Materiały do wykładu

Modelowanie systemów
biomedycznych
‐ układy deterministyczne
Arkadiusz Mandowski
Wyniki skupu skórek zajęczych i rysich w Kanadzie
na przestrzeni kilkudziesięciu lat.
Model Lotki‐Volterry
Alfred James Lotka
(1880 ‐ 1949), matematyk,
chemik, demograf, ekolog;
ur. we Lwowie, później w USA
Vito Volterra (1860 ‐ 1940)
matematyk i fizyk:
Włochy ‐ Piza, Turyn, Rzym
Model Lotki‐Volterry
x ‐ ilość ofiar (np. królików)
y ‐ ilość drapieżników (np. rysi)
t ‐ czas
α,β,γ,δ ‐ parametry oddziaływania
(interakcji) pomiedzy populacjami
Wielogatunkowe układy ekologiczne
N


dVi (t )
= rV
i i ( t ) 1 + ∑ aijV j ( t ) 
dt
 j =1

Vi(t)
aij
– populacja i‐tego gatunku
– siła oddziaływania pomiędzy i‐tym i j‐tym gatunkiem
ri = const.; aij=-aji
modele opisujące konkurencję: aij<0
Analiza układów dynamicznych
Y
Y
K < KH
X
Równowaga trwała
Równowaga nietrwała
K > KH
X
Rozwiązanie
o stałym okresie
Przypadek 2 gatunków ‐ bifurkacja
Typy stabilności
Dziwny atraktor Lorentza
Edward Lorenz
(ur. 1917‐2008), profesor
MIT; matematyk,
meteorolog ‐
modelowanie zjawisk
pogody, teoria chaosu
δ x = 10
−5
Chaos deterministyczny ‐ przykład
Równanie iteracyjne:
pn+1 = pn + rpn (1− pn )
p0 = 0.01; r = 3
Nr
iteracji
PC (Excel/
Intel Celeron)
CASIO fx‐7000G
HP 28S
Elektronika MK 61
10
0.722914301179573000
000000000000
0.722914301200
0.722914301711
0.722929370000
20
0.596529312494691000
000000000000
0.596529244700
0.596528770927
0.580954050000
30
0.374146489639287000
000000000000
0.374209232100
0.374647695060
0.001764800000
40
0.011611238029748600
000000000000
0.002114364300
0.143971503996
0.238231330000
50
1.313996746606760000
000000000000
0.003661629500
0.225758993390
0.670189500000
źródło: http://berith.webpark.pl/stro/nauk/nau1.html
Kinematyka i dynamika
‐ podstawowe definicje
r (t )
‐ wektor położenia
∆r (t ) dr (t )
v (t ) = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
- prędkość chwilowa
∆v (t ) dv (t ) d r (t )
=
=
a(t ) = lim
2
∆t →0 ∆t
dt
dt
2
- przyspieszenie chwilowe
Równania ruchu
F
a=
m
2
d r (t ) F(t )
=
2
dt
m
⇔
N
Fi = ∑ Fij
j=1
Fij =
Gm j mi
(r j − ri )
2
⋅ eˆ ji
Sir Isaac Newton
(1643 ‐ 1727)
fizyk, matematyk,
astronom, alchemik,
historyk, filozof i teolog
Przykład: równania ruchu dla układu N
ciał oddziałujących grawitacyjnie
dxiα
= viα
dt
N
dviα
Gmk ( xkα − xiα )
=∑
3/ 2
3
2
dt
k =1 

x
x
−
(
)
kν
iν
k ≠i  ∑ν =1

i = 1… N ; α = 1… 3
(0)
xiα (0) = xi(0)
;
v
(0)
=
v
α
iα
iα
6N równań