BAd_OPER_decyzje

BADANIA OPERACYJNE
Podejmowanie decyzji w
warunkach niepewności
dr Adam Sojda
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
Wynik działania zależy nie tylko od tego, jaką
podejmujemy decyzję, ale również od tego, jaki
wystąpi stan natury. Przyjmujemy, że mamy n
możliwych decyzji i może wystąpić m stanów. Nie
są
znane
prawdopodobieństwa
wystąpienia
poszczególnych stanów. Dana jest macierz [aij],
gdzie aij oznacza zysk z podjęcia i – tej decyzji,
jeżeli zachodzi j-ty stan natury.
dr Adam SOJDA
2
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
Reguła WALDA (maximin)
Dla każdej decyzji i ustal minimalny zysk
i wybierz jako optymalną decyzję k, dla której
wi = min{aij }
j
wk = max{wi }
i
Reguła HURWICZA
Ustal liczbę α ( 0 ≤ α ≤ 1 ) zwaną współczynnikiem ostrożności, dla każdej decyzji
i oblicz:
hi (α ) = α min{aij }+ (1 − α )max{aij }
j
jako optymalną strategie wybierz decyzję k, dla której
j
hk (α ) = max{hi (α )}
i
dr Adam SOJDA
3
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
Kryterium SAVAGE’A
Dla każdego stanu natury ustal maksymalny zysk
z j = max{aij }
i
Utwórz tablicę względnych strat (żalu) S, gdzie
sij = z j − aij
Dla każdej decyzji ustal maksymalną stratę względną
si = max{sij }
Wybierz jako optymalną decyzję k, dla której
j
sk = min{si }
i
dr Adam SOJDA
4
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
ZADANIE.
Właściciel straganu powinien podjąć decyzję dotyczącą wielkości
dziennej partii zakupu truskawek. Może on nabyć 100, 120, 150, 300
łubianek po 5.50 zł za łubiankę. Dziennie może sprzedać po 50, 130,
180, 200 łubianek po 11.00 zł za łubiankę. Zakłada się, że towar nie
sprzedany w danym dniu nie nadaje się do spożycia dnia następnego.
Określić optymalne decyzje w zależności od zastosowanego kryterium
( dla kryterium Hurwicza określić optymalne decyzje dla α=0.4)
dr Adam SOJDA
5
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
Zmienne decyzyjne:
MOŻLIWOŚĆ ZAKUPU
1. 100
2. 120
3. 150
4. 300
Stany zewnętrzne
MOŻLIWOŚĆ SPRZEDAŻY
1. 50
2. 130
3. 180
4. 200
Wyznaczenie wartości w macierzy zysków:
Ø a21 = - 5.50 x 120 +
50 x 11.00 = -110 zł
Ø a22 = - 5.50 x 120 + 120 x 11.00 = 660 zł
dr Adam SOJDA
6
Teoria podejmowania decyzji – gry z naturą
Stany natury
Decyzje
50
130
min {aij}
h(α)
max {aij}
200
180
100
0,00
550,00
550,00
550,00
0
550
330
120
-110,00
660,00
660,00
660,00
-110
660
352
150
-275,00
605,00
825,00
825,00
-275
825
385
300
-1100,00
-220,00
330,00
550,00
-1100
550
-110
0
660
825
max
50
130
825
max {sij}
200
180
100
0
110
275
275
275
120
110
0
165
165
165
150
275
55
0
0
275
300
1100
880
495
275
1100
dr Adam SOJDA
7
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
W grze bierze udział dwóch graczy A i B. Każdy z nich jest graczem inteligentnym,
ostrożnym tzn. nie podejmuje decyzji jawnie dla siebie niekorzystnych oraz stosuje
(kryterium Walda) maksymalizację swoich najmniejszych wygranych.
Dana jest macierz wygranych gracza A, która jest jednocześnie macierzą przegranych
gracza B. Każdy z graczy ma skończoną liczbę możliwych decyzji.
Wartość gry v – wygrana gracza A, która jest przegraną gracza B.
Mówimy, że gra posiada rozwiązanie w zbiorze strategii (decyzji) czystych jeśli
maksymalna z minimalnych wygranych gracza A jest równa minimalnej
z maksymalnych przegranych gracza B.
Jeżeli gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych, możemy poszukać jej
rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych – gracz stosuje swoje strategie z
określonymi częstościami.
Mówimy, że pewna strategia dk jest zdominowana przez strategię dt, jeżeli
niezależnie od decyzji przeciwnika wygrane gracza przy strategii dt nie są gorsze
(lepsze bądź takie same) jak w przypadku zastosowania strategii dk .
dr Adam SOJDA
8
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Zadanie GD1.
Jacek i Agatka grają w następującą grę. Każde z nich ma 3 karty: Asa, Króla,
Damę. Pokazują je sobie jednocześnie. Jeśli pokażą takie same karty to nikt
nie wygrywa, jeśli pojawi się As i Król, to właściciel Asa wygrywa 3 zł, jeśli As
i Dama, to właściciel Asa przegrywa 5 zł, jeśli Król i Dama to właściciel Króla
wygrywa 4 zł.
a)Zapisz macierz tej gry (wygrane Jacka).
b)Sprawdź czy nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych
c)Napisz program liniowy pozwalający tą grę rozwiązać
d)Po pewnym czasie Agata postanowiła, że gra zostanie przyspieszona i
odrzuciła Damę – rozwiązać tą grę.
e)Po godzinie jak Agata miała jeszcze 65 zł a Jacek 95 to Jacek postanowił
przyspieszyć grę i odrzucił Asa. Rozwiązać grę i określić ilu średnio wyłożeń
kart potrzeba, aby jeden z graczy nie miał już pieniędzy.
dr Adam SOJDA
9
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Jeśli pokażą takie same karty to nikt nie wygrywa, jeśli pojawi się As i Król, to
właściciel Asa wygrywa 3 zł, jeśli As i Dama, to właściciel Asa przegrywa 5
zł, jeśli Król i Dama to właściciel Króla wygrywa 4 zł.
Agatka
As
Król
Dama
MIN
ZYSK
As
0
3
-5
-5
Król
-3
0
4
-3
Dama
5
-4
0
-4
MAX
PRZEGRANA
5
3
4
Jacek
Gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych – wyznaczone wartości
się różnią. Wartość gry (wygrana Jacka) będzie od -3 do 3
dr Adam SOJDA
10
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Wprowadźmy oznaczenia:
pi – częstość stosowania przez gracza A strategii ai
qj – częstość stosowania przez gracza B strategii bj
v - wartość gry
Zakładamy dodatkowo, że v > 0, wtedy można będzie wprowadzić zmienne
pomocnicze.
xi = pi / v dla i = 1…n
yj = qj / v dla j = 1…m
Zauważmy, że jeśli do każdej wygranej dodamy taką samą wartość, to
wzrośnie wartość gry o tą wartość, natomiast nie ulegną zmianie częstości
stosowania poszczególnych strategii.
Jeśli wartość gry może być ujemna zmieniamy grę dodając do każdej z wygranej taką
wartość, która pozwoli otrzymać nową grę, dla której wartość gry nie będzie mogła być
liczbą ujemną. Taką grę rozwiązujemy, czyli wyznaczamy częstości stosowania
poszczególnych strategii, a następnie wartość tej gry i gry pierwotnej.
dr Adam SOJDA
11
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Ponieważ, w tej grze wartość gry v może być ujemna (-3,3) do każdej z
wygranych Jacka dodajemy 4. Otrzymujemy grę:
Agata
As
Król
Dama
MIN
ZYSK
As
4
7
-1
-1
Król
1
4
8
1
Dama
9
0
4
0
MAX
PRZEGRANA
9
7
8
Jacek
Nowa gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych, a wartość gry nie
może być już ujemną, gdyż v ∊ (1,7)
dr Adam SOJDA
12
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Dla gracza A (Jacek)
v à max
p1 + p2 + p3 = 1
b1: 4p1 + 1p2 + 9p3 ≥ v
b2: 7p1 + 4p2 + 0p3 ≥ v
b3: -1p1 + 8p2 + 4p3 ≥ v
p1, p2, p3 ≥ 0
Dla gracza B (Agatka)
v à min
q1 + q2 + q3 = 1
a1: 4q1 + 7q2 - 1q3 ≤ v
a2: 1q1 + 4q2 + 8q3 ≤ v
a3: 9q1 + 0q2 + 4q3 ≤ v
q1, q2, q3 ≥ 0
Dzielimy, każdy element programu przez v>0
i odpowiednio podstawiamy, za p,g zmienne x,y.
v/v =1
x1 + x2 + x3 = 1/v à min
b1: 4x1 + 1x2 + 9x3 ≥ 1
b2: 7x1 + 4x2 + 0x3 ≥ 1
b3: -1x1 + 8x2 + 4x3 ≥ 1
x1, x2, x3 ≥ 0
dr Adam SOJDA
v/v = 1
y1 + y2 + y3 = 1/v à max
a1: 4y1 + 7y2 - 1y3 ≤ 1
a2: 1y1 + 4y2 + 8y3 ≤ 1
a3: 9y1 + 0y2 + 4y3 ≤ 1
y1, y2, y3 ≥ 0
13
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Po odrzuceniu przez Agatę Damy (b3) programy można zapisać w sposób
następujący:
Gra dla Jacka:
x1 + x2 + x3 = 1/v à min
b1:
4x1 + 1x2 + 9x3 ≥ 1
b2:
7x1 + 4x2 + 0x3 ≥ 1
b3:
x1, x2, x3 ≥ 0
Gra dla Agaty:
y1 + y2 = 1/v à max
a1:
4y1 + 7y2 ≤ 1
a2:
1y1 + 4y2 ≤ 1
a3:
9y1 + 0y2 ≤ 1
y1, y2, y3 ≥ 0
Rozwiązanie tego programu
znajdujemy z tw. o
komplementarności albo w tablicy
Simplex
Ten program można rozwiązać
metodą graficzną albo algorytmem
Simplex.
x1 = 9/63
y1 = 7/63
dr Adam SOJDA
x2=0
x3 = 3/63
y2 = 5/63
14
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Dla Jacka:
x1 = 9/63
x2=0 x3 = 3/63
x1 + x2 + x3 = 1/v = 12/63
Zatem v = 63/12 (v = 5.25 )
Częstości stosowania strategii:
p1 = 0.75 p2 =0 p3 = 0.25
Dla Agaty:
y1 = 7/63
y2 = 5/63
y1 + y2 = 1/v = 12/63
Zatem v = 63/12 (v = 5.25 )
Częstości stosowania strategii:
q1 =7/12=0.583(3)
q2 =5/12=0.416(6)
Rozwiązanie pierwotnej gry:
v = 5.25 – 4 = 1.25
Częstości stosowania strategii:
p1 = 0.75 p2 =0 p3 = 0.25
Rozwiązanie pierwotnej gry:
v = 5.25 – 4 = 1.25
Częstości stosowania strategii:
q1 =7/12=0.583(3)
q2 =5/12=0.416(6)
dr Adam SOJDA
15
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Po odrzuceniu przez Jacka Asa otrzymujemy grę 2 x 2 :
Agatka
As
Król
MIN
ZYSK
Król
-3
0
-3
Dama
5
-4
-4
MAX
PRZEGRANA
5
0
Jacek
Gra ta nie ma rozwiązania w zbiorze strategii czystych. Szukając rozwiązania
w zbiorze strategii mieszanych wyznaczamy je rozwiązując układ równań
(tylko w przypadku gry 2 x 2).
Nie trzeba doprowadzać, do sytuacji, kiedy wartość gry jest ujemna i
rozwiązywać programu liniowego.
dr Adam SOJDA
16
Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu – gry dwuosobowe o sumie zero
Dla Jacka:
p1 + p2 =1 à p1 = 1- p2
-3p1 + 5p2 = v
0p1 – 4p2 = v
Dla Agaty
q1 + q2 =1 à q1 = 1- q2
-3q1 + 0q2 = v
5q1 – 4q2 = v
Podstawiamy do równań 2 i 3 i
porównujemy je:
Podstawiamy do równań 2 i 3 i
porównujemy je:
-3(1-p2) + 5p2 = 0(1-p2) – 4p2
-3 + 3p2 + 5p2 = – 4p2
12p2 = 3
p2 = 3/12=0.25
p1 = 0.75
-3(1-q2) + 0q2 = 5(1-q2) – 4q2
-3 + 3q2 =5 -5q2 – 4q2
12q2 = 8
q2 = 8/12=2/3=0.6(6)
q1 = 1/3=0.3(3)
v = -3·0.75 +5·0.25 = -1
v = -4·0.25 = -1
v = -3·1/3 = -1
v = 5·1/3 -4·2/3 = -3/3 = -1
dr Adam SOJDA
17