Rachunek zdań i predykatów

Transkrypt

Rachunek zdań i predykatów
Agnieszka Nowak-Brzezińska
27 kwietnia 2015
1 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory
Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne),
występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logików w następujący sposób:
• kwantyfikator ogólny, zapisywany jako ∀, czytany jako: ”dla każdego...”
• kwantyfikator szczegółowy (egzystencialny), zapisywany jako ∃, czytany
jako: ”istnieje taki ..., że...”
NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób : ”x, y, z...”
PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NAZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: ”P, Q, R, S...”
Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE
(zapisuje się to zawsze tak: P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis
: P(x, y)).
SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawartość zdania, np.:
• ∀x P(x) - czytaj jako: ”Dla każdego x, x jest Ptakiem”
• ∃ y Q(y) - czytaj jako: ”Istnieje taki y, że y jest Kurą”
1.1 Przykład
Zdanie:”Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas.”
Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko te
wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do których inne części zdania
(mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisową:
x, y -istota
z - czas
Dalej powinnością nasza jest utworzenie zmiennych predykatowych (PREDYKATóW), którymi są zawsze:
1
1. informacje o występowaniu podmiotu w zdaniu (PREDYKATY JEDNOARGUMENTOWE - bo jedna zmienna w nawiasie);
2. te części zdania, które występują pomiędzy NAZWAMI, łącząc je ze sobą w spójną całość (PREDYKATY DWUARGUMENTOWE - bo dwie
zmienne w nawiasie): Obawa rodzaje występują zawsze w formie twierdzącej !
K(x) - x jest Kubusiem
A(y) - y jest Antykubusiem
C(z) - z jest czasem
Tych jest zawsze tyle, ile nazw znaleźliśmy w badanym zdaniu)
W(x, y) - x widział y
G(y, z) - y gonił z
(TYCH JEST O JEDEN MNIEJ, NIż ILOść NAZW W BADANYM ZDANIU)
3. następnie przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę ułatwiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów :
”(Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas.”
4. Mamy teraz pewność, że:
• Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki x, że x
jest Kubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu
MAłEGO kwantyfikatora.
• Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć : ”Istnieje taki y , ze
y jest Antykubusiem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w
tym celu MAłEGO kwantyfikatora.
• czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: ”Istnieje taki z , ze z jest
czasem” i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.
- przystępujemy wiec do zapisania naszego zdania w postaci schematu
kwantyfikatorowego :
∃x {K(x) ∧ ∃ y [A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z (C(z) ∧ G(y, z)]}
ale po kolei...
∃x K(x)
czytaj jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem...”
∃x {K(x) ∧ ∃ y [A(y) . . .
czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem...”
Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA,
pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator
∃x {K(x) ∧ ∃ y [A(y) ∧ W(x, y) . . .
2
co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest
Antykubusiem i x widział y...” Kolejny krok to konieczność przedstawienia w
schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, który jest tu nierozłącznie
związany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamiętamy oczywiście o symbolu
koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotąd napisaliśmy
∃x {K(x) ∧ ∃ y [A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z (C(z) . . .
czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem...” No i nie pozostało
nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodząca pomiędzy Antykubusiem i czasem - ”y gonił z”, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu
symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator :
∃x {K(x) ∧ ∃ y [A(y) ∧ W(x, y) ∧ ∃z (C(z) ∧ G(y, z)]}
co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest
Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem i y gonił z.”
1.2 Przykład 2
Tym razem dostaliśmy takie zdanie:
”Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka .”
Wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze te wszystkie podmioty (rzeczowniki) , w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być
także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisowa
x - zwierze
y - produkt
z - istota
M(x) - x jest misiem
UWAGA ! Mimo, ze w zdaniu są ”misie” - słowo informujące o zbiorowym charakterze występującej tu nazwy, my umieszczamy w predykacie ZAWSZE nazwę
w formie liczby pojedynczej : ”mis”. PAMIETAJ !
U(y) - y jest miodkiem
C(z) - z jest Człowiekiem
Z(x, y) - x zjada y
W(z, y) - z wyprodukował y
∀x {M(x) →v ∃ y [u(y) ∧ Z(x, y) ∧ ∃z (C(z) ∧ W(z, y)]}
Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznaczne zaprzeczenie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłby się zjeść
wszystkie misie...
3
2 Zadania do wykonania przez studentów
1. ”Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje
taka (przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i
Aniołem.” ]
x - istota
C(x) - x jest Człowiekiem
A(x) - x jest Aniołem
∃x (C(x) ∧ A(x))
2. ”Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest
Aniołem.” ]
x - istota
∃x (C(x)∧ v A(x))
”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.”
3. ”Wszyscy Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota,
która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem.” ]
x - istota
∀x (C(x) → A(x))
4. ”Żaden Człowiek nie jest Aniołem.” mówiąc w uproszczeniu:
• WARIANT I - ”Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie
jest Aniołem.”
• lub też: WARIANT II - ”Nie istnieje istota, która jest zarazem Człowiekiem i Aniołem.”
x - istota
(a) wariant I
∀x (C(x) →v A(x))
”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem.”
4
(b) wariant II
v ∃x (C(x) ∧ A(x))
”Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem.”
5. ”Tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każda istota, która jeśli jest Człowiekiem, to jest jednocześnie Aniołem.” ] x - istota
∀x (C(x) → A(x))
”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.”
6. ”Nie tylko Ludzie są Aniołami.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taka
(przynajmniej jedna) istota, która nie jest Człowiekiem i jest Aniołem.” ]
x - istota
∃x (v C(x) ∧ A(x))
7. ”Każda Polka jest córka jakiejś Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Dla
każdej Polki istnieje taka (przynajmniej jedna) Europejka, dla której ona
jest córka.” ] x - Polka
y - Europejka
Z(x) - x jest Polką
Z(y) - y jest Europejką
C(x, y) - x jest córką y
∀x [Z(x) → ∃ y (Z(y) ∧ C(x, y))
”Dla każdego x, jeżeli x jest Polka, to istnieje taki y, ze y jest Europejka
i x jest córka y.”
8. ”Pewna Polka nie jest córką żadnej Europejki.” [ mówiąc w uproszczeniu:
”Istnieje taka Polka, ze nie istnieje inna (przynajmniej jedna) Europejka,
której ona jest córką.” ] x - Polka
y - Europejka
Z(x) - x jest Polką
Z(y) - y jest Europejką
C(x, y) - x jest córką y
∃x [Z(x)∧ v ∃ y (Z(y) ∧ C(x, y)]
”Istnieje taki x, ze x jest Polką, i nie istnieje taki y, że y jest Europejką i
x jest córką y.”
5
9. ”Pewna Europejka nie ma córki pośród Polek.” [ mówiąc w uproszczeniu:
”Istnieje taka Europejka, że każda Polka nie jest jej córką.” ] x - Europejka
y - Polka
Z(x) - x jest Europejką
Z(y) - y jest Polką
C(y, x) - y jest córką x
∃x [Z(x) ∧ ∃ y (Z(y) →v C(x, y)]
Istnieje taki x, że x jest Europejką, i dla każdego y, jeżeli y jest Polką, to
y nie jest córką x.”
10. ”Pewien Mędrzec nie obejrzał żadnego filmu.” [ mówiąc w uproszczeniu:
”Istnieje taki Mędrzec, który nie obejrzał żadnego z wszystkich filmów.” ]
x - Mędrzec
y - film
M(x) - x jest mędrcem
F(y) - y jest filmem
O(x, y) - x obejrzał y
∃x [M(x) ∧ ∀ y (F(y) →v O(x, y)]
”Istnieje taki x, że x jest Mędrcem, i dla każdego y, jeżeli y jest filmem,
to x nie obejrzał y.”
11. ”Pewien Człowiek nie ma Sąsiada.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki Człowiek, który nie ma żadnego Sąsiada.” ] W schemacie sformułujemy
część zdania tak :”nie istnieje (nawet jeden) Sąsiad.” x - Człowiek
y - Człowiek
C(x) - x jest człowiekiem
C(y) - y jest Człowiekiem
S(y, x) - y jest Sąsiadem x
∃x [C(x)∧ v ∃ y (C(y) ∧ S(y, x)]
”Istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest Człowiekiem i y jest Sąsiadem x.”
12. ”Wszyscy Ludzie są Sąsiadami wszystkich.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Człowiek, jest Sąsiadem każdego Człowieka.” ] x - Człowiek
y - Człowiek
∀x [C(x) → ∀ y (C(y) → S(y, x)]
”Dla każdego x, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest Człowiekiem, to y jest Sąsiadem x.”
6
13. ”Nikt nie ma Sąsiada.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Nie istnieje taki Człowiek, który nie ma żadnego Sąsiada.” ] x - Człowiek
y - Człowiek
v ∃x [C(x) ∧ ∃ y (C(y)∧ v S(y, x)]
Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem, i nie istnieje taki y, że y jest
Człowiekiem i y nie jest Sąsiadem x.”
14. ”Wszyscy przeczytali jakaś książkę.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy
Człowiek, przeczytał (przynajmniej jedna) książkę.” ] x - Człowiek
y - książka
C(x) - x jest człowiekiem
F(y) - y jest książką
O(x, y) - x przeczytał y
∀x [C(x) → ∃ y (F(y) ∧ O(x, y)]
”Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to istnieje taki y, że y jest
książką i x przeczytał y.”
15. ”Jest film, którego nie obejrzeli wszyscy Ludzie.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki film, którego nie obejrzał każdy Człowiek.” ] x - film
y - Człowiek
F(x) - x jest filmem
C(y) - y jest człowiekiem
O(y, x) - y obejrzał x
∃x [F(x) ∧ ∀ y (C(y) →v O(y, x)]
”Istnieje taki x, że x jest filmem, i dla każdego y, jeżeli y jest Człowiekiem,
to y nie obejrzał x.”
16. ”Żaden z nas nie przeczytał wszystkich książek.” [ mówiąc w uproszczeniu: ”Dla każdego człowieka prawdą jest, że nie przeczytał on wszystkich
książek.” bądź inaczej mówiąc: „Nie istnieje człowiek który przeczytał
wszystkie książki” ]. Zapiszemy to zdanie w znaczeniu: dla każdego człowieka istnieje conajmniej jedna taka książka, której on nie przeczytał.
x - Człowiek
y - książka
F(y) - y jest książką
O(x, y) - x przeczytał y
∀x [C(x) → ∃ y (F(y) →v O(x, y)]
7
”Dla każdego x, jeśli x jest Człowiekiem, to każdy y, jeżeli y jest książką,
to x nie przeczytał y.”
17. ”Wszyscy Naukowcy maja poglądy, z którymi wszyscy Naukowcy się nie zgadzają.”
[ mówiąc w uproszczeniu: ”Każdy Naukowiec ma (przynajmniej jeden) pogląd, z którym inni (gazdy) Naukowcy się nie zgadzają.” ] x - Naukowiec
y - pogląd
z - Naukowiec
N(x) - x jest Naukowcem
P(y) - y jest poglądem
N(z) - z jest Naukowcem
M(x, y) - x ma y
Z(z, y) - z zgadza się z y
∀x {N(x) → ∃ y [P(y) ∧ M(x, y) ∧ ∀z (N(z) →v Z(z, y)]}
co czytamy jako: ”Dla każdego x, jeśli x jest Naukowcem, to istnieje taki
y, że y jest poglądem i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Naukowcem,
to z nie zgadza się z y.”
18. ”Pewni Naukowcy maja poglądy, z którymi żaden Człowiek się nie zgadza.”
[ czyli: ”Istnieje taki (przynajmniej) jeden Naukowiec, który ma (przynajmniej) jeden pogląd, z którym ani jeden Człowiek się nie zgadza.” ]
x - Naukowiec
y - pogląd
z - Człowiek
N(x) - x jest Naukowcem
P(y) - y jest poglądem
C(z) - z jest Naukowcem
M(x, y) - x ma y
Z(z, y) - z zgadza się z y.
∃x {N(x) ∧ ∃ y [P(y) ∧ M(x, y)∧ v ∃z (C(z)∧ v Z(z, y)]}
co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Naukowcem i istnieje taki y, ze
y jest poglądem, i x ma y, i nie istnieje taki z, ze z jest Człowiekiem, i z
zgadza się z y.”
19. ”Pewien Człowiek ma przekonania, z którymi identyfikują się wszyscy Ludzie.”
[ mówiąc w uproszczeniu: ”Istnieje taki Człowiek, który ma (przynajmniej
jedno) przekonanie, z którym identyfikuje się każdy Człowiek.”]
x - Człowiek
y - przekonanie
z - Człowiek
P(y) - y jest przekonaniem
C(z) - z jest Człowiekiem
8
M(x, y) - x ma y
I(z, x) - z identyfikuje się z y
∃x {C(x) ∧ ∃ y [P(y) ∧ M(x, y) ∧ ∀z (C(z) → I(z, y)]}
co czytamy jako: ”Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem, i istnieje taki y,
ze y jest przekonaniem, i x ma y, i dla każdego z, jeżeli z jest Człowiekiem,
to z identyfikuje się z y.”
20. Zdanie: ”Są ubrania stworzone przez Dyktatorów mody, którzy nie są
pozbawieni zmysłu użytkowości.” [ inaczej mówiąc: ”Istnieje takie (przynajmniej) jedno ubranie, które zostało stworzone przez (przynajmniej)
jednego Dyktatora mody, którym nie jest pozbawiony (jednego) zmysłu
użytkowości.”]
x - ubranie
y - Dyktator mody
z - cecha
U(x) - x jest ubraniem
D(y) - y jest Dyktatorem mody
P(z) - z jest zmysłem użytkowości
K(y, x) - y stworzył x
N(y, z) - y jest pozbawiony z
∃x {U(x) ∧ ∃ y [D(y) ∧ K(y, x)∧ v ∃z (P(z) ∧ N(y, z)]}
co czytamy jako ”Istnieje taki x, ze x jest ubraniem i istnieje taki y, ze
y jest Dyktatorem mody, i y stworzył x, i nie istnieje taki z, ze z jest
zmysłem użytkowości, i y jest pozbawiony z.”
21. Zdanie: ”Żaden Człowiek nie zniszczy bezzasadnie Istoty, która ma w sobie
wszystkie pierwiastki życia.” [czyli: ”Nie istnieje taki Człowiek, który zniszczy bezzasadnie (jedną) Istotę, która ma w sobie każdy pierwiastek życia.”]
x - Człowiek
y - Istota
z - symptom
I(y) - y jest Istota
P(z) - z jest pierwiastkiem życia
Z(x, y) - x zniszczy bezzasadnie y
M(y, z) - y ma w sobie z
v ∃x {C(x) ∧ ∃ y [I(y) ∧ Z(x, y) ∧ ∀z (P(z) → M(y, z)]}
co czytam jako: ”Nie istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i istnieje taki
y, ze y jest Istota, i x zniszczy bezzasadnie y, i dla każdego z, jeżeli z jest
pierwiastkiem życia, to y ma w sobie z.”
9
2.1 Ćwiczenia z rachunku kwantyfikatowów
Zapisywanie zdań języka polskiego w języku kwantyfikatorowym:
1. Jakiś przedmiot jest zielony.
2. Jakiś Polak jest bogaty.
3. Jakiś Polak jest przystojny i bogaty.
4. Jakiś Polak nie jest bogaty.
5. Jan zna jakiegoś Niemca.
6. Jan nie zna jakiegoś Niemca.
7. Jakiś Polak zna jakiegoś Niemca.
8. Jakiś Polak nie zna jakiegoś Niemca.
9. Żaden Polak nie jest bogaty.
10. Żaden Polak nie zna żadnego Niemca.
11. Jan nie zna żadnego Niemca.
12. Jakiś Polak nie zna żadnego Niemca.
13. Każdy Polak jest bogaty.
14. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.
15. Każdy Polak jest przystojny lub bogaty.
16. Jan zna każdego Niemca.
17. Każdy Polak nie zna każdego Niemca.
18. Każdy Polak zna jakiegoś Niemca.
19. Każdy Polak nie zna żadnego Niemca.
3 Zadania egzaminacyjne
• typ I - usuwanie kwantyfikatorów
– Każdy pies jest ssakiem
Każdy kot jest jest ssakiem
żaden pies nie jest kotem
Jeśli założymy, że:
x - zwierzę
P(x) - zwierzę jest psem
10
S(x) - zwierzę jest ssakiem
K(x) - zwierzę jest kotem
to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco:
∀x (P(x) → S(x))
∀x (K(x) → S(x))
∀x (P(x) → ¬K(x))
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):
P(x) → S(x)
K(x) → S(x)
P(x) → ¬K(x)
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż
schemat ten jest zawodny(dla prawdziwych P(x), K(x) oraz S(x)).
– Żadna ryba nie jest ssakiem
Żaden wieloryb nie jest rybą
Każdy wieloryb jest ssakiem
x - zwierzę
R(x) - zwierzę jest rybą
S(x) - zwierzę jest ssakiem
W(x) - zwierzę jest wielorybem
∀x (R(x) → ¬S(x))
∀x (W(x) → ¬R(x))
∀x (W(x) → S(x))
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie):
R(x) → ¬S(x)
W(x) → ¬R(x)
W(x) → S(x)
11
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż
schemat ten jest niezawodny.
Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to:
r → ¬s
w → ¬r
w→s
* metodą założeniową wprost
1 r → ¬s
(zał.)
2 w → ¬r (zał.)
3 w
(zał.)
4 ¬r
RO(2,3)
5 r ∧ ¬¬s ZI(1)
6 r∧s
PN(5)
7 s
OK(6)
* metodą założeniową niewprost
1
r → ¬s
(zał.)
2
w → ¬r
(zał.)
3
¬(w → s) (DN)
4
¬(¬w ∨ s) ZI(3)
5
¬¬w ∧ ¬s NA(4)
6
w ∧ ¬s
PN(5)
7
¬s
OK(6)
8
w
OK(6)
9
¬r
RO(2,8)
10 r ∧ ¬¬s
ZI(1)
11 r ∧ s
PN(10)
12 s
OK(11)
SPRZECZNE 7 i 12.
– Nie każdy czlowiek jest pijakiem
Każdy pijak jest człowiekiem
nie każdy człowiek jest człowiekiem
x - istota
C(x) - istota jest człowiekiem
P(x) - istota jest pijakiem
¬∀x (C(x) → P(x))
∀x (P(x) → C(x))
¬∀x (C(x) → C(x))
12
Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia
z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe .
Teraz schemat wygląda następująco:
∃x ¬(C(x) → P(x))
∃x (P(x) → C(x))
∃x ¬(C(x) → C(x))
Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć:
¬(C(x) → P(x))
P(x) → C(x)
¬(C(x) → C(x))
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny.
Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis
schematu to:
¬(c → p)
p→c
¬(c → c)
Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco:
1 ¬(c → p) (zał.)
2 p→c
(zał.)
3 (c → c)
(DN)
4 c ∧ ¬c
ZI(3)
5 c
OK(4)
6 ¬c
OK(4)
SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny.
• typ II - wyszukiwanie schematów wnioskowania w tekście i usuwanie kwantyfikatorów
• W pewnym czasopiśmie znaleziono następującą informację:
...Znowu toczą się spory dotyczące wyższości samochodów nad
motocyklami. W zasadzie trudno zrozumieć ludzi, którzy kruszą
kopie z powody tak błahego problemu. Co innego, gdyby chodziło o możliwość stworzenia pojazdu uniwersalnego, takiego,
który mógłby być w zależności od potrzeby - albo motocyklem,
albo samochodem. Jakoś do tej pory było rzeczą oczywistą, że
każdy pojazd o ile ma cztery koła (oczywiście na których jeździ)
to nie jest już motocyklem. W związku z tym jak ktoś zauważył jeżeli wychodząc na ulicę zobaczymy samochód to po jakimś
czasie powinniśmy zobaczyć również jakiś jednoślad...
13
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na
przykładzie jego zawodność. Uzasadnij odpowiedź. Określ pojęcia logiczne
z nim związane.
Rozwiązanie:
schemat wnioskowania: Każdy pojazd, który ma cztery koła, nie jest motocyklem. Istnieje istnieje taki pojazd który jest samochodem, to istnieje
także i taki który jest motocyklem.
x - pojazd
S(x) - pojazd x ma 4 koła
M(x) - pojazd x jest motocyklem (jednośladem)
Wówczas schemat wnioskowania zapiszemy formalnie następująco:
∀x (S(x) → ¬M(x)) ⇒ ∃x S(x) → ∃x M(x)
...Za niedługo na nasze szczęście wejdą w życie nowe przepisy
normalizacyjne. Skończą się więc problemy z włączaniem urządzeń elektrycznych. Do tej pory trafiały się wtyczki nie pasujące
do gniazdek lub dla odmiany - gniazdka, do których za nic nie
dało się włożyć wtyczki. Nie było oczywistym, że jeśli mamy
wtyczki pasujące do każdego gniazdka w naszym domu to i każde gniazdko (znajdujące się np. w pokoju w pracy) będzie na tyle
podobnie zbudowane, że wtyczka w naszym ekspresie (pasująca
do gniazdek w domu) da się bez problemów do niego włączyć...
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat
formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na
z nim związane.
Rozwiązanie:
schemat wnioskowania: Istnieją gniazka nie pasujące do wtyczek i wtyczki
nie pasujące do gniazdek. Nieprawdą jest, że dla każdego gniazka i wtyczki
pasują one do siebie i udaje się włożyć wtyczki do gniazdek.
x - wtyczka
y - gniazdko
P(x, y) - wtyczka x pasuje do gniazka y
W(y, x) - do gniazka y da się włożyć wtyczkę x
∃x ∃ y ¬(P(x, y) ∧ W(y, x)) ⇒ ¬(∀x ∀ y (P(x, y) → W(y, x)))
...Z badań form fonograficznych przeprowadzonych w sklepach
muzycznych (a dotyczących sprzedaży płyt) można wysunąć ciekawe wnioski. Mianowicie, jeżeli można znaleźć płytę, którą każ14
dy ze słuchaczy uważa za najlepszą to znaczy, że każdy z miłośników muzyki ma pewną upatrzoną płytę, którą chciałby mieć
w swojej domowe kolekcji. Wygląda więc na to, że przemysł
fonograficzny nie musi obawiać się kłopotów z popytem na rynku...
Postaraj się znaleźć schemat wnioskowania autora tekstu. Napisz schemat
formalny wnioskowania. Czy jest on niezawodny ? Jeśli nie, wykaż na
z nim związane.
Rozwiązanie:
schemat wnioskowania: Jeżeli istnieje płyta taka, że dla każdego jest ona
interesująca, z tego wynika, że dla każdego słuchacza istnieje płyta, którą
chciałby mieć.
x - płyta
y - człowiek
N(x, y) - płyta x jest uznana za najlepszą przez człowieka y
C(x, y) - płyta x jest pożądana przez człowieka y
∃x ∀ y N(x, y) ⇒ ∀ y ∃x C(x, y)
...Mogłoby się wydawać, że nic nie jest w stanie nas już zdziwić a jednak...O ile dobrze wiadomo, maskotką najbliższej olimpiady mającej odbyć się w Australii ma być właśnie jeden z - powiedzmy dziwolągów natory. Jest to zwierze znoszące jajka i nie
będące ptakiem.Początkowo wydaje się to być niedorzecznością,
jak to: nie ptak i znosi jajka ? Taka sytuacja może się zdarzyć
wtedy i tylko wtedy, gdy nie każde zwierze znoszące jajka jest
ptakiem.A takim właśnie zwierzęciem jest dziobak - owa maskotka przyszłej olimpiady. Jest również przykładem tzw. żywej
skamieniałości - pozostałości po prehistorycznych zwięrzętach
żyjących kiedyś na Ziemi...
z nim związane.
Rozwiązanie:
schemat wnioskowania: Istnieje zwierzę znoszące jajka i nie będące ptakiem. Wynika z tego, że nie każde zwierze, które znosi jajka, jest ptakiem..
x - zwierzę
J(x) - zwierzę x znosi jajka
P(x) - zwierzę x jest ptakiem
15
∃x (J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ¬∀x (J(x) → P(x))
∃x (J(x) ∧ ¬P(x)) ⇒ ∃x ¬(J(x) → P(x))
J(x) ∧ ¬P(x) ⇒ ¬(J(x) → P(x))
Uproszczony zapis schematu to:
j ∧ ¬p ⇒ ¬(j → p)
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny.
Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności.
Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco:
1 j ∧ ¬p (zał.)
2 j → p (DN)
4 j
OK(1)
5 ¬p
OK(1)
6 ¬j
MT(2,5)
SPRZECZNE 4 i 6, zatem schemat jest niezawodny.
...Ostatnio przysłuchiwałem się rozmowie kilku studentów. Jak
można się domyślić, rozmowa dotyczyła zaliczeń i egzaminów
(wiadomo - sesja !). Zastanawiali się, po co właściwie są egzaminy, skoro zaliczenia są jakby przed egzaminami. Wydaje się,
że każdy student, który otrzymał zaliczenie (okupione bezsennymi nocami poświęconymi na przygotowanie do niezliczonej
liczby kolokwiów), powinien mieć opanowany materiał na tyle dobrze, żeby zdać egzamin.Niestety, rzeczywistość nie jest aż
tak kolorowa. Z rozmowy wynikało, że nie zawsze można znaleźć
studenta, który otrzymał zaliczenie i który byłby jednocześnie
studentem mającym zdany egzamin. I kto tu mówi o beztroskim
życiu studentów !!!...
z nim związane.
Rozwiązanie:
schemat wnioskowania: Każdy student który ma zaliczenie, powinien mieć
i zdany egzamin. Wynika z tego jednak tylko tyle, że nie każdy student
ma zaliczenie i zdany egzamin.
x - student
Z(x) - student x zdobył zaliczenia
16
E(x) - student x zdał egzamin
∀x (Z(x) → E(x)) ⇒ ¬∀x (Z(x) ∧ E(x))
∃x (Z(x) → E(x)) ⇒ ∃x ¬(Z(x) ∧ E(x))
(Z(x) → E(x)) ⇒ ¬(Z(x) ∧ E(x))
Uproszczony zapis schematu to:
(z → e) ⇒ ¬(z ∧ e)
Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest zawodny.
17

Rachunek zdań i predykatów

Transkrypt

Podobne dokumenty

WYSTAWA MALARSTWA BISKUPA JANA SZKODONIA

Czy w dobie Facebooka ktoś jeszcze mądrości i sensu istnienia

Pytania na egzamin dyplomowy STOSUNKI MIĘDZYANRODOWE

Diagnostyka temperamentu według testu H.J. Eysencka

Bez nich Polska jest uboższa