andrzej banachowicz - Akademia Morska w Gdyni

nr 19
PRACE WYDZIAŁU NAWIGACYJNEGO
AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI
2006
SAMBOR GUZE
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Matematyki
UWAGI O WŁAŚCIWOŚCIACH LICZBY ZNIEWOLENIA
DLA GRAFÓW
W pracy zdefiniowano liczbę zniewolenia dla grafów. Następnie omówiono podstawowe
właściwości, a w szczególności dokładne wartości liczby zniewolenia dla grafów pełnych, ścieżek,
cykli oraz drzew. Przedstawione zostały także oszacowania górne i dolne dla tej liczby.
Na zakończenie podano przykłady wyznaczania liczby zniewolenia w dowolnych grafach.
WPROWADZENIE
Rozpatrujemy grafy G proste, nieskierowane ze zbiorem wierzchołków
V (G) oraz zbiorem krawędzi E (G). Graf nazywamy prostym, gdy nie posiada
on pętli i krawędzi wielokrotnych. Pętla to krawędź łącząca wierzchołek z nim
samym. Uporządkowany ciąg wierzchołków u 1 , u 2 ,..., u k , taki że każdy
wierzchołek występuje w nim co najwyżej raz oraz dla każdego i zachodzi
{u i , u i+1 } ∈ E (G), nazywamy drogą łączącą dwa wierzchołki u 1 i u k w grafie G.
Graf jest nieskierowany, gdy droga potrzebna do pokonania krawędzi nie
zależy od kierunku ruchu. Jeśli można dostać się z pierwszego wierzchołka do
drugiego, to tą samą drogą można dotrzeć z powrotem. Moc zbioru V (G) nazywamy stopniem grafu. Dla wierzchołka u ∈ V (G) sąsiedztwem będzie zbiór
N G (u) = N (u) wszystkich wierzchołków będących sąsiadami wierzchołka u.
Ogólnie, dla zbioru U ⊆ V sąsiedztwem będzie zbiór N (U ) = u∈U N (u ) .
Stopień wierzchołka u oznaczamy przez d (u) = N (u). Największy stopień
wierzchołka w grafie G oznaczamy jako ∆(G), a najmniejszy jako δ (G). Zbiór
D ⊆ V (G) nazywamy zbiorem dominującym grafu G, jeśli D ∪ N (D) = V (G).
Liczba dominowania jest to natomiast moc najmniejszego zbioru
dominującego. Oznaczamy ją γ (G).
Grafem spójnym nazywamy graf, w którym każde dwa wierzchołki są
połączone drogą. Najmniejsza liczba krawędzi, których usunięcie spowoduje,
że graf spójny nie będzie spójny, nazywamy liczbą spójności krawędziowej.
51
Dla pary wierzchołków s i t w grafie jest to najmniejsza liczba krawędzi,
których usunięcie separuje s i t. Liczbę tę oznacza się najczęściej przez λ.
Długość najkrótszej drogi łączącej wierzchołki u i v w tym grafie jest
odległością między wierzchołkami u i v w grafie spójnym G, oznaczaną przez
d (u, v). Według Brighama, Chinna i Duttona [2] wierzchołek v jest krytyczny
wtedy i tylko wtedy, gdy γ (G – v) < γ (G). Autorzy ci zdefiniowali również
wierzchołkowo krytycznie zdominowany graf G, który tak nazywamy wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek w G jest krytyczny.
Graf jest regularny stopnia r lub inaczej r-regularny, gdy wszystkie
wierzchołki mają stopień równy r. Cyklem C n nazywamy n-wierzchołkowy graf
spójny, 2-regularny. Ścieżka P n jest cyklem C n bez jednej krawędzi. Drzewem
nazywamy graf spójny, który nie posiada cykli. Z każdego wierzchołka drzewa
można dotrzeć do każdego innego wierzchołka i tylko jednym sposobem.
Powyższe pojęcia służą do zdefiniowania i pokazania właściwości liczby
zniewolenia.
1. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI LICZBY ZNIEWOLENIA
Fink, Jacobson, Kinch i Roberts wprowadzając liczbę zniewolenia grafu
[4], podali jej następującą definicję:
Definicja 1
Liczbą zniewolenia b(G) niepustego grafu G nazywamy najmniejszą moc
zbioru krawędzi B ⊆ E(G), dla których γ (G – B) > γ (G).
Liczba zniewolenia jest zatem najmniejszą liczbą krawędzi, których
usunięcie powoduje wzrost liczby dominowania.
Wymienieni już wcześniej autorzy podali też podstawowe właściwości tej
liczby [4]. Rozpoczęli od grafów pełnych, czyli takiej rodziny grafów, w której
każdy wierzchołek jest sąsiadem wszystkich pozostałych. Dla grafu pełnego
stopnia n oznaczanego przez K n prawdziwy jest poniższy lemat [4].
Oznaczenie 1
Przez x oznaczamy najmniejszą część całkowitą liczby x nie mniejszą
od x, tzn. x ≥ x.
Lemat 1
n
Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K n (n ≥ 2) wynosi b( Kn ) =   .
2
Poniżej, opierając się na [4], pokazano wartości liczby zniewolenia dla
cykli C n oraz ścieżek P n . Wcześniej jednak przytoczono lemat, który dotyczy
52
liczby dominowania dla cykli i ścieżek długości n [4].
Lemat 2
Liczba dominowania dla cykli i ścieżek rzędu n wynosi odpowiednio:
γ (Cn ) =  n  dla n ≥ 3,
3
n
γ ( Pn ) =   dla n ≥ 1.
3
Na podstawie powyższego lematu otrzymuje się następujące twierdzenie [4]:
Twierdzenie 1
Liczba zniewolenia dla cykli długości n wynosi:
3
b(C n ) = 
2
dla n ≡ 1 (mod 3)
.
w innym przypadku
Z powyższego twierdzenia wynika wniosek [4]:
Wniosek 1
Liczba zniewolenia dla ścieżki długości n wynosi:
n ≡ 1 (mod 3)
2
.
b( Pn ) = 
1 w innym przypadku
Istotną rolę w teorii grafów odgrywają drzewa. Nadal posługując się
wynikami z [4], podano liczbę zniewolenia dla tej rodziny.
Twierdzenie 2
Gdy T jest drzewem, to liczba zniewolenia dana jest nierównością
b(T ) ≤ 2.
Z powyższego wysuwa się wniosek:
Wniosek 2
Jeśli dowolny wierzchołek w drzewie T sąsiaduje z przynajmniej dwoma
wierzchołkami końcowymi, to b(T ) = 1.
2. GÓRNE I DOLNE OGRANICZENIA
Obok dokładnych wartości b(G) uzyskanych w [4] otrzymano też kilka
53
górnych ograniczeń. Znajdują się one poniżej [1], [4].
Twierdzenie 3
Jeśli G jest niepustym grafem, to:
b(G) ≤ min {deg(u) + deg(v) – 1 : u i v są wierzchołkami sąsiednimi}.
Łatwo można podać inne oszacowanie. Z powyższego twierdzenia wynika:
Wniosek 3
Jeśli ∆(G) oraz δ (G) oznaczają odpowiednią największy i najmniejszy
stopień wierzchołka w spójnym grafie G, to b(G) ≤ ∆(G) + δ (G) – 1.
Jest także ograniczenie górne, które wskazuje na związek pomiędzy liczbą
zniewolenia a liczbą dominowania [4].
Twierdzenie 4
Jeśli G jest niepustym grafem w liczbą dominowania γ (G) ≥ 2, to
b(G) ≤ (γ (G) – 1) ∆(G) + 1.
Wyniki twierdzenia można rozszerzyć do przypadku, w którym rozpatruje
się dwa wierzchołki w grafie G oddalone od siebie o co najwyżej 2 [1], [5].
Lemat 3
Jeśli G jest nietrywialnym grafem, to b(G) ≤ d(u) + d(v) – 1 dla każdej
pary wierzchołków u i v, dla których zachodzi nierówność d(u, v) ≤ 2.
Hartnell i Rall [6] oraz niezależnie Teschner [10] znaleźli uogólnienie
twierdzenia 3.
Lemat 4
Jeśli spójność krawędziowa λ w grafie G spełnia λ (G) ≥ 1, to
b(G) ≤ ∆(G) + λ (G) – 1.
Następny lemat pokazuje kolejne oszacowania dla pary wierzchołków
sąsiadujących [6].
Lemat 5
Jeśli G jest grafem nietrywialnym, to dla każdej pary sąsiednich
wierzchołków u i v prawdziwa jest nierówność b(G) ≤ d(u) + d(v) – 1 –
–N (u) ∩ N (v).
Ta część artykułu kończy się twierdzeniem, które do tej pory pozostaje
problemem otwartym [10].
54
Hipoteza 1
Dla dowolnego grafu G b(G ) ≤
3
∆(G ) .
2
W kolejnym kroku pokazano znane dolne ograniczenia dla liczby
zniewolenia [10].
Twierdzenie 5
Jeśli β (G) = γ (G), to
1) b(G) ≥ δ (G),
2) b(G) ≥ δ (G) + 1, gdy G jest grafem wierzchołkowo krytycznie zdominowanym.
Następnie mamy poniższe ograniczenie [10].
Twierdzenie 6
Niech G będzie grafem, gdzie 2 ≤ γ (G ) ≤
 n − γ (G ) 
} ,
1) b(G ) ≥ min{δ (G ), m − 
2


n
, wówczas
2
 n − γ (G ) 
} , gdy G jest grafem wierzchołkowo
2) b(G ) ≥ min{δ (G ) + 1, m − 
2


krytycznie zdominowanym.
Dla rodziny grafów wierzchołkowo krytycznie zdominowanych istnieje
poniższa hipoteza [2].
Hipoteza 2
Gdy graf G jest wierzchołkowo krytycznie zdominowany, to prawdziwa
jest nierówność b(G) ≥ δ (G) + 1.
3. PRZYKŁADY
W celu zrozumienia omawianego problemu podano kilka przykładów.
Przykład 1
Na rysunku 1 dany mamy graf pełny K 4 . Zgodnie z lematem 1 wiemy,
że b(K 4 ) = 2, więc usuwamy dwie krawędzie. Wierzchołki należące do
55
najmniejszego zbioru dominującego są oznaczone kolorem czarnym. Jak widać
w przypadku a) γ (K 4 ) = 1, po usunięciu γ ( K 4′ ) = 2 . Natomiast w przypadku b)
rozpatrujemy graf K 5 , dla którego γ (K 5 ) = 1. Zgodnie z lematem 1 znów
otrzymujemy b(K 5 ) = 3, czyli usuwamy trzy krawędzie zaznaczone na rysunku
linią przerywaną.
a)
K4
K4′
b)
K5
K′5
Rys. 1. Liczba zniewolenia dla grafów pełnych K 4 i K 5
W kolejnym przykładzie pokazano zastosowanie lematu 2.
Przykład 2
Dane mamy dwa cykle C 6 i C 5 , gdzie γ (C 6 ) = 3 i γ (C 5 ) = 2; odpowiednie
zbiory dominujące są zaznaczone kolorem czarnym. Zgodnie z lematem 2
otrzymujemy, że b(C 6 ) = 3 i b(C 5 ) = 2. Na rysunku 2 linią przerywaną
zaznaczono krawędzie, które można usunąć w celu zwiększenia liczby
dominowania.
a)
C6
C′6
b)
C7
56
C′5
Rys. 2. Liczba zniewolenia dla cykli C 6 i C 5
Następny przykład dotyczy drzew.
Przykład 3
Na rysunku 3 kolor czarny ponownie oznacza najmniejszy zbiór
dominujący wierzchołków. Drzewo T jest przykładem drzewa, dla którego
b(T ) = 2. Natomiast dla drzewa W mamy b(W) = 1. Jest to zgodne
z twierdzeniem 2. Linią przerywaną oznaczono krawędzie, których usunięcie
powoduje wzrost liczby dominowania.
a)
T
T′
W
W′
b)
Rys. 3. Liczba zniewolenia dla drzew
Przykład 4
Mamy dany dowolny graf A i chcemy określić dla niego wielkość b(A).
Liczba dominowania dla tego grafu wynosi 2. Najmniejszy zbiór dominujący
jest zaznaczony czarnymi wierzchołkami (rys. 4). Żeby określić liczbę
zniewolenia, usuwamy najpierw pojedyncze krawędzie, za każdym razem
sprawdzamy, czy liczba dominowania wzrasta. Gdy tak nie jest, zaczynamy
usuwać krawędzie parami. I znów sprawdzamy wzrost liczby dominowania.
Kolejny krok to usuwanie trójek krawędzi. I tu widzimy, że dla grafu B właśnie
b(A) = 3, bo wystarczy usunąć trójkę krawędzi zaznaczoną w grafie B. Widać,
że w grafie B, gdy odrzucimy oznaczone linią przerywaną 3 krawędzie, liczba
dominowania wyniesie 3 . Odpowiedni zbiór dominujący jest oznaczony
czarnymi wierzchołkami.
57
A
B
Rys. 4. Liczba zniewolenia dla dowolnego grafu 6-wierzchołkowego
5. PODSUMOWANIE
Teoria dominowania jest wykorzystywana najczęściej przy analizie sieci
komunikacyjnych, takich jak na przykład sieć komputerowa. Sieć taka składa
się z połączeń komunikacyjnych pomiędzy ustalonym zbiorem stron. Problemem jest wybór najmniejszego zbioru stron, na których można umiejscowić
nadajniki, tak aby każda strona w sieci nieposiadająca nadajnika miała
bezpośrednie połączenie ze stroną, na której ten nadajnik się znajduje. Problem
ten sprowadza się do znalezienia najmniejszego zbioru dominującego w grafie,
który odpowiada strukturze tej sieci. Wierzchołek odpowiada każdej stronie,
a krawędź istnieje tylko wtedy, gdy odpowiednie strony mają bezpośrednie
połączenie.
Nasuwa się pytanie, co będzie, gdy połączenie zawiedzie. Jaka jest więc
najmniejsza liczba połączeń, które należy rozłączyć, aby konieczne było
dołożenie co najmniej jednego nadajnika dla zachowania komunikacji między
wszystkimi stronami sieci? Innymi słowy teorię liczby zniewolenia możemy
wykorzystać przy analizie wrażliwości danej sieci komputerowej na atak
intruza, bądź awarię połączenia. I tu pojawia się kolejne pytanie: ilu połączeń
taki intruz musi pozbawić daną sieć, żeby przestała być ona siecią wszystkich
podpiętych komputerów? Można się też zastanawiać nad użytecznością tej
liczby przy ustalaniu strategii bezpieczeństwa dla klastrów w ośrodkach
obliczeniowych na wypadek awarii jednego z podzespołów.
LITERATURA
1. Bauer D., Harary F., Nieminen J., SuJel C.L., Domination alteration sets in graphs,
Discrete Math. 47, 153–161 (1983).
2. Brigham R.C., Chinn P., Dutton R.D., Vertex domination-critical graphs, Networks 18,
173–179 (1988).
3. Dunbar J.E., Haynes T.W., Teschner U., Volkmann L., Bondage, insensitivity, and
reinforcement, [w:] T.W. Haynes, S.T. Hedetniemi, P.J. Slater (Eds.), Domination in
Graphs: Advanced Topics, Marcel Dekker, New York, 471–489 (1998).
58
4. Fink J.F., Jacobson M.S., Kinch L.F., Roberts J., The bondage number of graph,
Discrete Math. 86, 47–57 (1990).
5. Hartnell B.L., Rall D.F., A bound on the size of a graph with given order and bondage
number, Discrete Math. 198, 409–413 (1999).
6. Hartnell B.L., Rall, D.F. Bounds on the bondage number of a graph, Discrete Math.
128, 173–177 (1994).
7. Kang L., Yuan J., Bondage number of planar graphs, Discrete Math. 222, 191–198
(2000).
8. Teschner U., A counterexample to a conjecture on the bondage number of a graph,
Discrete Math. 122, 393–395 (1993).
9. Teschner U., A new upper bound for the bondage number of graphs with small
domination number, Australas. J. Combin., 27–35, 12 (1995).
10. Teschner U., New results about the bondage number of a graph, Discrete Math. 171,
249–259 (1997).
REMARKS ON PROPERTIES OF GRAPH BONDAGE NUMBER
(Summary)
The definition of the bondage number for graphs was introduced. Further, its elementary properties
in particular the exact values of the bondage number for complete graphs, paths, cycles and trees were
presented. The upper and lower bounds for this number were given as well. Finally, examples of
determinig the bondage numbers in optional graphs were presented.
59