7. CIĄGI.

1
WYKŁAD 5
7. CIĄGI.
CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych,
dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji.
CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na skończonym podzbiorze liczb
naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji.
CIĄGIEM LICBOWYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a
wyrazami ciągu są liczby rzeczywiste.
Tradycyjnie ciągi oznaczamy początkowymi literami alfabetu : ,, itd.
Dodatkowo, dla wygody piszemy zamiast ⟹ i tak np.
= - pierwszy wyraz ciągu,
= - drugi wyraz ciągu,
…………..
…………………..
= - n - ty wyraz ciągu.
Przykłady :
•
Skończonym ciągiem liczbowym jest np. numer telefonu : . W ciągu tym
dziewięciowyrazowym, poszczególne wyrazy są :
= , = , = , = , = , = , = , = ,
= .
Wykresem tego ciągu jest zbiór punktów przedstawiony na rysunku :
Jak widać z tego przykładu, wyrazy ciągu mogą przyjmować takie same wartości. Ważne jest
miejsce ich występowania w ciągu. Jest oczywiste, że zmieniając ustawienie poszczególnych
wyrazów ciągu, czyli wykręcając np. numer połączymy się z innym abonentem
niż dzwoniąc pod numer .
2
•
Nieskończonym ciągiem liczbowym jest np. ciąg liczb naturalnych = − ∈ ℕ :
= , = , = , … … … … … … … … … . = , … … … … …
Wykrestegociąguprzedstawiononarysunku :
Jeżeli wyrazy jakiegoś nieskończonego zbioru można ustawić w ciąg, to oznacza, że
elementów tego zbioru jest tyle samo, ile jest liczb naturalnych. Mówimy, że dany zbiór jest
równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Wynika stąd dość zaskakujący wniosek, że liczb
naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych i tyle samo co liczb całkowitych.
7.1. SPOSOBY
OPISYWANIA CIĄGÓW.
Ciągi można opisywać na różne sposoby :
1. Opisem słownym,
- na przykład : Każdej liczbie naturalnej przyporządkuj jej kwadrat.
= , = , = , … … … . … … … = … … … … … . . 2. Wypisaniem jego kolejnych wyrazów,
- na przykład : = −, = , = −, = , = −, = , … … … … . . . . .
3. Wzorem ogólnym,
- na przykład : = ,
૛
૚ = ,૛ = ,૜ = ,૝ =
… … … . …
4. Wzorem rekurencyjnym,
- podajemy np. pierwszy wyraz, a wzór na n-ty wyraz podajemy w funkcji wyrazu
poprzedniego :
= ,
na przykład : = − ≥ czyli = , = , = , = , = , … … … … . . . . .
3
7.2. CIĄGI
MONOTONICZNE.
Ciąg , o wyrazach dodatnich, nazywamy ROSNĄCYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdego
≥ prawdziwa jest nierówność > - czyli każdy wyraz ( z wyjątkiem pierwszego) jest
większy od poprzedniego.
↗⇔ ⋀∈ℕశ > − > 0 ࢔శ૚ > 1 ≠ .
࢔
Ciąg , o wyrazach dodatnich, nazywamy MALEJĄCYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla
każdego ≥ prawdziwa jest nierówność < - czyli każdy wyraz ( z wyjątkiem
pierwszego) jest mniejszy od poprzedniego.
↘⇔ ⋀∈ℕశ < − < 0 ࢔శ૚ < 1 ≠ .
࢔
Ciąg , o wyrazach dodatnich, nazywamy STAŁYM, wtedy i tylko wtedy, jeśli dla każdego
≥ prawdziwa jest równość = - czyli każdy wyraz jest równy poprzedniemu.
↣⇔ ⋀∈ℕశ = − = ࢔శ૚ = ≠ .
࢔
Przykłady :
Zbadaj monotoniczność następujących ciągów :
•
= ࢔ା૚ − ࢔ =
=
•
+ + − + ૛ + + − ૛ − +
+
−
=
−
=
=
=
+ + + + ++ + + +
= + > 0 ∧ + 2 > 0 ⟹ + + > 0 ⟹
>0
+ + + + ⟹ ↗ − !"ą#!$%&"'ą$.
࢔∈ࡺశ
࢔!
ࢉ ࢔ = ࢔࢔
࢔శ૚
࢔
=
ሺ࢔శ૚ሻ!
ሺ࢔శ૚ሻ࢔శ૚
࢔!
࢔࢔
1=
⟹ ↘.
7.3. CIĄGI
= ࢔శ૚ ∙! = ∙࢔ ∙! = () = *⋀∈ℕశ < 1+ = ,*⋀∈ℕశ () <
!∙࢔
∙!∙࢔
jest ciągiem malejącym.
OGRANICZONE.
Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM Z DOŁU wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości
jest zbiorem ograniczonym z dołu, czyli istnieje taka liczba rzeczywista m, że dla każdego ∈ ℕ
jest spełniony warunek ≥ -.
Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM Z GÓRY wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości
jest zbiorem ograniczonym z góry, czyli istnieje taka liczba rzeczywista M, że dla każdego ∈ ℕ
jest spełniony warunek ≤ ..
Ciąg liczbowy nazywamy OGRANICZONYM wtedy i tylko wtedy, gdy jego zbiór wartości jest
zbiorem ograniczonym z dołu i z góry, czyli istnieją dwie takie liczby rzeczywiste m i M, że dla
każdego ∈ ℕ jest spełniony warunek - ≤ ≤ .,
4
Przykłady :
• Ciąg = ≥ - jest ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę - = ( i
każdą liczbę mniejszą od 2 ) i nie jest ograniczony z góry.
• Ciąg = − + ≥ - jest ciągiem ograniczonym z góry przez liczbę M= − (
i każdą liczbę większą od -1 ) i nie jest ograniczony z dołu
•
Ciąg =
≥ - jest ciągiem ograniczonym z dołu przez liczbę - = i
ograniczonym z góry przez liczbę . = , - jest to zatem ciąg ograniczony.
Wniosek :
KAŻDY SKOŃCZONY CIĄG JEST ZAWSZE OGRANICZONY.
7.4. GRANICA
CIĄGU.
Weźmy do analizy następujące ciągi :
•
=
•
=
࢔
≥ ;*,
, , , , , … … … , … … … … … . . +
/0 ≥ ;*−, , − ,
.
,−, ,−,…………………..+
•
=
࢔
/0
≥
;*, , ,
, ,
, ,
… … … … … … … . . +
5
Łatwo zauważyć, że wyrazy każdego z tych ciągów, wraz ze wzrostem zbliżają się do pewne
wartości (granicy). Zbliżanie to może być bardziej regularne ( ciąg ) lub mniej regularne ( , ).
Niektóre wyrazy ciągu mogą być równe granicy ciągu, lub żaden z wyrazów ciągu może nie być
równy granicy.
Definicja :
Liczba 1 !"234567Ą8ą19 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej dowolnej dodatniej liczby
: istnieje taka naturalna liczba ;, że dla każdej liczby naturalnej > < zachodzi nierówność
| − 1| < >. Zapisujemy to w postaci :
?@A→ = 1 ⟺ ⋀ ⋁ ⋀ | − 1| < > .
Należy zwrócić uwagę, wybór liczby ; zależy od liczby :. Najczęściej zależność ta jest taka, że im
mniejsza jest liczba :, tym większa jest liczba ;.
CIĄG, który ma GRANICĘ jest CIĄGIEM ZBIEŻNYM.
6
Udowodnić, że granicą ciągu =
Przykłady :
?@A→
jest liczba 2.
= ⟺ ⋀ ⋁ ⋀ C
C
- skoro ∈ ℕ
np.
C
C C < >
− C
<>
<>
> 0 ⟹ CC = & < > ⟹ ' > = ;
- dla : = . ; = - dla : = . ; = .
PODSTAWOWE TWIERDZENIA dotyczące GRANIC CIĄGÓW :
1. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę, czyli jest ciągiem zbieżnym.
2. Jeżeli ciąg ma granicę to tylko jedną.
3.Jeżeli ?@A→ = & ?@A→ | | = .
4. Jeżeli ?@A→ = & ?@A→ − = .
5. Jeżeli ?@A→ = ?@A→ = 1 ≤ ≤ &?@A→ = 1.
6. Jeżeli ?@A→ = ?@A→ = &:
•
•
•
•
?@A→ + = + ,
?@A→ − = − ,
?@A→ ∙ = ∙ ,
?@A→ ࢔ = !ś ≠ 0 ≠ ,
࢔
7. Granice ciągów elementarnych, często występujących w praktyce :
•
•
•
•
•
?@A→ = #! − &D&',
?@A→ ࢘ = #! − &D&'E ∈ ℂ ,
F > 1 ⟹ ∞
F = ⟹ niech F ∈ ℝ to ?@A→ F = G
,
− < H < 1 ⟹ F ≤ − − '!$#%'
࢔
࢔
⋀∈ℝశ ?@A→ √ = %óD'!ż ?@A→ √ = ,
?@A→ ( + ) = J − ą#K!%,J − '%'J ≈
૛.ૠ૚ૡ૛ૡ૚ૡ૛ૡ૝૞ૢ૙૝૞…. .
7
Przykłady :
Oblicz granice ciągów :
•
•
•
•
?@A→
?@A→
?@A→
= ?@A→
૛ ૛ ૚
࢔
()∙
૚
∙
࢔
= ?@A→
૚
(∙࢔శ૚ ∙࢔ )∙ ࢔
૝
૚
(∙࢔ ࢔శ૚ )∙ ࢔
૝
࢔
= ?@A→
૚
(૛ )∙ ૛
࢔
૚
(૛ )∙ ૛
࢔
= ?@A→
૞
࢔
= * ⟹ + = ,
= ?@A→
૜ ࢔
૝
૚ ࢔
∙ ૛
∙∙ ૚
૞
૛
࢔ ࢔
૝
૛
࢔
= ,
= ,
?@A→ √ ∙ + ∙ L + ∙ =⟹⊗
< < √
∙ < √ ∙ + ∙ L + ∙ < √
∙ + ∙ + ∙ ↓↓↓
⊗⟹ .
࢔
•
࢔
࢔
?@A→ ( )
7.5. CIĄG
= ?@A→ MN + ࢔ O P
࢔
૜
૜
૜ሺ࢔శ૛ሻ
࢔
= J࢔→ಮ
૜࢔శ૟
࢔
= J
ARYTMETYCZNY.
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg, w którym każdy następny wyraz jest większy od
poprzedniego
o stałą wartość, którą nazywamy różnicą ciągu :
= + E
− = E
− = − =
࢔ష૚ ࢔శ૚
Różnica E może przyjmować różne wartości :
- jeśli E > 0 to ciąg jest rosnący,
- jeśli E < 0 to ciąg jest malejący,
- jeśli E = to ciąg jest stały.
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego, jest średnią arytmetyczną wyrazów
poprzedniego i następnego.
Weźmy ciąg arytmetyczny, w którym mamy dany pierwszy wyraz i różnicę E :
= + E
= + E = + E
= + E = + E
…………………………
= + − E
- Dó%'' − D%ą#%$!'!#&.
Q = ૚ ∙ .
Sumę n – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się według wzoru :
૚ ࢔
=
8
Przykłady :
•
•
•
•
Oblicz piąty i dwudziesty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym = E = :
= + E = + ∙ = ,
= + E = + ∙ = .
Oblicz sumę dwudziestu pięciu wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym = E = :
Q =
= L.
Wyznacz ciąg arytmetyczny, w którym siódmy wyraz jest równy 2, a piętnasty 18.
= + E = = + E = - odejmując stronami równani otrzymamy : −E = −
|∶ −
E = = −.
Wyznacz liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, wiedząc, że pierwszy wyraz jest równy ,
ostatni , a różnica ciągu jest równa L.
= + − E
= + − ∙ L
=
•
∙∙
∙ +
= .
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez L dają resztę .
= = E = L
= + − E
=
࢔ ૚
+ = + = Q = ૚ ૚૜ ∙ = ∙ = L
.
•
Wyznacz ciąg arytmetyczny, którego suma wyraża się wzorem Q = − .
Q = = ∙ − = ,
Q = + = ∙ − = ⟹ = &%E = ,
- a zatem ciąg ma postać = + − E = + R − ∙ .
7.6. CIĄG
GEOMETRYCZNY.
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg, w którym każdy następny wyraz jest większy od
poprzedniego
stałą wartość razy. Liczbę tą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego :
= ∙ F
F=
࢔శ૚
࢔
࢔శ૚
࢔
- iloraz ciągu,
࢔
=
࢔ష૚
⟹ = ∙ .
W ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu (z wyjątkiem pierwszego) jest równy iloczynowi
wyrazu poprzedniego i następnego.
Weźmy ciąg geometryczny, w którym znamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu F :
= ∙ F
= ∙ F = ∙ F
= ∙ F = ∙ F
…………………….
= ∙ F = ∙ F − !"&Dó%'' − D%ą##!&$!%'!#&.
Suma n – początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem :
Q = + + + ⋯ … … . + + = + ∙ F + ∙ F + ∙ F + ⋯ … … … + ∙
F =
= S + F + F + F + ⋯ … … . . F T ∙ = S − F + F − F + F − ⋯ . . −F +
= ∙
ࢗ࢔−૚−ࢗ࢔=
࢔
.
MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
Jeśli : > 0
to jeśli :
< 0
to jeśli :
F > 1 − ą#%&"'ą
U F = − ą#"ł ,
F ∈ , − ą#$! ą
F > 1 − ą#$! ą
U F = − ą#"ł ,
F ∈ , − ą#%&"'ą
F = &ą#, '!!ż'!& , !""ł&%#!#&D%,
F < 0&ą#'! !"$&'&&''.
Przykłady :
•
•
Oblicz piąty i dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy
= , a iloraz jest równy F = :
= ∙ F = ∙ = ,
= ∙ F
= ∙ = .
Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
= F = Q = ∙
•
૚૙
=∙
࢔
= .
Wyznacz ciąg geometryczny, jeśli jego siódmy wyraz wynosi = , zaś dziesiąty
= LL.
= ∙ F = !ą"%&'$%óD''Vł&%$$
, = ∙ F
= LL
F = L"ąF = = 9
•
•
Wyznacz liczbę wyrazów ciągu geometrycznego, jeśli = ,F = &% = .
= ∙ F
= ∙ = = −=L
= .
Sprawdź, czy liczby
√
√ ,
,
√
tworzą ciąg geometryczny ?
Aby wymienione liczby tworzyły ciąg geometryczny to muszą spełnić warunek :
= ∙ .
- przyjmując, że =
,
√
√
- obliczamy :
W = = (
X=
√
i = to
√
√
√
)
=
= ,
√ √ √
√√
∙ = √ ∙ ∙ √ =
√ ∙
W=X
•
= =
W = musi być równa X = ∙ √
,
!$D$!'&'!Y&Dż! D&%ąą##!&$!%'.
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 24. Jeżeli do pierwszej z nich
dodamy 1, a od dwóch pozostałych odejmiemy po 2, to tak otrzymane liczby utworzą ciąg
geometryczny. Jakie to liczby ?
Z, [, \ − ą#%$!'
U Z + [ + \ = ,
Z + , [ − , \ − − ą##!&$!%'
[ = Z + \
Z
U + [ + \ = ,
[ − = Z + \ − ⟶ ⟹ [ = [ = ,
*
Z + \ = ⟹ \ = − Z
,
Z\ − Z + \ − = Z
− Z − Z + − Z − = Z − Z + = ∆= − = √∆= Z = Z = [ = [ = ,
10
,
−"ą!$DV!ą# ∶ *
,
,
,
.
11
7.7. SZEREG
GEOMETRYCZNY.
Niech będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Sumę wszystkich wyrazów ciągu liczbowego
nazywamy SZEREGIEM LICZBOWYM, czyli :
Q = + + + + ⋯ … … … … … … … … … … + - SUMA CZĘŚCIOWA SZEREGU.
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu Q ma granice, czyli
nazywamy SUMĄ SZEREGU, a szereg nazywamy zbieżnym.
?@A→∞ Q = Q, to tę granicę
Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o ilorazie F spełniającym warunek |F| < 1 to powiemy, że
Q = + + + + ⋯ … … … … … … … … … … + jest SZEREGIEM GEOMETRYCZNYM
ZBIEŻNYM a jego suma jest równa:
!ś|F| < 1&
࢔
Q = ?@A→ Q = ?@A→ ∙
=
] = ૚ .
"
lim"→ H = Przykłady :
•
Zapisz ułamek okresowy . L w postaci ułamka zwykłego.
. L = . LLLL … … … . = . L + . L + . L + . L + ⋯ … … … . . =
= . LF = . = ]=
!"&!$'!"V&ń&'"!%!##!&$!%'!ż'&|H| < 1
- a zatem :
. L = Q =
•
૚
.
= . = = .
W kwadrat o boku p wpisano drugi kwadrat tak, że jego wierzchołki leżą w środkach
boków poprzedniego kwadratu. W ten drugi kwadrat wpisano w ten sam sposób trzeci
kwadrat, a w trzeci czwarty itd. Oblicz sumę pól tych wszystkich kwadratów.
# − &VV&! 'ℎVD%óD,# = # − Y&V&! 'ℎVD%óD,
= ^
= ^
= _() + () =
$ = _(
$√
)
$ +(
$√
$√
)
$
=
=
૛
,
$૛
⟹
… … … … … … … … … … … … … …… … … … ..
=
F = ,
"ą"$YóD""VℎVD%óD&"$'!"V&ń&'!#ą## Q = ૚ =
$૛
૚
૛
= ^ .
12
•
Rozwiąż
ąż równanie, jeśli
śśli lewa strona jest nieskończonym
nieskońń
ciągiem
ąągiem geometrycznym :
⋯ … … … … . . - w pierwszej kolejności
śści należy
należż określić
ś ć dziedzinę,
ęę, czyli zbiór liczbowy, który zapewni
rozwiązywalność
ą
ść równania poprzez zapewnienie zbieżności
zbieżż ś
ciągu,
ąągu, wyst
występującego po lewej
||
stronie równania : 1:
1
૚
૚ି࢞
1
1 ∧ 1
0 ∧ 0
0 ∧ 0
0 ∧ 0
∈ ∞, ∨ , ∞ ∧ ∈ ∞, ∨ , ∞
ࢌ ∶ ∈ ∞, ∨ , ∞
- zastępując
ę ą lewąą stronę równania sumąą nieskończonego
ń
ciągu
ągu zbież
zbieżnego otrzymamy :
૚
૚െ࢞
|∙ ૛ ૚ √
√
√
√
√
∨ ૛ ∉ ą
!"#"$%ą#!$ó%## ! √
.
13
•
Rozwiąż nierówność :
'
⋯……………….- .
- określamy
ś
dziedzinęę równania, stosując
stosują warunek zbieżności,
ż ś czyli || 1:
࢞ା૛ ࢞ା૛ 1
૛࢞
૛࢞
1
1 ∧ 1
0 ∧ 0
( (
0
0
∧ 0/ ૛ 5
( ) 0 ∧ 0
∈ ∞,, ∨ , ∞ ∧ ∈ , ∶ ∈ , - zastępując
ę ą lewąą stronęę nierówności sumąą nieskończonego
ń
ciągu
ągu zbież
zbieżnego otrzymamy :
⋅
ି૜࢞ା૛
࢞ି૚
૛ ! ∈ 〈 , 〉 ∩ ∈ , ⟹ ∈ 〈 , (