LXII Konferencja Historii Logiki

Transkrypt

LXII Konferencja Historii Logiki
Instytut Filozofii UJ
24-26.10.2016
Wykłady plenarne
O automatach
Bojańczyk Mikołaj
Uniwersytet Warszawski
W referacie opowiem czym zajmuje się teoria automatów, a szczególnie o ich
związkach z logiką.
Automat jest bardzo prostym urządzeniem, które czyta słowo (choć są też automaty
czytające drzewa i bardziej złożone obiekty) i mówi tak lub nie. Można na przykład
napisać automat, który sprawdza, czy słowo ma długość parzystą, ale nie napisać
automatu, który sprawdza czy litera a występuje tyle samo razy, co litera b.
Automaty mają duże znaczenie w logice informatycznej, przede wszystkim przy
algorytmach rozstrzygających, czy formuła danej logiki jest prawdziwa w przynajmniej jednym modelu. Dla wielu logik, algorytm wygląda tak: dostawszy na wejściu
formułę, algorytm przerabia ją na równoważny automat, a następnie korzysta z narzędzi teorii automatów, by sprawdzić, czy automat akceptuje przynajmniej jedno
wejście.
W referacie postaram się opisać tę metodę.
Filozoficzne i teologiczne tło Cantora teorii mnogości
Murawski Roman
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Teoria mnogości stworzona przez Georga Cantora była matematyczną teorią nieskończoności. Pokazywała, że nieskończoność, obecna przecież w matematyce od
zawsze, może być przedmiotem badania matematycznego. Tworząc teorię mnogości Cantor kierował się nie tylko potrzebami samej matematyki (teoria szeregów
trygonometrycznych), ale także pewnymi koncepcjami filozoficznymi, a nawet teologicznymi. Celem referatu jest rozważenie, jakie założenia natury filozoficznej stoją
za takimi czy innymi ujęciami kwestii teoriomnogościowych i jak wpłynęły one na
przyjęte rozwiązania, na przykład problemu antynomii. Rozważymy też (głównie
w oparciu o korespondencję) kwestię kontaktów Cantora z teologami i wpływ tych
ostatnich na jego prace nad teorią mnogości, w szczególności pokażemy w jakich
okolicznościach doszło do kontaktów Cantora z teologami, co sprzyjało tym kontaktom, jakie były motywacje obu stron, czego dotyczyły prowadzone dyskusje i jaki
był ich wpływ na filozofię teorii mnogości.
2
Pojęcia modalne u Boecjusza
Albiński Tomasz
Boecjusz (480-524) - komentator i tłumacz dzieł logicznych Arystotelesa - jest
zgodnie uważany za filozofa, którego praca walnie przyczyniła się do zachowania
myśli Stagiryty dla łacińskiego Zachodu oraz wyznaczyła ścieżki rozwoju okresu
scholastyki. Przez historyków logiki postrzegany jest raczej jako źródło wiedzy o
logice starożytnej niż samodzielny logik. Istotnie, celem pracy Boecjusza było, jak
sam pisze: „przetłumaczyć i skomentować pisma, których nikt jak dotąd przetłumaczyć nie chciał”, nie zaś twórcze badanie problemów logicznych. W komentarzach
Boecjusz pozostaje wierny myśli Arystotelesa, a przynajmniej jest to jego główny
zamiar i odniesienie. Podejście to jest widoczne przede wszystkim w dyskusji Boecjusza z logikami stoickimi: omawiane kwestie sporne zawsze rozstrzygane są na
korzyść Stagiryty, zaś logicy stoiccy są tymi, którzy najczęściej błądzą. Co więcej,
miejscami Boecjusz celowo pomija stanowisko stoickie. Należy jednak zauważyć, że
nawet jeśli podejście Boecjusza, który zdaje się nie doceniać dokonań następujących
po Arystotelesie logików (z pewnymi wyjątkami), nie jest trafne, to zachowane teksty
Boecjusza wskazują, jak wielki postęp został uczyniony w logice od czasu redakcji
pism zawartych w Organonie.
Z uwagi na zarysowaną perspektywę wyjątkowo interesującym problemem jest kwestia wykorzystywanych przez Boecjusza pojęc modalnych w Komentarzu do Hermeneutyki Arystotelesa. Analiza Komentarza wskazuje, iż Boecjusz w wielu miejscach
konsekwentnie i z powodzeniem korzysta z siatki pojęć modalnych nie znanej Arystotelesowi. Boecjusz duży nacisk kładzie na kwestie związane z warunkami prawdziwościowymi dla zdań modalnych; wyraźnie zaznacza się przy tym modalny charakter pojęcia prawdy (problem nieustabilizowanej prawdy). W czasie wystąpienia
omówieniu poddane zostaną także sposoby rozumienia pojęć konieczności (konieczność warunkowa i bezwarunkowa; konieczność w aspekcie czasowym) i możliwości
(przygodność, możliwość z wolnego sądu, możliwość z natury rzeczy; modalność
utrumlibet) oraz zagadnienie wartości semantycznej (pojęcie vis). Pozostaje kwestią
otwartą, czy wykorzystane narzędzia są oryginalnym wkładem Boecjusza, czy też
raczej świadectwem kultury logicznej powszechnej w V w n.e.
3
Tematyka korespondencji naukowej Gottloba Fregego z
Giuseppe Peano w latach 1891-1903
Besler Gabriela
Uniwersytet Śląski
Korespondencja Fregego z Peano liczy 12 dokumentów i zaczęła się po opublikowaniu przez Fregego Grundlagen der Arithmetik (1884), przed publikacją pierwszego
tomu Grundgesetze der Arithmetik (1893), w okresie pisania artykułów przedstawiających odróżnienie sensu od znaczenia. Zakończyła się po wydaniu drugiego tomu
Grundgesetze der Arithmetik (1903), w dodatku do którego Frege przedstawił problem antynomii w swoim systemie. Nic nie wskazuje na to, że Peano przeczytał II
tom wysłany mu przez Fregego. Problem antynomii nie był omawiany listownie z
Peano. W tym samym czasie obaj korespondowali także z B. Russellem, D. Hilbertem, M. Paschem i Ph. Jourdainem. Korespondencję rozpoczął Peano, wysyłając
Fregemu swe pisma i kartkę pocztową, która się nie zachowała. W czasie prowadzenia korespondencji Frege opublikował tekst: Uber die Begriffsschrift des Herrn
Peano und meine eigene (1897). Była to krytyczna odpowiedź na recenzję książki
Fregego Grundgesetze der Arithmetik, napisaną przez Peano.
Frege znał pracę Peano Formulaire de mathematiques (1895) a Peano znał Fregego
Begrieffsschrift (1879) i Grundgesetze der Arithmetik (1893). Ich korespondencja dotyczyła tych pozycji. Jak to okreslił Peano, dyskutowano nad „paralelnościa dwóch
systemów zapisu: logiki matematycznej i pisma pojęciowego” (list z dn. 7.01.1903).
W szczególności zastanawiali się nad konieczną ilością znaków pierwotnych w systemie logicznym, porównywali zapisy formuł logicznych w obu systemach, krytykowali wprowadzane definicje (w szczególności definicję równości) i formułowali warunki poprawnych definicji. Frege odwoływał się do swojego zaplecza semiotycznofilozoficznego i dokonywał analiz z odniesieniem do sensu i znaczenia, myśli jako
sensu zdania, prawdy (fałszu) jako znaczenia zdań prawdziwych (fałszywych).
G. Frege: Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel. Gebundene
Ausgabe. Bd. 2 Wissenschaftlicher Briefwechsel. Herausgeber, Vorwort, Bearbeitung
von Gottfried Gabriel. Hamburg: Felix Meiner Verlag 2013.
Trends in the history of infinity
Błaszczyk Piotr
Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
There are several competing trends in the history of the mathematics of infinity.
These include Cantor’s theory of infinite sets and (the much earlier) Euler’s arithmetic of infinite numbers.
Cantor also developed an arithmetic of infinities. However, it hardly mimics the
arithmetic of real or rational numbers. On the other hand, Euler’s infinite numbers
from the very beginning belong to a structure known today as an ordered field.
We argue that John Conway’s On numbers and games provides a uniform perspective
4
that allows one to compare these two trends. Arguably, the perspective of ordered
fields provides a more general and consistent account of infinity.
1. G. Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer 1932.
2. J. Conway, On numbers and games, AK Peters 2001.
3. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausannae 1748.
O zagadnieniu dedukcyjnej słabości dyskwotacyjnych teorii
prawdy
Cieśliński Cezary
Dyskwotacjonista sądzi, że pojęcie prawdy można adekwatnie scharakteryzowac
za pomocą tzw. schematu T: „zdanie ’F’ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy F”.
Formalne odpowiedniki tego filozoficznego przekonania to proponowane w literaturze
dyskwotacyjne teorie prawdy, aksjomatyzowane za pomocą wybranych podstawień
schematu T.
Jednym z głównych problemów dyskwotacjonisty jest zagadnienie dedukcyjnej słabości jego teorii. Wiadomo na przykład, że typowe teorie dyskwotacyjne nie dowodzą
ogólnych kompozycyjnych zasad, charakteryzujących sposób zachowania zdań złożonych w zakresie predykatu prawdziwości (dla ilustracji, typowa dyskwotacyjna teoria
nie będzie dowodziła, że dla każdego zdania F, negacja F jest prawdziwa wtedy i
tylko wtedy, gdy F nie jest prawdziwe). Wspomniana dedukcyjna słabość to jeden
z najpoważniejszych zarzutów wysuwanych przeciwko aksjomatykom wykorzystującym schemat T.
W proponowanym referacie przedstawię pewną teorię formalną charakteryzującą
nowy epistemiczny predykat wiarygodności, która oferuje dyskwotacjoniście możliwość uporania się z problemem dedukcyjnej słabości jego teorii. Teoria ta pozwoli
wyjaśnić, dlaczego ktoś, kto akceptuje daną dyskwotacyjną teorię prawdy Th, powinien rownież zaakceptować rozmaite zdania ogólne (w tym zasady kompozycyjne)
niedowodliwe w Th. Proponowana obrona dyskwotacjonizmu przed zarzutami krytyków będzie następująca: choć dyskwotacjonista nie jest w stanie udowodnić ogólnych
zasad kompozycyjnych, to potrafi udowodnić ich wiarygodność i - w ostatecznym
rozrachunku - postępuje racjonalnie, gdy je akceptuje.
5
Metody tablicowe dla logiki deontycznej Kalinowskiego
Ciuciura Janusz
Uniwersytet Łódzki
W 1953 roku Jerzy Kalinowski publikuje artykuł pt. Teoria zdań normatywnych.
Artykuł uznawany jest za jedną z pierwszych publikacji poświęconych logice deontycznej. Przedmiotem referatu jest prezentacja metody tablicowej dla deontycznej
logiki Kalinowskiego K1.
Bibliografia
[1] J. Kalinowski, Teoria zdań normatywnych, Studia Logica 1 (1953), ss. 113-146.
[2] P. Kulicki and R. Trypuz, Doing the right things - trivalence in deontic action logic, https : //www.researchgate.net/publication/233990254 Doing the right things −
− − trivalence in deontic action logic
[3] G. H. von Wright, Problems and prospects of deontie logic: A survey, [w:] Modern
Logic – A Survey, Dordrecht, D. Reidel Publishing Company, 1981, ss. 399–423.
[4] G. H. von Wright, Mind, Volume 60:237 (1951), ss. 1-15.
Teoria mnogości Bernarda Bolzana. Porównanie z
współczesnymi systemami teorii mnogości
Czarnota Kazimierz
Ogólny zarys historyczny.
Zestawienie stanowiska Bolzana z akceptowanymi dziś teoriami na tematy:
• zbiór, wielkość i wielość,
• zbiory skończone i nieskończone,
• zasady zaliczania elementów do zbioru,
• zbiory tworzone na tej samej zasadzie (jednorodność),
• liczba elementów w zbiorach nieskończonych,
• zbiory przeliczalne,
• odwzorowania 1-1 zbiorów (rownorzędność czy równoliczność),
• działania na zbiorach skończonych i nieskończonych,
• warunki przenoszenia twierdzeń dotyczących zbiorów skończonych na zbiory
nieskończone,
• porównywanie zbiorów nieskończonych - równe, mniejsze i większe zbiory nieskończone,
6
• hierarchia zbiorów nieskończonych (różne rzędy nieskończoności),
• zero a liczby nieskończenie małe,
• nieskończoność a liczby nieskończenie wielkie,
• odniesienie do czasu, do przestrzeni i do realnego wszechświata.
Podsumowanie: istotne zgodności i różnice poglądow Bolzana:
• z Cantorem,
• z teorią ZF,
• z niestandardową teorią korzystającą z liczb hiperrzeczywistych.
Literatura:
B. Bolzano, Wissenschaftslehre.
B. Bolzano, Paradoksy nieskończoności.
B. Bolzano, 2004, On the Mathematical Method and Correspondence with Exner, ed.
by Paul Rusnock and Rolf George.
Russ, Steve, 2004, The Mathematical Works of Bernard Bolzano.
+ aktualne podstawowe monografie i podręczniki teorii mnogości
Zarys semantyki dla Wolnej Ontologii
Czerniawski Jan
Uniwersytet Jagielloński
Kotarbiński jako logiczne tło dla reizmu przyjął Ontologię Leśniewskiego. Nie był
to jednak wybór fortunny, gdyż uniemożliwiał jedyny naturalny sposób pogodzenia
reizmu z teorią mnogości, jak również prowadził do niemożliwości wyrażenia negatywnych tez reizmu w języku, w którym, w odróżnieniu od własnego języka reizmu,
są one sensowne. Rozwiązaniem obu problemów jest Wolna Ontologia, otrzymana
z Ontologii Leśniewskiego przez unieważnienie reguły ekstensjonalności, osłabienie
aksjomatu, a w końcu zmianę reguł kwantyfikatorowych w duchu logik wolnych.
W języku potrzebnego do wyrażenia negatywnych tez reizmu wielokategorialnego
platonizmu jednak występują formuły, które z jednej strony każdy jego użytkownik
musi zaakceptować, z drugiej zaś, jeśli jest reista, nie może traktować jako prawdę
dosłowną, lecz tylko jako rodzaj przenośni, którą Kotarbiński nazwał „wyrażeniem
skrótowo-zastępczym”. Zaproponowany zostanie pewien sposób interpretowania takich przenośni w uniwersum reistycznym.
7
Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi
spójnikami
Dzik Wojciech
Uniwersytet Śląski
Typ unifikacji zależy istotnie od zestawu spójnikow. Np. zdaniowa logika klasyczna ma typ unitarny, a po dodaniu spójnika konieczności z aksjomatem K otrzymuje się normalną logikę modalną K (typ zerowy, E. Jerabek). Jeżeli spójnik będzie spełniał aksjomaty T i 4 to dostajemy logikę S4, (typ finitarny, por. S. Ghilardi), zaś gdy jeszcze euklidesowość - to logika S5 (typ unitarny). Jeśli rozważać
fragmenty (redukty) zdaniowej logiki intuicjonistycznej INT, to fragmenty: implikacyjny, implikacyjno-koniunkcyjny oraz implikacyjno-koniunkcyjno-negacyjny mają
typ unitarny (T.Prucnal, A. Wroński), zaś fragment implikacyjno-negacyjny nie jest
już typu unitarnego (A. Wroński) lecz finitarnego, podobnie jak pełna logika INT
(S. Ghilardi).
Wielu autorów rozważało nowe dodatkowe spójniki w logice intuicjonistycznej INT
(por. Caicedo i Cignoli oraz L. Esakia). Przyjęto, że dodatkowe spójniki dodawane do
logiki pośredniej L, aby były naturalne i sensowne, powinny być zgodne, tj. spełniać
warunek zgodności (compatibility) ze wszystkimi kongruencjami algebr z rozmaitości algebr Heytinga dla logiki L; ponadto nie mogą być definiowalne przez pozostałe
spójniki (por. Caicedo i Cignoli). Znane i badane przykłady spójników zgodnych to:
następnik S, który w łańcuchach działa jak następnik na liczbach naturalnych, S(x)
= x +1, operator gamma i operator Gabbaya G.
Ghilardi wprowadził, poza czterema typami unifikacji, rodzaj unifikacji filtrujacej
(filtering unification). Zachodzi ona wtedy, gdy dla każdych dwóch unifikatorów istnieje unifikator ogólniejszy od każdego z nich. (typ unifikacji jest unitarny lub 0). Z
(Dzik. Radeleczki) mamy:
Twierdzenie 1. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi unifikacja jest filtrująca wtedy i tylko wtedy gdy L zawiera słabe
prawo wyłączonego środka, tj. jest rozszerzeniem logiki Jankova (lub de Morgana);
Twierdzenie 2. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi, jeżeli L zawiera słabe prawo wyłączonego środka, to unifikacja w L
jest unitarna lub zerowa.
Twierdzenie 3. Dla każdej logiki pośredniej L z dowolnymi dodatkowymi spójnikami zgodnymi, jeżeli unifikacja w L jest unitarna, to L zawiera słabe prawo wyłączonego środka.
Wniosek. Nie istnieje rozszerzenie logiki INT dodatkowymi spójnikami zgodnymi,
które miałoby unifikację unitarną. Skończone logiki Goedla rozszerzone spójnikiem
S mają unifikację unitarną.
Literatura
Caicedo, X, Cignoli, R. Algebraic Approach to Intuitionistic Connectives, Journal of
Symbolic Logic, 66 (2001), 4, 1620-1636.
Dzik W., Radeleczki, S., Direct Product of l-algebras and Unification. An Application to Residuated Lattices, in printing, in Journal of Multiple-valued Logic and Soft
Computing, (2016).
8
Wroński, A. On factoring by compact congruences in algebras of certain varieties
related to the intuitionistic logic, Bulletin of the Section of Logic, 28 (1986), 48-50.
Logika dla jakościowych wnioskowań z dokładnością do
rzędu wielkości z relacją dystansu
Golińska-Pilarek Joanna, Zawidzki Michał
Uniwersytet Warszawski, Uniwersytet Łódzki
Jednym z kluczowych zadań projektu Sztucznej Inteligencji (AI) jest wypracowanie metod reprezentacji wiedzy. Celem badań w ramach Qualitative Reasoning (QR)
- poddziedziny AI, która powstała we wczesnych latach 80. XX wieku - jest jakościowe modelowanie istotnych z perspektywy AI ludzkich procesów poznawczych.
W szczególności, systemy formalne wypracowane na gruncie QR mają za zadanie
modelować scenariusze, w których agent, dysponując niepełnymi i nieprecyzyjnymi
informacjami (podanymi jedynie w pewnym przybliżeniu lub ujętymi w kategoriach
jakościowych), wyciąga z nich wnioski z akceptowalnym stopniem poprawności.
Jakościowe modelowanie wnioskowań z dokładnością do rzędu wielkości (order-ofmagnitude reasoning - OMR) stanowi podobszar badań w obrębie QR (zob. [4]).
W reprezentacji tego rodzaju dane analizuje się w terminach jakościowych relacji
pomiędzy obiektami, których własności znane są z dokładnością do rzędu wielkości.
W ramach OMR wyróżnić można dwa podejścia: oparte na absolutnym porządku
wielkości (Absolute Order of Magniture - AOM ) i na względnym porządku wielkości
(Relative Order of Magnitude). W pierwszym podejściu skalą, na której odmierzane
są wartości danej własności, jest zbiór liczb rzeczywistych (uporządkowany zazwyczaj przez relację <), podzielony przez pewne graniczne wartości na segmenty odpowiadające jakościowym kategoriom wielkości (np. duża wartość dodatnia, średnia
wartość ujemna, itp.). W drugim podejściu wprowadza się relację dwuargumentowe
na uporządkowanym zbiorze liczb rzeczywistych, pozwalające na porównywanie poszczególnych jego elementów pomiędzy sobą. Do takich relacji należą między innymi:
porównywalność, zaniedbywalność, dystans, itp. W logicznej reprezentacji wnioskowań OMR zazwyczaj łączy się oba podejścia. Różne logiki modalne do reprezentacji
wnioskowań OMR z relacją dystansu omówione były między innymi w pracach [1] i
[2].
Celem referatu jest omówienie modalnej logiki OM RD dla wnioskowań jakościowych z dokładnością do rzędu wielkości z relacją porządku oraz relacją dystansu.
OM RD jest wielomodalną logiką z klasycznymi operatorami modalnymi wyznaczonymi przez 4 relacje dostępności: R, R, D oraz D, gdzie R jest ostrym liniowym
porządkiem, D jest relacją dystansu, która wyznacza bazową jednostkę odległości
(każda inna mierzalna odległość ma być jej wielokrotnością), zaś R i D są odpowiednio odwrotnościami relacji R i D. Omówimy aksjomatykę logiki OM RD i dowód jej
pełności oraz poprawności względem dwóch różnych semantyk. Wykażemy następnie
równoważność tych semantyk. Pokażemy również, w jaki sposób udowodnić można
rozstrzygalność logiki OM RD , i wyjaśnimy, dlaczego nie jest to całkowicie trywialne
zadanie.
9
Literatura
1. Burrieza, A., Munoz-Velasco, E., Ojeda-Aciego, M.: A logic for order-of-magnitude
reasoning with negligibility, non-closeness and distance. In: Borrajo, D., Castillo, L.,
Corchado, J.M. (eds.) CAEPIA 2007. LNCS, vol. 4788, pp. 210-219 (2007)
2. Golińska-Pilarek, J., Munoz-Velasco, E.: Relational approach for a logic for orderof-magnitude qualitative reasoning with negligibility, non-closeness and distance. Logic Journal of IGPL. 17(4), 375–394 (2009)
3. Orłowska, E., Golinska-Pilarek, J.: Dual Tableaux: Foundations, Methodology,
Case Studies. Trends in Logic 36, Springer (2011)
4. Raiman, O.: Order of magnitude reasoning. Articial Intelligence. 51(1-3), 11–38
(1991)
Wykłady Jaśkowskiego: pierwszy podręcznik dedukcji
naturalnej
Indrzejczak Andrzej
Stanisław Jaśkowski obok Gerharda Gentzena jest znany jako twórca pierwszych systemów dedukcji naturalnej (DN). W zamyśle obu twórców systemy DN
miały zbliżyć nieformalną praktykę dowodzenia do standardów nowoczesnej logiki
formalnej. Obie publikacje ukazały się w 1934 i od tego czasu można datować początek historii takich systemów. Osobną kwestią jest jednak ustalenie kiedy systemy
DN zaczęły funkcjonować w dydaktyce logiki jako „przyjazny” sposób nauczania
dowodzenia twierdzeń i uzasadniania poprawności rozumowań. Popularność systemów DN w podręcznikach anglojęzycznych jest ogromna i bez wątpienia duża w
tym zasługa kilku pozycji z lat pięćdziesiątych autorstwa Quine’a (50), Fitcha (52),
Copiego (54) i Suppesa (57), które wprowadziły znane warianty DN powielane do
dziś. Zarówno Quine jak i inni autorzy wymieniają pewne wcześniejsze prace, które
z DN korzystają w wykładzie logiki. Najstarsza z tych prac A primer of formal logic
Cooleya została wydana w 1942, jednak szczegółowy przegląd jej zawartości zmusza
do zakwestionowania twierdzenia Quine’a o pierwszeństwie Cooleya w tym względzie. Jego podręcznik wprowadza wprawdzie dużo reguł inferencji, które znacząco
usprawniają dowodzenie, ale trudno mówić o systemie DN, gdyż nie ma formalnie
scharakteryzowanych reguł wprowadzania dodatkowych założeń, konstrukcji poddowodów i reguł ich zamykania, czyli tego wszystkiego co charakteryzuje systemy DN.
Tymczasem w roku 1947 Stanisław Jaśkowski wydał skrypt „Wyklady z logiki i metodologii nauk”, który nie tylko zawiera prezentację nowej wersji jego systemu DN z
1934 ale wykorzystuje ją konsekwentnie w całym zawartym tam wykładzie logiki formalnej. Kolejno wprowadza się reguły DN dla klasycznego rachunku zdań, dla wersji
poszerzonej o kwantykacje zmiennych zdaniowych, dla klasycznego rachunku kwantykatorów (zamiast logiki inkluzywnej w systemie z 1934) oraz teorii identyczności
ujętej w logice drugiego rzędu oraz szkicuje użycie DN dla kwantykatorów wyższego
rzędu. Ujęcie DN znacząco odbiega od wersji z 1934 zarówno w doborze reguł jak
i w sposobie zapisu dowodów, który nie używa prefiksow ale graficzne środki zaznaczania zasięgu założeń. Lektura skryptu pokazuje, że twórca DN włożył dużo
10
wysiłku w maksymalnie przystępną prezentację praktyki dowodzenia oraz uzasadnienie poprawności wprowadzonych środków. Niestety praca Jaśkowskiego nie była
szerzej znana nawet w środowisku polskich logików, a wydaje się, że można z dużym
prawdopodobieństwem uznać ją za pierwszy w świecie podrecznik, w którym cały
wykład logiki oparty jest na systemie DN.
Analiza zdania Kłamcy na gruncie Russellowskiej koncepcji
sądu
Jaworski Krzysztof
Katolicki Uniwersytet Lubelski
Antynomia kłamcy znana jest już od czasow starożytnych. Antynomia ta powstaje, gdy pewna wypowiedź odnosi się do siebie samej. Samoodniesienie nie musi
być zawsze antynomiogenne. Na przykład nie mamy nic do zarzucenia samoodnoszącemu się zdaniu (p) postaci:
(p) Zdanie p jest prawdziwe.
Jednak zdanie (k) prowadzi już do sprzeczności:
(k) Zdanie k nie jest prawdziwe.
Wypowiedź (k) nazywamy zdaniem Kłamcy. Założenie prawdziwości zdania (k) implikuje jego fałszywość, natomiast założenie fałszywosci zdania (k) implikuje jego
prawdziwość.
Na przestrzeni lat próbowano uporać się z antynomią kłamcy na różne sposoby.
Jedno z najpopularniejszych rozwiązań mieści sie w semantycznej koncepcji prawdy,
sformułowanej przez polskiego logika i matematyka Alfreda Tarskiego. Najważniejszym rezultatem tej koncepcji jest wprowadzenie hierarchii językow, to znaczy odróżnienie języka przedmiotowego, w którym mówi się o świecie, od metajęzyka (metajęzyków), w którym mówi się o wyrażeniach języka przedmiotowego. To w metajęzyku
(i tylko w nim), dzięki temu, że jest bogatszy od języka przedmiotowego, możemy
wydawać sądy na temat prawdziwości zdań języka przedmiotowego. Jak powiedzieliśmy, koncepcja Tarskiego nie jest jedynym rozsztrzygnięciem problemu „Kłamcy”.
Do modelowania tego, co nazywamy prawdą, dowodem czy też nieskończonością,
współcześni logicy chętnie stosują również metody matematyczne. Celem niniejszego referatu jest omówienie ciekawego i niestandardowego rozwiązania antynomii kłamcy, zaproponowanego przez Barwise’a i Etchemendy’ego w monografii The
Liar. An Essay on Truth and Circularity (1987). Rozwiązanie to, w odróżnieniu od
koncepcji Tarskiego, unika hierarchizacji języka. Nazywamy je „niestandardowym”,
ponieważ osadzone jest w niestandardowej teorii mnogości - teorii zbiorów nieufundowanych ZFA, sformalizowanej przez Petera Aczela. Otóż, okazuje się, że świat
możemy traktować jako zbiór pewnych sytuacji (stanów rzeczy), a te sytuacje również mogą być reprezentowane przez zbiory.
Autorzy wspomnianej monografii rozważają dwie koncepcje sądu i prawdziwości koncepcję Russella oraz Austina. Zdanie (k) wyraża pewien specyficzny sąd f, zwany
sądem Kłamcy. Sąd ten może posiadać teoriomnogościową reprezentację w postaci
obiektu f = [Fa f ]. Zapis ten należałoby odczytywać: „sąd f to sąd, który głosi,
że f jest fałszywy”. W ujęciu Russella istnieje dokładnie jeden sąd f, natomiast w
11
koncepcji Austina mamy do czynienia z wieloma różnymi sądami, które mogą być
wyrażone za pomoca zdania (k).
Ze względu na złożoność problemu, wyniki prac Barwise’a i Etchemendy’ego nie zostaną przedstawione tutaj w całości. Referat omawia jedynie koncepcję Russella i jej
konsekwencje, a w szczególności istotę paradoksu. Rozumowanie osadzone w koncepcji Russella opiera się na wyraźnym odróżnieniu dwóch własności, jakie mogą
posiadać sądy: prawdziwość T rueM (p) sądu p w świecie M oraz uprawdziwienie M
|= p sądu p przez świat M. Analogicznie mówimy o fałszywości F alseM (p) i ufałszywieniu M 6|= p. Okazuje się że można skonstruować takie modele, przez które sąd
Kłamcy jest ufałszywiony, ale nie jest w nich fałszywy, tzn. istnieją takie modele M,
że ¬F alseM (f), ale M 6|= f
Początki logiki temporalnej: Jerzego Łosia aksjomatyzacja
fragmentu języka fizykalnego
Karczewska Anna M.
Katolicki Uniwersytet Lubelski
W opublikowanej w 1947 roku pracy Podstawy analizy metodologicznej kanonów
Milla Jerzy Łoś przedstawił aksjomatyzację fragmentu języka fizykalnego, będącą
pierwszym systemem logiki temporalnej.
Aksjomatyzacja miała mieć zastosowanie do analizy pojęć metodologii nauk empirycznych, a w szczególności do analizy kanonów indukcji Milla. Stąd w centrum
zainteresowania Łosia znalazły się zdania zdające sprawę z obserwacji, takie jak na
przyklad: 11 sierpnia 2016 roku ma miejsce zaćmienie Słońca. Język budowanego
przez Łosia systemu miał umożliwić wierne odzwierciedlenie wewnętrznej struktury
tego rodzaju wyrażeń. Główną stałą nieklasyczną logiki Łosia jest funktor realizacji
czasowej, będący odpowiednikiem zwrotu „w chwili ... zachodzi to, że ...”.
W referacie zamierzam omówic szczegółowo system Łosia i jego założenia filozoficzne
oraz porównać zaproponowane przez Łosia rozwiązania formalne z późniejszymi logikami temporalnymi G. H. von Wrighta oraz systemami wywodzącymi się od A. N.
Priora.
12
Finitarna opisywalność wybranych pojęć teorio-kratowych
Łazarz Marcin
Uniwesytet Wrocławski
1. Teoria krat to nauka o swoiście dwoistym charakterze. Zrodziła się ona jako
poddziedzina algebry, jednakże ze względu na stosowane metody jest traktowana
jako fragment teorii porządku. Wiele podstawowych pojęć teorii krat, takich jak
dystrybutywność czy modularność ma stricte algebraiczne korzenie, przez co ich
teorio-porządkowy sens bywa trudniej uchwytny. Twórcy teorii krat - R. Dedekind
i G. Birkhoff - są jednocześnie autorami paradygmatu charakteryzacji, który nakazuje by równości opisywać za pomocą zabronionych konfiguracji i vice versa. Być
może najlepiej znanymi twierdzeniami teorii krat są twiedzenia charakteryzujące
dystrybutywność i modularność w terminach zabronionych podkrat (tzw. pentagon
w przypadku modularności; pentagon i tzw. diament w przypadku modularności).
Wzmocnieniem paradygmatu Dedekinda-Bikhoffa jest charakteryzacja pojęć teoriokratowych za pomocą tzw. podkat nasyconych (ang. covering sublattice): podkrata
K kraty L jest nasycona, gdy x ≺ y w K implikuje x ≺ y w L, dla dowolych x,y ∈
K (x ≺ y z definicji oznacza, że x < y oraz nie istnieje z ∈ L taki, że x < z < y).
Klasycznym przykładem charakteryzacji w tym duchu jest twierdzenie M. Warda z
1939: skończona i modularna krata jest dystrybutywna wtedy i tylko wtedy, gdy nie
zawiera podkraty nasyconej izomorficznej z diamentem.
2. W referacie przedstawiamy kilka wyników analogicznych do twierdzenia Warda,
a dotyczących pojęć dystrybutywności, modularności, semimodularności i tzw. warunków Birkhoffa. Zakres tych twierdzeń wykracza również poza kraty skończone.
3. Na koniec wprowadzamy pojęcie finitarnej opisywalności: pojęcie ϕ nazywamy
finitarnie opisywalnym w klasie krat K, gdy dla dowolnej kraty L ∈ K zachodzi:
L posiada własność ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy skończony przedział kraty L
należy do K oraz posiada własność ϕ.
Innymi słowy, jeśli własność jest finitarnie opisywalna i jest spełniona we wszystkich skończonych przedziałach danej kraty, to jest też spełniona globalnie w całej
kracie.
Jako konsekwencje z rezultatow opisanych w punkcie 2. uzyskujemy finitarną opisywalność dystrybutywności, modularności oraz semimodularności w klasie krat ciągłych w góre i silnie atomowych (ang. upper continuous and strongly atomic).
13
Implikacja treściowa a definicja prawdy
Łukowski Piotr
Powszechnie znany wkład Alfreda Tarskiego w analizę problemu zdefiniowania
prawdy jest jednym z największych osiągnięć logiki nie tylko XX wieku. Nieusuwalna na gruncie języka formalnego, w którym sformułowane zostało zdanie kłamcy,
trudność w ustaleniu wartości logicznej tego właśnie zdania stało się impulsem do
znanych w świecie doniosłych rozwiązań, wśród których naczelne miejsce zajmuje
propozycja Tarskiego. Wydaje się, iż warto byłoby zastanowić się czemu zdanie
kłamcy nie generuje znanej antynomii w tym samym języku formalnym, jeśli tylko
zostanie on poszerzony o nowy spójnik implikacji treściowej, [1]-[3].1
W logice z implikacją treściową zdanie kłamcy okazuje się być fałszywe nie będąc
prawdziwym. Odpowiednio, jego negacja jest prawdziwa nie będąc fałszywą. Pokazuje to prosta analiza wykorzystująca modele dla klasycznego rachunku zdaniowego
z implikacją treściową, [1]-[3]. Semantykę adekwatną dla Klasycznego Rachunku
Zdaniowego z Implikacją Treściową tworzy klasa modeli będących matrycami M =
(A, D), w których A = (A, −, ∩, ∪, ⇒, ⇔, :)2 jest algebrą podobną do języka wspomnianego rachunku, D niepustym podzbiorem A i dla a,b ∈ A,
1. a = a ∩ a
2. a ∩ b = b ∩ a
3. -a ∈ D wtw a ∈
/D
4. a ∩ b ∈ D wtw a ∈ D i b ∈ D
5. a ∪ b ∈ D wtw a ∈ D lub b ∈ D
6. a ⇒ b ∈ D wtw a ∈
/ D lub b ∈ D
7. a : b ∈ D wtw a = b ∩ c, dla pewnego c ∈ A
Inferencja semantyczna określona jest standardowo: X |= α wtw dla dowolnych M
= (A,D) i v ∈ Hom(L,A), v(α) ∈ D, jeśli tylko dla dowolnego β ∈ X, v(β) ∈ D.
Ta nieantynomialność zdania kłamcy stwarza sytuację prowokującą do podjęcia
próby zdefiniowania prawdy na gruncie tak poszerzonego języka [4]. Pojawia się
tu naturalne pytanie jak to nowe określenie prawdy bazujące na implikacji treściowej odpowiada istniejącym w literaturze jej rozumieniom.
[1] Łukowski P. (1997), An approach to the liar paradox, [w:] New Aspects in NonClassical Logics and Their Kripke Semantics, RIMS: Kyoto University, p. 68-80.
1
Badania nad implikacją treściową są finansowane z grantu NCN Opus 9, tytuł projektu „Epistemologiczne aspekty zastosowania implikacji treściowej jako narzędzia formalizacji wyrażeń języka
naturalnego”, nr umowy UMO-2015/17/B/HS1/02332.
2
Tutaj symbol „:” reprezentuje operację interpretującą implikację treściową. W zacytowanych
publikacjach symbol ten reprezentuje samą implikację treściową.
14
[2] Łukowski P. (2006), Paradoksy, Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego.
[3] Łukowski P. (2011), Paradoxes, Dordrecht-Heidelberg-London-New York: Springer.
[4] Łukowski P. (2013), Implikacja treściowa a definicja prawdy Alfreda Tarskiego,
Sprawozdania z czynności i posiedzeń naukowych Łódzkiego Towarzystwa Naukowego LXVII, 2013, p. 223-229.
O pewnej podteorii ontologii Leśniewskiego i jej związkach z
sylogistyką Arystotelesowską
Łyczak Marcin
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego w Warszawie
Przedmiotem proponowanego referatu jest porównanie trzech rodzajów predykacji, z których dwa związane są odpowiednio z ontologią Stanisława Leśniewskiego
i Arystotelesowską logiką nazw. Celem rozważań jest po pierwsze odtworzenie koncepcji Leśniewskiego na gruncie teorii predykacji trzeciego rodzaju - systemu OL*, w
którym jedyny pierwotny predykat ε∗ umożliwia zdefiniowanie inherencji w znaczeniu Leśniewskiego z jego bezkwantyfikatorowej ontologii w wersji Ishimoto. Zależności między rozważanymi teoriami wyrazimy przy użyciu interpretacji teoriomodelowej, w której przez ε∗ będziemy rozumieć sumę Arystotelesowskiej mocnej właściwej
subsumpcji i identyczności między przedmiotami (w znaczeniu Leśniewskiego). Dla
prezentowanego systemu podamy aksjomatykę odrzuceniową. Arystotelesowska logika nazw w wersji Łukasiewicza może być odtworzona na gruncie ontologii Leśniewskiego (jak ustalił to J. Słupecki). Kwestią otwartą jest natomiast związek między
predykacją słabszą niż proponował to Leśniewski, symbolizowaną w OL* przez ε∗
a predykacją Arystotelesowską. Rozważymy to zagadnienie, wprowadzając do teorii
OL* kwantyfikatory wiążące zmienne nazwowe i pokażemy, że przy pewnych założeniach, kwantyfikatorowa ontologia Leśniewskiego jest jej fragmentem.
Literatura:
(1) Ishimoto, A., (1977), A propositional fragment of Leśniewski’s Ontology, Studia
Logica, 36(4), 271-283.
(2) Słupecki, J., (1984), Leśniewski’s Calculus of Names, w: Leśniewski’s Systems:
Ontology and Mereology, J. T. J. Srzednicki, V. F. Rickey, J. Czelakowski (red.),
Nijhoff International Series, 13, 59-122.
15
Krynicki Quantifiers
Mostowski Marcin
Uniwersytet Warszawski, Uniwersytet Jagielloński
Michal Krynicki was firstly my teacher and then my friend and research collaborator. He wrote many papers with various logicians - I was one of them. He was
very modest, frequently diminishing his contributions to joint works. However all
the collaborators - particularly me - know very well how essential were his contributions. I feel it now, when he is not between us.
This is a story of one of Michal Krynicki ideas, which inspired others and still is not
finally closed. He considered quantifiers being - at first sight - unessential weakening
Henkin quantifiers. These quantifiers - called by him - function quantifiers, were
later known as Krynicki quantifiers.
We will present current state of knowledge about difference between semantical power of Henkin and Krynicki quantifiers.
References:
[1] L. Henkin, Some remarks on infinitely long formulae, inInfinitistic Methods,
Pergamon Press, New York, and Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1961, pp.
167–183.
[2] M. Krynicki, On some approximations of second order language, unpublished
manuscript, 1981.
[3] M. Krynicki, A. H. Lachlan, On the semantics of the Henkin quantifier, in The
Journal of Symbolic Logic 44 (1979), pp. 184–200.
[4] M. Krynicki, M. Mostowski, Decidability Problems in Languages with Henkin
Quantifiers, in Annals of Pure and Applied Logic 58 (1992), pp. 149–172.
Prawda jako objawienie bytu
Niemirowski Tomasz
Krakowska Akademia im. A. F. Modrzewskiego
Problem prawdy lub fałszu występuje wtedy, gdy rozpatrujemy relację jakiegoś
bytu (oryginału) z obrazem przedstawiającym (reprezentującym) ten byt. Jeśli poznając obraz możemy poznać oryginał, to ten obraz jest prawdziwy. Dlatego prawda
– według klasycznej definicji – to zgodność obrazu z rzeczywistością. Zgodność tę
ocenić można na podstawie dwóch kryteriów; według nich obraz jest prawdziwy,
gdy:
• jest spójny, niesprzeczny, ponieważ rzeczywistość jest niesprzeczna (kryterium
koherencyjne)
• działanie podjęte na podstawie tego obrazu przynosi oczekiwane skutki. Prawdziwość ocenia się na podstawie doświadczenia (kryterium pragmatyczne).
16
Jednak prawdziwość lub fałszywość dopiero wtórnie przysługuje obrazom, pojęciom,
zdaniom lub teoriom. Przede wszystkim sam byt (to, co istnieje) jest poznawalny,
sam siebie udostępnia czy ujawnia. Dlatego prawdę można ująć jako czynność, aktywność bytu. Zdania lub obrazy są prawdziwe tylko dlatego, że mają udział w
tej aktywności, a więc umożliwiają dostęp do rzeczywistości. Fałszywe są natomiast
wtedy, gdy objawiają (reprezentują) coś, czego nie ma. Stąd można wyprowadzić definicję prawdy w różnych sformułowaniach: prawda to objawianie bytu, udzielanie się
bytu, udostępnianie rzeczywistości, reprezentowanie rzeczywistości, przedstawianie
bytu, reprezentowanie bytu, ujawnianie bytu; udostępnianie tego, co istnieje (jest),
itp.
Natomiast fałsz można określić jako reprezentowanie tego, co nie istnieje; przedstawianie nicości, objawianie niebytu, itp. Przykładem fałszu jest kłamstwo, które
polega na udawaniu, że istnieje coś, czego w rzeczywistości nie ma.
Idea identyczności Leibniza i jej współczesne kontynuacje
Omyła Mieczysław
W bieżącym roku wypada 370. rocznica urodzin G. W Leibniza i 300. rocznica
jego śmierci.
W referacie swoim omawiam tylko jedną z wielu zasług Leibniza z zakresu logiki, a
mianowicie jego definicję relacji identyczności.
G. W. Leibniz bowiem pierwszy zdefiniował relację identyczności, zgodnie z którą,
relacja ta zachodzi tylko między dowolnym obiektem a nim samym. Ideę identyczności Leibniza wyraża jego słynne stwierdzenie:
Eadem sunt, quorum unum potest substituti alteri salva veritate.
Cytat ten pochodzi z VII tomu Philosophischen Schriften i jest we współczesnej literaturze logicznej często przytaczany, komentowany i twórczo rozwijany. Nawiązuja
do niego między innymi: G. Frege, A. Tarski, A. Mostowski, W. Quine, J. Łoś, R.
Suszko, a w ostatnich czasach W. J. Blok i D. Pigozzi. Myśl zawarta w tym cytacie
zwana jest zasadą identyczności nieodróżnialnych.
Zasada identyczności nieodróżnialnych między innymi skłoniła Fregego do uznania,
że zdania w sensie logicznym są nazwami swoich wartości logicznych: prawdy i fałszu,
a Suszkę naprowadziła na ogólne określenie spójnika identyczności, znajdującego się
u podstaw logiki niefregowskiej.
Problematyka wzajemnej nieodróżnialności formuł zdaniowych była również rozważana wcześniej, a mianowicie J. Łoś w rozprawie O matrycach logicznych (Wrocław
1949) wprowadził pojęcie wzajemnej zamienialności formuł względem ustalonego systemu zdaniowego. Pojęcie to, zostało ponownie odkryte i w pewnym sensie uogólnione przez W.J. Bloka i D. Pigozziego w pracy „Protoalgebraic Logics” (Studia
Logica 1986, nr.4, 337-369). Autorzy wprowadzają tam pojęcia: operatora Leibniza
i kongruencji Leibniza.
Referat mój będzie próbą omówienia zarysowanej tutaj problematyki.
17
Postulatyści Amerykańscy
Pogonowski Jerzy
Omawiamy prace niektórych matematykow amerykańskich, publikowane w trzech
pierwszych dekadach XX wieku w Transactions of the American Mathematical Society. Prace te łączy to, ze dotyczą one ustanawiania zestawów postulatów dla ważnych teorii matematycznych. Ich autorow zwykło nazywać się - za propozycją Johna
Corcorana - Postulatystami Amerykańskimi. Najbardziej znanymi przedstawicielami
tej grupy byli: Eliakim Hastings Moore, Oswald Veblen, Edward Vermilye Huntington oraz Leonard Eugene Dickson. Nawiązywali oni do prac wcześniejszych (Pasch,
Peano, Dedekind) oraz im współczesnych (Hilbert). W odczycie szczególną uwagę
poświecamy tym aspektom prac Huntingtona i Veblena, które wiążą się z problematyką jednoznacznego określenia modeli zamierzonych teorii matematycznych. To
właśnie w tych pracach po raz pierwszy pojawia się pojęcie kategoryczności. Omawiani autorzy wyrażają też ciekawe spostrzeżenia na temat pojęcia zupełności. Warto
pamiętać, ze pojęcia metalogiczne zaczynają być analizowane środkami matematycznymi dopiero w trzeciej dekadzie XX wieku, głównie w pracach Tarskiego (oraz m.in.:
Fraenkla, Carnapa, Bernaysa, Hilberta, Ackermanna, Lindenbauma).
W pracach Postulatystów Amerykańskich znajdujemy ciekawe zestawy pojęć pierwotnych (np. dla geometrii), skrupulatne dowody niezależności postulatów, ostrożnie formułowane przeczucia metodologiczne. Ponadto, także strona czysto matematyczna ich wyników jest interesująca.
Przygotowując odczyt, analizowaliśmy kilkadziesiąt prac Postulatystów Amerykańskich, które dostępne są online na stronach Transactions of the American Mathematical Society. Sądzimy, ze możemy uzupelnić znane ustalenia na ich temat (zob.
niżej) o kilka nowych szczegółów.
Awodey, S., Reck, E.H. 2002. Completeness and Categoricity. Part I: Nineteenthcentury Axiomatics to Twentieth-century Metalogic. History and Philosophy of Logic 23, 1-30.
Corcoran, J. 1981. From Categoricity to Completeness. History and Philosophy of
Logic 2, 113-119.
Scanlan, M. 1991. Who were the American Postulate Theorists? The Journal of
Symbolic Logic Volume 56, Number 3, 981-1002.
Scanlan, M. 2003. American Postulate Theorists and Alfred Tarski. History and
Philosophy of Logic 24, 307-325.
Tarski, A. 1940. On the Completeness and Categoricity of Deductive Systems. W:
Mancosu, P. 2010. The Adventure of Reason. Interplay between Philosophy of Mathematics and Mathematical Logic, 1900-1940. Oxford University Press, Oxford,
485-492.
18
B. Sobocińskiego ujęcie powszechników jako intensjonalnych
korelatów definicji przez postulaty
Porwolik Marek
Bolesław Sobociński uważał się za propagatora systemów Stanisława Leśniewskiego i sam uzyskiwał nowe wyniki w prototetyce, ontologii i mereologii. Jego formalne zainteresowania podążały za dokonaniami Leśniewskiego, jednak wydaje się,
ze sympatie filozoficzne były odmienne od super-nominalistycznych przekonań Mistrza. Tę opinię można uzasadnić na podstawie tekstu Uwagi w sprawie powszechników, który Sobociński napisał w związku z podjętą przez siebie próbą sformalizowania argumentacji Leśniewskiego z roku 1927 za nieistnieniem przedmiotów ogólnych.
Sobociński zawarł swój formalizm w liście do Józefa M. Bocheńskiego (1956r.). List
ten wraz z dołączonym do niego tekstem Uwagi... opublikował T. Waragai w roku
2004. Przedmiotem naszego zainteresowania będzie właśnie ów dołączony tekst. Sobociński próbuje okreslić w nim to, czym jest powszechnik w kontekście czynności poznawczych człowieka, których efektem jest wydzielanie klas dystrybutywnych
przedmiotów jednorodnych za pomoca definicji przez postulaty. Definicje zwykłe
(klasyczne) służą jedynie do wydzielania podklas elementow danych już klas i te
podklasy nie są już kojarzone z powszechnikami. Swe ujęcie sam określa jako zbliżone do konceptualizmu.
W analizowanym tekscie Sobociński rozpatruje nastepujące kwestie szczegółowe: inferencyjną równoważność definicji danej klasy dystrybutywnej z definicją pewnej
podklasy innej klasy dystrybutywnej, budowę i porównywanie systemów dedukcyjnych wyznaczonych przez określone definicje przez postulaty, sposób istnienia liczb
i innych obiektów matematycznych. Z uwagi na uwzględnianie czynnika pragmatycznego, koncepcja Sobocińskiego sytuuje się w ramach metodologicznego opisu
systemów aksjomatycznych, o którym pisał Ajdukiewicz. Celem referatu jest przedstawienie treści źródłowego tekstu Sobocińskiego i krytyczna analiza zawartego w
nim ujęcia powszechników, ukazująca jego oryginalność, ale także niekompletność.
Literatura:
Ajdukiewicz K. (1960), The Axiomatic Systems from the Methodological Point of
View, „Studia Logica” 9, 205-220.
Waragai T. (2004), Letters and Typescripts Send to Bochenski from Sobocinski: Historical Documents about Lesniewski’s Refutation of Universals, „Reports of the
Keio Institute of Cultural and Linguistic Studies” 36, 203-228.
Świętorzecka K., Porwolik M., O pewnym przesądzie dotyczącym uniwersaliów.
Uwagi do sformalizowanego przez Bolesława Sobocińskiego argumentu na rzecz tezy
o nieistnieniu powszechników podanego przez Stanisława Leśniewskiego, w: Myśli
o języku, nauce i wartościach. Seria druga. Profesorowi Jackowi Jadackiemu w 70.
rocznice urodzin red. A. Brożek, A. Chybinska, M. Grygianiec, M. Tkaczyk, Warszawa 2016 [w przygotowaniu].
19
Symmetric Completeness Proofs for Nelson’s Logics
Skura Tomasz
Uniwersytet Zielonogórski
As Gurevich pointed out in [1], Nelson’s logic is more symmetric than Intuitionistic Logic in that it is motivated by the fact that not only true propositions can
be directly ascertained but also false ones. (In an intuitionistic model „false” means „not true”.) We extend this symmetry to valid/non-valid formulas. In addition
to a proof system (generating provable formulas), we have an axiomatic refutation
system (generating refutable formulas). Our completeness proof consists in showing
that
` A (A is provable) or a A (A is refutable).
The proof is constructive in the sense that it provides a procedure for constructing
either a proof or a refutation for a given formula. Such a proof for Nelson’s logic is
a modification of the proof for Intuitionistic Logic given in [3].
Syntactic refutations are derivations and they can be presented as finite trees consisting of formulas. It turns out that every tree of this kind can be transformed into
a semantic countermodel. Thus a new constructive semantic completeness proof for
this logic is obtained.
Our method is also applicable to related logics, for example Nelson’s logic with a
possibility connective (introduced in [4] and studied in [2]), where the procedure can
be simplified.
References:
[1] Y. Gurevich, Intuitionistic Logic with Strong Negation, Studia Logica 36 (1977),
49-59.
[2] H. Omori, An Axiomatization of Wansing’s Expansion of Nelson’s Logic, Reports
on Mathematical Logic 50 (2015), 41-51.
[3] T. Skura, Refutation Systems in Propositional Logic, Handbook of Philosophical
Logic 16 (2011), 115-157.
[4] H. Wansing, Semantics-based Nonmonotonic Inference, Notre Dame Journal of
Formal Logic 36 (1995), 44-54.
20
Bernarda Bolzano argument na istnienie substancji.
Formalizacja z dwoma typami predykacji
Świętorzecka Kordula
Przedmiotem proponowanego referatu jest analiza argumentu na istnienie substancji sformułowanego przez B. Bolzano w Athanasia (1827), w którym wykorzystuje się dwie kategorie ontologiczne: substancja i adherencja. Bolzano bierze pod
uwagę realne i uwarunkowane totum (Inbegriff ) wszystkich adherencji - własności
których realność, także jest uwarunkowana. Otrzymana całość okazuje się zależna
od czegoś zewnętrznego, a więc nieadherencyjnego i stąd Bolzano uzyskuje wniosek
o istnieniu substancji. Proponowana formalizacja argumentu Bolzano okazuje jej
strukturalne podobienstwo do Bolzanowskiego argumentu na istnienie Boga z Lehrbuch der Religionswissenschaft (1834), ale każde z tych rozumowań wykorzystuje
inne znaczenie kluczowego teminu „Inbegriff”. Drugie odwołuje się do mereologicznej całości wszystkich realnie istniejacych i uwarunkowanych indywiduów. W naszej
analizie proponujemy eksplikację Bolzanowskiego Inbegriff wszystkich adherencji z
wykorzystaniem dwóch typów predykacji: egzemplifikacjami totum są pewnego rodzaju intensjonalne odpowiedniki niektórych własności. W naszym opisie użyjemy
fragmentu teorii obiektów abstrakcyjnych E. Zalty, w której istotną rolę odgrywają
dwie predykacje: exemplification i encoding. Rekonstrukcję umieścimy w szerszym
kontekscie ontologii Bolzano, podamy potrzebne aksjomaty z dwoma pierwotnymi
predykatami drugiego rzędu: ...jest adherencją, ... jest uwarunkowany oraz stałą nazwową pierwszego rzędu In dla Inbegriff alle Adhärenzen. Na koniec naszkicujemy
model otrzymanej teorii.
Literatura:
Bolzano, B. (1827). Athanasia(...), Sulzbach, J. E. v. Seidel.
Bolzano, B. (1834). Lehrbuch der Religionswissenschaft(...), Sulzbach: J. E.v. Seidel.
Świętorzecka, K. (2014). An argument for the existence of God by Bolzano. A formalization with a distinction between Menge and Inbegriff. BSL 43(3), 155-172.
Zalta, E. (1983), Abstract Object: An Introduction to Axiomatic Metaphysics, D.
Reidel, Dordrecht.
21
Pełność logiki relewantnej E i jej rozszerzeń
Świrydowicz Kazimierz, Typańska Lidia
1. Przedmiotem logik relewantnych jest formalizacja pojęcia wynikania. Najważniejsze z nich to logika E (logic of entailment), logika R (relevant logic) i logika
RM (R with Mingle). Najbardziej zbadana jest RM, najmniej - E. Zajmiemy się
tu logiką E ze spójnikami ∧, ∨, →, ¬.
2. Jedną z podstawowych własności logiki E, a także innych logik relewantnych jest
zachodzenie równoważności
È φ wtedy i tylko wtedy, gdy È (p1 → p1 ) ∧ ... ∧ (pn → pn ) → φ dla wszystkich
zmiennych pi występujących w φ.
Wynika z tego, że można przyjąć, iż każde twierdzenie logiki relewantnej może być
potraktowane jako implikacja.
3. Logikę E można związac z E-algebrami postaci A =< A, ∧, ∨, →, ¬ >. Główny
spojnik implikacji można zinterpretować jako relację częściowego porządku ¬ w A.
Twierdzenie o algebraicznej pełności logiki E
È φ → ψ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej E-algebry A i dowolnego h,
h(φ) ¬ h(ψ).
4. Z każdą E-algebrą można związac matrycę logiczną. Weźmy 5A = {x ∈ A :
(x1 → x1 ) ∧ ... ∧ (xj → xj ) ¬ x dla pewnych x1 , ..., xj ∈ A}. Matryca będzie algebrą
A ze zbiorem 5A wartości wyróżnionych, tj. para < A, 5A >.
Twierdzenie o matrycowej pełności logiki E
È φ → ψ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej E-matrycy < A, 5A > i dowolnego
h, h(φ → ψ) ∈ 5A .
5. Tak więc logika E jest pełna zarówno względem klasy E-algebr, jak i klasy Ematryc. W obu dowodach korzysta się z konstrukcji algebry Lindenbauma. W algebrze Lindenbauma LE dla logiki E zachodzi równoważność:
(*) x ¬ y ⇔ (x → y) ∈ 5LE .
6. Okazuje się, że dla nadlogik logiki E twierdzenia o algebraicznej pełności i pełności matrycowej nie muszą się pokrywać; są E-logiki oparte na tej samej algebrze,
których zbiory tautologii „algebraicznych” i „matrycowych” nie pokrywają się. Powodem jest to, że nie wszystkie E-algebry spełniają równoważność postaci (*).
22
Henryk Struve i matematyka
Trzcieniecka-Schneider Irena
Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołłątaja w Krakowie
Poglądy Henryka Struvego na matematykę nie mają jednolitego charakteru. Z
jednej strony stwierdzał, że wywody matematyczne „są w gruncie rzeczy tylko szczegółowemi przykładami” wywodów dedukcyjnych z niepodważalnych praw logiki:
„tożsamości i wyłączenia sprzeczności oraz prawa wystarczającej przyczyny”3 . Obawiał się, że matematyzacja opisu świata zadecyduje o uznaniu deterministycznego
charakteru rzeczywistości w tym także procesów myślowych, z czym absolutnie się
nie zgadzał. Odmawiał też matematyce wartości eksplanacyjnej. Z właściwym sobie
temperamentem polemicznym pisał: „Jak tu np. określić matematycznie różnicę między logicznem a nielogicznem myśleniem (prawdą a fałszem), między zadowoleniem
estetycznem a wstrętem (pięknem a szpetnem), albo między działaniem moralnem
a niemoralnem, niesumiennem (dobrem a złem)?”4 . Z drugiej strony fascynowały
go prace Gaussa, w których widział nowoczesną realizację pomysłów Kanta, a także
geometrie nieeuklidesowe. Co ciekawe, mimo niechęci do „matematyzacji” logiki wyrażanej m. in. w korespondencji z Kazimierzem Twardowskim, uważny czytelnik
może znaleźć w pracach logicznych Struvego inspiracje np. formalizmem Williama
Hamiltona uznawanego za prekursora algebraicznego nurtu we współczesnej logice.
Złożoność obliczeniowa fragmentów logiki Halperna
Shohama
Wałęga Przemysław
Wnioskowanie o czasie jest jednym z kluczowych zadań sztucznej inteligencji.
Znane z literatury metody reprezentacji i rozumowania temporalnego stosowane są
między innymi do planowania, analizy języka naturalnego oraz weryfikacji programów. Znacząca część prowadzonych obecnie badań nad wnioskowaniem o czasie
dotyczy metod, w których to interwały czasowe (w odróżnieniu od punktow czasowych) stanowią podstawowe obiekty ontologiczne. Metody te pozwalają między
innymi lepiej modelowac procesy ciągłe oraz interpretować konstrukcje wykorzystywane w języku naturalnym.
Szczególną rolę wsród interwałowych logik temporalnych odgrywa zdaniowa logika
wielomodalna Halperna-Shohama (HS ) [HS91]. Język HS zawiera 12 modalności reprezentujących nieidentycznościowe, parami rozłączne relacje czasowe, wyczerpujące
uniwersum relacji dwuargumentowych pomiędzy interwałami. Logika HS ma dużą
moc wyrażalności, ale problem spełnialności jej formuł jest nierozstrzygalny.
Obecnie prowadzone są badania mające na celu scharakteryzowanie rozstrzygalnych fragmentów HS oraz określenie ich złożoności obliczeniowej. W szczególności
rozważane są fragmenty HS, w których formuły dane są w postaci koniunkcyjnej,
3
4
Struve H., Wstęp krytyczny do filozofii, Warszawa 1901, s. 380.
Struve H„ op. cit., s.383.
23
a każdy z czynników koniunkcji jest alternatywą określonej postaci, np. klauzulą
Horna (co nawyżej jeden składnik alternatywy nie jest poprzedzony negacją), klauzulą Kroma (alternatywa posiada dokładnie dwa człony), itp. zob. [BMVS14]. Tego
rodzaju ograniczenia języka pozwalają uzyskać logiki rozstrzygalne, a nawet praktycznie obliczalne (tj. należące do klasy PTIME).
Podczas referatu przedstawię klasyfikacje fragmentów HS ze względu na ich złożoność obliczeniową, wskażę problemy otwarte oraz zaprezentuję wyniki własnych
badań.
Badania prowadzone są w ramach projektu „Logiki dla wnioskowań jakościowych”, nr DEC-2011/02/A/HS1/00395, program MAESTRO 1, finansowanego przez
Narodowe Centrum Nauki.
Literatura
[BMVS14] Davide Bresolin, Emilio Munoz-Velasco, Guido Sciavicco. Subpropositional fragments of the interval temporal logic of allen’s relations. European Workshop
on Logics in Artificial Intelligence, strony 122-136. Springer, 2014.
[HS91] Joseph Y Halpern, Yoav Shoham. A propositional modal logic of time intervals. Journal of the ACM (JACM), 38(4):935-962, 1991.
Historyczne Okresy Kontrfaktyczne
Wawer Jacek, Wroński Leszek
Klasę historycznych okresów kontrfaktycznych wyróżnia odwołanie do tzw. możliwości historycznej (tj. możliwosci uzależnionej od czasu i okoliczności). W literaturze przedmiotu istnieje tendencja (zobacz Lewis, 1986; Bennet, 2003; Placek and
Muller, 2007; Leitgeb,2012), by semantycznie utożsamiać dwa poniższe zdania:
(A) Gdybym rzucił monetą, to wypadłaby reszka.
(B) Gdybym rzucił monetą, to koniecznie wypadłaby reszka.
Uważamy, że tego typu utożsamienie jest pochopne, szczególnie jeśli weźmiemy
pod uwagę konteksty indeterministyczne.
By dać wyraz naszym intuicjom, proponujemy nową semantykę dla historycznych
okresów kontrfaktycznych zbudowaną w oparciu o model rozgałęziających się możliwości (tzw. Branching Time). Podążając za Stalnakerem (1968), uznajemy, że wartość semantyczna okresu kontrfaktycznego A > B użytego w świecie w i momencie
t zależy od wartości logicznej zdania B w „najbliższym” świecie w’, w którym A
jest prawdziwe w momencie t. Struktura rozgałęziających się możliwości pozwala na
bardzo naturalną eksplikację pojęcia „najbliższego” świata (co ważne, jeśli B jest
przygodne w < w0 , t >, to istnieje więcej niż jeden „najbliższy” świat).
W ramach naszej teorii zaproponujemy semantyczny mechanizm interakcji okresów kontrfaktycznych z modalnościami historycznymi („ jest możliwe”, „ jest przesądzone”), który pozwala zachować poprawność rozumowań Edelbergra postulowaną
24
przez Thomasona i Gupte (1980).
Następnie postaramy się wyjaśnić mechanizm językowy, który skłania do utożsamienia okresów warunkowych z „ukoniecznionymi” okresami warunkowymi. Uważamy, że mechanizm jest natury pragmatycznej, a nie semantycznej. Aby wyjaśnić
jego funkcjonowanie na poziomie formalnym, odwołujemy się do pojęcia „postsemantyki” wprowadzonego przez Johna MacFarlane’a (2003). Pokażemy, że „zwykłe
oraz „ukoniecznione” okresy warunkowe są prawdziwe w tych samych kontekstach i
jednocześnie wyjaśnimy dlaczego nie jest to wystarczający warunek dla ich semantycznej identyfikacji. Wedle naszej teorii, jeśli A > B jest „przygodnym” okresem
kontrfaktycznym, to zdanie A > B jest pozbawione wartości logicznej (w kontekście), podczas gdy zdania 2(A > B) i A > 2B sa fałszywe.
Literatura:
Bennet, J. (2003). A philosophical guide to conditionals. Clarendon Press.
Leitgeb, H. (2012). A probabilistic semantics for counterfactuals. part A. The Review of Symbolic Logic, 5:26-84.
Lewis, D. (1986). Philosophical Papers, volume II. Oxford University Press, Oxford.
MacFarlane, J. (2003). Future contingents and relative truth. The Philosophical Quarterly, 53(212):321-336.
Placek, T. and Muller, T. (2007). Counterfactuals and historical possibility. Synthese, 154: 173-197.
Stalnaker, R. (1968). A theory of conditionals. In Rescher, N., editor, Studies in
Logical Theory, pages 23-42. Blackwell.
Thomason, R. H. and Gupta, A. (1980). A theory of conditionals in the context of
branching time. The Philosophical Review, 89(1):65-90.
Strong multiple-conclusion entailment
Wiśniewski Andrzej
Sometimes the concept of consequence - and its semantic counterpart, entailment - is generalized to a relation between sets of well-formed formulas (wffs),
where non-singleton conclusion sets are allowed. On the semantic level, the concept
of multiple-conclusion entailment (mc-entailment for short) is introduced. The underlying idea is: the hypothetical truth of all the wffs in an mc-entailing set warrants
the existence of a true w in the mc-entailedset.
Mc-entailment can hold for trivial reasons: a set of wffs X mc-entails a set of wffs Y
because X entails at least one w in Y. But mc-entailment can also hold non-trivially:
it happens that a set of wffs, X, mc-entails a set of wffs, Y, although X does not
entail any w in Y.
One of the ways of thinking of mc-entailed sets is to construe them asitems effectively delimiting search spaces: a set of wffs Y mc-entailed by a set of wffs X is a
minimal set that comprises wffs among which a truth must lie if the wffs in X are all
true. Another way of thinking about an mc-entailed set is to construe it as characterizing the relevant cases to be considered, for if X mc-entails Y and each wff in Y
25
sc-entails a wff B, the wff B is sc-entailed by X as well. But the „standard” concept
of mc-entailment is too broad to reflect the above ideas, since if X mc-entails Y,
then X mc-entails any superset of Y, and Y is mc-entailed by any superset of X.
My aim is to define and analyse a subrelation of mc-entailment, dubbed strong mcentailment. The underlying idea is: a set of wffs X strongly mc-entails a set of wffs Y
iff the hypothetical truth of all the wffs in X warrants the existence of at least one
true w in Y, yet the warranty disappears as X decreases or Y decreases. The idea
will be explicated in formal terms. Moreover, I will examine connections between
strong mc-entailment and minimally inconsistent sets, sketch a proof-theoretic account of strong mc-entailment, and analyse a relation dubbed strong single-conclusion
entailment, defined as strong mc-entailment of a singleton set.
Pewne sformułowania sylogistyki z terminami negatywnymi
Wojciechowski Eugeniusz
Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołłątaja w Krakowie
1. Interesującym systemem sylogistyki z terminami negatywnymi jest system Wedberga. Oto jego aksjomaty specyficzne:
AA1 xannx
AA2 nnxax
AA3 xay → nyanx
AA4 xay ∧ yaz → xaz
AA5 xay →∼xany
Pozostałe klasyczne funktory sylogistyczne są wprowadzone definicyjnie:
xey ↔ xany xiy ↔∼xey xoy ↔∼xay
2. Bogusław Iwanuś znacząco uprościł powyższą aksjomatykę:
BA1 xannx (=AA1)
BA2 ∼xanx
BA3 nxany → yax
BA4 xay ∧ yaz → xaz (=AA4)
3. Albert Menne zaproponował nastepującą aksjomatykę dla sylogistyki z terminami negatywnymi:
CA1 xay ↔ nyanx
CA2 zay∧ xaz → xay
CA3 xay →∼xany
System ten posiada specyficzną regułę negacji :
RN α(x ) / α([nnx/x ])
pozwalającą na opuszczanie podwójnej negacji nazwowej w tezach systemu. Definicje pozostałych klasycznych funktorów sylogistycznych są tu takie same.
4. Badane są związki logiczne między tymi systemami. Proponowane jest tu uproszczenie aksjomatyki systemu Menne’go:
26
DA1 xay → nyanx (=AA3)
DA2 xay ∧ yaz → xaz (=BA4)
DA3 xay →∼ xany (=CA3)
Wzbogacając ten system o aksjomat (DA4) xax, otrzymujemy system WedbergaIwanusia.
Semantyka na kongresie w Paryżu w 1935 r.
Woleński Jan
Semantyczne idee Alfreda Tarskiego zaczęły być szerzej znane poza Polską w latach 1934-1935, głównie dzięki jego kontaktom z Kołem Wiedeńskim i Karlem Popperem. Gdy zbliżał się Kongres Filozofii Naukowej w Paryżu w 1935 r. Rudolf Carnap
zaproponował Tarskiemu wygłoszenie odczytu o semantyce. Carnap był przekonany,
że logiczni empiryści przyjmą z entuzjazmem poszerzenie repertuaru narzędzi filozoficznych o metody semantyczne. Chociaż sam Tarski był sceptyczny w kwestii
recepcji semantyki, zgodził się wystapić na kongresie. Wygłosił dwa odczyty, mianowicie „O ugruntowaniu naukowej semantyki” i „O pojęciu wynikania logicznego”.
Nadto Maria Kokoszyńska-Lutmanowa przedstawiła referat „Logiczna składnia, semantyka i logika wiedzy”. Także Carnap wygłosił odczyt „Prawda i uzasadnienie”.
Wystąpienia te wywołały szeroką dyskusję, której przebieg potwierdził przewidywania Tarskiego. Głównym krytykiem był Otto Neurath, ale także Hans Reichenbach
i Arne Naess nie byli przekonani o wartości semantyki dla filozofii. Neurath argumentował, że semantyka zagraża jedności nauki i wprowadza elementy metafizyczne.
Z drugiej strony, nie brakło i głosów pozytywnych. Russell wskazywał np. na podobieństwo hierarchii języków do teorii typów logicznych. Alfred Ayer, który sam
optował za redundancyjną definicją prawdy, po wielu latach (w 1977 r.) wspomniał,
że wystąpienia Tarskiego były głównym punktem paryskiego kongresu. Wprawdzie
dyskusje pomiędzy proponentami i oponentami semantyki trwały jeszcze kilka lat po
1935 r. a i dzisiaj są prowadzone, niemniej jednak, debata w Paryżu była punktem
zwrotnym w światowej recepcji semantycznej definicji prawdy i pokrewnych idei.
27
Okres warunkowy, wynikanie i prawdopodobieństwo
Wójtowicz Anna
Opis sporu na temat tego, jak należy rozumieć prawdopodobieństwo zdań warunkowych zwykle zaczyna się od cytatu z pracy (Ramsey 1931), s. 249: If two people
are arguing ’If p will q?’ and both are in doubt as to p, they are adding p hypothetically to their stock of knowledge and arguing on that basis about q... We can say
that they are fixing their degrees of belief in q given p.
Interpretuje się go jako wyraz przekonania autora, że dobrym sposobem rozumienia
zdań warunkowych „p ⇒ q” jest przełożenie ich za pomoca następującej równości
(zwykle określanej skrótem PC=CP) na dobrze zdefiniowane pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego:
P(p ⇒ q) = P(q | p),
gdzie P jest funkcją prawdopodobieństwa, a P(..) - znakiem prawdopodobieństwa
warunkowego.
Praca Lewisa (Lewis 1976) i późniejsze prace (np. (Lewis 1986), (Hajek 1994)) pokazują, że nie można jednocześnie uznawać równości „PC=CP” i zachować innych,
powszechnie akceptowanych własności funkcji prawdopodobieństwa czy relacji wynikania. Uzyskany wynik wydaje się jednoznaczny: spójnik ⇒, spełniający powyższe
równanie, w języku logiki klasycznej nie istnieje. Nie skończyło to jednak sporu o
to, czym jest prawdopodobieństwo okresu warunkowego. Intuicje przemawiające za
poglądem Ramseya wydają się na tyle silne (a podawane przykłady - sugestywne),
że współczesne prace poświecone tej tematyce analizują różne warunki, które pozwoliłyby jednak równość „PC=CP” zachować. Warunki te są związane z:
• zmiana logiki, której problem dotyczy (por. np. (Dubois, Prade 1994);
• ograniczeniami nakładanymi na formuły mogące stanowić argumenty spójnika
⇒ (por. np. Adams 1975),
• wrażliwa na kontekst interpretacja spójnika ⇒ (por. (Kaufman 2004), (Hermens 2014).
Ten ostatni pomysł wydaje się najciekawszy, bo pozwala zdać najlepiej sprawę z intuicji dotyczących okresu warunkowego w języku naturalnym. W referacie zostanie
krytycznie omówiona najbardziej aktualna teoria opisująca takie podejście - przedstawiona w pracy (Khoo 2016).
Literatura:
Adams, E. 1975, The Logic of Conditionals, vol.86, Synthese Library, D. Reidel,
Boston.
Dubois D., Prade H., Conditional objects as nonmonotonic consecuence relationships, IEEE Transactios on Systems, Man and Cybernetics, 24, 1994, 1724-1740.
Hermens, R. (2014) Placing probabilities of conditionals in context, The Review of
Symbolic Logic, vol. 7, 3, 415-438.
Kaufmann S., (2004). Conditioning against the grain: Abduction and indicative conditionals, Journal of Philosophical Logic, 33, 583-606.
28
Khoo, J. (2016) Probabilities of conditionals in context, Linguistics and Philosophy,
vol. 39, 1.
Lewis D., (1976). Probabilities of conditionals and conditional probabilities, The Philosophical Review, 85, 297-315.
Lewis D., (1986). Probabilities of conditionals and conditional probabilities ii, The
Philosophical Review, 95, 581-589.
Jakie znaczenie dla filozofii matematyki mają wyniki
techniczne?
Wójtowicz Krzysztof
Jest oczywistą i powszechnie akceptowaną tezą, iż dla pewnego typu rozważań
filozoficznych istotne znaczenie mają wyniki techniczne. Logika jest podstawowym
narzędziem analiz w badaniach dotyczących filozofii języka, filozofii umysłu, filozofii
nauki – w szczególności (co jest oczywiste) w filozofii matematyki.
Niektóre wyniki techniczne (z zakresu logiki formalnej, szeroko rozumianej metamatematyki czy samej matematyki) mają głębokie znaczenie filozoficzne. Oczywistymi
przykładami są np.: twierdzenia Goedla; wyniki dotyczące niezależności od teorii
mnogości szeregu różnych zdań (takich jak np. hipoteza kontinuum, aksjomaty istnienia dużych liczb kardynalnych, aksjomatu konstruowalności); zagadnienia związane z pewnikiem wyboru; wyniki dotyczące nierozstrzygalności etc. Obok wyników
z zakresu szeroko rozumianych podstaw matematyki istnieją także wyniki w ramach
matematyki „mainstramowej”, do których odwołują się dyskutanci w analizach filozoficznych (prawdopodobnie najbardziej znane szerokiej publiczności są wyniki z
zakresu teorii chaosu, przedstawione w formie opowieści o motylu wywołującym stosowny kataklizm). Pojawia się naturalne pytanie, dotyczące zakresu pojęcia „wynik
techniczny mający znaczenie filozoficzne”. Niekiedy bowiem można odnieść wrażenie, że interpretacja filozoficzna wyników technicznych nie jest naturalna, można ją
uznać - mówiąc kolokwialnie - za dorabianie ideologii do faktów.
Celem wystąpienia jest przeanalizowanie - na wybranych przykładach - tytułowego
zagadnienia (ze szczególnym uwzględnieniem zagadnień z filozofii matematyki).
Rejection in Traditional and Modern Logics
Wybraniec-Skardowska Urszula
The paper comprises the genesis, development and generalization of the notion
of the rejection of propositions, whose idea was originated by Aristotle.
also outlines some important results of methodological research on that notion and
the problem of decidability (saturation), in Lukasiewicz’s and Slupecki’s sense, of
deductive systems formalized twofold: both as systems of acceptance and as systems
of rejection (refutation systems).
29

LXII Konferencja Historii Logiki

Transkrypt

Podobne dokumenty

Unifikacja w logikach pośrednich z dodatkowymi nowymi spójnikami

an information about the authors