika uzyskanej transmitancji zastępczej.
Licznik składa się z iloczynu transmitancji bloków znajdujących się w gałęzi wiodącej sygnał
z wejścia R(s) na wyjście Y(s). Mianownik, natomiast wyrażony jest jako 1 minus suma
transmitancji każdej pętli. Znak pętli G3 G 4 H 1 jest ujemny ponieważ jest ona dodatnią pętlą
sprzężenia zwrotnego, podczas gdy pętle G1G 2 G3 G 4 H 3 oraz G 2 G3 H 2 są pętlami o sprzężeniu
ujemnym. Aby ułatwić zrozumienie tej uwagi, mianownik może być zapisany następująco
M ( s) = 1 − (+ G3 G 4 H 1 − G 2 G3 H 2 − G1G 2 G3 G 4 H 3 )
3. WYZNACZANIE PRZY UŻYCIU MATLABA WYPADKOWEJ TRANSMITANCJI
UKŁADÓW POŁĄCZONYCH KASKADOWO, RÓWNOLEGLE I W PĘTLI
W analizie układów sterowania najczęściej występuje potrzeba wyznaczenia zastępczej transmitancji
układów o transmitancjach połączonych kaskadowo, równolegle i w pętli zamkniętej. W MATLABIE
znajdują się dogodne polecenia pozwalające na uzyskanie transmitancji kaskadowych, równoległych
i ze sprzężeniem (operacje 1-3 z tabeli 1 ).
Przypuśćmy, że są dwa bloki o transmitancjach G1(s) oraz G2(s), przy czym
G1 ( s ) =
num1
= sys1
den1
G2 ( s) =
num 2
= sys2
den 2
Aby uzyskać transmitancję układu połączonego: kaskadowo, równolegle i w sprzężeniu w MATLABIE
znajdują się następujące komendy:
♦ przy połączeniu kaskadowym
sys = series( sys1, sys2)
♦ przy połączeniu równoległym
sys = parallel( sys1, sys2)
♦ przy połączeniu w pętlę
sys = feedback( sys1, sys2)
Przykład 2
Rozważone zostaną różne konfiguracje połączeń dwóch bloków o transmitancjach
G1 ( s ) =
num1
10
= sys1 = 2
den1
s + 2 s + 10
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
G2 ( s) =
 M. Tomera
5
num 2
= sys2 =
s+5
den 2
5
Teoria sterowania
Schematy blokowe
Zapis w MATLABIE, dla tych transmitancji operatorowych jest następujący
>> num1 = 10;
>> den1 = [1 2 10];
>> sys1 = tf( num1, den1)
Transfer function:
10
-------------s^2 + 2 s + 10
>> num2 = 5;
>> den2 = [1 5];
>> sys2 = tf( num2, den2)
Transfer function:
5
----s + 5
♦ Połączenie kaskadowe
R(s)
s2
10
+ 2s + 10
5
s+5
Y(s)
Rys. 2.1. Połączenie dwóch bloków kaskadowo
W przypadku kaskadowego połączenia dwóch bloków w celu wyznaczenia transmitancji
wypadkowej korzysta się z funkcji series
>> sys_s = series( sys1, sys2)
Transfer function:
50
----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50
♦ Połączenie równoległe
R(s)
10
s2 + 2s + 10
Y(s)
5
s+5
Rys. 2.2. Połączenie dwóch bloków równolegle
W przypadku połączenia równoległego dwóch bloków w celu wyznaczenia transmitancji
wypadkowej korzysta się z funkcji parallel
>> sys_p = parallel( sys1, sys2)
Transfer function:
5 s^2 + 20 s + 100
----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 50
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
6
Teoria sterowania
Schematy blokowe
♦ Pętla sprzężenia
R(s)
Y(s)
10
s + 2s + 10
2
5
s+5
Rys. 2.3. Połączenie dwóch bloków w pętlę
W przypadku połączenia dwóch bloków w pętlę sprzężenia celu wyznaczenia transmitancji
wypadkowej korzysta się z funkcji feedback
>> sys_f = feedback( sys1, sys2)
Transfer function:
10 s + 50
-----------------------s^3 + 7 s^2 + 20 s + 100
W wyznaczonych transmitancjach wypadkowych dostęp do współczynników licznika
i mianownika uzyskuje się przy użyciu funkcji tfdata, np. do współczynników wypadkowej
transmitancji z pętlą sprzężenia
>> [num_f, den_f] = tfdata( sys_f, 'v')
num_f =
0
0
10
den_f =
1
7
50
20
100
4. WYZNACZANIE TRANSMITANCJI WYPADKOWEJ DLA SCHEMATÓW
BLOKOWYCH PRZY UŻYCIU REGUŁY WZMOCNIEŃ MASONA
Dla danego schematu blokowego zadanie wyznaczenia zależności pomiędzy wejściem i wyjściem
metodą przekształcania schematów jest zadaniem uciążliwym. Na szczęście jest dostępna reguła
wzmocnień Masona, która pozwala na wyznaczenie transmitancji wypadkowej schematu blokowego
bez konieczności pracochłonnego przekształcania go. Reguła ta zaczerpnięta została z teorii grafów
przepływu sygnałów i zaadaptowana dla schematów blokowych.
Dla schematu blokowego z N kaskadami bezpośrednio łączącymi wejście R(s) z wyjściem Y(s)
oraz L pętlami, transmitancja wypadkowa określona jest przez następującą zależność:
N
Y ( s)
T (s) =
=
R( s )
¦P ∆
k
k
k =1
∆
(1)
gdzie:
R(s)
Y(s)
G(s)
N
Pk
− transformata sygnału wejściowego
− transformata sygnału wyjściowego
− transmitancja wypadkowa całego schematu blokowego
− całkowita liczba kaskadowych połączeń bezpośrednio łączących wejście z wyjściem
− transmitancja k-tego połączenia kaskadowego bezpośrednio łączącego wejście
z wyjściem
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
7
Teoria sterowania
Schematy blokowe
∆=1−
L
¦L
i =1
i1
+
¦L
i2
−
i
¦L
i3
+ . . .,
(2)
i
∆ = 1 − (suma transmitancji wszystkich pojedynczych pętli) + (suma iloczynów transmitancji
wszystkich możliwych kombinacji po dwie nie stykające się pętle) − (suma iloczynów
transmitancji wszystkich możliwych kombinacji po trzy nie stykające się pętle) + ... itd.
∆k = ∆, wyznaczana dla tej części schematu, która nie styka się z k-tą kaskadą bezpośrednią.
Reguła wzmocnień Masona opisana wzorem (1) wydaje się być prosta w użyciu, jednak ∆ oraz ∆k są
wyrażone pewnymi zależnościami, które mogą być bardzo skomplikowane w przypadku kiedy
schemat ma dużą liczbę nie stykających się pętli. Przy stosowaniu reguły wzmocnień należy zwrócić
uwagę na to, że stosowana jest ona do wyznaczenia transmitancji pomiędzy wejściem i wyjściem.
Przykład 3
Na rysunku 3.1 znajduje się schemat blokowy składający się z dwóch pętli połączonych
kaskadowo. Należy wyznaczyć przy użyciu reguły wzmocnień Masona transmitancję
wypadkową
R(s)
G1
−
−
H1
G2
Y(s)
H2
Rys. 3.1. Połączenie kaskadowe dwóch pętli
Rozwiązanie: W układzie z rysunku 3.1 znajduje się jedna kaskada bezpośrednio łącząca
wejście z wyjściem i dwie pętle. Transmitancja kaskady bezpośredniej
P1 = G1G 2
(3.1)
Transmitancje pętli
L1 = −G1 H 1
L2 = −G 2 H 2
(3.2)
Pętle L1 i L2 nie stykają się z sobą, dlatego też mianownik transmitancji ∆ wyznaczany jest
z zależności
∆ = 1 − (L1 + L2 ) + L1 L2 = 1 + G1 H 1 +G 2 H 2 +G 1 H 1G 2 H 2
(3.3)
Obie pętle mają wspólne elementy z kaskadą bezpośrednią, dlatego też wyznacznik pomocniczy
∆1 jest następujący
∆1 = 1
(3.4)
Transmitancja wypadkowa układu z rysunku 3.1 jest następująca
N
Y ( s)
=
T (s) =
R( s)
¦P ∆
k
k =1
∆
k
=
P1 ∆ 1
G1G 2
=
1 − (L1 + L2 ) + L1 L2 1 + G1 H 1 + G 2 H 2 + G1 H 1G 2 H 2
(3.5)
Przykład 4
Na rysunku 4.1 znajduje się schemat blokowy składający się z dwóch pętli połączonych
równolegle. Należy wyznaczyć przy użyciu reguły wzmocnień Masona transmitancję
wypadkową
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
8
Teoria sterowania
Schematy blokowe
R(s)
Y(s)
G1
−
H1
−
G2
H2
Rys. 4.1. Połączenie równoległe dwóch pętli
Rozwiązanie: W układzie z rysunku 4.1 znajdują się dwie kaskady bezpośrednio łączące
wejście z wyjściem i dwie pętle. Transmitancje kaskad bezpośrednich są następujące
P1 = G1
P2 = G 2
(4.1)
L2 = −G 2 H 2
(4.2)
Transmitancje pętli
L1 = −G1 H 1
Pętle L1 i L2 nie mają wspólnych elementów, dlatego też mianownik transmitancji ∆
wyznaczany jest z zależności
∆ = 1 − (L 1 + L2 ) + L1 L2 = 1 + G1 H 1 +G 2 H 2 +G 1 H 1G 2 H 2
(4.3)
Pozostają do wyznaczenia delty uzupełniające, będące mnożnikami w liczniku i tak, pierwszy
tor o transmitancji P1 bezpośrednio łączący wejście z wyjściem ma wspólne elementy z pętlą o
transmitancji L1, natomiast nie ma wspólnych elementów z pętlą o transmitancji L2 co
schematycznie można zapisać
P1 :
L1 = 0 , L2 ≠ 0
(4.4)
Wyniki tych rozważań (4.4) podstawia się do uzyskanego równania na ∆ i uzyskuje się
∆ 1 = 1 − L2 = 1 +G 2 H 2
(4.5)
Drugi tor o transmitancji P2 bezpośrednio łączący wejście z wyjściem ma wspólne elementy
z pętlą o transmitancji L2, natomiast nie ma wspólnych elementów z pętlą o transmitancji L1
P2 :
L1 ≠ 0 ,
L2 = 0
(4.6)
Ponownie po podstawieniu wyników rozważań (4.6) dotyczących toru o transmitancji P2 do
wzoru (4.3), uzyskuje się czynnik
Transmitancja wypadkowa układu z rysunku 4.1 jest następująca
N
Y ( s)
=
T (s) =
R( s)
¦P ∆
k
k =1
∆
k
=
P1 ∆ 1 + P2 ∆ 2
G (1 + G 2 H 2 ) + G 2 (1 + G1 H 1 )
= 1
1 − (L1 + L2 ) + L1 L2 1 + G1 H 1 + G 2 H 2 + G1 H 1G 2 H 2
(3.5)
Przykład 5
Inny przykład wyznaczania wypadkowej transmitancji zastępczej złożonego schematu
blokowego, rozważony zostanie dla schematu blokowego pokazanego na rysunku 5.1.
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
9
Teoria sterowania
Schematy blokowe
G4
R
E
Y3
−
Y2
G1
−
G2
Y1
Y
G3
−
H2
H1
Rys. 5.1. Schemat blokowy układu sterowania
Rozwiązanie: W układzie tym znajdują się dwie kaskady bezpośrednio łączące wejście
z wyjściem i pięć pętli stykających się ze sobą (mających wspólne elementy).
Transmitancje kaskad bezpośrednio łączących wejście z wyjściem
P1 = G1G 2 G3
P2 = G1G 4
(5.1)
Transmitancje pętli
L1 = −G1G 2 H 1
L2 = −G 2 G3 H 2 L3 = −G1G 2 G3
L4 = −G 4 H 2
L5 = −G1G 4
(5.2)
Wszystkie te pętle mają wspólne elementy, dlatego też
∆ = 1 + G 1 G 2 H 1 + G 2 G 3 H 2 + G 1 G 2 G3 +G 4 H 2 + G 1 G 4
(5.3)
Wszystkie te pętle mają wspólne elementy z kaskadami bezpośrednimi, dlatego też wyznaczniki
pomocnicze są następujące
∆1 = ∆ 2 = 1
(5.4)
Transmitancja wypadkowa układu z rysunku 5.1 jest następująca
T (s) =
G1G 2 G3 + G1G 4
Y ( s ) P1 ∆ 1 + P2 ∆ 2
=
=
R( s)
1 +G 1 G 2 H 1 + G 2 G 3 H 2 + G 1 G 2 G 3 + G 4 H 2 + G 1 G 4
∆
(5.5)
ĆWICZENIA
C1. Przekształć poniższe schematy blokowe
a)
R(s)
do postaci pokazanej na rysunku C.1
i określ transmitancje G ( s ) i H ( s ) .
R(s)
G(s)
−
G2
Y(s)
G3
Y(s)
−
G1
b)
H(s)
R(s)
Rys. C1. Schemat blokowy docelowego
układu zamkniętego.
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
G1
−
G2
Y(s)
G3
 M. Tomera
10
Teoria sterowania
Schematy blokowe
c)
h)
R(s)
G1
−
Y(s)
G2
R(s)
−
G3
Y(s)
G2
−
G4
G1
G5
G3
d)
i)
G1
R(s)
−
Y(s)
R(s)
G1
−
G2
G2
G3
G3
G4
G4
Y(s)
G5
j)
e)
R(s)
G1
−
R(s)
G2
−
G1
G2
Y(s)
Y(s)
G3
G4
G5
H1
k)
−
H2
G1
f)
R(s)
G3
R(s)
−
G5
G1
−
−
G2
G2
Y(s)
G3
G4
Y(s)
−
l)
H1
R(s)
H2
g)
G1
G2
G3
G4
Y(s)
G5
R(s)
−
G1
G2
G4
G3
Y(s)
G6
G7
−
G5
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
11
Teoria sterowania
Schematy blokowe
C.2. Zredukuj poniższe schematy blokowe do pojedynczej transmitancji T ( s) = Y ( s) / R( s) ,
następującymi metodami:
1) Przekształcając schemat blokowy
2) Przy użyciu MATLABA
a)
1
s
1
s+3
3
s
s+2
R(s)
Y(s)
4
b)
R(s)
−
−
1
s+1
3
s+4
Y(s)
c)
R(s)
2
s
−
10
s +4
Y(s)
2
−
1
s+1
d)
R(s)
2
s2
−
−
50
s+1
s
2
s
2
Y(s)
−
C3. Wyznacz dla poniższych schematów blokowych transmitancje wypadkowe Y(s)/R(s) przez
zastosowanie reguły wzmocnień Masona
b)
a)
R(s)
−
−
Y(s)
G1
H1
G2
G1
R(s)
−
G2
G5
−
G3
G4
Y(s)
−
H2
Ostatnia aktualizacja: 2007-02-21
 M. Tomera
12
Teoria sterowania
Schematy blokowe
c)
G4
R(s)
G1
−
G2
Y(s)
G3
H1
H2
d)
G4
R(s)
−
−
−
G2
−
Y(s)
G3
e)
H3
R(s)
−
G1
G2
−
G3
H1
G4
Y(s)
H2
f)
G3
R(s)
G1
Y(s)
G2
H2
H1
g)
H2
R(s)
G1
G2
G3
G4
Y(s)
H1
H3
Ostatnia aktualizacja: 07-02-21
 M. Tomera
13
Teoria sterowania
Schematy blokowe
h)
G8
R(s)
G1
G6
G3
Y(s)
G7
G2
G4
G5
i)
G8
R(s)
G1
Y(s)
G5
G2
G6
G4
G7
G3
j)
R(s)
G1
G3
Y(s)
G4
G2
G5
k)
G1
R(s)
G2
G5
Y(s)
G6
G3
G4
G7
l)
H3
H1
R(s)
G1
G2
G3
Y(s)
H2
H4
Ostatnia aktualizacja: 07-02-21
 M. Tomera
14
Teoria sterowania
Schematy blokowe
C4. Dla poniższych schematów blokowych wyznacz transmitancje wypadkowe T(s) = Y(s)/R(s) przez
zastosowanie reguły wzmocnień Masona
a)
G1
R(s)
G2
Y(s)
G3
G4
G5
G6
G7
b)
G2
G1
R(s)
G3
G4
G5
G6
Y(s)
G7
c)
R(s)
G1
G2
G3
G4
G5
Y(s)
G6
G7
d)
G1
G2
R(s)
G3
G6
Ostatnia aktualizacja: 07-02-21
G4
G5
Y(s)
G7
 M. Tomera
15
Teoria sterowania
Schematy blokowe
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
C1.
i) G (s ) = G1G 2 ; H (s ) =
G3
G2
a) G (s ) = G1G2 ; H (s ) =
lub G (s ) =
G
b) G (s ) = G1G2 ; H (s ) = 3
G1
c) G (s ) = G1G2 ; H (s ) =
lub G (s ) =
G3
d) G (s ) = G1 + G 2 ; H (s ) =
1 − G3 G 4
H (s ) =
G 2 (G1 + G3 )
; H (s ) = H 2
1 + G1 H 1
g) G (s ) = G1G2G3 ; H (s ) =
h) G (s ) =
G4
G 3 (1 + G 4 G 5 )
H (s ) =
C3.
a) T (s ) =
b) T (s ) =
G1G 2
; H (s ) = G 4 G 5
1 − G 2 G3 G 5
G 2 G5
G 4 (G1 + G 2 )(1 + G5 )
1 + G 3 (1 + G 7 )
G 3 G 4 (G1 − G 5 )(1 − G 6 )
G2
G (G + G5 )(1 + G1 )
; H (s ) = 3 4
1 + G1
1 − G3
3
c) T ( s ) =
2
s + 3s + 15s + 6
b) T ( s ) =
3
2
5s + 17 s + 6s
3
d) T ( s ) =
2
s + 6 s + 11
20 s + 20
4
3
s + s + 14 s 2 + 14s + 20
100 s 2 − 200s
s 4 + s 3 + 200 s 2 − 200 s
G1 (1 + G 2 H 2 )
1 + G1G 2 + G1 H 1 + G 2 H 2 + G1 H 1G 2 H 2
(G 2 G3 G 4 + G1G3 G 4 )(1 + G5 )
1 + G 2 G 3 G5 + G5
c) T (s ) =
G1G 2 G 3 + G1G 4
1 − G1 H 1 + G1G 2 H 2
d) T (s ) =
G 2 G3 + G3
1 + G 2 G3 + 2G3 + 2G 2 G3 G 4 + G3 G 4
e) T (s ) =
G1G 2 G 3 G 4
1 + G1G 2 H 1 + G 3 G 4 H 2 − G 2 G3 H 3 + G1G 2 H 1G3 G 4 H 2
f) T (s ) =
G1G 2 + G3
1 + G 2 H 2 + G1G 2 H 1 + G3 H 1
g) T (s ) =
G1G 2 G3G 4
1 − G3G 4 H 1 + G 2 G3 H 2 + G1G 2 G3G 4 H 3
h) T (s ) =
G1 (G3G7 + G4 G7 )
1 + G1G2 + G6 G7 + G1 (G3G7 + G4 G7 )G5 − G7 G8 (G3 + G4 ) + G1G2 G6 G7
i) T (s ) =
G1
l) G (s ) = (G1 − G 5 )G 2 G3 G 4
C2.
a) T ( s ) =
(G1G 4 − G3 )G5
k) G (s ) = (G1 + G2 )G3G4
H − H2
e) G (s ) = G 2 (1 + G1 ) ; H (s ) = 1
1 + G1
f) G (s ) =
G2
G1G 2
; H (s ) = G 4 G 5
1 + G1G3 G 4
j) G (s ) = G1G 2 ; H (s ) =
G 2 + G3
G2
(G 2 G5 + G3 )G 4
G1G5
1 + G1G5 G8 + G1G2 + G1G5 (G4 + G6 G7 )G3
Ostatnia aktualizacja: 07-02-21
 M. Tomera
16
Teoria sterowania
Schematy blokowe
j) T (s ) =
G1G3G 4 + G2 G3G 4 + G2 G4
1 + G1G3 G4 + G 2 G3G 4 + G2 G 4 − G3 G4 G5 G2 − G4 G5 G2
k) T (s ) =
G 2 G5 G 6 + G3 G5 G 6 + G 4 G6
1 + G1G2 + G1G3 + G2 G5 G6 G7 + G3G5 G6 G7 + G6 + G 4 G6 G7 + G1G 2 G6 + G1G3 G6
l) T (s ) =
G1G 2 G3
1 + G1 H 1 + G 2 H 2 + G 2 G 3 H 4 + G1G 2 H 3 + G1G 2 G 3 + G1 H 1G 2 H 2 + G1 H 1G 2 G 3 H 4
C4.
a) T ( s ) =
G 2 G 3 (1 − G 6 G 7 − G 7 ) + G1G 2 (1 − G3 G 4 − G 6 G 7 − G 7 + G3 G 4 ⋅ G 6 G 7 + G 3 G 4 ⋅ G 7 )
1 + G 2 G 3 G 6 G 5 − G3 G 4 + G 2 G1G 6 G5 − G 6 G 7 − G 7 − G 2 G3 G 6 G5 ⋅ G 7 − G 3 G 4 ⋅ G 2 G1G 6 G 5
1
G 3 G 4 ⋅ G 6 G 7 + G 3 G 4 ⋅ G 7 − G 2 G1G 6 G5 ⋅ G 7 + G3 G 4 ⋅ G 2 G1G 6 G 5 ⋅ G 7
b) T ( s ) =
G3 G 4 (1 − G 2 ) + G 3 G 2
1 + G 3 G5 + G 4 G 6 + G3 G 4 G 7 − G1G 3 − G 2 + G3 G 2 G 7 + G 3 G 2 G 6 G1 + G3 G 5 ⋅ G 4 G 6 − G 3 G5 ⋅ G 2
1
− G 4 G 6 ⋅ G 2 − G3 G 4 G 7 ⋅ G 2 + G1G3 ⋅ G 2 − G 3 G5 ⋅ G 4 G 6 ⋅ G 2
c) T ( s ) =
−G1G 2 G 5 (1 + G3 G 6 + G3 G 4 G 7 ) + G1G 2 G 4 G5 (1 + G 3 G 6 ) + G1G 3 G 4 G 5 (1 + G 2 )
1 + G 2 + G3 G 6 + G 5 + G 3 G 4 G 7 + G3 G 4 G 5 + G 2 ⋅ G 3 G 6 + G 2 ⋅ G 5 + G 2 ⋅ G 3 G 4 G 7 + G 2 ⋅ G3 G 4 G5
1
G 3 G 6 ⋅ G 5 + G5 ⋅ G3 G 4 G 7 + G 2 ⋅ G3 G 6 ⋅ G 5 + G 2 ⋅ G 3 G 4 G 7 ⋅ G5
d) T ( s ) =
G1 (1 + G 3 G 6 − G 4 G 7 ) + G3 G 2 (1 + G1 ) + G3 G 4 G 5 (1 + G1 )
1 + G1 + G3 G 6 − G 4 G 7 + G 3 G 4 G 5 + G 3 G 2 + G1 ⋅ G 3 G 6 − G1 ⋅ G 4 G 7 + G1 ⋅ G3 G 4 G 5 + G1 ⋅ G 3 G 2
LITERATURA
1. Dorf R.C., R.H. Bishop, Modern Control Systems, Addison−Wesley Longman, Inc., 1998.
2. Franklin, G F, Powell, J D & Emami-Naeini, A. Feedback Control of Dynamic Systems, 3rd edn,
Addison-Wesley (1994)
3. Hostetter G.H., C.J. Savant, R.T. Stefani, Design of Feedback Control Systems, Saunders College
Publishing, 1989.
4. Nise N. S. Control Systems Engineering, 3rd edn, John Wiley & Sons, 2000.
5. Ogata K. Modern Control Engineering, 4th ed, Prentice Hall, 2002.
Ostatnia aktualizacja: 07-02-21
 M. Tomera
17