analiza portfelowa

Wykªad z Analizy portfelowej
Tomasz Rodak
2 czerwca 2014
Cz¦±¢ I
Stopa zwrotu jako zmienna losowa
Cp , któr¡ chcemy zainwestowa¢ (np. wpªaci¢ na konto, kupi¢ akcje
t0 i po pewnym czasie, na przykªad w chwili t1 ,
Zyskiem z naszej inwestycji w przedziale czasu ht0 , t1 i nazwiemy wielko±¢
Zaªó»my, »e mamy pewn¡ kwot¦
lub obligacje itp.). Dokonujemy inwestycji w chwili
podejmujemy kwot¦
Ck .
Z := Ck − Cp .
Natomiast stop¡ zwrotu z inwestycji w tym okresie b¦dzie stosunek zysku do kwoty pocz¡tkowej,
tzn.
R :=
Zaªó»my na pocz¡tek, »e wielko±¢
liczb¡ z przedziaªu
równa
0,
h−1, +∞),
Ck
Z
Ck − Cp
=
.
Cp
Cp
(0.1)
nie mo»e by¢ ujemna. Wida¢, »e wówczas stopa zwrotu jest
przy czym
R = −1
dokªadnie wtedy, gdy kwota ko«cowa
Ck
jest
czyli gdy stracimy wszystkie pieni¡dze.
Przykªad 1. Kupujemy za
100
zª roczn¡ obligacj¦. Po roku wypªata wynosi
110
zª. Wyznaczymy
stop¦ zwrotu.
Mamy
Cp = 100, Ck = 110,
a zatem
R=
110 − 100
= 0, 1.
100
Ze wzoru (0.1) widzimy, »e je±li znamy kwot¦ pocz¡tkow¡
Cp i stop¦ zwrotu R, to kwota ko«cowa
b¦dzie dana wzorem
Ck = Cp (1 + R).
Przykªad 2. Wpªacamy
(0.2)
100 zª na trzyletni¡ lokat¦ kapitalizowan¡ rocznie i oprocentowan¡ na 7%.
Wyznaczymy kwot¦ na koniec inwestycji.
Mamy
Niech
Ct
Cp = 100, R = 0, 07.
Czas trwania inwestycji mo»emy uto»sami¢ z przedziaªem
oznacza kwot¦ na koncie w chwili
t ∈ h0, 3i.
Zatem
C0 = Cp = 100, C3
szukan¡. Ze wzoru (0.2) mamy kolejno
C1 = C0 (1 + R) = 100 · 1, 07 = 107,
C2 = C1 (1 + R) = 107 · 1, 07 = 114, 49,
C3 = C2 (1 + R) = 114, 49 · 1, 07 = 122, 5043.
1
h0, 3i.
jest wielko±ci¡
Zatem, zaokr¡glaj¡c, po zako«czeniu inwestycji b¦dziemy mieli do podj¦cia kwot¦
Ogólnie, je±li mamy
n
okresów kapitalizacji, kwot¦ pocz¡tkow¡
oznacza zainwestowan¡ kwot¦ w chwili
t ∈ h0, ni,
Cp ,
122, 5
stop¦ zwrotu
R
zª.
i je±li
Ct
to
Cn = C0 (1 + R)n .
Przykªad 3. Tabelka 1 zawiera cotygodniowe kursy hipotetycznej spóªki
A
z okresu dwóch mie-
si¦cy. Korzystaj¡c ze wzoru (0.1) mo»emy wyznaczy¢ stopy zwrotu w kolejnych tygodniach (taCzas
1
2
3
4
5
6
7
8
A
21,60
22,12
20,10
22,40
24,90
25,65
25,10
26,75
Tablica 1: Tygodniowe notowania spóªki
A
belka 2). Przykªadowo aby obliczy¢ stop¦ zwrotu w pierwszym tygodniu przyjmujemy
Czas
1
2
3
4
5
6
7
8
A
2,41%
-9,13%
11,44%
11,16%
3,01%
-2,14%
6,57%
Tablica 2: Tygodniowe stopy zwrotu spóªki
Ck = 22, 12
Cp = 21, 60,
co daje
r1 = (22, 12 − 21, 60)/21, 60 ' 0, 02407 ' 2, 41%
A
itd. Dla uproszczenia sytuacji
w przykªadzie tym nie uwzgl¦dnili±my dywidend.
Zaªó»my teraz, »e inwestujemy kwot¦
wszystkie akcje inkasuj¡c kwot¦
czyli »e kwota
Ck
Ck .
Cp
w akcje spóªki
A.
Po pewnym czasie sprzedajemy
Liczymy oczywi±cie na to, »e inwestycja b¦dzie opªacalna,
b¦dzie istotnie wi¦ksza ni» kwota
Cp .
Czy tak si¦ stanie pewno±ci nie ma, gdy»
notowania spóªek na gieªdzie zachowuj¡ si¦ w sposób mniej lub bardziej losowy. Wa»n¡ kwesti¡ jest
zatem mo»liwo±¢ oceny inwestycji. Uznajmy wi¦c wielko±¢
zwrotu
R
wzorem (0.1). Wówczas
R
Ck
za zmienn¡ losow¡ i okre±lmy stop¦
jest równie» zmienn¡ losow¡. Mo»emy teraz uzna¢, »e nasza
inwestycja jest opªacalna, gdy warto±¢ oczekiwana
E(R)
jest dodatnia, lub jeszcze lepiej, gdy jest
wi¦ksza od jakiej± ustalonej wcze±niej wielko±ci dodatniej. Powinni±my równie» rozwa»y¢ kwesti¦
ryzyka. Zauwa»my, »e du»a oczekiwana stopa zwrotu nie zabezpiecza nas przed du»¡ strat¡.
Przykªad 4. Rozwa»my dwie gry: rzucamy monet¡, je±li wypadnie orzeª, to w pierwszej grze
inkasujemy
a w drugiej
1 zª, a w drugiej 1000 zª. Je±li wypadnie reszka, to w pierwszej grze przegrywamy 1 zª,
1000 zª. Wydaje si¦, »e wielu byªoby skªonnych zagra¢ w gr¦ pierwsz¡, maªo kto jednak
chciaªby zagra¢ w gr¦ drug¡. Ewentualna wygrana w grze pierwszej jest niewielka, ale niewielkie
jest te» ryzyko. Przeciwnie w grze drugiej, ewentualna wygrana jest du»a, ale ryzyko te» jest du»e.
Narz¦dziem, którego u»yjemy do zmierzenia ryzyka jest odchylenie standardowe. Przypomnijmy,
»e je±li
X
jest zmienn¡ losow¡, to wariancj¦ i odchylenie standardowe
X
okre±lamy odpowiednio
wzorami:
Var(X) :=E (X − E(X))2 ,
p
σ(X) := Var(X).
Wykonajmy obliczenia dla przykªadu 4. Niech
wygran¡ w
j -tej
grze. Zmienne
Xj
Xj , j = 1, 2,
maj¡ nast¦puj¡ce rozkªady:
2
b¦dzie zmienn¡ losow¡ oznaczaj¡c¡
X1
P (X1 = k)
−1
1
1
2
1
2
X2
P (X2 = k)
Tablica 3: Rozkªady zmiennych
−1000
1000
1
2
1
2
X1 , X2
A zatem
1
1
+ 1 · = 0,
2
2
1
1
E(X2 ) = −1000 · + 1000 · = 0,
2
2
r
2 1
2 1
σ(X1 ) =
− 1 − 0 · + 1 − 0 · = 1,
2
2
r
2 1
2 1
− 1000 − 0 · + 1000 − 0 · = 1000.
σ(X2 ) =
2
2
E(X1 ) = −1 ·
Widzimy wi¦c, »e w tym przypadku warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe poprawnie odzwierciedlaj¡ nasz¡ intuicj¦.
Wró¢my teraz do przykªadu 3. Zgodnie z tym co zostaªo wcze±niej powiedziane, aby oszacowa¢
A powinni±my wyznaczy¢ E(R) i σ(R), gdzie R
A z pewnego okresu. Niestety, w tym przypadku, inaczej ni» w przykªadzie
opªacalno±¢ i ryzyko jakie niesie inwestycja w spóªk¦
jest stop¡ zwrotu spóªki
4, zmienna losowa
R i jej rozkªad nie s¡ nam znane. Jedyne co mamy do dyspozycji, to tabelka 2. Nie
R wyznaczy¢ dokªadnie,
mo»emy zatem warto±ci oczekiwanej i odchylenia standardowego zmiennej
wielko±ci te mo»emy jedynie estymowa¢. Przyjmijmy tutaj nast¦puj¡ce zaªo»enia:
1. Konkretne stopy zwrotu
r1 , . . . , r7
w tabelce 2 s¡ realizacjami stóp zwrotu
R1 , . . . , R7
trakto-
wanych jako zmienne losowe.
2. Zmienne losowe
R1 , . . . , R 7
maj¡ jednakowe rozkªady.
3. Zmienne losowe
R1 , . . . , R 7
s¡ parami niezale»ne.
µ i σ 2 b¦d¡ odpowiednio warto±ci¡ oczekiwan¡ i wariancj¡ wspólnego
R1 , . . . , R7 . Wówczas dobre przybli»enia dla µ i σ uzyskujemy jak ni»ej
Niech
r1 + · · · + r7
µ ≈ r :=
= 3, 33%,
7
r
1
σ≈
(r1 − r)2 + · · · + (r7 − r)2 = 7, 35%.
6
Uzasadnieniem dla podanych wy»ej wzorów jest nast¦puj¡ce. Niech
(X1 , . . . , Xn ) b¦dzie wekto(X1 , . . . , Xn ) nazywamy
rem niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie. Wektor
n-elementow¡
prób¡ losow¡ prost¡ danego rozkªadu. Poªó»my
X1 + · · · + Xn
,
n
n
1 X
Vb :=
Xj − X)2 .
n − 1 j=1
X :=
3
rozkªadu zmiennych
µ i σ 2 b¦d¡ odpowiednio
X1 , . . . , Xn . Wtedy
Twierdzenie 5. Niech
kªadu zmiennych
Dowód. Pozostawiamy jako ¢wiczenie.
warto±ci¡ oczekiwan¡ i wariancj¡ wspólnego roz-
E(X) = µ,
E(Vb ) = σ 2 .
(x1 , . . . , xn ) jest realizacj¡ wektora losowego (X1 , . . . , Xn )
xj = Xj (ω) dla pewnego zdarzenia elementarnego ω ∈ Ω), to jako przybli»enie µ i σ 2 sensownie
Z powy»szego twierdzenia wynika, »e je±li
(tzn.
jest przyj¡¢
x1 + · · · + xn
,
n
n
1 X
σ2 ≈
xj − x̄)2 .
n − 1 j=1
µ ≈ x̄ :=
Ze wzgl¦du na tez¦ twierdzenia 5 zmienne losowe
odpowiednio warto±ci oczekiwanej i wariancji.
Zdeniujmy jeszcze
Jasnym jest, »e dla du»ych
n
X i Vb
σ2 )
v
u X
u1 n
σ̂ := t
Xj − X)2 .
n j=1
(tradycyjnie dla
stosuje si¦ wzór
(0.4)
nazywa si¦ estymatorami nieobci¡»onymi
n > 30)
ró»nica pomi¦dzy realizacjami
zaniedbywalna. Cz¦sto wi¦c w praktyce jako estymacj¦ odchylenia standardowego
i wariancji
(0.3)
σ
Vb
i
σ̂ 2
jest
(a tym samym
v
u X
u1 n
σ≈t
xj − x̄)2 .
n j=1
Na koniec tego paragrafu rozwa»ymy dwa przykªady, w których stopa zwrotu z inwestycji b¦dzie
miaªa jawny rozkªad.
Przykªad 6. W podr¦czniku Luenberger [2003] znajduje si¦ nast¦puj¡ce zadanie.
Ubezpieczenie od deszczu. Przyjaciel Gavina Jonesa chce zainwestowa¢ 1 mln dol. w organizacj¦
koncertu rockowego, który ma si¦ odby¢ za rok. Przyjaciel wyliczyª, »e z zainwestowanego miliona
uzyska 3 mln dol., o ile nie b¦dzie wtedy padaªo. Je±li pogoda nie dopisze i b¦dzie padaª deszcz, straci
caªy zainwestowany kapitaª. Prawdopodobie«stwo, »e w dzie« koncertu b¦dzie padaª deszcz, wynosi
50%. Gavin zasugerowaª wykupienie ubezpieczenia od deszczu. Za 0,5 dol. mo»na naby¢ polis¦
ubezpieczeniow¡, która przynosi 1 dol. w sytuacji, kiedy w dniu koncertu b¦dzie padaª deszcz, i nie
daje nic, je±li deszczu nie b¦dzie. Przyjaciel mo»e kupi¢ dowoln¡ ilo±¢ takich polis, nie wi¦cej jednak
ni» za kwot¦ 3 mln dol.
1. Jaka jest oczekiwana stopa zwrotu z caªej inwestycji, je»eli przyjaciel wykupi
u
polis?
2. Jaka liczba polis zminimalizuje wariancj¦ stopy zwrotu? Ile wynosi ta minimalna wariancja?
Ile wyniesie wtedy oczekiwana stopa zwrotu?
4
Z warunków zadania widzimy, »e
0 6 u 6 6 · 106 ,
u∈Z
u
Cp = 106 + .
2
Niech
ωp :
zdarzenie polegaj¡ce na tym, »e padaªo,
ωnp :
zdarzenie polegaj¡ce na tym, »e nie padaªo.
Wówczas kwota ko«cowa
Ck
R
oraz stopa zwrotu
okre±lona wzorem (0.1) s¡ zmiennymi losowymi
postaci
Ck
ωp
u
ωnp
3 · 106
R
u/2−106
106 +u/2
2·106 −u/2
106 +u/2
zdarzenie
Tablica 4: Zmienne losowe
Zatem
E(R) =
oraz
σ 2 (R) =
Ck
i
R
1
6
1 u/2 − 106
1 2 · 106 − u/2
2 · 10
· 6
+ ·
=
2 10 + u/2 2
106 + u/2
106 + u2
2 1
2 3 · 106 − u 2
1
R(ωp ) − E(R) + R(ωnp ) − E(R) = 2 6 u 2 .
2
2
10 + 2
u = 3 · 106 dostajemy σ 2 (R) = 0, co oczywi±cie daje minimaln¡ wariancj¦. Przy tak
dobranym u inwestycja jest w ogóle pozbawiona ryzyka. Stopa zwrotu jest wówczas równa 20% a
zysk b¦dzie wynosiª 0, 5 mln dol.
Zauwa»my, »e parametr u daj¡cy minimaln¡ wariancj¦ mogli±my otrzyma¢ nie licz¡c wariancji,
St¡d dla
ale za to dokªadniej analizuj¡c tabelk¦ 4. Istotnie, zmienna losowa staªa ma zawsze wariancj¦ równ¡
0,
a wida¢, »e
R
jest staªa dokªadnie wtedy, gdy
u = 3 · 106 .
Przykªad 7 (5 stanów gieªdy). Zaªó»my, »e eksperci oszacowali, »e w zale»no±ci od stanu gospodarki
stopy zwrotu dwóch danych spóªek
A1 i A2
wygl¡daj¡ nast¦puj¡co:
stan
prawdopodobie«stwo wyst¡pienia
R1
R2
hossa
0,2
40%
30%
wzrost
0,3
20%
20%
stabilizacja
0,1
10%
10%
spadek
0,3
-10%
-20%
bessa
0,1
-30%
-20%
Tablica 5: 5 stanów gieªdy
5
Rozkªady zmiennych losowych
R1 i R2
mamy dane, mo»emy wi¦c obliczy¢ warto±ci oczekiwane
i odchylenia standardowe:
E(R1 ) = 0, 2 · 40% + · · · + 0, 1 · (−30%) = 9%,
p
σ(R1 ) = 0, 2 · (40% − 9%)2 + · · · + 0, 1 · (−30% − 9%)2 = 22, 11%,
Spóªka
A
E(R2 ) = 0, 2 · 30% + · · · + 0, 1 · (−20%) = 5%,
p
σ(R2 ) = 0, 2 · (30% − 5%)2 + · · · + 0, 1 · (−20% − 5%)2 = 21, 10%.
daje zatem wi¦ksz¡ stop¦ zwrotu przy nieco wi¦kszym ryzyku, tak jak to wªa±nie zwykle
bywa.
Cz¦±¢ II
Portfel dwuskªadnikowy
Przykªad 8. Rozwa»my dwie spóªki
A1
i
A2 ,
w które chcemy zainwestowa¢ kwot¦
Cp .
Zaªó»my,
»e historyczne stopy zwrotu tych spóªek prezentuj¡ si¦ jak w tabelce:
R1
R2
16,00%
15,00%
-5,00%
4,00%
-12,00%
-7,00%
10,00%
-12,00%
-1,00%
8,00%
10,00%
15,00%
18,00%
22,00%
Tablica 6: Historyczne stopy zwrotu dwóch spóªek
Tak jak w przykªadzie 3 stosuj¡c wzory (0.3) oraz (0.4), obliczamy (a dokªadniej estymujemy)
warto±¢ oczekiwan¡ i odchylenie standardowe spóªek
r̄1 = 3%,
σ1 = 11, 20%,
r̄2 = 8, 57%,
Widzimy od razu, »e spóªka
A1
A1 i A2
(0.5)
σ2 = 11, 75%.
dawaªa znacz¡co ni»sz¡ stop¦ zwrotu ni» spóªka
(0.6)
A2
przy niemal tym
samym ryzyku. Je»eli przyjmiemy, »e wyliczone wy»ej wska¹niki b¦d¡ obowi¡zywaªy w przyszªo±ci,
to wydaje si¦, »e inwestowanie w spóªk¦
A1 nie mo»e przynie±¢ nam »adnych korzy±ci. Rzeczywisto±¢
A2 , nie zainwestujemy w ni¡
okazuje si¦ by¢ jednak inna. Nie decydujemy si¦ na rezygnacj¦ ze spóªki
jednak caªego kapitaªu, a tylko pewn¡ jego cz¦±¢. Innymi sªowy dokonamy dywersykacji naszego
portfela, tak »e jego stopa zwrotu b¦dzie le»e¢ gdzie± pomi¦dzy stopami zwrotu spóªek
natomiast ryzyko wyra¹nie poni»ej ryzyka spóªki
1
A1
i
A2 ,
A1 .
Kowariancja, wspóªczynnik korelacji
Zanim rozwi¡»emy problem postawiony w powy»szym przykªadzie, przypomnimy najpierw poj¦cia
kowariancji i korelacji zmiennych losowych.
Je±li
X, Y
s¡ zmiennymi losowymi o warto±ciach oczekiwanych odpowiednio
kowariancj¦ okre±lamy wzorem
cov(X, Y ) = E ((X − µX )(Y − µY )) ,
6
µX
i
µY ,
to ich
o ile warto±¢ oczekiwana po prawej stronie istnieje. O zmiennych losowych
X
i
s¡ dodatnio skorelowane, nieskorelowane, ujemnie skorelowane, gdy odpowiednio
Y , mówimy, »e
cov(X, Y ) > 0,
cov(X, Y ) = 0, cov(X, Y ) < 0. Intuicja stoj¡ca za poj¦ciem kowariancji jest nast¦puj¡ca: fakt, »e
X , Y s¡ dodatnio skorelowane oznacza, »e je±li realizacja zmiennej X jest wi¦ksza ni» µX ,
to spodziewamy si¦, »e realizacja zmiennej Y b¦dzie wi¦ksza ni» µY .
zmienne
Wspóªczynnik korelacji zmiennych losowych wprowadza si¦ jako standaryzacj¦ kowariancji. Dokªadniej je±li kowariancja zmiennych losowych
X, Y
istnieje a ich wariancje s¡ niezerowe, to ich
wspóªczynnik korelacji okre±lamy wzorem
ρ(X, Y ) := p
cov(X, Y )
Var(X)Var(Y )
.
Aby wyznaczy¢ zbiór warto±ci wspóªczynnika korelacji wykorzystamy nierówno±¢ Schwartza:
X , Y s¡ zmiennymi
p
E(XY ) 6 E(X 2 )E(Y 2 ).
Twierdzenie 9 (Nierówo±¢ Schwartza). Je±li
±ciach oczekiwanych, to
losowymi o sko«czonych warto-
Co wi¦cej, równo±¢ w powy»szej nierówno±ci zachodzi dokªadnie wtedy, gdy istniej¡ staªe
równe jednocze±nie
0,
takie »e
a, b,
nie
P (aX + bY = 0) = 1.
Dostajemy st¡d
Wniosek 10. Je±li
X, Y
s¡ zmiennymi losowymi i ich korelacja istnieje, to
−1 6 ρ(X, Y ) 6 1.
ρ(X, Y ) = ±1, dokªadnie
P (Y = aX + b) = 1.
Ponadto
oraz
wtedy, gdy istniej¡ staªe
B¦dziemy mówili, »e zmienne losowe
ujemnie ), gdy
ρ(X, Y ) = 1
(odpowiednio
a, b,
X , Y s¡ doskonale
ρ(X, Y ) = −1).
takie »e
a 6= 0, sgna = ρ(X, Y )
skorelowane dodatnio (odpowiednio
Przykªad 11. Obliczymy kowariancj¦ i wspóªczynnik korelacji dla spóªek z przykªadu 7 (5 stanów
gieªdy). Mamy
cov(R1 , R2 ) = 0, 2(0, 4 − 0, 09)(0, 3 − 0, 05) + · · · + 0, 1(−0, 3 − 0, 09)(−0, 2 − 0, 05)
= 0, 0445,
0, 0445
ρ(R1 , R2 ) =
= 0, 9539.
0, 2211 · 0, 211
Podobnie jak dla warto±ci oczekiwanej i wariancji, je±li zamiast rozkªadów prawdopodobie«stwa
mamy dane jedynie wektory prób losowych, to kowariancji nie mo»emy wyznaczy¢ dokªadnie, mo»emy j¡ jedynie estymowa¢. I tak, je»eli
(X1 , . . . , Xn ) oraz (Y1 , . . . , Yn ) s¡ n-elementowymi próbami
losowymi prostymi pewnych dwóch nieznanych rozkªadów prawdopodobie«stwa, to kªadziemy
n
cd
ov :=
1 X
(Xj − X̄)(Yj − Ȳ ).
n − 1 j=1
7
Twierdzenie 12. Je±li
σXY
jest kowariancj¡ omawianych wy»ej rozkªadów, to
E(d
cov) = σXY .
Dowód. Pozostawiamy jako ¢wiczenie.
A zatem, je»eli (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) b¦d¡ realizacjami wektorów losowych
(X1 , . . . , Xn ), (Y1 , . . . , Yn ), to kowariancj¦ σXY b¦dziemy przybli»ali wzorem
odpowiednio
n
σXY ≈
1 X
(xj − x̄)(yj − ȳ).
n − 1 j=1
Przykªad 13. Wyestymujemy kowariancj¦ a nast¦pnie korelacj¦ zmiennych
8. Wielko±ci
r̄1 , r̄2
R1
i
R2
z przykªadu
dane s¡ wzorami (0.5), (0.6). Zatem
1
(0, 16 − 0, 03)(−0, 12 − 0, 0857) + · · ·
6
1
+ (0, 10 − 0, 03)(0, 22 − 0, 0857) = −0, 0078833333.
6
σ12 =
St¡d
ρ12 =
2
σ12
= −59, 95%.
σ1 σ2
Opis portfela o dwóch aktywach, odwzorowanie Markowitza
Po tym przypomnieniu mo»emy przej±¢ do naszego problemu dywersykacji. Zakªadamy, »e dane
s¡ dwie spóªki
przez
Cp .
A1
i
A2
o stopach zwrotu
R1
i
R2 .
Kapitaª przeznaczony na inwestycj¦ oznaczamy
Kªadziemy ponadto
µ1 := E(R1 ),
σ1 := σ(R1 ),
µ2 := E(R2 ),
σ2 := σ(R2 ),
σ12 := cov(R1 , R2 ),
σ12
.
ρ12 := ρ(R1 , R2 ) =
σ1 σ2
Niech
x1
Wówczas
Wektor
x2 b¦d¡ cz¦±ciami naszego kapitaªu Cp inwestowanymi odpowiednio w spóªk¦ A1 i A2 .
x1 , x2 ∈ h0, 1i, x1 + x2 = 1, w spóªk¦ A1 inwestujemy x1 Cp a w spóªk¦ A2 kwot¦ x2 Cp .
x1
x :=
∈ R2
x2
i
b¦dziemy nazywali portfelem akcji.
wynosi stopa zwrotu
W rozwa»anym przypadku portfel jest dwuskªadnikowy. Ile
R(x) z portfela x? Niech Ck
oznacza kapitaª po zako«czeniu inwestycji. Zgodnie
ze wzorem (0.2) mamy
Ck = x1 Cp (1 + R1 ) + x2 Cp (1 + R2 ).
8
Zatem
R(x)
Ck − Cp
Cp
x1 Cp (1 + R1 ) + x2 Cp (1 + R2 ) − (x1 Cp + x2 Cp )
=
Cp
= x1 R1 + x2 R2 .
=
Skoro znamy stop¦ zwrotu z portfela, to mo»emy równie» wyznaczy¢ jego warto±¢ oczekiwan¡
i odchylenie standardowe
σ(x).
E(x)
Z faktu, »e warto±¢ oczekiwana jest liniowa dostajemy
E(x) := E(R(x)) = E(x1 R1 + x2 R2 )
= x1 E(R1 ) + x2 E(R2 ) = x1 µ1 + x2 µ2 .
Nieco bardziej zªo»one jest obliczenie wariancji
2
:= σ 2 (R(x)) = E (R(x) − E(R(x)))
2
= E (x1 R1 + x2 R2 − x1 µ1 − x2 µ2 )
2
= E (x1 (R1 − µ1 ) + x2 (R2 − µ2 ))
= x21 E (R1 − µ1 )2 + 2x1 x2 E ((R1 − µ1 )(R2 − µ2 )) + x22 E (R2 − µ2 )2
σ 2 (x)
=
x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 .
Podsumowuj¡c
σ 2 (x) = x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22 .
(2.1)
x jest form¡ kwadratow¡ (zaw¦»on¡ do ∆1 ), przy czym jej
x21 i x22 , to odpowiednio wariancja R1 i wariancja R2 , a wspóªczynnik przy x1 x2 ,
kowariancja R1 , R2 .
Okazuje si¦ wi¦c, »e wariancja portfela
wspóªczynniki przy
to podwojona
Powy»sze wzory na stop¦ zwrotu, warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ portfela wygodnie jest zapisywa¢ w postaci macierzowej (równie» wtedy, gdy u»ywamy ich w arkuszu kalkulacyjnym). Niech
Σ :=
Macierz
Σ
σ12
σ12
σ12
σ22
=
σ12
ρ12 σ1 σ2
ρ12 σ1 σ2
σ22
nazywamy macierz¡ kowariancji zmiennych losowych
R1
R :=
,
R2
µ :=
µ1
µ2
R1 , R2 .
Šatwo sprawdzamy, »e
R1
R(x) = x1 x2
= xT R,
R2
µ1
x
x
E(x) = 1
= xT µ,
2
µ2
σ12 σ12
x1
σ 2 (x) = x1 x2
= xT Σx.
σ12 σ22
x2
9
Oznaczmy
Mo»emy teraz zdeniowa¢ gªówne narz¦dzie analizy portfelowej: odwzorowanie Markowitza.
Niech
∆1 := {x ∈ R2 : x1 , x2 > 0, x1 + x2 = 1}.
Geometrycznie zbiór
Odwzorowanie
∆1
jest domkni¦tym odcinkiem na pªaszczy¹nie o ko«cach
M : ∆1 → R>0 × R
(1, 0), (0, 1).
okre±lone wzorem
√
σ (x)
xT Σx
=
E (x)
xT µ
M(x) :=
nazywamy odwzorowaniem Markowitza . Obraz odwzorowania
M,
czyli zbiór
M(∆1 ),
nazywamy
zbiorem mo»liwo±ci.
Odwzorowanie
f : ∆1 → R>0 × R
M
okre±lone wzorem
f
M(x)
:=
2
T σ (x)
x Σx
=
E (x)
xT µ
nazywamy zmodykowanym odwzorowaniem Markowitza.
A zatem odwzorowanie Markowitza przyporz¡dkowuje ka»demu portfelowi
x ∈ ∆1
jego odchy-
lenie standardowe (interpretowane jako ryzyko) i oczekiwan¡ stop¦ zwrotu.
Przykªad 14. Zilustrujemy wprowadzone wy»ej poj¦cia korzystaj¡c ze spóªek
A1
i
A2
wprowa-
dzonych w przykªadzie 8. Obliczyli±my ju», »e
Σ=
−0, 007
,
0, 014
0, 013
−0, 007
µ=
0, 030
.
0, 086
Na rysunku 2.1 pokazujemy zbiór mo»liwo±ci w tym przypadku, wykre±lony w arkuszu kalkulacyjnym. Zauwa»my, »e rysunek rozwi¡zuje postawione w przykªadzie 8 zadanie: istnieje wiele
portfeli, które maj¡ odchylenie standardowe mniejsze ni»
odpowiada portfelowi
min(σ1 , σ2 ). Punkt B = (5, 66%, 5, 79%)
T
(1/2, 1/2)T , który wybierze inwestor o najwi¦kszej awersji do ryzyka. Dla tego
portfela odchylenie standardowe osi¡ga warto±¢ minimaln¡. Przemieszczaj¡c si¦ wzdªu» krzywej
zbioru mo»liwo±ci od
B
w prawo w gór¦ do
A2 ,
b¦dziemy przechodzili przez punkty odpowiadaj¡ce
portfelom o coraz wi¦kszej stopie zwrotu ale i coraz wi¦kszym ryzyku (odchyleniu standardowym).
Punkt
A2
odpowiada portfelowi
(0, 1)T ,
czyli samej spóªce
A2 . Jest to portfel o najwi¦kszej mo»liB i A2 nazywamy efektywnymi , gdy»
wej stopie zwrotu. Portfele odowiadaj¡ce punktom pomi¦dzy
dla »adnego z nich nie mo»na znale¹¢ portfela o tej samej stopie zwrotu i mniejszym ryzyku ani
portfela o tym samym ryzyku i wi¦kszej stopie zwrotu.
Rozwa»my jeszcze punkty pomi¦dzy
B
i
A1 .
Te punkty nie s¡ dla nas interesuj¡ce, gdy» nie
odpowiadaj¡ portfelom efektywnym w powy»ej opisanym sensie. Dokªadniej dla ka»dego porftela,
który wyznacza punkt pomi¦dzy
B
i
A1 ,
istnieje portfel o tym samym odchyleniu standardowym
ale wy»szej stopie zwrotu, istnieje równie» portfel o mniejszym ryzyku i wy»szej stopie zwrotu, np.
(1/2, 1/2)
T
.
10

A2
0.08
0.06
B
0.04
A1
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
σ
Rysunek 2.1: Zbiór mo»liwo±ci dla spóªek z przykªadu 8
3
Przypadki szczególne portfela dwuskªadnikowego: korelacja
doskonaªa
Dalej zbadamy w jaki sposób zmienia si¦ zbiór mo»liwo±ci w zale»no±ci od zmieniaj¡cej si¦ korelacji
ρ12 .
Zaczniemy od przypadku szczególnego korelacji doskonaªej.
W tym i w nast¦pnym paragrae b¦dziemy zakªadali, »e
0 < σ1 < σ2 ,
µ1 < µ2 .
(3.1)
Zaªo»enie to nie zmniejsza w istotny sposób ogólno±ci rozwa»a«. Ponadto jest naturalne, gdy» mówi,
»e spóªka
Niech
A2 charakteryzuje si¦ wi¦kszym ryzykiem ale i wi¦ksz¡
x ∈ ∆1 . Je±li ρ12 = ±1, to korzystaj¡c z (2.1) mamy
stop¡ zwrotu ni» spóªka
σ 2 (x) = x21 σ12 ± 2x1 x2 σ1 σ2 + x22 σ22 = (x1 σ1 ± x2 σ2 )2 .
3.1
Korelacja doskonaªa dodatnia
Zatem, w sytuacji doskonale skorelowanej dodatnio, gdy
ρ12 = 1,
σ(x) = x1 σ1 + x2 σ2 .
11
dostajemy
A1 .
(3.2)
St¡d
σ(x)
x1 σ1 + x2 σ2
M(x) =
=
E (x)
x1 µ1 + x2 µ2
σ σ2
x1
= 1
,
µ1 µ2
x2
czyli
M
jest po prostu odwzorowaniem liniowym zaw¦»onym do
M(∆1 ) =conv
M (x) = x1
σ1
µ1
+ x2
∆1 .
Poniewa»
σ2
,
µ2
wi¦c
gdzie symbolem
σ1
σ
, 2
,
µ1
µ2
conv oznaczamy otoczk¦ wypukª¡. Zatem zbiór mo»liwo±ci jest odcinkiem na pªasz(σA , µA )T , (σB , µB )T . Uwzgl¦dniaj¡c (3.1) stwierdzamy zatem, »e
czy¹nie o ko«cach
1. portfel
(1, 0)T
ma najmniejsze odchylenie standardowe,
2. portfel
(0, 1)T
ma najwi¦ksz¡ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu,
3. wszystkie portfele s¡ efektywne.
Przykªad 15. Niech
Σ=
4
6
6
,
9
µ=
8
.
20
Jest to przypadek doskonale skorelowany dodatnio. Zbiór mo»liwo±ci znajduje si¦ na rysunku (3.1).
3.2
Korelacja doskonaªa ujemna
W przypadku doskonale skorelowanym ujemnie, gdy
ρ12 = −1,
mamy w my±l (3.2),
σ(x) = |x1 σ1 − x2 σ2 |.
Zatem
M(x) =
Widzimy, »e
M
σ(x)
|x1 σ1 − x2 σ2 |
=
.
E (x)
x1 µ1 + x2 µ2
daje si¦ przedstawi¢ jako zªo»enie
M = S ◦ L,
dane wzorami
x1 σ1 − x2 σ2
L (x) :=
,
x1 µ1 + x2 µ2
|σ|
S (σ, E) :=
.
E
12
gdzie
L : ∆ 1 → R2 , S : R2 → R2
s¡
20.0

A2
18.0
16.0
14.0
12.0
10.0
A1
8.0
6.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
σ
Rysunek 3.1: Doskonaªa korelacja dodatnia
Podobnie jak w przypadku korelacji doskonaªej dodatniej zauwa»amy, »e
liniowym o macierzy
zaw¦»onym do
∆1
σ1
µ1
S
dem osi pionowej
E
cz¦±ci
Niech
B
σ1
−σ2
,
.
µ1
µ2
jest identyczno±ci¡ na prawej póªpªaszczy¹nie
E
na lewej póªpªaszczy¹nie
b¦dzie sum¡ dwóch odcinków: cz¦±ci odcinka
osi
jest odwzorowaniem
i w konsekwencji
L(∆1 ) = conv
Z drugiej strony
−σ2
µ2
L
L (∆1 )
le»¡ce na lewo od osi
E.
n
o
T
(σ, E) : σ 6 0 .
n
o
T
(σ, E) : σ > 0 i symetri¡ wzgl¦Zatem zbiór
M (∆1 ) = S (L (∆1 ))
L (∆1 ) le»¡cej na prawo od osi E oraz odbitej wzgl¦dem
Wyznaczymy teraz te odcinki dokªadnie.
b¦dzie punktem, w którym odcinek
L (∆1 )
przecina si¦ z osi¡
obrazem portfela z odchyleniem standardowym równym zeru. Mamy
σ (x) = |x1 σ1 − x2 σ2 | = 0 ⇐⇒
σ2
σ1
, x2 =
.
x1 =
σ1 + σ2
σ1 + σ2
13
E.
Oznacza to, »e
B
jest
A2
20.0
′

A2
18.0
I2
16.0
14.0
B
12.0
10.0
I1
A1
8.0
6.0
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
σ
Rysunek 3.2: Doskonaªa korelacja ujemna
Je±li wi¦c
x̃
jest portfelem o wyliczonych wy»ej wspóªrz¦dnych, to
T
σ2 µ1 + σ1 µ2
B = M (x̃) = 0,
.
σ1 + σ2
Ostatecznie
M (∆1 ) = I1 ∪ I2 ,
gdzie
Ij , j = 1, 2
jest odcinkiem o ko«cach
B i (σj , µj ).
M(∆1 ) = I1 ∪ I2 .
Podsumowuj¡c, w przypadku doskonaªej korelacji ujemnej
1. portfel
x̃ =
σ1
σ2
,
σ1 + σ2 σ1 + σ2
T
ma odchylenie standardowe równe zeru (czyli jest bezryzykowny) a oczekiwan¡ stop¦ zwrotu
równ¡
2. portfel
σ2 µ1 + σ1 µ2
,
σ1 + σ2
(0, 1)T
ma najwi¦ksz¡ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu,
3. portfele odpowiadaj¡ce punktom z odcinka
I2
14
s¡ efektywne.
Przykªad 16. Niech
Σ=
−6
,
9
4
−6
8
.
20
µ=
Jest modykacja danych z przykªadu 15 do przypadku doskonaªej korelacji ujemnej. Zbiór mo»liwo±ci znajduje si¦ na rysunku 3.2. Mamy w tym przypadku
x̃ =
4
3/5
,
2/5
B = M (x̃) =
0
.
64/5
Portfel dwuskªadnikowy: korelacja dowolna
M(∆1 ) dla portfela o dwóch
−1. Teraz odrzucimy ostatnie zaªo»e−1 6 ρ12 6 1. Oznaczenia przyjmujemy
W poprzednim paragrae podali±my dokªadny opis zbioru mo»liwo±ci
aktywach
A1 , B 1
i wspóªczynniku korelacji
ρ12
równym
1
lub
nie, b¦dziemy zakªadali, »e korelacja jest dowolna, czyli »e
takie jak w poprzednim paragrae. Zakªadamy równie» nierówno±ci (3.1).
4.1
Portfel o na jmniejszym odchyleniu standardowym
Niech
x = (x1 , x2 )
T
∈ ∆1 .
Wtedy
x1 + x2 = 1,
wi¦c korzystaj¡c z (2.1), wariancj¦ portfela
x
mo»emy zapisa¢ w postaci
v(x) := σ 2 (x1 , x2 ) = σ 2 (x1 , 1 − x1 )
= x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22
= x21 (σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 ) + 2x1 (ρ12 σ1 σ2 − σ22 ) + σ22 .
x1 ∈ h0, 1i,
Naszym celem jest znalezienie
w którym wariancja (wi¦c równie» i odchylenie standar-
σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 > 0. A zatem
2
wspóªczynnikiem przy x1 . Przedstawiamy v ,
dowe) osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡. Z nierówno±ci (3.1) wynika, »e
funkcja
v
jest trójmianem kwadratowym z dodatnim
jako trójmian kwadratowy, w postaci kanonicznej:
v(x1 ) =
σ12
− 2ρ12 σ1 σ2 +
Teraz ju» ªatwo wida¢, gdzie
v
σ22
σ 2 − ρ12 σ1 σ2
x1 − 2 2
σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
+
σ12
σ12 σ22 (1 − ρ212 )
.
− 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
osi¡gnie warto±¢ najmniejsz¡. Poªó»my
x̃1 :=
Z zaªo»e« (3.1) wynika, »e
2
x̃1 ∈ h0, 1i
σ12
σ22 − ρ12 σ1 σ2
.
− 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
dokªadnie wtedy, gdy
min v(x1 ) =
x1 ∈h0,1i
(
v(x̃1 ),
v(1),
gdy
gdy
ρ12 6 σ1 /σ2 .
ρ12 6
ρ12 >
A zatem
σ1
σ2 ,
σ1
σ2 .
ρ = σ1 /σ2 jest szczególna. To motywuje wproρ12 nazywamy podkrytycznym, krytycznym, nadkrytycz= σ1 /σ2 , ρ12 > σ1 /σ2 .
Okazuje si¦, »e warto±¢ wspóªczynnika korelacji
wadzenie okre±lenia: wspóªczynnik korelacji
nym, gdy odpowiednio
ρ12 < σ1 /σ2 , ρ12
Wyliczaj¡c jeszcze odchylenie standardowe i warto±¢ oczekiwan¡ wyznaczonego portfela uzyskujemy
15
Twierdzenie 17. Je±li wspóªczynnik korelacji
T
x̃ := (x̃1 , 1 − x̃1 ) =
ρ12
jest podkrytyczny, to
σ 2 − ρ12 σ1 σ2
σ22 − ρ12 σ1 σ2
, 2 1
2
2
σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ2 σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
T
∈ ∆1
jest portfelem o najmniejszym odchyleniu standardowym. Odchylenie standardowe i oczekiwana
stopa zwrotu tego portfela s¡ odpowiednio równe
p
σ1 σ2 1 − ρ212
p
σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
Je±li wspóªczynnik korelacji
w spóªk¦
A1 )
ρ12
oraz
µ2 σ12 − (µ1 + µ2 )ρ12 σ1 σ2 + µ1 σ22
.
σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
jest krytyczny lub nadkrytyczny, to
(1, 0)T
(czyli inwestycja jedynie
jest portfelem o najmniejszym odchyleniu standardowym. Odchylenie standardowe i
oczekiwana stopa zwrotu tego portfela s¡ odpowiednio równe
20.0
σ1
oraz
µ1 .

A2
18.0
16.0
14.0
12.0
10.0
A1
8.0
6.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
σ
Rysunek 4.1: Zbiory mo»liwo±ci przy ró»nych wspóªczynnikach korelacji. Linia przerywana to obrazy
portfeli o minimalnej wariancji.
Przykªad 18. Niech
Σρ =
Przypadek
4
6ρ
6ρ
,
9
µ=
8
20
.
Σρ , gdy ρ = ±1 rozwa»yli±my ju» w przykªadach 15 i 16.
ρ pokazujemy na rysunku 4.1. Wyznaczymy teraz portfel
nych warto±ci
16
Zbiory mo»liwo±ci dla ró»o najmniejszym odchyleniu
standardowym. Zamiast korzysta¢ z twierdzenia 17 przeprowadzimy w tym konkretnym przypadku
rachunek jeszcze raz.
Ustalmy
∆1 ,
to
v(x1 ) = (13 − 12ρ)x21 − 2(9 − 6ρ)x1 + 9.
Szukamy
x21
T
ρ ∈ h−1, 1i. Je±li, podobnie jak wy»ej, v(x1 ) oznacza wariancj¦ portfela x = (x1 , x2 ) ∈
x1
realizuj¡cego minimum funkcji
jest dodatni, wi¦c wykres
v
v
na przedziale
h0, 1i.
minimum globalne w punkcie, który wyznaczamy sprowadzaj¡c
miejsce zerowe pochodnej
Oczywi±cie wspóªczynnik przy
jest parabol¡ o ramionach skierowanych do góry. Zatem
v
v
posiada
do postaci kanonicznej lub licz¡c
v:
v 0 (x1 ) = 2(13 − 12ρ)x1 − 2(9 − 6ρ),
9 − 6ρ
.
v 0 (x1 ) = 0 ⇐⇒ x1 =
13 − 12ρ
Šatwo sprawdzamy, »e znaleziony pierwiastek pochodnej le»y w przedziale
gdy
ρ < 2/3.
Je±li
ρ < 2/3,
h0, 1i
dokªadnie wtedy,
to portfel o najmniejszym odchyleniu standardowym jest równy
T
(x1 , 1 − x1 ) =
9 − 6ρ
4 − 6ρ
,
13 − 12ρ 13 − 12ρ
T
a jego odchylenie standardowe i oczekiwana stopa zwrotu s¡ odpowiednio równe
s
1 − ρ2
,
13 − 12ρ
6
Je±li
8(19 − 21ρ)
.
13 − 12ρ
ρ > 2/3, to szukany portfel jest równy (1, 0)T , jego odchylenie standardowe to 2, a oczekiwana
16. Krytyczny wspóªczynnik korelacji to oczywi±cie ρkryt = 2/3.
stopa zwrotu wynosi
4.2
Zbiór
Równanie uwikªane na
M(∆1 )
M(∆1 )
zostaª z denicji podany jako obraz krzywej parametrycznej. Wyznaczymy teraz
równanie tej krzywej w postaci uwikªanej. Tak jak na podanych wcze±niej wykresach, osie ukªadu
wspóªrz¦dnych wygodnie b¦dzie oznacza¢ przez:
σ
o± pozioma,
E
o± pionowa. Niech
x ∈ ∆1 .
Wiemy, »e
M(x) =
Podstawiaj¡c
x2 = 1 − x1
p
x21 σ12 + 2x1 x2 σ12 + x22 σ22
.
x1 µ1 + x2 µ2
dostajemy
m(x1 ) :=M(x1 , 1 − x1 ) =
p
x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22
x1 (µ1 − µ2 ) + µ2
Aby wyznaczy¢ nasze równanie uwikªane, przyrównujemy wspóªrz¦dne
m(x1 ):
σ 2 =x21 (σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2x1 (σ12 − σ22 ) + σ22 ,
E =x1 (µ1 − µ2 ) + µ2 ,
17
(σ, E)
do wspóªrz¦dnych
a nast¦pnie szukamy równania wi¡»¡cego
σ
i
E,
przez wyrugowanie zmiennej
x1 .
Zauwa»my, »e z
zaªo»e« (3.1) mamy
σ12 − 2σ12 + σ22 > 0,
µ1 − µ2 6= 0.
Mo»emy zatem wyznaczy¢ zmienn¡
x1 :
x1 =
i podstawi¢ j¡ do wzoru na
2
σ =
E − µ2
,
µ1 − µ2
σ2 :
E − µ2
µ1 − µ2
2
(σ12 − 2σ12 + σ22 ) + 2
Prawa strona jest trójmianem kwadratowym od
E − µ2
(σ12 − σ22 ) + σ22 .
µ1 − µ2
x1 = (E − µ2 ) / (µ1 − µ2 ),
przedstawiamy j¡ wi¦c,
tak samo jak w poprzednim punkcie, w postaci kanonicznej
σ2
=
σ12 − 2σ12 + σ22
Wstawiaj¡c
σ12 = ρ12 σ1 σ2
σ12
2
σ22 − σ12
E − µ2
− 2
µ1 − µ2
σ1 − 2σ12 + σ22
2
σ22
σ22 − σ12
+ 2
.
−
2
2
σ1 − 2σ12 + σ2
σ1 − 2σ12 + σ22
i grupuj¡c wyrazy dostajemy ostateczne równanie
σ2
σ12 σ22 (1 − ρ212 )
(E − E0 )2
=
−
2,
2
(µ1 − µ2 )2
− 2ρ12 σ1 σ2 + σ2
(σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22 )
gdzie
E0 (ρ12 ) = E0 :=
(4.1)
µ2 σ12 − (µ1 + µ2 )ρ12 σ1 σ2 + µ1 σ22
.
σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
M(∆1 ) jest podzbiorem zbioru rozwi¡za« równania (4.1)
(σ, E)T . Odwrotnie, jasnym jest, »e je±li (σ, E)T ∈ M(∆1 ), to
σ > 0 oraz E = x1 µ1 + (1 − x1 )µ2 dla pewnego x1 ∈ h0, 1i. Ostatnia równo±¢ jest równowa»na
stwierdzeniu, »e E le»y w przedziale hµ1 , µ2 i. Wida¢ teraz jakim fragmentem zbioru rozwi¡za« (4.1)
T
2
jest M(∆1 ). Istotnie, niech (σ, E) ∈ R rozwi¡zuje (4.1) i ponadto σ > 0 oraz E ∈ hµ1 , µ2 i. Istnieje
wtedy x1 ∈ h0, 1i, taki »e E = x1 µ1 + (1 − x1 )µ2 . Rozwa»my punkt m(x1 ). Jego druga wspóªrz¦dna,
T
T
to oczywi±cie E, pierwsz¡ oznaczmy przez σ̃ . Poniewa» (σ̃, E) ∈ M(∆1 ), wi¦c punkt (σ̃, E) jest
T
T
rozwi¡zaniem równania (4.1). St¡d i z nierówno±ci σ, σ̃ > 0 musi by¢ (σ, E) = (σ̃, E) ∈ M(∆1 ).
Wykazali±my wi¦c, »e zbiór mo»liwo±ci
rozwa»anego wzgl¦dem zmiennych
Reasumuj¡c mamy
Lemat 19.
(σ, E)T ∈ M(∆1 )
Zaªó»my, »e
−1 < ρ12 < 1
s
a := σ1 σ2
dokªadnie wtedy, gdy
σ > 0, E ∈ hµ1 , µ2 i
oraz
(σ, E)T
i niech
1 − ρ212
,
σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
18
p
(µ2 − µ1 ) 1 − ρ212
b := σ1 σ2 2
.
σ1 − 2ρ12 σ1 σ2 + σ22
speªnia (4.1).
−1 < ρ12 <
fragmentem prawej gaª¦zi hiperboli
Twierdzenie 20. Je±li
1
oraz
σ 2
le»¡cym w zbiorze
0 < σ1 < σ2 , µ1 < µ2 ,
E − E0 (ρ12 )
−
a
b
σ
: σ > 0, µ1 6 E 6 µ2 .
E
2
to zbiór mo»liwo±ci
= 1,
M (∆1 )
jest
(4.2)
Dowód. Teza wynika z lematu 19.
Jako ¢wiczenie pozostawimy dowód nast¦pnego twierdzenia.
Twierdzenie 21. Je±li
wierzchoªkach
0 < σ1 < σ2 , µ1 < µ2 ,
to zbiór mo»liwo±ci
M (∆1 )
le»y w trójk¡cie o
T
µ1 σ2 + µ2 σ1
(σ1 , µ1 ) , (σ2 , µ2 ) , 0,
.
σ1 + σ2
T
T
Cz¦±¢ III
Portfel o
5
k
skªadnikach. Model Markowitza
Opis portfela o
Zaªó»my, »e mamy dane
stycyjnym)
h−1, +∞).
R1 , . . . , Rk .
k
k > 2
skªadnikach. Odwzorowanie Markowitza
spóªek (aktywów) o stopach zwrotu (w ustalonym okresie inwe-
Tak jak poprzednio
Ri
s¡ zmiennymi losowymi o warto±ciach w przedziale
Kªadziemy
µi := E (Ri ) , σi := σ (Ri ) , i = 1, . . . , k,
 
 
 
R1
µ1
σ1
 .. 
 .. 
 .. 
R :=  .  , µ :=  .  , σ :=  .  .
Rk
µk
σk
B¦dziemy zawsze zakªada¢, »e warto±ci oczekiwane i odchylenia standardowe s¡ sko«czone. Ponadto
w modelu Markowitza zaklada si¦, »e wszystkie aktywa s¡ ryzykowne, czyli »e
σi > 0, i = 1, . . . , k .
Niech dalej
σij := cov (Ri , Rj ) , ρij := ρ (Ri , Rj ) =
σij
, i, j = 1, . . . , k, i 6= j.
σi σj
B¦dziemy zakªada¢, »e wszystkie kowariancje s¡ sko«czone.
Cp , któr¡ inwestujemy w aktywa o numerach 1, . . . , k . Niech
Cp inwestowana w spóªk¦ o numerze i b¦dzie równa xi Cp . Wówczas x1 , . . . , xk > 0
x1 + · · · + xk = 1. Podobnie jak w przypadku dwóch aktywów punkt
 
x1
 
x =  ...  ∈ Rk
xk
Zaªó»my, »e dysponujemy kwot¡
cz¦±¢ kapitaªu
oraz
19
b¦dziemy nazywali portfelem akcji.
Niech
Zbiór
»e
x
∆k−1
n
o
T
∆k−1 := x = (x1 , . . . , xk ) : x1 , . . . , xk > 0, x1 + · · · + xk = 1 .
k − 1. Z tego co wy»ej powiedzieli±my wynika,
x ∈ ∆k−1 . Kªad¡c
 
 
 
0
0
1
0
1
0
 
 
 
(5.1)
e1 :=  .  , e2 :=  .  , . . . , ek :=  . 
 .. 
 .. 
 .. 
1
0
0
b¦dziemy nazywali sympleksem wymiaru
jest portfelem w modelu Markowitza dokªadnie wtedy, gdy
mo»emy napisa¢
∆k−1 =

k
X

xj ej : x1 , . . . , xk > 0,
j=1
k
X
j=1
= conv {e1 , . . . , ek } .
Podobnie jak dla dwóch aktywów symbolem
R(x)
oznaczamy stop¦ zwrotu z portfela
Fakt 22.
R (x) = x1 R1 + · · · + xk Rk = x1


xj = 1

...

R1
x.

 
xk  ...  = xT R.
Rk
Dowód. Rozumowanie jest tutaj analogiczne jak w przypadku portfela o dwóch aktywach. Zostawiamy jako ¢wiczenie.
Oczekiwan¡ stop¦ zwrotu z i odchylenie standardowe portfela
x
deniujemy wzorami
E (x) := E (R (x)) , σ 2 (x) := σ 2 (R (x)) .
Fakt 23.
E (x) = x1 µ1 + · · · + xk µk = x1
σ 2 (x) =
k
X
x2i σi2 +
...
X


xk 
µ1
.
.
.
µk


T
 = x µ,
xi xj σij .
16i,j6k
i6=j
i=1
Dowód. Z faktu 22 i z liniowo±ci warto±ci oczekiwanej dostajemy
E (x) = E
k
X
i=1
xi Ri
!
=
k
X
i=1
20
xi E (Ri ) =
k
X
i=1
xi µi .
St¡d i z denicji wariancji mamy
2
σ 2 (x) = E (R (x) − E (x))


!2 
!2 
k
k
k
X
X
X
= E
xi Ri −
xi µi  = E 
xi (Ri − µi ) 


= E

=
k
X
i=1
=
k
X
i=1
k
X
i=1
i=1
16i,j6k
i6=j
i=1
16i,j6k
i6=j
x2i σi2 +
X
xi xj σij .
16i,j6k
i6=j
Zapiszemy teraz wzór na wariancj¦ portfela

Σ
σ12
σ21

Σ= .
 ..
σk1
nazywamy macierz¡ kowariancji
Fakt 24. Dla ka»dego

xi xj (Ri − µi ) (Rj − µj )

X
2
x2i E (Ri − µi ) +
xi xj E ((Ri − µi ) (Rj − µj ))
i=1
Macierz
X
2
x2i (Ri − µi ) +

x ∈ ∆k−1
x
w postaci macierzowej. Niech
σ12
σ22
...
...
.
.
.
σk2
...

σ1k
σ2k 

. 
. 
.
σk2
zmiennych losowych
R1 , . . . , R k .
Šatwo dowodzimy:
mamy
σ 2 (x) = xT Σx.
Zauwa»my, »e
Σ
jest macierz¡ symetryczn¡.
Uogólnimy teraz poj¦cia odwzorowania Markowitza i zbioru mo»liwo±ci znane nam z przypadku
dwuskªadnikowego.
21
Odwzorowanie
M : ∆k−1 → R>0 × R
okre±lone wzorem
√
σ(x)
xT Σx
=
E(x)
xT µ
M(x) :=
M, czyli
nazywamy odwzorowaniem Markowitza . Obraz odwzorowania
zbiór
M(∆k−1 ), nazywamy
zbiorem mo»liwo±ci.
Odwzorowanie
f : ∆k−1 → R>0 × R
M
okre±lone wzorem
f
M(x)
:=
T σ 2 (x)
x Σx
=
E(x)
xT µ
nazywamy zmodykowanym odwzorowaniem Markowitza.
Pami¦tamy, »e dla portfela o dwóch aktywach zbiór mo»liwo±ci jest odcinkiem (korelacja doskonaªa dodatnia), ªaman¡ (korelacja doskonaªa ujemna) lub cz¦±ci¡ hiperboli (wspóªczynnik korelacji
ró»ny od
±1).
Wyznaczenie zbioru mo»liwo±ci, gdy
k>2
jest problemem znacznie trudniejszym i
na ogóª si¦ go nie rozwi¡zuje. Zwykle poprzestaje si¦ na próbie sprawdzenia czy dany portfel jest
efektywny, wyznaczenia portfela (lub portfeli, mo»e by¢ ich wiele) o najmniejszym ryzyku (by¢
mo»e przy ustalonej oczekiwanej stopie zwrotu), wyznaczenia obrazu zbioru portfeli efektywnych.
Z poj¦ciem portfela efektywnego spotkali±my si¦ ju» w przypadku dwuskªadnikowym. Zdeniujemy teraz to poj¦cie dokªadnie w przypadku ogólnym.
W zbiorze portfeli
k -skªadnikowych ∆k−1
∀x,x0 ∈∆k−1
wprowadzamy porz¡dek
x 4 x0 ⇐⇒ σ(x0 ) 6 σ(x)
i
4
wzorem:
E(x) 6 E(x0 ).
Šatwo dowodzimy
Fakt 25. Relacja
Portfel
x
4
jest zwrotna i przechodnia.
nazywamy efektywnym, gdy z relacji
x 4 x0
wynika
x0 4 x.
Brzegiem efektywnym (lub granic¡ efektywn¡ ) nazywamy obraz przez odwzorowanie Markowitza
M
zbioru wszystkich portfeli efektywnych.
Fakt 26. Portfel
x ∈ ∆k−1
jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdy
M (∆k−1 ) ∩ (σ, E) ∈ R2 : σ 6 σ (x) , E (x) 6 E = {M (x)} .
Dowód. Zaªó»my, »e portfel
inkluzj¦
⊂
x
jest efektywny. Inkluzja
we¹my dowolny portfel
x0 ∈ ∆k−1 ,
⊃
w (5.2) jest oczywista. Aby wykaza¢
taki »e
σ (x0 ) 6 σ (x) ,
E (x) 6 E (x0 ) .
22
(5.2)
Powy»sze nierówno±ci oznaczaj¡, »e
x 4 x0 .
Poniewa» portfel
x
jest efektywny, wi¦c st¡d
x0 4 x,
co
z kolei oznacza, »e
σ (x) 6 σ (x0 ) ,
W konsekwencji
E (x0 ) 6 E (x) .
M (x0 ) = M (x).
Zaªó»my teraz, »e zachodzi równo±¢ (5.2). Wówczas je±li
M (x),
co daje
0
x 4 x0 ,
to z (5.2) mamy
M (x0 ) =
x 4 x.
14.0

12.0
10.0
Y
8.0
Z
6.0
W
4.0
X
2.0
5.0
10.0
15.0
Z
Rysunek 5.1: Portfel
20.0
bije portfel
25.0
σ
W.
Przykªad 27. Rozwi¡»emy zadanie nr 27 z I etapu egzaminu dla kandydatów na doradc¦
inwestycyjnego (30 pa¹dziernika 2011): Okre±l, który z wymienionych poni»ej portfeli na pewno
nie le»y na granicy efektywnej.
Portfel
Oczekiwana stopa zwrotu (%)
Odchylenie standardowe stopy zwrotu (%)
W
6,00
14,00
X
3,33
4,67
Y
10,00
24,00
Z
8,00
10,00
Zaznaczamy obrazy portfeli na wykresie (rys. 5.1). Widzimy, »e obrazy portfeli
daj¡ si¦ ze sob¡ porówna¢ (»adne dwa nie s¡ w relacji
obraz portfela
W
4),
natomiast
W 4 Z.
X, Y
Z
nie
nie le»y w granicy efektywnej. Pozostaªych wykluczy¢ nie mo»emy.
Fakt 28. Zbiór mo»liwo±ci
M (∆k−1 )
1 i spójny. Ponadto brzeg efektywny jest podzbio-
jest zwarty
rem brzegu zbioru mo»liwo±ci.
1 Przypomnijmy,
i
Zatem na pewno
»e zbiór
K ⊂ Rk
jest zwarty dokªadnie wtedy, gdy jest domkni¦ty i ograniczony.
23
Dowód. Zbiór
M (∆k−1 ) jest zwarty i spójny jako ci¡gªy obraz zwartego i spójnego zbioru ∆k−1 . Z
faktu 26 wynika, »e »aden punkt z brzegu efektywnego nie mo»e by¢ punktem wewn¦trznym zbioru
M (∆k−1 ).
6
Brzeg minimalny w modelu Markowitza
Poprzedni paragraf zako«czyli±my stwierdzeniem, »e zbiór mo»liwo±ci jest zwarty (czyli domkni¦ty
i ograniczony) i spójny, niewiele wiemy jednak na razie o jego ksztaªcie i poªo»eniu. Co mo»na na
M (∆2 ) dla k = 2? Wiemy, »e ∆2 jest
e1 := (1, 0, 0), e2 := (0, 1, 0), e3 := (0, 0, 1). Boki tego
przykªad powiedzie¢ o
punktach
trójk¡tem w
R3
o wierzchoªkach w
e1 e2 , e1 e3 , e2 e3 .
M. Zauwa»my, »e portfel
x1 + x2 = 1 i x3 = 0. W konsekwencji
trójk¡ta to odcinki
Mo»na spróbowa¢ wyznaczy¢ obrazy tych boków poprzez odwzorowanie
x = (x1 , x2 , x3 )
rach
1
boków
M
e1 e2 dokªadnie wtedy, gdy
M (e1 e2 ) sprowadza si¦ do wyznaczenia zbioru mo»liwo±ci dla aktywów o nume-
le»y na odcinku
wyznaczenie zbioru
i 2, czyli czego± co ju» umiemy zrobi¢. Analogiczna uwaga stosuje si¦ do pozostaªych dwóch
∆2 .
Widzimy wi¦c, »e przynajmniej dla
2 trójk¡ta
brzegu
zbioru mo»liwo±ci
∆2 . Niestety
M (∆2 ).
Przykªad 29. Niech
k=2
jeste±my w stanie wyznaczy¢ obraz poprzez
nawet w tym przypadku obraz brzegu

1
Σ = 0
1
0
2
1

1
1 ,
4
 
1
µ = 2 .
3
∆2
zwykle nie wyznacza
Wyznaczymy portfel o najmniejszym ryzyku przy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu równej
Szukamy zatem wszystkich
x̃ ∈ ∆2 ,
σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆2 , E (x) = 2} .
Zauwa»my, »e koniunkcja warunków
jest równowa»na ukªadowi
(
x ∈ ∆2 ,
E (x) = 2,


x2 = 1 − 2x1 ,
x3 = x1 ,


0 6 x1 6 21 .
Pozostaje zatem sprawdzi¢, gdzie warto±¢ namniejsz¡ osi¡ga funkcja
0,
1
2
3 x1 7→ v (x1 ) := σ 2 (x1 , 1 − 2x1 , x1 ) .
Poniewa»
2 Brzeg
2.
»e
v (x1 ) =11x21 − 6x1 + 2
2
3
13
=11 x1 −
+ ,
11
11
rozumiemy tu nie w sensie topologicznym, ale jako suma boków.
24
(6.1)
wi¦c jedyne minimum funkcji
v
znajduje si¦ w punkcie
speªniaj¡cy (6.1) i jest on równy
x̃ =
M (x̃) musi le»e¢
M (e1 e2 ), M (e1 e3 ), M (e2 e3 ).
Zauwa»my, »e punkt
zbiorów
Portfel
x̃ ∈ ∆k−1
x1 = 3/11.
3 5 3
, ,
11 11 11
Istnieje zatem jedyny portfel
x̃
.
na brzegu zbioru
M (∆2 ),
nie le»y jednak na »adnym ze
speªniaj¡cy równo±¢
σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E (x̃)}
nazywamy portfelem relatywnie minimalnego ryzyka. Obraz poprzez odwzorowanie
M
zbioru port-
feli relatywnie minimalnego ryzyka nazywamy brzegiem minimalnym.
Portfel
x̃
nazwiemy portfelem minimalnego ryzyka, gdy
σ (x̃) = min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 } .
Šatwo sprawdzamy, »e:
Fakt 30. Brzeg efektywny jest podzbiorem brzegu minimalnego.
7
Korelacja doskonaªa
Zaªó»my, »e wszystkie aktywa s¡ parami skorelowane w sposób doskonaªy, tzn.
i, j = 1, . . . , k .
ρij ∈ {−1, 1},
Wyró»niamy nast¦puj¡ce przypadki:
• ∀i,j
ρij = 1,
• ∃i,j
ρij = −1.
O przypadkach tych b¦dziemy mówili odpowiednio korelacja doskonaªa dodatnia i korelacja dosko-
naªa mieszana.
Warto tu zwróci¢ uwag¦, »e je±li
k > 2,
to do danych odchyle« standardowych
mo»na w zupeªnie dowolny sposób dobiera¢ wspóªczynników korelacji
mem zajmiemy si¦ pó¹niej, teraz zauwa»ymy tylko, »e je±li
wszystkich
i, j = 1, . . . , k .
Fakt 31. Je±li
k > 2,
ρij .
to nie mo»e by¢
ρij = −1
Wyka»emy nawet wi¦cej:
ρ12 , ρ23 ∈ {−1, 1},
to
Dowód. W my±l wniosku 10 istniej¡
ρ13 = ρ12 ρ23 .
a1 , a2 , b1 , b2 ∈ R, sgna1 = ρ12 , sgna2 = ρ23 ,
P (R2 = a1 R1 + b1 ) = 1,
P (R3 = a2 R2 + b2 ) = 1.
St¡d
1 =P (R3 = a2 (a1 R1 + b1 ) + b2 )
=P (R3 = a1 a2 R1 + a2 b1 + b2 ) .
Poniewa»
σ1 , . . . , σ k
sgn (a1 a2 ) = ρ12 ρ23 ,
wi¦c z wniosku 10 dostajemy
25
ρ13 = ρ12 ρ23 .
nie
Dokªadniej tym proble-
takie »e
dla
Widzimy zatem, »e w przypadku korelacji doskonaªej mieszanej musi istnie¢ co najmniej jedna
1.
k = 2.
para aktywów, których stopy zwrotu maj¡ wspóªczynnik korelacji równy
lacja doskonaªa ujemna zdeniowane w cz¦±ci II ma sens jedynie dla
7.1
Ponadto poj¦cie kore-
Korelacja doskonaªa dodatnia
Zakªadamy, »e
ρij = 1, i, j = 1, . . . , k .
Zatem
σij = σi σj .
Posta¢ macierzy kowariancji b¦dzie wi¦c
bardzo szczególna:

σ12
 σ2 σ1

Σ= .
 ..
σk σ1
Wariancja portfela
σ1 σ2
σ22
  
σ1
σ1 σk
 σ2 
σ2 σk 
  
.  =  .  σ1
. 
 .. 
.
2
σk
σk
···
···
.
.
.
σk σ2
x ∈ ∆k−1
···
xT σ > 0 ,
wi¦c
···
σk = σσ T .
wyra»a si¦ w tym przypadku wzorem:
σ 2 (x) = xT Σx = xT σσ T x = xT σ xT σ
Poniewa»
σ2
σ (x) = xT σ .
T
= xT σ
2
.
Okazuje si¦ zatem, »e odwzorowanie Markowitza
T σ (x)
x σ
=
E (x)
xT µ
σ1
σk
=x1
+ · · · + xk
µ1
µk
M (x) =
jest obci¦ciem do
∆k−1
odwzorowania liniowego
σT
µT
=
Mamy wi¦c
M (∆k−1 ) = conv
czyli
M (∆k−1 )
σ1
µ1
...
...
o macierzy
σk
µk
σ1
σ
,..., k
µ1
µk
jest wielok¡tem wypukªym rozpi¦tym na punktach
ten le»y w prawej póªpªaszczy¹nie otwartej
k
Rk → R2
wierzchoªków.
n
o
T
(σ, E) : σ > 0
(bo
T
(σi , µi )
,
i = 1, . . . , k .
σ1 , . . . , σ k > 0 )
Wielok¡t
i ma co najwy»ej
Aby odpowiedzie¢ na pytanie, gdzie le»¡ efektywne portfele minimalnego ryzyka wyka»emy
najpierw
Lemat 32. Je±li
W = conv {w1 , . . . , wl } ⊂ Rk
oraz
u : Rk → R
jest funkcj¡ liniow¡, to
inf u (x)
=
min {u (w1 ) , . . . , u (wl )} ,
(7.1)
sup u (x)
=
max {u (w1 ) , . . . , u (wl )} .
(7.2)
x∈W
x∈W
26
Dowód. Niech
tl wl
u (wi0 ) = min {u (w1 ) , . . . , u (wl )}. We¹my dowolny x ∈ W .
t1 , · · · , tl > 0, takich »e t1 + · · · + tl = 1. Zatem
Wtedy
x = t1 w1 + · · · +
dla pewnych
u (x) =t1 u (w1 ) + · · · + tl u (wl )
>t1 u (wi0 ) + · · · + tl u (wi0 ) = u (wi0 ) .
To daje nierówno±¢
>
w (7.1). Nierówno±¢ przeciwna jest oczywista.
Równo±¢ (7.2) dostajemy stosuj¡c (7.1) do funkcji
−u.
Powy»sze uwagi prowadz¡ nas do nast¦puj¡cego twierdzenia (patrz te» rysunek 7.1):
Twierdzenie 33. W przypadku korelacji doskonaªej dodatniej zbiór mo»liwo±ci
lok¡tem wypukªym o liczbie wierzchoªków nie przewy»szaj¡cej
1. brzeg minimalny jest jest sum¡ tych boków
2. brzeg efektywny jest jest sum¡ tych boków
M (∆k−1 ),
k.
M (∆k−1 )
jest wie-
Ponadto
które go ograniczaj¡ od strony lewej,
M (∆k−1 ), które go ograniczaj¡ od lewej i od góry,
e1 , . . . , ek (zdeniowanych wzorami (5.1)) znajduje si¦ portfel minimalnego ryzyka, który jest dodatkowo portfelem efektywnym.
3. w±ród portfeli
Dowód. Wyka»emy 3. Niech
σ0 := min {σ (x) : x ∈ ∆k−1 } .
∆k−1 3 x 7→ σ (x) = x σ jest zaw¦»eniem funkcji liniowej Rk 3 x 7→ xT σ do otoczki
wypukªej ∆k−1 = conv {e1 , . . . , ek }, wi¦c w my±l lematu 32 istnieje i0 , takie »e σi0 = σ (ei0 ) = σ0 .
Zmieniaj¡c ewentualnie kolejno±¢ aktywów mo»emy zaªo»y¢, »e i0 = 1 oraz
T
Poniewa»
σ0 = σ1 = · · · = σl < σl+1 6 σl+2 6 · · · 6 σk .
Wyka»emy, »e
{x ∈ ∆k−1 : σ (x) = σ0 } = conv {e1 , . . . , el } .
Istotnie, je±li
x ∈ conv {e1 , . . . , el },
to
x = x1 e1 + · · · + xl el ,
gdzie
(7.3)
x1 , . . . , xl > 0, x1 + · · · + xl = 1.
St¡d
σ (x) = x1 σ (e1 ) + · · · + xl σ (el )
= x1 σ1 + · · · + xl σl
= x1 σ0 + · · · + xl σ0 = σ0 .
x ∈ ∆k−1 \ conv {e1 , . . . , el }, to x = x1 e1 + · · · + xk ek , gdzie x1 , . . . , xk > 0,
x1 + · · · + xk = 1 i nie wszystkie wspóªrz¦dne xl+1 , . . . , xk s¡ równe zero. Zatem
Odwrotnie, je±li
σ (x) = x1 σ (e1 ) + · · · + xk σ (ek )
= x1 σ1 + · · · + xk σk
> x1 σ0 + · · · + xk σ0 = σ0 .
To dowodzi (7.3).
Portfel minimalnego ryzyka jest efektywny dokªadnie wtedy, gdy ma maksymaln¡ (w±ród wszystkich portfeli minimalnego ryzyka) oczekiwan¡ stop¦ zwrotu. Z (7.3) i z lematu 32 wynika zatem, »e
jeden z portfeli
e1 , . . . , e l
musi by¢ portfelem efektywnym. To dowodzi 3.
27
E
E
µ4
σ4
µ4
σ4
µ3
σ3
µ3
σ3
µ1
σ1
µ5
σ5
µ5
σ5
µ2
σ2
µ1
σ1
σ
σ
µ2
σ2
Rysunek 7.1: Oba rysunki przedstawiaj¡ zestawy pi¦ciu aktywów o doskonaªej korelacji dodatniej.
Na rysunku po lewej brzeg minimalny to suma odcinków ª¡cz¡cych punkty
T
(µ4 , σ4 )
T
T
T
(µ2 , σ2 ) , (µ1 , σ1 )
,
T
(µ1 , σ1 ) , (µ4 , σ4 ) a efektywnym portfelem miT
(µ1 , σ1 ) . Z kolei na rysunku po prawej brzeg minimalny to
T
T
T
T
suma odcinków ª¡cz¡cych punkty (µ2 , σ2 ) , (µ1 , σ1 ) , (µ5 , σ5 ) , (µ4 , σ4 ) , brzeg efektywny to odT
T
cinek o ko«cach (µ5 , σ5 ) , (µ4 , σ4 ) a efektywnym portfelem minimalnego ryzyka jest e5 o obrazie
T
(µ5 , σ5 ) .
, brzeg efektywny to odcinek o ko«cach
nimalnego ryzyka jest
7.2
e1
o obrazie
Korelacja doskonaªa mieszana
Teraz zakªadamy, »e wszystkie stopy zwrotu s¡ skorelowane w sposób doskonaªy i przynajmniej
jedna para ma wspóªczynnik korelacji równy
dzieli¢ stopy zwrotu
R1 , . . . , Rk
−1. Zamieniaj¡c ewentualnie kolejno±¢ mo»emy poR1 , . . . , Rl , Rl+1 , . . . , Rk , 1 6 l 6 k − 1, tak »e pary
na dwie grupy
zmiennych losowych w tych grupach s¡ doskonale skorelowane dodatnio, natomiast pary zmiennych
28
pomi¦dzy grupami s¡ doskonale skorelowane ujemnie. Macierz kowariancji ma zatem posta¢:

σ12
···
σ1 σl
−σ1 σl+1

.
.
.
.
.
.

.
.
.

2
 σl σ1
·
·
·
σ
−σ
σl+1
l
l
Σ =
2
−σl+1 σ1 · · · −σl+1 σl
σ
l+1


.
.
.
.
.
.

.
.
.
−σk σ1 · · · −σk σl
σk σl+1


σ1
 .. 
 . 


 σl 

=
−σl+1  σ1 · · · σl −σl+1 · · ·


 . 
 .. 
−σk
···
−σ1 σk



−σl σk 

σl+1 σk 


.
.

.
σk2
.
.
.
···
···
···

−σk .
St¡d
σ 2 (x) =xT Σx
= x1

···
xl
xl+1
···
σ1

 .. 
 . 


 σl 

 σ1
xk 

−σl+1 
 . 
 .. 
−σk

···
σl
−σl+1
···
2
= (x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk ) .
x1

 .. 
 . 


 xl 


−σk 

xl+1 
 . 
 .. 
xk
W konsekwencji
M (x) =
σ (x)
|x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk |
=
E (x)
x1 µ1 + · · · + xl µl + xl+1 µl+1 + · · · + xk µk
Teraz, podobnie jak w przypadku korelacji doskonaªej ujemnej i dwóch aktywów, deniujemy odwzorowania
Zbiór
L : ∆k−1 → R2 , S : R2 → R2 wzorami
x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk
L (x) :=
,
x1 µ1 + · · · + xl µl + xl+1 µl+1 + · · · + xk µk
|σ|
S (σ, E) :=
.
E
L (∆k−1 )
jest wielok¡tem wypukªym
L (∆k−1 ) = conv
σ1
σl
−σl+1
−σk
,...,
,
,...,
µ1
µl
µl+1
µk
29
k -wierzchoªkach le»¡cym cz¦±ciowo w lewej i cz¦±ciowo w prawej póªpªaszczy¹nie. PoM (∆k−1 ) = S (L (∆k−1 )), wi¦c aby uzyska¢ zbiór mo»liwo±ci nale»y cz¦±¢ L (∆k−1 ) le»¡c¡
lewej póªpªaszczy¹nie odbi¢ wzgl¦dem osi E, natomiast cz¦±¢ le»¡c¡ w prawej póªpªaszczy¹nie
o co najwy»ej
niewa»
w
pozostawi¢ bez zmian.
Mo»emy teraz wypowiedzie¢
Twierdzenie 34. Przy wprowadzonych wy»ej oznaczeniach i zaªo»eniach mamy:
1. zbiór mo»liwo±ci
M (∆k−1 )
jest wielok¡tem (niekoniecznie wypukªym),
2. brzeg minimalny i brzeg efektywny s¡ sumami pewnych boków
M (∆k−1 )
(ªatwo odczytywal-
nych z rysunku),
3. zbiór portfeli zerowego ryzyka jest równy
conv {wij : 1 6 i 6 l, l + 1 6 j 6 k} ,
gdzie
wij
jest portfelem zerowego ryzyka le»¡cym na odcinku
4. w±ród portfeli
wij
ei ej ,
istnieje portfel efektywny.
Szkic dowodu. Punkty 1. i 2. wynikaj¡ z przeprowadzonych wcze±niej rozwa»a«. Dowód 3. jest
nast¦puj¡cy. Zauwa»my, »e
x ∈ ∆k−1
jest portfelem zerowego ryzyka dokªadnie wtedy, gdy
x1 σ1 + · · · + xl σl − xl+1 σl+1 − · · · − xk σk = 0,
a zatem, gdy le»y w przeci¦ciu sympleksu
∆k−1
(7.4)
i hiperpªaszczyzny danej równaniem (7.4). Mo»na
wykaza¢ (nie b¦dziemy tego faktu dowodzi¢), »e cz¦±¢ wspólna sympleksu i dowolnej hiperpªaszczyzny nie zawieraj¡cej »adnego z wierzchoªków sympleksu jest otoczk¡ wypukª¡ przeci¦¢ tej hiperpªaszczyzny z kraw¦dziami sympleksu. To oraz zaªo»enie, »e wszystkie aktywa s¡ ryzykowne (maj¡
dodatnie odchylenia standardowe) daje 3.
Punkt 4. wynika z 3. i z lematu 32.
8
Zestawy aktywów o dodatnio okre±lonej macierzy kowariancji
k
A = (aij )i,j=1 b¦dzie macierz¡ symetryczn¡. Powiemy, »e macierz A jest dodatnio, (odpowiedk
T
nio nieujemnie ) okre±lona, gdy dla ka»dego niezerowego x ∈ R zachodzi x Ax > 0 (odpowiednio
T
x Ax > 0).
Niech
Lemat 35. Macierz kowariancji
Σ
jest nieujemnie okre±lona.
Dowód. Tak jak w dowodach faktów 23 i 24 stwierdzamy, »e je±li
xT Σx = σ 2 (x1 R1 + · · · + xk Rk ) > 0.
T
x = (x1 , . . . , xk )
∈ Rk ,
to
Przypomnijmy kryterium pozwalaj¡ce na sprawdzenie czy dana macierz symetryczna jest dodatnio okre±lona.
30
Kryterium 36 (Sylvester). Niech
A(1) := (a11 ) ,
Macierz
A
A(2)
k
A = (aij )i,j=1
a11
:=
a21
b¦dzie macierz¡ symetryczn¡. Oznaczmy

a12
,
a22

· · · , A(k) := 
a11
···
.
.
.
a1k
.
.
.
ak1
···
jest dodatnio okre±lona wtedy i tylko wtedy, gdy
akk


.
det A(1) > 0, det A(2) > 0, . . . , det A(k) > 0.
Przykªad 37. Macierz
Σ
z przykªadu 29 jest dodatnio okre±lona.
Jest nieco zaskakuj¡ce, »e zamiana w powy»szym kryterium Sylvestera nierówno±ci ostrych na sªabe nie
prowadzi do kryterium dla macierzy nieujemnie okre±lonych. Czytelnik mo»e spróbowa¢ znale¹¢ stosowny
przykªad. W istocie sprawdzenie, »e dana macierz symetryczna jest nieujemnie okre±lona wymaga obliczenia
wi¦kszej ilo±ci wyznaczników.
Dokªadniej, niech A = (aij ) b¦dzie macierz¡ symetryczn¡ wymiaru k × k . Dla dowolnych ci¡gów 1 6
i ,...,i
i1 < · · · < ip 6 k, 1 6 j1 < · · · < jp 6 k symbolem Aj11 ,...,jpp oznaczamy macierz p × p powstaª¡ z wierszy
macierzy A o numerach i1 , . . . , ip oraz kolumn o numerach j1 , . . . , jp . Przykladowo, przy tych oznaczeniach
podane wy»ej kryterium Sylvestera wypowiada si¦ nast¦puj¡co: Macierz A jest dodatnio okre±lona dokªadnie
1,2
1,2,...,k
1
wtedy, gdy det A1 > 0, det A1,2 > 0, . . . , det A
1,2,...,k > 0.
Kryterium 38 (Sylvester). Macierz symetryczna
i ,...,i
det Aj11 ,...,jpp > 0
dla ka»dego
p = 1, . . . , k
A
jest nieujemnie okre±lona wtedy i tylko wtedy, gdy
i ka»dego ci¡gu
1 6 i1 < · · · < ip 6 k.
Zajmiemy si¦ teraz problemem wyznaczenia portfeli minimalizuj¡cych ryzyko. Dla ka»dego
1, . . . , k
j=
kªadziemy
(j)
∆k−1 := {x = (x1 , . . . , xk ) ∈ ∆k−1 : xj = 0} .
(j)
j -t¡ ±cian¡ sympleksu ∆k−1 . Widzimy, »e ∆k−1 ma k ró»nych ±cian. W
(2)
(3)
(1)
(2)
(1)
szczególno±ci ∆1
= {(0, 1)}, ∆1 = {(1, 0)} oraz ∆2 = e2 e3 , ∆2 = e1 e3 , ∆2 = e1 e2 . Sum¦
wszystkich ±cian sympleksu ∆k−1 nazywamy jego brzegiem i oznaczamy symbolem ∂∆k−1 . Inaczej
Zbiór
∆k−1
nazywamy
mówi¡c
(1)
(k)
∂∆k−1 := ∆k−1 ∪ · · · ∪ ∆k−1 .
Dla dowolnych wektorów
podprzestrze« liniow¡
R
k
v1 , . . . , v l ∈ R k
lin (v1 , . . . , vk ) :=
Kªadziemy
symbolem
lin (v1 , . . . , vl )
oznaczamy rozpi¦t¡ przez nie
. Inaczej mówi¡c

k
X

tj vj : t1 , . . . , tk ∈ R
j=1
 
1
1
 
ι :=  . 
 .. 
1
31



.
Twierdzenie 39. Zaªó»my, »e wektory
dodatnio okre±lona. Niech
1. Je±li
Σx̃ ∈ lin (µ, ι),
2. Je±li
x̃ ∈ ∆k−1
Uwaga 40. Wektory
µ
µ
oraz
ι
nie s¡ proporcjonalne oraz »e macierz
Σ
jest
x̃ ∈ ∆k−1 .
to
x̃
jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka.
jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka, to
x̃ ∈ ∂∆k−1
lub
Σx̃ ∈ lin (µ, ι).
µ oraz ι nie s¡ proporcjonalne dokªadnie wtedy, gdy nie wszystkie wspóªrz¦dne
s¡ identyczne. Inne równowa»ne sformuªowanie tego zaªo»enia to »¡danie aby speªniona byªa
równo±¢
rank (µ, ι) = 2,
gdzie
rank
oznacza rz¡d macierzy.
Przykªad 41. Wyznaczymy portfele relatywnie minimalnego ryzyka oraz portfel minimalnego ry-
zyka dla danych z przykªadu 29. Mamy

1
Σ = 0
1
0
2
1

1
1 ,
4
 
1
µ = 2 .
3
Zauwa»my, »e zaªo»enia twierdzenia 39 s¡ speªnione: z kryterium Sylvestera widzimy, »e macierz
Σ
µ oraz ι nie s¡ proporcjonalne. Wyznaczymy zbiór
Σx ∈ lin (µ, ι). Wektor Σx jest elementem przestrzeni liniowej
liniowo zale»ny od wektorów µ, ι a zatem wtedy, gdy
jest dodatnio okre±lona, ponadto wektory
tych portfeli
lin (µ, ι)
x ∈ ∆k−1
dla których
dokªadnie wtedy, gdy jest
rank (Σx, µ, ι) = rank (µ, ι) = 2.
(Σx, µ, ι) skªada si¦ z 3 kolumnn i k
3, a poniewa» rank (µ, ι) = 2, wi¦c nie mo»e by¢
rank (Σx, µ, ι) = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory
Ogólnie rzecz bior¡c, gdy mamy dane
k
aktywów, macierz
wierszy. Jej rz¡d nie mo»e by¢ wi¦c wi¦kszy ni»
te» mniejszy ni»
2.
W konsekwencji
o wymiarach 3x3 macierzy
(Σx, µ, ι)
s¡ równe zero. W naszym przypadku

x1 + x3
(Σx, µ, ι) =  2x2 + x3
x1 + x2 + 4x3

1 1
2 1
3 1
mamy wi¦c do zbadania tylko jeden minor, a mianowicie wyznacznik powy»szej macierzy:
det (Σx, µ, ι) = −2x1 + 3x2 − 3x3 .
32
Zatem
(
Σx ∈ lin (µ, ι)
x ∈ ∆2
⇐⇒
(
(
rank (Σx, µ, ι) = 2
x ∈ ∆2


−2x1 + 3x2 − 3x3 = 0
⇐⇒ x1 + x2 + x3 = 1


x1 , x2 , x3 > 0
⇐⇒
det (Σx, µ, ι) = 0
x ∈ ∆2

1
2

 5 6 x2 6 2
⇐⇒ x1 = 3 − 6x2


x3 = 5x2 − 2
W my±l twierdzenia 39 ka»dy z wy»ej wyznaczonych portfeli jest portfelem relatywnie minimalnego
ryzyka. Oznaczmy je przez


3 − 6t
p (t) :=  t  ,
5t − 2
1
2
6t6 .
5
2
E (p (t)) = 11t − 3. Poniewa» t przebiega wskazany wy»ej przedziaª, wi¦c zbiór warto±ci
E (p (t)) pokrywa si¦ z przedziaªem h7/5, 5/2i. Dalej wygodniej b¦dzie mie¢ p (t)
uzale»nion¡ raczej od warto±ci oczekiwanej E ∈ h7/5, 5/2i ni» od t przebiegaj¡cego podzbiór h0, 1i.
Aby tak¡ reparametryzacj¦ uzyska¢, z równania E (p (t)) = E wyznaczamy t = E/11 + 3/11 a
nast¦pnie wstawiamy do wzoru na p (t):


15/11 − 6E/11
E
3
p̃ (E) := p
+
=  E/11 + 3/11  , E ∈ h7/5, 5/2i.
11 11
5E/11 − 7/11
Mamy
oczekiwanych
Zalet¡ tej parametryzacji jest to, »e
E (p̃ (E)) = E .
Wyznaczyli±my zatem wszystkie portfele relatywnie minimalnego ryzyka o oczekiwanej stopie
zwrotu le»¡cej w przedziale
h7/5, 5/2i.
Pozostaje wyznaczy¢ te portfele relatywnie minimalnego
ryzyka, których oczekiwana stopa zwrotu le»y w sumie przedziaªów
39 wynika, »e portfele te musz¡ le»e¢ w brzegu
e2 e3 .
∂∆2
sympleksu
∆2 .
h1, 7/5) ∪ (5/2, 3i. Z twierdzenia
Wiemy, »e ∂∆2 = e1 e2 ∪ e1 e3 ∪
Parametryzujemy kolejno te odcinki, przy czym znów najwygodniej jest parametryzacje te
mie¢ uzale»nione od
E:
T
p12 (E) := (2 − E, E − 1, 0) , E ∈ h1, 2i ,
T
p13 (E) := (3/2 − E/2, 0, E/2 − 1/2) , E ∈ h1, 3i ,
T
p23 (E) := (0, 3 − E, E − 2) , E ∈ h2, 3i .
Poniewa»
E (pij (E)) = E ,
wi¦c wystarczy teraz porówna¢ wariancje. Je±li
σ 2 (p12 (E)) = 3E 2 − 8E + 6 6
przy czym równo±¢ uzyskujemy jedynie dla
E ∈ h1, 7/5),
3 2 3
7
E − E + = σ 2 (p13 (E)) ,
4
2
4
E = 1.
σ 2 (p23 (E)) = 4E 2 − 18E + 22 6
33
Podobnie, je±li
E ∈ (5/2, 3i,
to
3 2 3
7
E − E + = σ 2 (p13 (E)) ,
4
2
4
to
przy czym równo±¢ uzyskujemy jedynie dla
przedziaª
h1, 3i
E = 3.
Zatem rozszerzaj¡c parametryzacj¦
p̃
na caªy
wzorem

T

(2 − E, E − 1, 0)
p̃ (E) := (15/11 − 6E/11, E/11 + 3/11, 5E/11 − 7/11)T


T
(0, 3 − E, E − 2)
E ∈ h1, 7/5)
E ∈ h7/5, 5/2i
E ∈ h2, 3i
uzyskujemy parametryczny opis wszystkich portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. Warto zauwa»y¢, »e dla
E=2
uzyskujemy wynik z przykªadu 29.
Aby wyznaczy¢ portfel minimalnego ryzyka, obliczamy wariancj¦

2

3E − 8E + 6
2
17
8
σ (p̃ (E)) = 11 E 2 − 18
11 E + 11

 2
4E − 18E + 22
Powy»sza funkcja osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ dla
równy
T
p̃ (4/3) = (2/3, 1/3, 0)
E ∈ h1, 7/5)
E ∈ h7/5, 5/2i
E ∈ h2, 3i
E = 4/3.
Zatem portfel minimalnego ryzyka jest
. Uzyskane wyniki przedstawiamy na rysunku 8.1.
Do dowodu twierdzenia 39 potrzebne nam b¦d¡ pewne informacje o funkcjach wypukªych.
f : V → R okre±lon¡ na zbiorze wypukªym V ⊂ Rk nazywamy wypukª¡,
x, y ∈ V i dla ka»dych s, t ∈ h0, 1i, s + t = 1, speªniona jest nierówno±¢
Funkcj¦
nych
gdy dla dowol-
f (sx + ty) 6 sf (x) + tf (y) .
Funkcj¦
f
nazywamy ±ci±le wypukª¡, gdy jest wypukªa i równo±¢ w nierówno±ci (8.1) zachodzi
co najwy»ej wtedy, gdy
Fakt 42. Niech
Rk .
(8.1)
Wtedy je±li
s=0
lub
f : V → R b¦dzie
f osi¡ga w x ∈ V
minimum globalne. Ponadto je±li
t=0
lub
x = y.
funkcj¡ wypukª¡, gdzie
V
jest otwartym i wypukªym podzbiorem
swoje minimum lokalne, to osi¡ga w tym punkcie równie» swoje
f
jest ±ci±le wypukªa, to osi¡ga swoje minimum globalne w co
najwy»ej jednym punkcie.
Dowód. Zaªó»my, »e
0
»e
f (x ) < f (x).
f
osi¡ga swoje minimum lokalne w
Wówczas dla
t ∈ (0, 1)
x∈V
i we¹my dowolne
x0 ∈ V . Przypu±¢my,
mamy
f (tx + (1 − t) x0 ) 6 tf (x) + (1 − t) f (x0 ) < tf (x) + (1 − t) f (x) = f (x) .
ε > 0 istnieje x00 ∈ V \ {x}, taki »e f (x00 ) < f (x) i kx − x00 k < ε. Sprzeczno±¢.
0
Zaªó»my teraz, »e f jest ±ci±le wypukªa i osi¡ga swoje minimum globalne w punktach x, x ∈ V .
0
0
Przypu±¢my, »e x 6= x . Poªó»my α := f (x) = f (x ). Mamy
1
1 0
1
1
1
1
f
x + x < f (x) + f (x0 ) = α + α = α.
2
2
2
2
2
2
Zatem dla ka»dego
Sprzeczno±¢.
Rozwa»my funkcje
v : Rk → R, E : R k → R
dane wzorami
v (x) := xT Σx,
T
E (x) := x µ.
34
(8.2)
(8.3)
E
3
5
2
7
5
4
3
q
σ
2
3
Rysunek 8.1: Ilustracja do przykªadu 41. Krzywa narysowana kolorem niebieskim jest brzegiem
minimalnym. Jest ona sum¡ fragmentów trzech (ró»nych!) hiperbol.
35
Zauwa»my, »e
v (x) = σ 2 (x) ,
E (x) = E (x) ,
x ∈ ∆k−1 .
dla
v jest wypukªa. Co
limx→∞ v (x) = ∞.
Lemat 43. Funkcja
±ci±le wypukªa oraz
Dowód. We¹my
wi¦cej, je±li macierz
s, t ∈ h0, 1i, s + t = 1, x, y ∈ Rk .
Σ
jest dodatnio okre±lona, to
v
jest
Mamy
T
sv (x) + tv (y) − v (sx + ty) =sxT Σx + ty T Σy − (sx + ty) Σ (sx + ty)
=sxT Σx + ty T Σy − s2 xT Σx − st xT Σy + y T Σx − t2 y T Σy
=st xT Σx − xT Σy − y T Σx + y T Σy
T
=st (x − y) Σ (x − y) .
Z lematu 35 wiemy, »e macierz
wypukªo±¢
Σ
jest nieujemnie okre±lona. Zatem
T
(x − y) Σ (x − y) > 0,
v.
T
Σ jest dodatnio okre±lona. Wówczas w nierówno±ci st (x − y) Σ (x − y) >
dokªadnie wtedy, gdy s = 0 lub t = 0 lub x = y . To daje, »e v jest ±ci±le wypukªa.
0
k
0
ostatni¡ cz¦±¢ tezy wybierzmy x ∈ R , takie »e kx k = 1 oraz
v (x0 ) = min v (x) : x ∈ Rk , kxk = 1 .
Zaªó»my teraz, »e macierz
0
mamy równo±¢
Aby wykaza¢
Z wªasno±ci funkcji ci¡gªych na zbiorach zwartych wynika, »e taki punkt
macierz
Σ
jest dodatnio okre±lona, wi¦c
v (x) = xT Σx = kxk2
gdy
co daje
x
kxk
0
v (x ) > 0.
T
Σ
x
kxk
x0
istnieje. Poniewa»
Zatem
= kxk2 v
x
kxk
> kxk2 v (x0 ) → ∞,
kxk → ∞.
Niech
T
T
e1 := (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 := (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , ek := (0, 0, . . . , 0, 1)
Lemat 44. Dla dowolnego
x ∈ Rk
oraz
i ∈ {1, . . . , k}
T
.
mamy
∂v
(x) = 2eTi Σx.
∂xi
Dowód. Bezpo±redni rachunek.
Symbolem
Hk−1
b¦dziemy dalej oznaczali hiperpªaszczyzn¦ w
Hk−1
1.
x̃ ∈ Hk−1 .
zawieraj¡c¡
n
o
T
= (x1 , . . . , xk ) ∈ Rk : x1 + · · · + xk = 1 .
Lemat 45. Zaªó»my, »e macierz
Niech
Rk
Σ
jest dodatnio okre±lona, i »e funkcja
Nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:
v (x̃) = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)}.
36
v
∆k−1 .
A zatem
jest dana wzorem (8.2).
2.
Σx̃ ∈ lin (µ, ι).
Dowód. Niech
L := lin (µ, ι).
Zaªó»my 1. We¹my dowolny wektor
w ∈ L⊥
czyli taki, »e
wT µ = wT ι = 0.
l (t) := x̃ + tw, p (t) := v (l (t)), t ∈ R. Zauwa»my, »e dla ka»dego t ∈ R mamy l (t) ∈ Hk−1
E (l (t)) = E (x̃). Zatem funkcja p posiada minimum w punkcie t = 0 i p0 (0) = 0.
Poªó»my
oraz
Z drugiej strony z reguªy ªa«cucha i z lematu 44 mamy


p0 (t) =wT 
∂v
∂x1
∂v
∂xn

 T
e1 Σl (t)


.
.
T
T 
.
.
 = 2w Σl (t) .
 = 2w 
.
.
eTn Σl (t)
(l (t))
(l (t))

W szczególno±ci
0 = p0 (0) = 2wT Σx̃.
⊥
⊥ ⊥
Zatem z dowolno±ci wektora w ∈ L
dostajemy Σx̃ ∈ L
= L, co daje 2.
Zaªó»my teraz 2. Istniej¡ wtedy a, b ∈ R, takie »e Σx̃ = aι + bµ. We¹my dowolny x ∈ Hk−1 \ {x̃},
⊥
taki »e E (x) = E (x̃). Zauwa»my, »e x− x̃ ∈ L . Poªó»my l (t) := x̃+t (x − x̃), p (t) := v (l (t)), t ∈ R.
Z okre±lenia v i l dostajemy, »e p jest wielomianem wzgl¦dem t stopnia nie wi¦kszego ni» 2. Inaczej
mówi¡c p jest funkcj¡ staª¡ lub funkcj¡ liniow¡ lub trójmianem kwadratowym. Poniewa» macierz
Σ jest dodatnio okre±lona, wi¦c funkcja p jest dodatnia i, w my±l lematu 43, ±ci±le wypukªa. Zatem
p musi by¢ dodatnim trójmianem kwadratowym. Licz¡c analogicznie jak w dowodzie implikacji
odwrotnej dostajemy
T
T
T
T
p0 (0) = 2 (x − x̃) Σx̃ = 2 (x − x̃) (aι + bµ) = 2a (x − x̃) ι + 2b (x − x̃) µ = 0.
Reasumuj¡c funkcja
p
posiada globalne minimum w punkcie
t=0
i w szczególno±ci
v (x̃) = p (0) < p (1) = v (x) .
Z dowolno±ci
x
dostajemy 1.
Wyka»emy teraz twierdzenie 39.
Dowód. Zaªó»my, »e
Σx̃ ∈ lin (µ, ι).
Wówczas w my±l lematu 45 mamy
v (x̃) = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)} ,
a wi¦c tym bardziej
St¡d
x̃
σ 2 (x̃) = min σ 2 (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E (x̃) .
jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka.
Odwrotnie, niech
x̃ ∈
/ ∂∆k−1 .
Poªó»my
x̃ ∈ ∆k−1 b¦dzie portfelem relatywnie
minimalnego ryzyka
p
E0 := E (x̃). Poniewa» σ (x) = v (x) dla x ∈ ∆k−1 , wi¦c
v (x̃) = min {v (x) : x ∈ ∆k−1 , E (x) = E0 } .
37
i zaªó»my, »e
Z lematu 43 wiemy, »e
˜ = E0 ,
E x̃
w którym
limx→∞ v (x) = +∞. St¡d i z ci¡gªo±ci
v osi¡ga swoje minimum globalne, tzn.
W my±l lematu 45 mamy
funkcji
v
istnieje
˜ ∈ Hk−1
x̃
takie »e
˜ = min {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E0 } .
v x̃
˜ ∈ lin (µ, ι) .
Σx̃
˜.
x̃ = x̃
V := {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E0 }. Poniewa» V jest
(
xT ι = 1
xT µ = E 0
(8.4)
Aby doko«czy¢ dowód wystarczy zatem wykaza¢, »e
Niech
zbiorem rozwi¡za« ukªadu równa«
oraz
rank (µ, ι) = 2,
h : Rk−2 → V . Wówczas
funkcja
k−1
˜
˜ = x̃
˜. Šatwo
ṽ := v ◦ h jest ±ci±le wypukªa. Niech ỹ, ỹ ∈ R
b¦d¡ takie, »e ṽ (ỹ) = x̃, ṽ ỹ
k−2
sprawdzamy, »e z zaªo»enia x̃ ∈ ∆k−1 \ ∂∆k−1 wynika istnienie otoczenia U punktu ỹ w R
,
takiego »e h (U ) ⊂ ∆k−1 . W konsekwencji funkcja ṽ osi¡ga swoje minimum lokalne w ỹ . Z drugiej
˜. St¡d, z faktu 42 i z tego, »e ṽ jest ±ci±le wypukªa
strony ṽ osi¡ga swoje minimum globalne w ỹ
˜
˜
dostajemy ỹ = ỹ . Zatem x̃ = x̃. To oraz (8.4) daje tez¦.
wi¦c istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie aniczne
Cz¦±¢ IV
Model Blacka
Zajmiemy si¦ teraz opisem modelu Blacka, czyli modelu Markowitza wzbogaconego o mo»liwo±¢
nieograniczonej krótkiej sprzeda»y.
Przykªad 46 (krótka sprzeda»). Zaªó»my, »e w obrocie gieªdowym znajduj¡ si¦ akcje pewnej
spóªki
A
i zaªó»my, »e przewidujemy, i» w ci¡gu roku ceny akcji tej spóªki spadn¡ ze 100 do 97
za sztuk¦. Po»yczamy 50 akcji spóªki
50 · 100 = 5000.
A
i natychmiast je sprzedajemy. Uzyskujemy w ten sposób
Po upªywie roku odkupujemy
50
akcji tej spóªki i oddajemy wªa±cicielowi. Je»eli
aktualna cena wynosi, tak jak przewidywali±my 97, to wydajemy na t¦ transakcj¦
Ostatecznie nasz zysk wynosi
50 · 97 = 4850.
5000 − 4850 = 150.
Strategia opisana w powy»szym przykªadzie, czyli po»yczka i sprzeda» aktywów, których si¦
faktycznie nie posiada, a nast¦pnie ich odkupienie i zwrot nazywamy krótk¡ sprzeda»¡. Zauwa»my, »e
stosuj¡c krótk¡ sprzeda» mo»na, przynajmniej teoretycznie, tak dowolnie wiele zyska¢ jak i dowolnie
wiele straci¢.
Opis portfela w modelu Blacka wygl¡da nast¦puj¡co: Zakªadamy, »e dysponujemy pewn¡ kwot¡
Cp , któr¡ b¦dziemy inwestowali w spóªki o numerach 1, 2, . . . , k . Przyjmujemy, »e ka»dy
J ⊂ {1, 2, . . . , k} b¦dzie zbiorem indeksów
walorów, które zdecydowali±my si¦ krótko sprzedawa¢. A zatem dla ka»dego j ∈ J po»yczamy
pocz¡tkow¡
walor dopuszcza nieograniczon¡ krótk¡ sprzeda». Niech
tych
38
Kj oznacza kwot¦ uzyskan¡ ze sprzeP
j ∈ J . Dysponujemy teraz kwot¡ Cp + j∈J Kj , któr¡ inwestujemy w akcje spóªek
I = {1, 2, . . . , k} \ J . Niech Ki , i ∈ I oznacza kwot¦ zainwestowan¡ w spóªk¦ i. Mamy
X
X
Cp +
Kj =
Ki .
a nast¦pnie natychmiast sprzedajemy pewn¡ ilo±¢ akcji. Niech
da»y akcji spóªki
i ∈ I,
gdzie
j∈J
St¡d, kªad¡c
xi := Ki /Cp , i ∈ I
i∈I
xj := −Kj /Cp , j ∈ J
oraz
dostajemy
x1 + x2 + · · · + xk = 1.
Uzyskali±my zatem punkt
T
x := (x1 , . . . , xk )
∈ Hk−1 ,
który koduje przeprowadzony przez nas
wy»ej proces inwestycyjny. W konsekwencji portfelem akcji w modelu Blacka b¦dziemy nazywali
ka»dy punkt
x ∈ Hk−1 .
A, B, C, D, E . Dysponujemy kwot¡ 100. Dokonujemy krótkiej sprzeA, B, C za kwot¦ odpowiednio 10, 20, 30. Nast¦pnie inwestujemy w aktywa D i E
w proporcji 3 : 1. Wyznaczymy portfel odpowiadaj¡cy opisanej sytuacji. Kwota przeznaczona do
inwestycji w D i E jest równa 100 + 10 + 20 + 30 = 160. Mamy 120 : 40 = 3 : 1 oraz 120 + 40 = 160,
Przykªad 47. Dane s¡ aktywa
da»y aktywów
wi¦c nasz portfel jest równy
Fakt 48. Stopa zwrotu
R(x)
−
20
30 120 40
10
,−
,−
,
,
100 100 100 100 100
z portfela
x ∈ Hk−1
T
.
jest równa
R (x) = x1 R1 + · · · + xk Rk = xT R.
Dowód. Obliczymy najpierw oczekiwany zysk z naszej inwestycji. Niech
l ∈ {1, 2, . . . , k}.
Zl
oznacza zysk z waloru
Przyjmuj¡c oznaczenia jak w powy»szym opisie portfela w modelu Blacka mamy:
Zi = Ki (1 + Ri ) − Ki = Ki Ri ,
i ∈ I,
Zj = Kj − Kj (1 + Rj ) = −Kj Rj ,
j ∈ J.
Zatem
R (x) =
=
Pk
l=1
Zl
Cp
X Ki
i∈I
Cp
=
P
Ri +
i∈I
K i Ri −
j∈J
Kj Rj
Cp
X −Kj
j∈J
P
Cp
Rj =
k
X
xl Rl .
l=1
Widzimy wi¦c, »e wzór na stop¦ zwrotu (jako zmienn¡ losow¡) z portfela w modelu Markowitza
i w modelu Blacka jest taki sam. W konsekwencji wariancja, odchylenie standardowe, oczekiwana
stopa zwrotu, odwzorowanie Markowitza i zmodykowane odwzorowanie Markowitza wyra»aj¡ si¦
tymi samymi wzorami w modelu Markowitza i w modelu Blacka. Dokªadniej, wszystkie wymienione
39
wy»ej funkcje okre±lone w modelu Markowitza na sympleksie
sób na hiperpªaszczyzn¦
Hk−1 .
∆k−1
rozszerzaj¡ si¦ w naturalny spo-
Co wi¦cej denicje portfela efektywnego, brzegu efektywnego, port-
fela relatywnie minimalnego ryzyka, brzegu minimalnego, portfela minimalnego ryzyka przenosz¡
si¦, po dokonaniu oczywistych zmian, z modelu Markowitza na model Blacka.
T
ι := (1, . . . , 1) (k jedynek) i wektor µ nie s¡ proporcjonalne
oraz »e macierz Σ jest dodatnio okre±lona. Wtedy x̃ ∈ Hk−1 jest portfelem relatywnie minimalnego
ryzyka w modelu Blacka wtedy i tylko wtedy, gdy Σx̃ ∈ lin (µ, ι).
Twierdzenie 49. Zaªó»my, »e wektor
Dowód. Teza wynika z lematu 45.
Twierdzenie 50. Je±li macierz
Σ
wszystkie wspóªrz¦dne wektora
Σx̃
x̃ ∈ Hk−1 jest portfelem minimalnego
Σx̃ oraz ι s¡ proporcjonalne (czyli gdy
jest dodatnio okre±lona, to
ryzyka w modelu Blacka wtedy i tylko wtedy, gdy wektory
s¡ identyczne).
Dowód. Zauwa»my najpierw, »e pytanie, który portfel jest portfelem minimalnego ryzyka, nie zale»y
od warto±ci wektora oczekiwanych stóp zwrotu
E (x) = 1
dla ka»dego
x ∈ Hk−1 ,
µ.
Mo»emy zatem przyj¡¢
µ := ι.
W konsekwencji
wi¦c
{v (x) : x ∈ Hk−1 } = {v (x) : x ∈ Hk−1 , E (x) = E (x̃)} .
St¡d, z okre±lenia
µ
i z lematu 45 dostajemy tez¦.
Przykªad 51. Niech



Σ=


6
6
2
6
4
6
21
2
3
9
6
2
3
2
3
2

6 4
9 6 

3 2 

19
6 
2
6 4
Przy dozwolonej krótkiej sprzeda»y wyznaczymy portfel minimalnego ryzyka. Mamy
1,2,3,4
1,2,3,4,5
1,2,3
det Σ11 = 6, det Σ1,2
1,2 = 27, det Σ1,2,3 = 30, det Σ1,2,3,4 = 42 det Σ1,2,3,4,5 = det Σ = 6,
Σ jest dodatnio okre±lona i mo»emy korzysta¢ z twierdzenia 50.
x̃ ∈ Hk−1 , takie »e Σx̃ jest proporcjonalne do ι rozwi¡zujemy najpierw ukªad równa«
Σx = ι. Poniewa» det Σ =
6 0, wi¦c ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie i ªatwo
wi¦c z kryterium Sylvestera macierz
Aby znale¹¢
liniowych
sprawdzamy, »e jest ono równe
40

Zauwa»my, »e tak uzyskany wektor
ι),
nawet równy
x̃ ∈ Hk−1


˜=
x̃








speªnia t¦ wªasno±¢, »e
˜
Σx̃
jest proporcjonalny do
ale mo»e nie nale»e¢ (i w naszym przypadku nie nale»y) do
x̃ :=
Teraz
˜
x̃
0
−1/3
1/2
−1
2
˜
x̃
suma wspóªrz¦dnych
Σx̃ =
Uwaga 52. Je±li macierz
Σ
x̃
ι
(bo jest
Niech

0
−2/7
˜


x̃
3/7 
=
=


˜
7/6 
x̃
−6/7
12/7

oraz
Zatem w my±l twierdzenia 50,
Hk−1 .
6 ˜ 6
Σx̃ = ι.
7
7
jest portfelem minimalnego ryzyka.
jest dodatnio okre±lona oraz
Σx = ι,
to suma wspóªrz¦dnych wektora
x
jest niezerowa:
suma wspóªrz¦dnych
Wyka»emy teraz, »e gdy macierz
Σ
x = xT ι = xT Σx > 0.
jest dodatnio okre±lona i wektory
µ
oraz
ι
nie s¡ proporcjo-
nalne, to zbiór portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Blacka jest prost¡. Podamy te»
parametryzacj¦ tej prostej.
Kªadziemy:
α := µT Σ−1 µ,
β := µT Σ−1 ι,
γ := ιT Σ−1 ι.
Lemat 53.
αγ − β 2 > 0.
Dowód. Macierz
wektory
µiι
Σ−1 ,
tak jak macierz
Σ,
3 Zatem
jest dodatnio okre±lona.
s¡ liniowo niezale»ne wynika, i»
βµ − αι 6= 0.
α > 0.
St¡d i z faktu, »e
Wobec tego
T
0 < (βµ − αι) Σ−1 (βµ − αι) = α αγ − β 2 .
3 Istotnie,
poniewa»
Σ
jest nieosobliwa, wi¦c dla dowolnego
x ∈ Rk \ {0}
istnieje
Zatem
xT Σ−1 x = (Σy)T Σ−1 (Σy) = y T Σy > 0.
41
y ∈ Rk \ {0},
taki »e
Σy = x.
Twierdzenie 54. Zaªó»my, »e macierz
Σ
jest dodatnio okre±lona oraz, »e wektory
µ
i
ι
nie s¡
proporcjonalne. Wówczas zbiór portfeli relatywnie minimalnego ryzyka w modelu Blacka tworzy
prost¡. Parametryzacja tej prostej
R 3 E 7→ x (E)
x (E) = αγ − β 2
−1
dana jest wzorem
Σ−1 ((α − βE) ι + (γE − β) µ)
E (x (E)) = E, E ∈ R.
Ponadto dla parametryzacji tej speªniona jest równo±¢
Dowód. We¹my dowolny
(8.5)
x ∈ Hk−1 . Oznaczmy E := E (x). Niech x (E) b¦dzie portfelem relatywnie
E (x (E)) = E . W my±l twierdzenia 49 istniej¡ a, b ∈ R, takie »e
minimalnego ryzyka, takim »e
Σx (E) = aι + bµ.
Macierz
Σ
jest dodatnio okre±lona, wi¦c równie» nieosobliwa. Zatem powy»sze równanie mo»emy
przepisa¢ w postaci
x (E) = aΣ−1 ι + bΣ−1 µ.
Wymna»aj¡c z kolei to równanie z lewej strony raz przez
równa« z niewiadomymi
a i b:
ι
T
i raz przez
(8.6)
T
µ
dostajemy ukªad dwóch
(
1 = aγ + bβ
E = aβ + bα
αγ − β 2 jest ró»ny od zera (lemat 53). Zatem
γ 1 1 β
β E E α α − βE
γE − β
=
=
, b = .
a = 2
αγ
−
β
αγ
− β2
γ
β
γ
β
β α β α Wyznacznik tego ukªadu
St¡d i z (8.6) dostajemy tez¦.
Twierdzenie 55. Przy zaªo»eniach twierdzenia 54 brzeg minimalny w modelu Blacka jest praw¡
gaª¦zi¡ hiperboli o równaniu
2
σ2
(E − E0 )
−
= 1,
a2
b2
gdzie
1
a= √ , b=
γ
p
(8.7)
αγ − β 2
β
, E0 = .
γ
γ
Ponadto
1.
x ∈ Hk−1
2. portfel
x
jest portfelem minimalnego ryzyka wtedy i tylko wtedy, gdy
jest efektywny wtedy i tylko wtedy, gdy
42
(σ (x) , E (x))
σ (x) = a, E (x) = E0 ,
speªnia (8.7) oraz
E (x) > E0 .
E ∈ R i x (E) jest portfelem relatywnie minimalnego ryzyka
x (E) jest dane wzorem (8.5). Oznaczmy σ := σ (x (E)).
dwuskªadnikowym wyka»emy, »e równanie uwikªane wi¡»¡ce σ i E jest
Dowód. Zgodnie z twierdzeniem 54, je±li
o oczekiwanej stopie zwrotu równej
Podobnie jak w modelu
E,
to
równaniem hiperboli z tezy twierdzenia. Mamy
T
σ 2 =x (E) Σx (E)
−1 −1
1
T
T
Σ ΣΣ ((α − βE) ι + (γE − β) µ)
=
2 (α − βE) ι + (γE − β) µ
2
(αγ − β )
1
=
γE 2 − 2βE + α
2
αγ − β
2
γ
β
1
=
E
−
+ .
αγ − β 2
γ
γ
St¡d wyprowadzamy, »e speªniona jest równo±¢ (8.7).
σ > 0, E ∈ R i »e (σ, E) jest punktem hiperboli (8.7). Niech x (E) b¦dzie
E . Nale»y wykaza¢,
»e σ = σ (x (E)). Oznaczmy σ̃ := σ (x (E)). Wtedy σ̃ > 0 i z pierwszej cz¦±ci dowodu punkt (σ̃, E)
le»y na hiperboli (8.7). St¡d σ = σ̃ .
Odwrotnie, zaªó»my »e
portfelem relatywnie minimalnego ryzyka o oczekiwanej stopie zwrotu równej
Przykªad 56. We¹my dane z przykªadu 29 ale tym razem z dopuszczon¡ krótk¡ sprzeda»¡

1
Σ = 0
1
Mamy
Σ−1

7
1
1
=
5
−2
1
3
−1
0
2
1

1
1 ,
4

−2
−1 ,
2
 
1
µ = 2 .
3
α=
17
9
8
, β= , γ= .
5
5
5
Korzystaj¡c z twierdzenia 54 wyznaczamy parametryzacj¦
R 3 E 7→ x (E)
portfeli relatywnie
minimalnego ryzyka
−1 −1
x (E) = αγ − β 2
Σ ((α − βE) ι + (γE − β) µ)

 

 
1
1
7
1 −2
5 1
17
9
8
9
2
1
3 −1 
= ·
− E 1 +
E−
11 5
5
5
5
5
−2 −1 2
1
3
 6

15
− 11 E + 11
E
3

=  11
+ 11
5
7
11 E − 11
Wynik ten uzyskali±my ju» w przykªadzie 41. Tam czekaªy nas jeszcze kolejne obliczenia, gdy»
x (E) ∈ ∆2 co ograniczyªo nasz¡ parameh7/5, 5/2i. Dla pozostaªych E ∈ h1, 3i nale»aªo szuka¢ portfeli relatywnie
minimalnego ryzyka le»¡cych w ∂∆2 . Dopuszczenie krótkiej sprzeda»y powoduje, »e wyznaczona
wy»ej parametryzacja okre±lona na R daje dokªadnie wszystkie portfele relatywnie minimalnego
krótka sprzeda» nie byªa dozwolona wi¦c musiaªo by¢
tryzacj¦ do przedziaªu
ryzyka.
43
E
9
8
q
σ
5
8
Rysunek 8.2: W tym przykªadzie brzeg minimalny jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli. Kropka to obraz
portfela minimalnego ryzyka a krzywa w kolorze niebieskim to brzeg efektywny. Cz¦±¢ pªaszczyzny znajduj¡ca si¦ na prawo od brzegu minimalnego to zbiór mo»liwo±ci w modelu Blacka. Linie
przerywane to
M (∂∆2 )
(porównaj rysunek 8.1).
Na koniec zauwa»my, »e w my±l twierdzenia 55 brzeg minimalny jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli o
równaniu
2
σ2
(E − 9/8)
−
= 1.
5/8
55/64
Portfel minimalnego ryzyka ma odchylenie standardowe równe
zwrotu wynosi
9/8.
Przykªad ten ilustrujemy rysunkiem 8.2.
44
p
5/8,
a jego oczekiwana stopa
Cz¦±¢ V
Model Blacka z doª¡czonymi aktywami
wolnymi od ryzyka
9
Opis portfela
W tej cz¦±ci b¦dziemy zakªadali, »e oprócz
k
aktywów ryzykownych mamy jeszcze do dyspozycji
walor, który jest bezryzykowny. Przyjmujemy, »e jego stopa zwrotu jest staªa i dodatnia, i »e mo»emy
wedªug tej stopy udziela¢ i zaci¡ga¢ po»yczki w dowolnej wysoko±ci. B¦dziemy te» dopuszczali krótk¡
sprzeda».
Niech
Ef > 0
(indeks
f
od risk free ) oznacza stop¦ zwrotu woln¡ od ryzyka (tzn.
Oznaczenia dotycz¡ce aktywów ryzykownych zachowujemy z poprzednich cz¦±ci. Niech
σf = 0).
x ∈ Hk−1
t 6 1 symbolem xf (t) b¦dziemy
oznaczali punkt (t, (1 − t) x)
∈ R
. Zauwa»my, »e wspóªrz¦dne xf (t) sumuj¡ si¦ do 1, wi¦c
xf (t) ∈ Hk . Interpretacja portfela xf (t) jest nast¦puj¡ca: Je±li t = 1, to caª¡ kwot¦ pocz¡tkow¡
inwestujemy w instrument wolny od ryzyka. Je±li 0 < t < 1, to udziaª wielko±ci t kwoty pocz¡tkowej
inwestujemy bezryzykownie, natomiast udziaª wielko±ci 1−t inwestujemy w portfel x. Je±li t = 0, to
caªy kapitaª pocz¡tkowy inwestujemy w portfel x. Wreszcie, je±li t < 0, to zaci¡gamy bezryzykown¡
po»yczk¦ wysoko±ci −t · Cp a nast¦pnie wszystko inwestujemy w portfel x.
b¦dzie dowolnym portfelem aktywów ryzykownych. Dla danego
T
Lemat 57. Oznaczmy
(1 − t) xT R.
k+1
σP := σ (x), EP := E (x).
Stopa zwrotu z portfela
xf (t)
wynosi
tEf +
Ponadto
E (xf (t)) = tEf + (1 − t) EP ,
σ (xf (t)) = (1 − t) σP .
Dowód. Aby wykaza¢ pierwsz¡ cz¦±¢ tezy wystarczy zauwa»y¢, »e w dowodzie faktu 48, nie korzystali±my z zaªo»enia, »e aktywa s¡ ryzykowne.
xf (t) wynika z liniowo±ci warto±ci oczekiwanej:
E (xf (t)) = E tEf + (1 − t) xT R = tEf + (1 − t) xT µ = tEf + (1 − t) EP .
Wzór na oczekiwan¡ stop¦ zwrotu z
Obliczymy teraz wariancj¦:
2
σ 2 (xf (t)) =E (xf (t) − E (xf (t)))
tEf + (1 − t) xT R − tEf + (1 − t) xT µ
2 2
= (1 − t) E xT R − xT µ
=E
2
= (1 − t) σP2 .
St¡d
σ (xf (t)) = (1 − t) σP .
1000, stopa wolna od ryzyka jest równa 5%, wybrany przez
σP = 10%, µP = 20%. Jakim ryzykiem b¦dzie si¦ cechowa¢
6
liczymy na uzyskanie 10 po 10 latach?
Przykªad 58. Dysponujemy kwot¡
nas walor ryzykowny
P
ma parametry
inwestycja w te instrumenty, je»eli
45
r̄ b¦dzie staª¡
106 . Wówczas
Niech
mujemy
roczn¡ stop¡ zwrotu, tak¡ »e po zainwestowaniu
10
1000 (1 + r̄)
wi¦c
r̄ ≈ 100%.
1000
po
10
latach podej-
= 106 ,
Zgodnie z powy»szym lematem piszemy równanie na
t:
100% = t · 5% + (1 − t) 20%.
St¡d
t = −16/3. Zaci¡gamy po»yczk¦ woln¡ od
6333, inwestujemy w walor P .
ryzyka wysoko±ci
wszystko, czyli
−16/3 · 1000 ≈ 5333
a nast¦pnie
Wówczas oczekiwana stopa zwrotu wynosi
100%,
natomiast odchylenie standardowe jest równe:
(1 − t) σP =
19
· 10% ≈ 63%.
3
Zwi¦kszenie po»yczki b¦dzie skutkowaªo wzrostem oczekiwanej stopy zwrotu oraz wzrostem ryzyka.
Lemat 59. Przy oznaczeniach z lematu 57 krzywa parametryczna
(−∞, 1i 3 t 7→ M (t) := M (xf (t))
jest póªprost¡ o równaniu
E=σ
EP − Ef
+ Ef ,
σP
σ > 0.
(9.1)
Dowód. Z lematu 57 mamy
0
M (t) = t
Ef
σP
+ (1 − t)
EP
,
t 6 1.
Zatem obrazem tej parametryzacji jest póªprosta wychodz¡ca z punktu
przez punkt
(σP , EP )
T
T
(0, Ef )
i przechodz¡ca
. St¡d teza.
Wspóªczynnik kierunkowy póªprostej (9.1)
SEf (x) :=
nazywamy wspóªczynnikiem Sharpe'a portfela
10
Niech
EP − Ef
σP
x.
Portfel rynkowy. Prosta CML
E0
b¦dzie oczekiwan¡ stop¡ zwrotu z portfela minimalnego ryzyka. Zakªadamy teraz, »e
• µf < E0 ,
•
brzeg minimalny (dla zestawu aktywów ryzykownych) jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli. Dokªadniej
zakªadamy, »e je±li
k = 2,
to aktywa nie s¡ doskonale skorelowane i jeden z walorów nie
dominuje drugiego. Je±li natomiast
oraz
ι
k > 2,
to macierz
nie s¡ proporcjonalne.
46
Σ
jest dodatnio okre±lona i wektory
µ
takim »e póªprosta
T
(σM , EM ) b¦dzie punktem zbioru mo»liwo±ci na opisanej
T
T
wychodz¡ca z (0, Ef )
i przechodz¡ca przez (σM , EM ) , czyli
Twierdzenie 60. Niech
równaniem
E=σ
EM − Ef
+ Ef ,
σM
wy»ej hiperboli,
póªprosta dana
σ > 0,
(10.1)
jest styczna do tej hiperboli. Po doª¡czeniu waloru bezryzykownego brzeg efektywny jest równy powy»szej póªprostej.
Dowód. Teza wynika ªatwo z lematu 59. Istotnie, zbiór mo»liwo±ci (po doª¡czeniu waloru bezryT
zykownego) jest sum¡ póªprostych danych przez równanie (9.1), gdzie parametry (σP , EP ) przeT
biegaj¡ M (Hk−1 ). Suma ta jest nieograniczonym trójk¡tem T o wierzchoªku w punkcie (0, Ef ) .
Zatem szukany brzeg efektywny jest póªprost¡ stanowi¡c¡ górny bok
Ef < EM
Portfel
T.
Poniewa»
Ef < E0 ,
wi¦c
i ªatwo wida¢, »e póªprosta ta b¦dzie dana równaniem (10.1).
xM ∈ Hk−1
o parametrach
T
(σM , EM )
nazywamy portfelem rynkowym. Póªprost¡ (10.1)
nazywamy lini¡ rynku kapitaªowego, w skrócie CML (Capital Market Line).
Mo»na wykaza¢, »e wspóªczynnik Sharpe'a jest równy maksimum zbioru wspóªczynników Sharpe'a
wyznaczonych przez wszystkie portfele z modelu Blacka.
Przykªad 61. Zaªó»my, »e oczekiwana stopa zwrotu z portfela rynkowego wynosi
stopa zwrotu wolna od ryzyka wynosi
równe
σM = 30%.
Ef = 5%.
EM = 20%,
a
Odchylenie standardowe portfela rynkowego jest
Zatem równanie linii rynku kapitaªowego ma posta¢:
E=
1
σ + 5%.
2
Je»eli inwestujemy w aktywa wolne od ryzyka i w portfel rynkowy a wymagana stopa zwrotu wynosi
25%,
to ryzyko tej inwestycji wyliczymy z równania:
1
25% = σ + 5%,
2
σ =40%.
Zauwa»my, »e aby uzyska¢ oczekiwan¡ stop¦ zwrotu tej wysoko±ci nale»y dokona¢ po»yczki wolnej
od ryzyka. Obliczymy wysoko±¢ tej po»yczki dla kwoty pocz¡tkowej
portfel jest postaci
t
(1 − t) · portfel
Cp = 1000.
Szukany przez nas
rynkowy
Zgodnie z lematem 57 jego oczekiwana stopa zwrotu jest równa
tEf + (1 − t) EM = t · 5% + (1 − t) · 20%.
Zatem z równania
t · 5% + (1 − t) · 20% = 25%
uzyskujemy
t = −1/3.
Musimy wi¦c zaci¡gn¡¢ po»yczk¦ wysoko±ci
47
−tCp = 1000/3.
Obliczenia mo»emy poprowadzi¢ równie» bardziej bezpo±rednio, bez odwoªywania si¦ do lematu
57. Niech
L
oznacza wysoko±¢ po»yczki. Wówczas
(Cp + L) (1 + EM ) − L (1 + Ef ) =Cp (1 + wymagana
stopa zwrotu) ,
(1000 + L) (1 + 20%) − L (1 + 5%) =1000 · (1 + 25%) ,
1000
L=
.
3
Twierdzenie 62. Portfel rynkowy dany jest wzorem:
xM =
Σ−1 (µ − Ef ι)
.
ιT Σ−1 (µ − Ef ι)
Dowód. Znajdziemy najpierw obraz przez odwzorowanie Markowitza portfela xM , czyli, zgodnie
T
T
z twierdzeniem 60, punkt (σM , EM ) , taki »e prosta wychodz¡ca z (0, Ef )
i przechodz¡ca przez
T
T
(σM , EM ) , jest styczna w (σM , EM ) do hiperboli tworz¡cej brzeg minimalny. W my±l twierdzenia
55 brzeg minimalny dla aktywów ryzykownych jest praw¡ gaª¦zi¡ hiperboli o równaniu (8.7), gdy
k>3
oraz (4.2) dla dwóch aktywów. Je»eli
T
(σ, E)
jest punktem tej hiperboli, to licz¡c gradient
lewej strony (8.7) widzimy, »e wektor do niej prostopadªy w
A zatem, aby znale¹¢
σ E0 − E
,
a2
b2
T
T
(σ, E)
dany jest wzorem
.
T
T
(σM , EM ) wystarczy wyznaczy¢ (σ, E) z ukªadu


σ 2> 0,
(E−E0 )2
σ
= 1,
a2 −
b2

T

T
T
(σ, E) − (0, Ef ) ⊥ aσ2 , E0b−E
.
2
warunków:
Korzystaj¡c ze wzoru na iloczyn skalarny powy»szy ukªad przepisujemy w postaci
Zaªó»my teraz, »e
k > 3.


σ > 0,
(E−E0 )2
σ2
= 1,
a2 −
b2

 σ2
(E−Ef )(E0 −E)
= 0.
a2 +
b2
Z dwóch ostatnich równa« dostajemy
EM =
b2
α − βEf
+ E0 =
.
E0 − Ef
β − γEf
Zatem korzystaj¡c ze wzoru parametrycznego na brzeg minimalny w twierdzeniu 54 dostajemy:
xM = x (EM ) =
Aby udowodni¢ twierdzenie w przypadku
k=2
Σ−1 (µ − Ef ι)
.
ιT Σ−1 (µ − Ef ι)
wystarczy zauwa»y¢, »e hiperbola (8.7) redukuje
si¦ w przypadku dwóch aktywów do (4.2).
48
11
Model CAPM
Twierdzenie 63. Zaªó»my, »e speªnione s¡ zaªo»enia sformuªowane przed twierdzeniem 60. Niech
xM b¦dzie portfelem rynkowym, x ∈ Hk−1 b¦dzie dowolnym portfelem ryzykownym, M (xM ) =
T
T
(σM , EM ) , M (x) = (σ, E) oraz niech σxM b¦dzie kowariancj¡ portfeli x i xM . Wtedy
E − Ef = βx (EM − Ef ) ,
gdzie
βx =
σxM
2 .
σM
Dowód. Rozwa»my rodzin¦ portfeli dwuskªadnikowych
xt = tx + (1 − t) xM ,
Poniewa» portfel rynkowy
xM
t ∈ R.
jest portfelem efektywnym i
T
M (xt ) |t=0 = M (xM ) = (σM , EM )
,
wi¦c krzywa parametryczna
R 3 t 7→ M (xt )
t=0
musi by¢ styczna w punkcie
do brzegu efektywnego (ponadto korelacja portfeli
x
i
xM
nie
mo»e by¢ doskonaªa). Oznacza to, »e wektory
T
(σM , EM − Ef )
i
d
M (xt ) |t=0
dt
s¡ wspóªliniowe. Poniewa»
d
M (xt ) |t=0 =
dt
oraz
σ 2 − σxM
, E − EM
σ
T
T
T
(σM , EM − Ef ) ⊥ (Ef − EM , σM ) ,
wi¦c licz¡c iloczyn skalarny dostajemy równo±¢
St¡d otrzymujemy tez¦.
σ 2 − σxM (Ef − EM ) + σσM (E − EM ) = 0.
Prost¡
E − Ef = β (EM − Ef )
na pªaszczy¹nie o wspóªrz¦dnych
(β, E)
(SML)
nazywamy lini¡ rynku papierów warto±ciowych, w skrócie
SML (Security Market Line).
49
Akcja
Liczba akcji w
Cena 1 akcji
Oczekiwana stopa
Odchylenie
zwrotu (%)
standardowe (%)
obrocie
A
B
100
1,50
15
15
150
2,00
12
9
Tablica 7:
Przykªad 64 (Prostolandia Luenberger [2003, zadanie 7.6]). W Prostolandii istniej¡ tylko dwie
ryzykowne akcje
AiB
opisane w poni»szej tabeli:
Wspóªczynnik korelacji pomi¦dzy stop¡ zwrotu z akcji
A
i
B
wynosi
ρ = 1/3.
Istniej¡ równie»
aktywa wolne od ryzyka. Zakªadamy, »e wszyscy inwestorzy korzystaj¡ z opisanego dot¡d modelu
budowy portfela. Inaczej mówi¡c ró»nica mi¦dzy portfelami dwóch inwestorów wynika jedynie ze
stopnia z jakim akceptuj¡ ryzyko. W konsekwencji wszyscy inwestorzy b¦d¡ zaci¡ga¢ po»yczki lub
zakªada¢ lokaty z jedn¡ ustalon¡ stop¡ woln¡ od ryzyka oraz inwestowa¢ w portfel rynkowy, który
w tym przypadku b¦dzie wyznaczony przez kapitalizacje spóªek
Zatem
1 2
150 · 2
100 · 1, 5
,
=
,
,
100 · 1, 5 + 150 · 2 100 · 1, 5 + 150 · 2
3 3
2
1
EM = E (xM ) = · 15 + · 12 = 13,
3
3
s 2
2
1
1 2 1
2
2
= σ (xM ) =
· 15 + 2 · · · · 15 · 9 +
· 92 = 9.
3
3 3 3
3
xM =
σM
A i B.
Obliczymy wspóªczynnik beta dla obu aktywów. Zauwa»my najpierw, »e ogólnie, je±li
s¡ zmiennymi losowymi oraz

cov X,
k
X
j=1
x 1 , . . . , x k ∈ R,


to
4


k
k
X
X
xj Xj  =E (X − E (X)) 
xj Xj −
xj E (Xj )
j=1
j=1


k
X
=E 
xj (X − E (X)) (Xj − E (Xj ))
j=1
=
k
X
xj E ((X − E (X)) (Xj − E (Xj )))
j=1
=
k
X
xj cov(X, Xj ).
j=1
Zatem
2
1 2
2
1
σAM = σAA + σAB = σA
+ ρσA σB
3
3
3
3
1
2 1
= · 152 + · · 15 · 9 = 105
3
3 3
4W
tym rachunku zakªadamy, »e wszystkie warto±ci oczekiwane istniej¡ i s¡ sko«czone.
50
X, X1 , . . . , Xk
oraz podobnie
1
2
1
2 2
σBM = σBA + σBB = ρσA σB + σB
3
3
3
3
2
1 1
= · · 15 · 9 + · 92 = 69.
3 3
3
St¡d
σAM
105
35
=
=
,
2
σM
81
27
69
σBM
23
=
.
βB = 2 =
σM
81
27
βA =
Zgodnie z naszymi zaªo»eniami wszystkie aktywa musz¡ speªnia¢ równanie (SML). Zatem
EA − Ef = βA (EM − Ef ) ,
czyli
15 − Ef =
Wyliczamy st¡d
35
(13 − Ef ) .
27
Ef = 25/4.
51
Indeks
±ciana sympleksu, 31
minimalnego ryzyka, 25
relatywnie minimalnego ryzyka, 25
B
rynkowy, 47
brzeg
w modelu Blacka, 39
efektywny, 22
próba losowa prosta, 3
minimalny, 25
sympleksu, 31
S
stopa zwrotu, 1
D
stopa zwrotu z portfela, 8, 20
doskonaªa korelacja, 7
sympleks, 20
dodatnia, 7, 25
mieszana, 25
W
ujemna, 7
wariancja, 2
dywersykacja, 6
wariancja portfela, 9
warto±¢ oczekiwana portfela, 9
E
wspóªczynnik korelacji, 7
estymator nieobci¡»ony (warto±ci oczekiwanej i
krytyczny, 15
wariancji), 4
nadkrytyczny, 15
podkrytyczny, 15
F
wspóªczynnik Sharpe'a, 46
funkcja
±ci±le wypukªa, 34
Z
wypukªa, 34
zbiór mo»liwo±ci, 10, 22
zmodykowane odwzorowanie Markowitza, 10, 22
K
zysk, 1
korelacja, 7
dodatnia, 7
ujemna, 7
kowariancja, 6
krótka sprzeda», 38
M
macierz kowariancji, 9, 21
N
nieskorelowane zmienne losowe, 7
O
odchylenie standardowe, 2
odwzorowanie Markowitza, 10, 22
P
portfel
akcji, 8, 20
efektywny, 10, 22
52
Spis tre±ci
I
Stopa zwrotu jako zmienna losowa
II
1
Portfel dwuskªadnikowy
6
1
Kowariancja, wspóªczynnik korelacji
6
2
Opis portfela o dwóch aktywach, odwzorowanie Markowitza
8
3
4
Przypadki szczególne portfela dwuskªadnikowego: korelacja doskonaªa
11
3.1
Korelacja doskonaªa dodatnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Korelacja doskonaªa ujemna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Portfel dwuskªadnikowy: korelacja dowolna
4.1
Portfel o najmniejszym odchyleniu standardowym
4.2
Równanie uwikªane na
III
Portfel o
k
M(∆1 )
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
skªadnikach. Model Markowitza
k
5
Opis portfela o
6
Brzeg minimalny w modelu Markowitza
24
7
8
9
19
Korelacja doskonaªa
25
7.1
Korelacja doskonaªa dodatnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
7.2
Korelacja doskonaªa mieszana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Zestawy aktywów o dodatnio okre±lonej macierzy kowariancji
IV
V
skªadnikach. Odwzorowanie Markowitza
19
Model Blacka
30
38
Model Blacka z doª¡czonymi aktywami wolnymi od ryzyka
Opis portfela
44
45
10 Portfel rynkowy. Prosta CML
46
11 Model CAPM
49
53
Literatura
Edwin J Elton, Martin J Gruber, Stephen J Brown, and William N Goetzmann. Modern portfolio
theory and investment analysis. John Wiley & Sons, 2009.
David Luenberger. Teoria inwestycji nansowych. Wydaw. Naukowe PWN, 2003.
Harry Markowitz. Portfolio selection. The Journal of Finance, 7(1):7791, 1952.
Mariusz Mormul, Piotr Baryªo.
Analiza Portfelowa i Rynki Kapitaªowe 1.
http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=pk1.
Marcin
Studniarski.
Wykªady
z
analizy
http://math.uni.lodz.pl/ marstud/dydaktyka.htm.
54
portfelowej.
2012.
2012.
URL
URL