Kształtowanie pojęcia liczby u dzieci w młodszym wieku szkolnym

Kształtowanie pojęcia liczby u dzieci w młodszym wieku szkolnym
mgr Elżbieta Jankowska
Czym jest liczba a czym cyfra
Pojęcie liczby i pojęcie cyfry łączą się ze sobą niemal nierozerwalnie. Jednak nie można traktować ich zamiennie.
Cyfra jest znakiem graficznym służącym do zapisywania liczb. Cyfr w systemie dziesiątkowym jest dziesięć:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Z kolei liczb jest nieskończenie wiele. Dla zrozumienia różnicy między liczbami a cyframi w
matematyce można wyobrazić sobie analogicznie do języka polskiego, iż liczby odpowiadają słowom, a cyfry literom. Do
zapisania wyrazu używa się liter podobnie, jak do zapisywania liczb używa się cyfr. Z tych samych liter można utworzyć
różne wyrazy przez zmianę ich kolejności na przykład: słowa „sok” i „kos”. Analogicznie z tych samych cyfr można
utworzyć różne liczby, np.: liczba 209 , zmieniając kolejność cyfr, utworzy liczbę 902. Im więcej cyfr mamy do dyspozycji,
tym więcej utworzymy kombinacji liczbowych. Trudno jest precyzyjnie oddzielić pojęcie „liczby” i „cyfry” w przypadku liczb
jednocyfrowych. W takiej sytuacji wszystko zależy od kontekstu rozumowania.
Pojęcie liczenia
W okresie kształtowania mowy, między drugim a czwartym rokiem życia, dzieci bardzo szybko przyswajają liczebniki
poprzez naśladowanie dorosłych. Pozornie wydaje się, że „potrafią liczyć”. Zdarza się jednak, że mylą właściwą kolejność
lub nie potrafią podać ostatecznego rezultatu przeliczeń. Na tym etapie umiejętności trudno dziecku porównać liczebność
dwóch zbiorów zarówno poprzez zliczanie i porównywanie liczebności, jak też poprzez przyporządkowanie elementów
jednego zbioru elementom drugiego zbioru.
Dziecięce liczenie to zakres umiejętności dostępny dziecku stosunkowo wcześnie, jeszcze na poziomie myślenia
przedoperacyjnego, kiedy to dziecko bada i rozpatruje świat przez pryzmat własnych dążeń i własnych potrzeb. Swoją
działalność
intelektualną
realizuje
w połączeniu z praktycznie wykonywanymi czynnościami. Na tym etapie ważną rolę odgrywają spostrzeżenia wzrokowe.
Myślenie dzieci w zakresie przedoperacyjnym ma charakter intuicyjny.
Dzieci zbyt wcześnie uczone „liczenia” wykonują tę czynności w sposób mechaniczny. Nie rozumieją znaczenia
wymawianych liczebników. W nauczaniu matematyki ważne jest, by dziecko najpierw potrafiło wykonywać proste
czynności manipulacyjne na konkretach, by umiało naśladować, dostrzegać prawidłowości. Od wczesnego dzieciństwa
dzieci zdobywają podstawowe umiejętności poprzez zabawę. Jednym z naturalnych elementów zabawy jest grupowanie
przedmiotów. Dzieci chętnie układają zabawki w określonym porządku np.: segregują osobno misie, osobno lalki czy
samochody. Jest to spontaniczna zabawa bez określania konkretnych reguł postępowania. Są to początki klasyfikowania.
Grupowanie przedmiotów wg określonej, narzuconej cechy jest już znacznie trudniejsze.
W początkowym etapie klasyfikowania dzieci nie są świadome tworzenia określonego zbioru, działają intuicyjnie.
Początkowo też nie rozumieją, że można te same przedmioty grupować wielokrotnie. Na przykład te same żetony, czy też
guziki można grupować według różnych kryteriów, np.: według koloru, kształtu lub wielkości. Z biegiem czasu dzieci
dostrzegają możliwości grupowania wg wybranej cechy. Chętnie same dobierają kryterium, według którego
konsekwentnie dokonują klasyfikacji.
Przykładowo, według Ewy Gruszczyk-Kolczyńskiej, dzieci sześcioletnie mogą reprezentować różne poziomy kompetencji
w zakresie klasyfikowania.
1.
Poziom dobierania par np.:
łyżeczka – kubek,
pies – buda,
kot – mysz
2. Poziom zestawiania par w tak zwane łańcuszki (zestawy 3-4 wyrazowe) np.:
chłopiec – pies – piłka,
dziewczynka – wózek – lalka,
rękawiczki – czapka – chłopiec
3. Poziom kolekcji obrazków wokół jednego centralnego obiektu np.:
dziewczynka i rzeczy do ubrania,
chłopiec i jego samochody,
wazon i kwiaty
4. Poziom kolekcji bez karty centralnej np.:
leśne zwierzęta,
kwiaty w kwiaciarni,
owoce z sadu.
Kształtowanie umiejętności klasyfikowania u małych dzieci jest procesem długotrwałym. Umiejętności te należy rozwijać
przez cały czas i przy każdej okazji. Klasyfikowanie jest dzieciom potrzebne do tworzenia pojęć w obrębie wszystkich
zakresów wiedzy.
Według Ewy Gruszczyk – Kolczyńskiej poziom dziecięcych kompetencji klasyfikacyjnych można zdiagnozować
posługując się obrazkami w zróżnicowanych kategoriach:
- postacie ludzi: pan, pani, babcia, dziadek, chłopiec, dziewczynka, małe dziecko
- zwierzęta znane dzieciom:
a) ryba, rak, żółw, żaba, delfin itp.
b) kura, kogut, kaczka, paw, wrona, gołąb, sroka, dzięcioł, sowa itp.
c) kot, mysz, pies, królik, świnia, krowa, koń koza, baran, chomik, świnka morska itp.
d) tygrys, lew, słoń, małpa, żyrafa, wielbłąd, krokodyl, hipopotam itp.
e) wiewiórka, lis, jeleń, wilk, sarna, jeż itp.
f) biedronka, pszczoła, mucha, komar itp.
- budowle: domy (blok, domek jednorodzinny), buda dla psa, ptasie gniazdo, ul, wieża, most, zamek itp.
- pojazdy: samochód (osobowy, ciężarowy), pociąg (lokomotywa, wagon), samolot, motocykl, rower, sanie, wóz konny,
hulajnoga, deskorolka itp.
- przybory szkolne: kredki, pióro, gumka, ołówek, książka, farby, zeszyt itp.
- zabawki: skakanka, piłka, miś, pajac, klocki
- rzeczy do ubrania: bluzka, spódnica, sukienka, płaszcz, szalik, czapka, buty, futro, rękawiczki, majtki itp.
- narzędzia: młotek, piła, śrubokręt, obcęgi, nóż, nożyczki, igła itp.
- naczynia: garnek, patelnia, kubek, talerz, spodek, szklanka, miska, wiadro itp.
- meble: stół, krzesło, szafa, łóżko, fotel, regał itp.
- owoce: jabłko, śliwka, gruszka, winogrona, pomarańcza, cytryna, truskawka, czereśnia itp.
- warzywa: marchew, pietruszka, cebula, kapusta, seler, por, kalafior itp.
- kwiaty: róża, tulipan, stokrotka, mak, gerbera, konwalia itp.
- drzewa: świerk, sosna, brzoza, jabłoń, klon, topola, kasztanowiec, dąb itp.
Dzieci przed rozpoczęciem nauki w szkole dysponują już pewnymi umiejętnościami matematycznymi, choć są na
poziomie myślenia nieoperacyjnego. Chętnie liczą i posługują się następującymi intuicjami:
1. Licząc dotykają przedmiot i wypowiadają liczebniki. Jeżeli nie mogą dotknąć liczonego obiektu, to wykonują ruch
liczenia: gest ręki, wysunięcie brody, kiwnięcie głową. Stosują tutaj następującą prawidłowość – pojedynczy gest i
wypowiedziane słowo – liczebnik jest przyporządkowany kolejnym liczonym obiektom.
2. Liczą w ustalonym porządku. Obierają kierunek liczenia i bardzo dbają o to, aby nie przeskakiwać, nie liczyć
podwójnie, nie pomijać żadnego z liczonych przedmiotów. Wiedzą także, że obojętnie, czy liczy się „od
początku”, czy „od końca” to wynik liczenia jest taki sam.
3. Potrafią policzyć razem różne przedmioty, nie bacząc na ich odmienne cechy jakościowe, lecz liczone przedmioty
muszą się znajdować blisko siebie, na określonej przestrzeni.
4. Ostatni z wypowiadanych liczebników oznacza liczbę elementów w zbiorze.
5. Wiedzą także, że jeżeli dodamy do liczonego zbioru kilka elementów, to zmieni się ich liczebność i będzie więcej,
jeżeli odejmiemy, to będzie mniej.
Na tym etapie ważne jest kształtowanie nastawień poznawczych. Warto wykorzystywać każdą nadarzającą się okazję,
aby
rozbudzać
ciekawość
dzieci
i
skłaniać
je
do
liczenia.
W czasie spaceru można zachęcić dziecko do liczenia elementów widocznych w otoczeniu np.: ławek w parku. Chodzi tu
również o wyodrębnianie zbiorów obiektów. Da to okazję do przeliczania z jednoczesnym wskazywaniem ich kolejno i
nadawaniem
im
liczebników.
W razie pomyłki nie należy dziecku przerywać ale po skończonym liczeniu zaproponować „teraz policzymy razem”. Nie
trzeba niczego tłumaczyć ani wyjaśniać. Dziecko obserwując dorosłego przyswoi sobie obserwowaną czynność.
Wystarczy podać wzór poprawnie wykonanej czynności i powtórzyć wspólnie z dzieckiem. Ważnym elementem jest
nagradzanie starań dziecka uśmiechem, gestem, pochwałą.
Sytuacje domowe np.: nakrywanie do stołu też są okazją do liczenia. Polecamy dziecku np.: Policz ile osób usiądzie do
stołu? Policz krzesła, czy wystarczy ich dla wszystkich? Tu jest miejsce dla taty, tu talerz dla taty. Tu miejsce dla babci, tu
talerz dla babci itd. Ile talerzy rozłożyłaś na stole, czy talerzy jest tyle samo ile osób usiądzie do obiadu? Czy dla
wszystkich jest już nakryte? Ile podać Ci łyżeczek? Ile potrzebujesz noży? itd.
W trakcie ubierania się do wyjścia na spacer dziecko może przeliczyć guziki płaszczyka, następnie dziurki. Pytamy: Czy
guzików jest tyle ile dziurek? Pokaż mi jak nałożyłaś buciki na nóżki? Czy prawy bucik jest nałożony na prawa nóżkę, a
lewy na lewą? itd
Sprzątanie w kąciku zabawek, też może być okazją do przeliczania. Proponujemy dziecku: Tu na półce będą stały
samochody, ułóż je od najmniejszego do największego, a teraz policz je. Obok każdego samochodu położymy czerwony
klocek, ile klocków jest na półce? Czy klocków czerwonych jest tyle samo, co samochodów? Policz ile masz lalek? Pokaż
na paluszkach, ile masz lalek? Ile mam Ci dać wstążeczek, aby starczyło dla każdej lalki? Teraz poukładamy klocki,
ułożymy je według koloru. Ciekawe, ile jest klocków niebieskich, ile czerwonych. Może uda się nam je policzyć.
Spróbujemy i policzymy wszystkie razem!
Pozwalamy dziecku liczyć tak, jak potrafi. Nie trzeba poprawiać, gdy mylą mu się liczebniki. Ważne jest, aby dziecko:
-liczyło w ustalonym porządku (od tego miejsca i w tę stronę) i nie przeskakiwało, ani nie liczyło podwójnie klocków
-licząc dotykało po jednym klocku (można lekko przesunąć) i wymieniało liczebnik (słowo do liczenia)
Rolą dorosłego jest zorganizowanie sytuacji, które dostarczą dziecku odpowiednich doświadczeń logicznych i fizycznych.
Jest to jedyny rozsądny sposób pomagania dziecku w tworzeniu elementarnej intuicji matematycznej. Należy wykorzystać
każdą okazję do tego, aby dziecko liczyło przedmioty, potem zmieniało ich układ i próbowało ponownie określić ile ich jest
po każdej zmianie. Takich ćwiczeń należy przeprowadzać wiele. Konieczne jest ustawienie razem z dzieckiem
przedmiotów w szereg, określenie kierunku liczenia i wspólne liczenie. Kolejna próba liczenia powinna dotyczyć tych
samych obiektów, ale w zmienionej kolejności. Dziecko sprawdza: Czy teraz jest „tyle samo” przedmiotów ile było przed
zmianą?
Stosowanie
powyższych
ćwiczeń
ma
skłonić
dziecko
do
wnikliwej
obserwacji
i uświadomienia sobie wyniku czynności.
Od klasyfikowania do pojęcia liczby
Klasyfikacja leży u podstaw tworzenia pojęć, jest to baza dla kształtowania w umyśle dzieci podstawowych
zależności
matematycznych.
Zaczynamy
od
prostych
zabaw
lub
zadań,
w trakcie których dziecko będzie różnicowało cechy badanych przedmiotów i grupowało te, które są pod jakimś względem
podobne. Należy inicjować takie sytuacje, by dziecko uświadamiało sobie zasadę grupowania przedmiotów podobnych i
jednocześnie różniących się między sobą. Wymagania dostosowujemy do możliwości dziecka. Umiejętność
klasyfikowania
jest
ważna,
gdyż
na
jej
podstawie
opiera
się
kształtowanie
pojęcia
zbioru
i jego elementów, a także umiejętność operacji na zbiorach.
Matematycy różnie definiują liczby naturalne. U podstaw pojęcia liczby naturalnej jako liczby kardynalnej leży pojecie
równoliczności zbiorów. Uważa się dwa zbiory za równoliczne, gdy istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne
jednego zbioru na drugi. Jest tak wtedy, kiedy każdemu elementowi pierwszego zbioru jest przyporządkowany dokładnie
jeden element zbioru drugiego i każdy element drugiego zbioru jest obrazem tylko jednego elementu zbioru pierwszego.
Liczenie elementów konkretnego zbioru to z matematycznego punktu widzenia także przyporządkowanie wzajemnie
jednoznaczne między poszczególnymi elementami zbioru a kolejnymi liczebnikami. Prosta czynność dziecięcego liczenia
konkretnych elementów zbioru poparta wskazaniem liczonego obiektu przez dotyk, to także przyporządkowanie
wzajemnie jednoznaczne, gdyż zliczając elementy zbioru dziecko wskazuje je i przyporządkowuje dotykanemu
elementowi tylko jedną konkretną liczbę. Wspólna własność zbiorów równolicznych (bez względu na rodzaj przedmiotów
tworzących zbiór) jest liczbą naturalną. W praktyce szkolnej dziecko stwierdza, że rozpatrywane zbiory przedmiotów są
równoliczne, bo mają wspólną liczbę elementów.
Umiejętność zliczania elementów nie oznacza jeszcze pełnego rozumienia pojęcia liczby. Kształtując pojęcie liczby
naturalnej u dziecka tak organizujemy nauczanie, aby od operacji konkretnych na przedmiotach z otoczenia i na środkach
poglądowych przejść do operacji wykonywanych na schematach, rysunkach, grafach pobudzających wyobraźnię, dojść
do operacji abstrakcyjnych na symbolach. Kształtowanie rozumienia pojęcia liczby naturalnej wymaga sporo czasu i
doboru właściwych ćwiczeń. Zadaniem nauczyciela jest dążenie do tego, by w umyśle dziecka powstało pojęcie liczby
naturalnej jako syntezy liczby kardynalnej i liczby porządkowej.
Aspekt kardynalny liczby
Liczba kardynalna określa, ile elementów ma dany zbiór. Jeśli mówimy np.: „trzy psy” chodzi o pewien zbiór psów,
który ma 3 elementy. Liczbom kardynalnym odpowiadają zwykle liczebniki główne. Matematycznie określa się liczbę
kardynalną jako np.: wspólną cechę zbiorów równolicznych.
Aspekt porządkowy liczby
Liczbom porządkowym odpowiadają liczebniki porządkowe. Liczba porządkowa określa, który z kolei element
danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Mówiąc „trzeci pies” mamy na myśli psa, który jest trzeci z kolei w pewnym zbiorze.
Pozostałe elementy tego zbioru oraz ogólna ich liczba w tym momencie mogą nas nie interesować. Wszelkie liczenie,
ustawianie po kolei numerowanie itp. wiąże się z aspektem porządkowym liczby naturalnej.
Aspekt kardynalny i porządkowy są przez dziecko utożsamiane. W trakcie przeliczania żetonów wypowiada ono liczebniki
główne: jeden, dwa, trzy, cztery – określone nimi liczby mają wyraźny aspekt porządkowy; określają, który z kolei jest
dany żeton. Można je też interpretować jako liczby kardynalne. Dziecko mówiąc „dwa” stwierdza tym samym, że
przeliczyło już 2 żetony. Ostatnia z liczb, czyli 4 oznacza liczbę wszystkich żetonów.
Uwarunkowania procesu uczenia matematyki
U dzieci, które rozumieją na poziomie przedoperacyjnym następuje całkowita blokada procesu uczenia się
matematyki. Współczesne metody nauczania matematyki wymagają od dzieci wykonania na lekcjach wielu czynności
pomocniczych. Muszą narysować rozliczne grafy, wykreślić tabelki, układać konstrukcje z klocków, a także zapisać w
zeszycie zdania oraz formuły rozwiązania. Wszystko to powinny wykonać sprawnie i szybko. Z tego powodu dzieci z
obniżoną sprawnością rąk i zaburzeniami percepcji wzrokowej lub koordynacji wzrokowo – ruchowej nie potrafią sprostać
takim wymaganiom. Pokonywanie trudności jest jednakże wpisane w proces uczenia się matematyki. Dzieci są dojrzałe
do uczenia się matematyki wówczas, gdy osiągną odpowiedni poziom rozwoju psychicznego, w rezultacie którego chcą
się nauczyć liczyć i potrafią zrozumieć sens elementarnych pojęć matematycznych.
Literatura:
1.Gruszczyk – Kolczyńska E., Dlaczego dzieci nie potrafią uczyć się matematyki, W-wa 1989, Instytut Wydawniczy
Związków zawodowych
2.Samadeni Z. (red), Nauczanie początkowe matematyki. Podręcznik dla nauczyciela. W-wa 1981, WSiP
3.Siwek H., Możliwości matematyczne uczniów szkoły specjalnej W-wa 1992, WSiP