Geometria Zadania na ćwiczenia nr 2 W. Pompe 1. Dany jest trójkąt

Geometria Zadania na ćwiczenia nr 2 W. Pompe 1. Dany jest trójkąt

Geometria
Zadania na ćwiczenia nr 2
W. Pompe
1. Dany jest trójkąt ABC. Okrąg przechodzący przez punkty A i B jest styczny do
prostej AC w punkcie A oraz przecina odcinek BC w punkcie D. Wykazać, że AB = AC
wtedy i tylko wtedy, gdy AD = CD.
2. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio
w punktach D, E, F . Znając długości boków trójkąta ABC obliczyć długości odcinków
BD, DC, CE, EA, AF i F B.
3. Dany jest czworokąt wklęsły ABCD, w którym kąt wewnętrzny przy wierzchołku
D jest większy od 180◦ . Dwusieczne kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A, B, C
przecinają się w jednym punkcie P . Wykazać, że dwusieczna kąta wewnętrznego przy
wierzchołku D również przechodzi przez punkt P .
Jaką rolę pełni w tym czworokącie punkt P ?
4. Mówimy, że we wklęsły czworokąt ABCD można wpisać okrąg, jeśli można wpisać okrąg w czworokąt AP CQ, gdzie punkty P , Q są odpowiednio punktami przecięcia
prostych AB, CD oraz BC, AD.
Wykazać, że we wklęsły czworokąt ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy AB + CD = AD + BC.
5. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Prosta CI przecina okrąg
opisany na trójkącie ABC w punkcie D. Wykazać, że
AD = BD = DI .
6. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 6= BC. Dwusieczna kąta ACB oraz symetralna odcinka AB przecinają się w punkcie D. Dowieść, że na czworokącie ACBD można
opisać okrąg.
7. Punkt C jest środkiem odcinka AB. Niech o będzie okręgiem o środku B i promieniu
BC. Prosta przechodząca przez punkt A jest styczna do okręgu o w punkcie D. Wyznaczyć
miarę kąta ADC.
8. Punkt P leży wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD, przy czym
6
ADP + 6 BCP = 6 AP B .
Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach ADP i BCP są styczne.
9. Dane są różne punkty A i B. Okręgi o1 , o2 są styczne do prostej AB odpowiednio
w punktach A, B oraz mają dokładnie jeden punkt wspólny X. Wyznaczyć zbiór punktów
X przy ustalonych punktach A i B oraz zmieniających położenie okręgach o1 i o2 .
10. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 6= BC. Przez punkt C prowadzimy styczną
do okręgu opisanego na trójkącie ABC, która przecina prostą AB w punkcie D. Dwusieczna
kąta ACB przecina bok AB w punkcie E. Wykazać, że CD = DE.
11. Udowodnić, że w czworokąt wypukły ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko
wtedy, gdy okręgi wpisane w trójkąty BCD i BAD są styczne do prostej BD w tym samym
punkcie.
12. Wykazać, że w dwunastokącie foremnym A1 A2 . . . A12 przekątne A1 A5 , A2 A7 oraz
A3 A10 przecinają się w jednym punkcie.