ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne
Transkrypt
ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne
ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych dla ram Wykresy N i Q • Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i dolnej stronie elementu • Znak umieszczamy pod wykresem • Wartości określamy w punktach charakterystycznych* • *Wartość ustalamy z lewej i prawej strony charakterystycznego w następujących przypadkach punktu 1. gdy w danym punkcie na danym kierunku przyłożona jest siła skupiona, lub 2. jeśli w tych punkcie schodzą się wiecej niż dwa pręty, lub 3. jeśli schodzą się dwa pręty pod różnym kątem. Wykres M • nie umieszczamy znaku • wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych! • Wartości określamy w punktach charakterystycznych* • *Wartość ustalamy z lewej i prawej strony charakterystycznego w następujących przypadkach punktu 1. gdy w danym punkcie przyłożony jest moment skupiony, lub 2. jeśli w tych punkcie schodzą się wiecej niż dwa pręty. Na każdym elemencie ramy rysujemy wykres jak na elemencie belkowym. dQ = −q dx dM = +Q dx dN = +n dx n składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi x układu związanego z osią elementu ramowego (kierunek podłużny) q składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi x układu związanego z osią elementu ramowego (kierunek poprzeczny) Postać funkcji sił przekrojowych wynika z obciążenia w przedziale charakterystycznym ( obowiązują związki różniczkowe ) ∑ M ( 0 ) = 0 ⇒ 2 ⋅ 3 ⋅1.5 + 2 − 2 − 3 ⋅ 7 + R ⋅ 5 = 0 ∑ M ( C ) = 0 ⇒ R ⋅ 5 − 2 ⋅ 3 ⋅1.5 − 2 + 2 + 3 ⋅ 2 = 0 ∑ X = 0 ⇒ 2 ⋅ 3 − R = 0 ⇒ R = 6 kN Sprawdzenie: ∑ Y = 0 ⇒ 0.6 + 2.4 − 3 = 0 1 E A F F ⇒ RE = 2.4 kN ⇒ RA = 0.6 kN Układy własne w punktach charakterystycznych cosα = 0.6 sin α = 0.8 Obliczenia pomocnicze do wykresu sił podłużnych N N ( A) = − RA ⋅ cos α = −0.36 N ( L B ) = − RA ⋅ cos α − WII = −0.6 ⋅ cos α − 2 ⋅ 3 ⋅ sin α = −5.16 N ( P B ) = −6 N ( DC ) = −2.4 N ( L C ) = −6 N ( P C ) = −6 N ( G D ) = N ( D D ) = −2.4 N ( F ) = −6 N ( E ) = −2.4 WYKRES N N ( A) = −0.36 N ( L B ) = −5.16 N ( DC ) = −2.4 N ( G D ) = N ( D D ) = −2.4 N ( L C ) = −6 N ( P C ) = −6 N ( P B ) = −6 N ( F ) = −6 N ( E ) = −2.4 Obliczenia pomocnicze do wykresu sił poprzecznych Q Q ( A) = RA ⋅ sin α = 0.48 Q ( L B ) = RA ⋅ sin α − W⊥ = −0.6 ⋅ sin α − 2 ⋅ 3 ⋅ cos α = −3.12 Q ( P B ) = RA = 0.6 Q ( LC ) = − RE + 3 = 0.6 Q ( DC ) = 0 Q ( GD) = Q ( DD) = 0 Q ( PC ) = 3 Q( F ) = 3 Q( E) = 0 WYKRES Q Q ( A ) = 0.48 Q ( L B ) = −3.12 Q ( DC ) = 0 Q ( GD) = Q ( DD) = 0 Q ( LC ) = 0.6 Q ( PC ) = 3 Q ( P B ) = RA = 0.6 Q(F ) = 3 Q(E) = 0 Sprawdzenie poprawności wykresów N i Q (łącznie) Wycinamy węzeł wraz z działającym obciążeniem!!! Zastępujemy przecięcia ukłądami własnymi, na których z wykresów nanosimy wartości sił przekrojowych a znaki uwzględniamy w zwrocie sił (+ zgodny z układem własnym , -przeciwny do wersora układu własnego. Sprawdzamy równowagę węzła ∑ X = 0 , ∑Y = 0 Sprawdzenie dotyczy warunku koniecznego, a nie wystarczającego. Węzeł B Węzeł C Węzeł B Węzeł C ∑X =0 ⇒ 3.12 ⋅ cos α + 5.16 ⋅ sin α − 6 = 0 ∑Y = 0 ⇒ 5.16 ⋅ cos α − 3.12 ⋅ sin α − 0.6 = 0 ∑X =0 ∑Y = 0 ⇒ 6−6 = 0 ⇒ 0.6 − 3 + 2.4 = 0 Obliczenia pomocnicze do wykresu momentów M M ( A) = 0 M (F ) = 0 M ( L B ) = RA ⋅ 4 − W ⋅1.5 = −6.6 M ( L C ) = −2 − 3 ⋅ 2 = − 8 M ( DC ) = −2 M (E) = 0 M ( P B ) = RE ⋅1 − 2 − 3 ⋅ 3 = −8.6 M ( P C ) = −3 ⋅ 2 = − 6 M ( G D ) = −2 M ( DD) = 0 M ( A) = 0 M (F ) = 0 M ( G D ) = −2 M ( DD) = 0 M ( L C ) = −8 M ( P C ) = −6 M ( L B ) = −6.6 M ( DC ) = −2 M (E) = 0 M ( P B ) = −8.6 Sprawdzenie poprawności wykresu M Wycinamy węzeł wraz z działającym obciążeniem!!! Zastępujemy przecięcia ukłądami własnymi, na których z wykresów nanosimy wartości momentów po stronie włókien rozciąganych. Sprawdzamy równowagę węzła ∑M = 0 Sprawdzenie dotyczy warunku koniecznego, a nie wystarczającego. Węzeł B ∑ M ( B) = 0 Węzeł C ⇒ 2 + 6.6 − 8.6 = 0 ∑ M (C ) = 0 ⇒ 6.0 + 2 − 8.0 = 0 Przykłady na kartkówkę 1) 2) Wykres momentów W każdym węźle schodzą się 2 pręty i nie ma momentów skupionych . Wynika z tego że nie ma potrzeby rozróżniania prawostronnego i lewostronnego otoczenia punktu. Jednak do obliczenia wartości momentu trzeba wybrać jedno z otoczeń i narysować w nim układ własny jak np.na rysunku poniżej (gdyż w samych punktach B, C, D nie ma zdefiniowanego układu własnego). W celu przypisania znaku momentów i następnie odniesienia do wyróznionych włókien, musimy zdecydować , które włókna wyróżniamy. Rezultat jest obiektywny tzn. nie zależy od wyboru tych włókien (wybór pełni tu pomocniczą rolę) Zapis zgodny z oznaczeniami na rysunku: ∑ M ( A) = 0 ∑ M ( B ) = + P ⋅ l ∑ M (C ) = + P ⋅ l ∑ M ( D) = −P ⋅ l ∑ M ( E ) = −P ⋅ l Obliczone wartości odnosimy na wykresie tam gdzie rysowane były układy własne Na niebiesko A następnie przenosimy na drugie otoczenie. Wewnątrz naroża węzły B, C na zewnątrz węzeł D Uwaga : takiego przeniesienia nie da się zastosować do wykresów N i Q Teraz możliwe jest narysowanie wykresu PRZYKŁADY Z PODANYMI WYKRESAMI Przykład 1 Uwaga: * obciążenie ciągłe działa na tą część, na którą spada jak śnieg i tam się zatrzymuje, nie spadając na części leżąc poniżej. (z tego wynika ,że obciążenie ciągłe dotyczy poziomego elementu, a nie dotyczy ukośnej prawej części belki leżącej poniżej. Dotyczy natomiast lewej części ukośnej ) ** przecięcie na dwie rozłączne części przechodzi przez tylko jeden punkt konstrukcji Przykład 2 Przykład 3 Przykład 4