jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków

jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków

Projekt „AS KOMPETENCJI”
jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków
Europejskiego Funduszu Społecznego
Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013
CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie
DANE INFORMACYJNE
• Naukowa Grupa Projektowa, Uniwersytet Szczeciński
• ID grupy: 97_USZ
• Opiekun: Grzegorz Szkibiel
• Kompetencja: Matematyka i fizyka
• Temat projektowy:
„Kongruencje i ich zastosowania”.
• Rok szkolny 2010/2011, semestr II.
Organizacja
1. Definicja i podstawowe własności kongruencji
2. Wyznaczanie dni tygodnia
3. Dzielenie
4. Kongruencje z jedną niewiadomą
5. Kongruencje z dwiema niewiadomymi
6. Zastosowania w kryptografii
7. Kongruencje a wielomiany, cechy podzielności
8. Potegowanie modulo m
9. Chińskie twierdzenie o resztach
ŹRÓDŁO : pl.euabc.com
Podział pracy, odpowiedzialni
Część 1: Karolina Nowaczewska, LO Tow. Sal. Szczecin
Część 2: Clarissa i Tiziana Burdzy, LO Tow. Sal. Szczecin
oraz Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin
Część 3: Nina Szostak, XI LO Szczecin
Część 4: Agnieszka Mosińska, VIII LO Szczecin
Część 5: Joanna Mosińska, VIII LO Szczecin
Część 6: Paweł Bacławski, LO Tow. Sal. Szczecin
Część 7: Paweł Kowerski i Sebastian Kurek, II LO Szczecin
Część 8: Paweł Kowerski i Bartłomiej Mazan, II LO Szczecin
Część 9: Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin
1. Definicja i podstawowe
własności kongruencji
Karolina Nowaczewska,
LO Tow. Sal. Szczecin
Definicja kongruencji
Mówimy, że a przystaje do b modulo m,
co zapisujemy 𝒂 ≡ 𝒃 (𝒎𝒐𝒅 𝒎),
jeśli m jest dzielnikiem liczby 𝒂 − 𝒃.
Zakładamy przy tym, że 𝒎 > 𝟏.
Własności kongruencji
• symetria: 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑑𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑦𝑐𝑕 𝑎 𝑖 𝑏,
𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑡𝑜 𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
• przechodniość: 𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑑𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑦𝑐𝑕 𝑎, 𝑏 𝑖 𝑐,
𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑏 ≡ 𝑐 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑡𝑜 𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
•
kongruencja sumy:
𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑎 ≡ 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑖 𝑏 ≡ 𝑞 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑡𝑜 (𝑎 + 𝑏) ≡ 𝑝 + 𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
•
kongruencja iloczynu:
𝑗𝑒ż𝑒𝑙𝑖 𝑎 ≡ 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑖 𝑏 ≡ 𝑞 𝑚𝑜𝑑 𝑛 , 𝑡𝑜 𝑎 ∗ 𝑏 ≡ 𝑝 ∗ 𝑞 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
Kongruencje: czyli o podzielności
Zapis a|b, czytamy a dzieli b, oznacza to to samo co
a*k=b gdzie k jest liczbą całkowitą.
Idąc tym tropem zdefiniujmy resztę z dzielenia, np. 11/2= 5
i reszty 1.
Matematycy uważają że resztą z dzielenia a/b jest r takie
że b*k+r=a i r∈C dodatnich, niby proste, ale trzeba tu
zwrócić uwagę na to że r musi być dodatnie.
Kongruencje, czyli o podzielności - przykałdy
11 / 2 11=2*5+1
-11 / 2 -11=2*-6+5
11 / -2 11=-2*6+5
Czyli jak widać jeśli jest dzielenie gdzie dzielnik lub dzielna
są z "-" to reszta nie jest tak oczywista, można to
rozwiązywać ze wzoru b*k+r=a
2. Wyznaczanie dni tygodnia
Clarissa i Tiziana Burdzy, LO Tow. Sal. Szczecin
oraz Ewa Krzysztanowicz, III LO Szczecin
Zjazd gnieźnieński
Zadanie.
Zjazd gnieźnieński odbył się w niedzielę pomiędzy 10. a 16.
kwietnia roku 1000. Wiemy, że w dzień bitwy pod Grunwaldem,
tj. 15 VII 1410 był wtorek. Jaka była data zjazdu
gnieźnieńskiego? 15 VII 1410 -> wtorek (2)
Rozwiązanie.
Przydzielamy liczbę do dnia tygodnia: Niedziela = 0, Poniedziałek = 1,
Wtorek = 2, Środa = 3, Czwartek = 4, Piątek = 5, Sobota = 6.
Zjazd gnieźnieński
Wiedząc, że 15.VII.1410 roku był wtorek (2) liczymy, jaki
dzień tygodnia był 15.VII.1000 roku. Te dwie daty dzieli
410 lat, z których 102 były przestępne. Stąd wyrażenie,
2 - 410* 365 - 102
z którego musimy obliczyć resztę z dzielenia przez 7.
Obliczamy najpierw, że
-410 Ξ 3(mod 7), 365 Ξ 1(mod 7) oraz -102 Ξ 3(mod 7).
Stąd
2 - 410* 365 - 102 Ξ 2+3*1+3 Ξ 1 (mod 7)
Zatem 15.VII.1000 był poniedziałek.
Zjazd gnieźnieński
Dalej obliczamy „na palcach”:
15.VII.1000 → poniedziałek
1.VII.1000 → poniedziałek
30.VI.1000 → niedziela
2.VI.1000 → niedziela
27.V.1000 → niedziela
6.V.1000 → niedziela
29.IV.1000 → niedziela
15.IV.1000 → niedziela
Odp. Zjazd gnieźnieński odbył się w niedzielę 15.IV.1000r.
6. Zastosowania w kryptografii
Paweł Bacławski
LO Tow. Sal. Szczecin
Przykłady szyfrów, w których
możemy użyć kongruencji:
• szyfry afiniczne
• szyfr Cezara
• szyfr Beauforta
Szyfry zazwyczaj pokazuje się w blokach po 5 liter i tak też w tej
prezentacji będzie to pokazane.
Szyfry afiniczne
Aby móc zastosować szyfry afiniczne musimy każdej z 26 liter
przyporządkować kolejno jedną liczbę: A – 0, B – 1, C – 2 (…) Z – 25.
Pozwoli nam to na wykonywanie działań arytmetycznych na liczbach.
Wiedząc, że alfabet bez polskich znaków ma 26 liter oraz zakładając,
że p będzie oznaczało pozycję litery , n i k – klucze (n, k), a l – literę
po przekształceniu, tworzymy równanie (szyfr afiniczny):
𝑛𝑝 + 𝑘 ≡ 𝑙 𝑚𝑜𝑑 26
Liczby, który możemy podstawić pod n to:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25
Znając już budowę szyfru afinicznego, spróbujmy coś zaszyfrować.
Przykładem, który zaszyfrujemy jest Neal Koblitz (twórca szyfru
afinicznego). Zastosujemy klucz (3, 6).
Litery jakie mamy do zaszyfrowania to: a, b, e, i, k, l, n, o, t, z.
Odpowiadają im pozycję: a – 0, b – 1, e – 4, i – 8, k – 10, l – 11, n – 13,
o – 14, t – 19, z – 25.
Stosując klucz, mnożymy każdą pozycję przez 3 i dodajemy 6, po czym
stosujemy (mod 26).
NEAL KOBLITZ -> ???
•
[𝑎] 0 ∗ 3 + 6 ≡ 6(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑔]
•
[𝑙] 11 ∗ 3 + 6 ≡ 13(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑛]
•
[𝑏] 1 ∗ 3 + 6 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑗]
•
[𝑛] 13 ∗ 3 + 6 ≡ 19(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑡]
•
[𝑒] 4 ∗ 3 + 6 ≡ 18(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑠]
•
[𝑜] 14 ∗ 3 + 6 ≡ 22(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑤]
•
[𝑖] 8 ∗ 3 + 6 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑒]
•
[𝑡] 19 ∗ 3 + 6 ≡ 11(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑙]
•
[𝑘] 10 ∗ 3 + 6 ≡ 10(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑘]
•
[𝑧] 25 ∗ 3 + 6 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑑]
A więc, po zaszyfrowaniu, NEAL KOBLITZ, to TSGNK WJNEL D.
Szyfr cezara
Szyfr Cezara, działa podobnie jak szyfry afiniczne, które są jakby
rozszerzoną wersją tego pierwszego.
Tak samo do każdej litery alfabetu łacińskiego podstawiamy liczbę,
czyli: A – 0, B – 1, C – 2 (…) Z – 25.
Jednak tu sprawa jest prostsza, gdyż nie musimy mnożyć pozycji
naszej liczby przez n, które w szyfrze Cezara nie występuje.
Dlatego, jak łatwo się domyślić, równaniem tego szyfru jest:
𝑝 + 𝑘 ≡ 𝑙 𝑚𝑜𝑑 26
Tak samo jak poprzednio, p to pozycja litery, k – klucz, a l to litera po
przekształceniu.
„Kości zostały rzucone”
Jako, iż twórcą tego szyfru był sam Juliusz Cezar, używając klucza 3,
zaszyfrujmy jedno z jego słynnych powiedzeń:
„Alea iacta est” („Kości zostały rzucone”)
Litery, który mamy do zaszyfrowania to: a, c, e, i, l, s, t.
Ponownie, jak w szyfrach afinicznych dobieramy odpowiednią pozycję:
a – 0, c – 2, e – 4, i – 8, l – 11, s – 18, t – 19.
Tutaj sprawa jest prostsza, gdyż jedyne co musimy zrobić, to do pozycji
liczby (p) dodać liczbę, czyli klucz (k), po czym zastosować (mod 26).
„ALEA IACTA EST”
•
[𝑎] 0 + 3 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑑]
•
[𝑙] 11 + 3 ≡ 14(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑜]
•
[𝑐] 2 + 3 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑓]
•
[𝑠] 18 + 3 ≡ 21(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑣]
•
[𝑒] 4 + 3 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑕]
•
[𝑡] 19 + 3 ≡ 22(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑤]
•
[𝑖] 8 + 3 ≡ 11(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑙]
Stąd wiemy, że ALEA IACTA EST, po zaszyfrowaniu kluczem 3,
to: DOHDL DFWDH VW.
Szyfr Beauforta
W szyfrze Beauforta, podobnie jak w dwóch poprzednich, pod każdą
liczbę alfabetu łacińskiego podstawiamy liczbę: A – 0, B – 1, C – 2 (…)
Z – 25.
Chcąc zastosować szyfr Beauforta musimy znaleźć liczby przeciwne do
alfabetu łacińskiego. Aby to zrobić odejmujemy od zera pozycję każdej
litery, po czym dodajemy 26, czyli liczbę, która określa liczbę liter w
alfabecie. Stąd też, tak będzie wyglądał alfabet po przekształceniu:
A B C D E F GH I J K L MNO P QR S T U VWX Y Z
A Z Y XWV U T S RQ P ONM L K J I HG F E D C B
Patrząc na powyższe przekształcenie możemy zauważyć, że A oraz N
są swoimi przeciwnościami.
Szyfr Beauforta
Aby wykonać szyfrowanie, należy poznać równanie tego szyfru, które
wygląda następująco:
−𝑝 + 𝑘 ≡ 𝑙 (𝑚𝑜𝑑 26)
Wiemy, że –p oznacza liczbę przeciwną (np.: B->Z, D->X), k – klucz, l
– liczba otrzymana po zaszyfrowaniu, która jest „odpowiednikiem” w
alfabecie łacińskim.
Klucz, w praktyce przesuwa liczby przeciwne o k pozycji, dzięki czemu
można zaszyfrować, żądane wyrażenie.
Zaszyfrujemy teraz nazwę miejsca urodzenia samego Beauforta:
County Meath. Użyjemy klucza 7.
Litery jakie mamy do zaszyfrowania to: a, c, e, h, m, n, o, t, u, y.
Odnajdujemy ich położenie w „przeciwnym” alfabecie: a – 0, c – 24, e –
22, h – 19, m – 14, n – 13, o – 12, t – 7, u – 6, y – 2.
Znając już ich położenie, przesuwamy je o 7, czyli nasze k.
•
•
•
•
•
[𝑎] 0 + 7 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑕]
[𝑐] 24 + 7 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑓]
[𝑒] 22 + 7 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑑]
[𝑕] 19 + 7 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑎]
[𝑚] 14 + 7 ≡ 21(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑣]
•
•
•
•
•
[𝑛] 13 + 7 ≡ 20(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑢]
[𝑜] 12 + 7 ≡ 19(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑡]
[𝑡] 7 + 7 ≡ 14(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑜]
[𝑢] 6 + 7 ≡ 13(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑛]
[𝑦] 2 + 7 ≡ 9(𝑚𝑜𝑑 26) [𝑗]
Dlatego COUNTY MEATH, po zaszyfrowaniu kluczem 7, to FTNUO JVDHO A
? XDUFQ IJEGI UOXQJ QRKFC ?
Co jest zaszyfrowane w tytule?!
Szyfry afiniczne, klucz (3, 4).
Powodzenia! ; )