Grawitacja - prawo Grawitacja - uniwersalna stała G Grawitacja

Grawitacja prawo
�
�
W tej cz��ci stosujemy prawo Newtona F = ma do przypadku gdy siła jest pochodzenia grawitacyjnego.
Przypomnienie: siły klasyfikujemy ze wzgl�du na ich pochodzenie (grawitacja, Coulomb, j�drowe,...), lub ze wzgl�du na ich matematyczn� form� (const, siła spr��ysta ~ -x, grawitacja lub Coulomb ~�/r2).
Dla F = α / r 2 �� V = −α / r + 0
prawo F ~ mM / r
2
�
mat
F = (G )
mM
r2
Grawitacja –
przypadek standardowy M>>m
...ma miejsce do�� cz�sto, na przykład
M
i st�d
>>
Ziemia
Ziemia
Ksi��yc
proton
elektron
a=F/M=0
a=F/m>0
...mo�e by� wyznaczona do�wiadczalnie z pomiarów
m, M, r, F – wówczas wyliczamy G z prawa grawitacji
F = (G )
mM
r2
gdzie współczynnik G okazał si� by� stał� uniwersaln�. (Pami�tamy? c, h, e, ... to stałe uniwersalne,
a nie stałe materiałowe)
Grawitacja –
przyspieszenie grawitacyjne g
...(wyj�tkowo dla przyspiesze�
�
�
�a pochodzenia grawitacyjnego �
stosujemy symbol g, F = m a � F = m g )
m
Sło�ce
Grawitacja uniwersalna stała G
z prawa ci��enia F = G
taka sama siła F
(nieruchome porusza si�)
mM
r2
znana jako Newton III � zasada bardziej ogólna (2 pr�dy)
UWAGA: ta sama F? jasne, bo mM=Mm w
F = (G )
M
mM
otrzymujemy g = G 2
2
r
r
g(r) = G·M/r2, r>R=6400 [km]
g0 = G·M/R2 = 9.81[m/s2], r=R
wówczas
na powierzchni
g0 � � M jak „zwa�y�” Ziemi�:
(siła spr��ysta?!)
Grawitacja –
2 poprawki
g(r) = g0·r/R, dla r<R
Grawitacja –
prawa Keplera
Poprawki na przyspieszenie g0 = G·M/R2 = 9,81
Prawo Keplera T2 ~ r3
(1) ruch wirowy Ziemi: g0 � g0 -
(2) spłaszczenie Ziemi: g0 = G·M/R2, wynika bezpo�rednio z zało�enia o ruchu kołowym planet, gdy siła grawitacji F = G·Mm/r2 równa si� sile do�rodkowej F = m�2r, st�d
�2r (0<r<R)
R(biegun)<R(równik)
r3/T2 = G·M/4�2,
satelita zerowy
stacjonarny
Ksi��yc
Ksi��yc
T
?
24h
28d
?
v
vI=?
?
� = 2�/T
r
R=6400km
?
?
r=384000km
Grawitacja –
energia potencjalna
Ep = mgh (czy�by?)
dla F = G
Zatem
mM
r2
Dla h>>R mamy w przybli�eniu R/(R+h)=R/h i st�d
mamy V (r ) = −G
Ep(h) = mg0R
mM
+ 0 = −mg 0 R 2 / r + 0
r
E p ( h ) = V ( R + h) − V ( R )
prowadzi do wzoru
zamiast Ep = mgh
Grawitacja –
energia potencjalna, h>>R
to praca konieczna do uwolnienia ciała z pola grawitacji, co odpowiada minimalnej pr�dko�ci pocz�tkowej (2-ga
pr�dko�� kosmiczna) takiej, �e mv2/2 = mg0R, a st�d
� R �
E p (h) = mg 0 h�
�
� R+h�
v2 = 2 g 0 R = 11, 2[ km / s ]
...ale uwaga na przypadki graniczne: h<<R i h>>R
Grawitacja –
pierwsza pr�dko�� kosmiczna
Natomiast 1-sza pr�dko�� kosmiczna (patrz równie�
prawa Keplera) wynika z ��dania aby satelita „zerowy”
(r=R) był na orbicie stacjonarnej. To znaczy, aby ani nie zbli�ał si� do Ziemi ani nie oddalał si� od niej. Wówczas siła grawitacji F=mg0 musi równa� si� sile od�rodkowej F=mv2/R, i st�d
v1 =
g 0 R = 7,9[ km / s ]
Grawitacja –
trajektorie ruchu planet
Podsumowanie: v1=7,9[km/s] v2=11,2[km/s], (v<<c)
•
dla v < v1 ciało musi spa�� na Ziemi�
•
dla v = v1 ciało wejdzie na orbit� (dla rzutu poziomego)
•
dla v1<v<v2 ruch po elipsie
•
dla v=v2 ruch po paraboli, ucieczka z pola grawitacji
•
dla v>v2 ruch po hiperboli, po oddaleniu si� od Ziemi
ciało nadal ma pr�dko�� niezerow�
Grawitacja –
a siła Coulomba
Zarówno siła grawitacji Fg jak i siła Coulomba Fc maj�
tak� sam� posta�
gdzie α = GmM
F =α /r
2
dla grawitacji, lub α = qQ / 4πε 0 dla sił Coulomba
...ciekawym jest porównanie obu sił, na przykład dla atomu wodoru. Chcemy znale�� stosunek Fc /Fg - po obliczeniach otrzymujemy Fc /Fg. = 2,3·1039
Grawitacja –
a siła Coulomba
Wnioskujemy
a)stosunek ten nie zale�y od r � tak wi�c wi�ksza z sił jest zawsze wi�ksza dla dowolnej odległo�ci r, siły Coulomba s� zdecydowanie dominuj�ce
b)chyba, �e masy s� bez ładunków elektrycznych, wówczas ten stosunek wynosi zero i pozostaj� jedynie siły grawitacyjne
c)siły j�drowe?
-dlaczego s� konieczne
odległo�ciach
-s� „widoczne” tylko na bardzo małych