Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych.

Wykład 2
1
Ciągi
Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x : N → X. Dla uproszczenia piszemy xn zamiast x(n).
Przykład
1. xn = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R
x
2. fn (x) = sin n+1
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Definicja 1.2 (ciąg zbieżny) Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech (xn ) będzie ciągiem z przestrzeni X. Ciąg ten nazywamy zbieżnym jeśli istnieje x∞ ∈ X takie, że:
∀ε>0 ∃n0 ∈N ∀n>n0
xn ∈ K(x∞ , ε)
x∞ spełniające powyższy warunek nazywamy granicą ciągu. Jeśli granica nie istnieje, ciąg
nazywamy rozbieżnym.
Stwierdzenie 1.1 Granica ciągu zbieżnego jest wyznaczona jednoznacznie
Dowód:
Załóżmy, że ciąg (xn ) ma dwie granice - x1∞ , x2∞ . Niech ρ = d(x1∞ , x2∞ ) oznacza odległość
między tymi granicami. Z definicji granicy wiemy, że istnieje takie N , że
∀m>N
d(x1∞ , xm ) < ρ/4 oraz d(x1∞ , xm ) < ρ/4
Otrzymujemy wtedy dla m > N wykorzystując nierówność trójkąta:
ρ = d(x1∞ , x2∞ ) < d(x1∞ , xm ) + d(xm , x2∞ ) < ρ/4 + ρ/4 = ρ/2
co daje sprzeczność, więc ciąg zbieżny musi mieć dokładnie jedną granicę.
Stwierdzenie 1.2 Ciąg zbieżny jest ograniczony
Dowód:
Niech x∞ będzie granicą ciągu (xn ). Istnieje takie N , że jeśli tylko m ­ N to xm ∈ K(x∞ , 1).
Wobec tego wszystkie wyrazy począwszy od xN są zawarte w pewnej kuli. Wystarczy teraz
tylko powiększyć tę kulę tak aby zawierała skończenia wiele początkowych wyrazów ciągu od
x1 do xN −1 .
Definicja 1.3 (zbiór zwarty) Zbiór A ∈ X, (X, d) - przestrzeń metryczna nazywamy zwartym jeśli z każdego ciągu elementów zbioru A można wybrać podciąg zbieżny do granicy w
zbiorze A.
1
Definicja 1.4 (ciąg Cauchy’ego) (X, d) - przestrzeń metryczna. Ciągiem Cauchy’ego nazywamy ciąg spełniający warunek:
∀ε>0 ∃N ∈N ∀n,m>N
d(xn , xm ) < ε .
Stwierdzenie 1.3 Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego.
Dowód: Niech (xn ) - ciąg zbieżny do x∞ . Niech ε > 0. Z definicji ciągu zbieżnego wiemy, że
istnieje N takie, że dla m > N mamy:
ε
d(x∞ , xm ) < .
2
Stąd dla m, n > N otrzymujemy:
d(xn , xm ) < d(xn , x∞ ) + d(x∞ , xm ) <
ε ε
+ =ε
2 2
więc ciąg jest Cauchy’ego.
Stwierdzenie 1.4 Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony.
Dowód analogiczny do dowodu Stw. 1.2 pomijam.
Definicja 1.5 (przestrzeń zupełna) Przestrzeń metryczną (X, d) nazywamy zupełną jeśli
każdy ciąg Cauchy’ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny.
Przykłady:
• Prosta R jest przestrzenią zupełną.
Szkic dowodu: Rozważmy ciąg Cauchy’ego liczb rzeczywistych (xn ). Stwierdzenie 1.4
zapewnia nas, że ciąg ten jest ograniczony. Stosujemy teraz twierdzenie Bolzano - Weierstrassa, które orzeka, iż z każdego ograniczonego ciągu liczb rzeczywistych można
wybrać podciąg zbieżny. Wobec tego z naszego ciągu (xn ) możemy wybrać podciąg
zbieżny (xnk ) do pewnego g ∈ R. Niech teraz ε > 0. Ponieważ ciąg (xn ) jest Cauchy’ego więc istnieje takie N1 , że dla n, m > N1 mamy:
ε
|xn − xm | < .
3
Ponadto ponieważ podciąg xnk jest zbieżny, istnieje N2 takie, że dla k takich, że nk > N2
mamy:
ε
|xnk − g| < .
3
Niech N = max{N1 , N2 }. Możemy teraz szacować dla m > N i k takich, że xnk > N :
|xm − g| ¬ |xm − xnk | + |xnk − g| <
ε ε
+ < ε.
3 3
Tak więc pokazaliśmy, że cały ten ciąg jest zbieżny do g, więc R jest zupełna.
2
• Przestrzeń Rk jest zupełna.
Szkic dowodu: Pokazujemy najpierw, że ciąg Cauchy’ego (xn )n∈N w Rk jest ciągiem
Cauchy’ego ze względu na każdą współrzędną (tzn. poszczególne współrzędna tworzą
rzeczywiste ciągi Cauchy’ego (xin )n∈N , dla i = 1, . . . , k). Tak jak poprzednio wszystkie
te ciągi są ograniczone, możemy więc wybrać z ciągu (xn )n∈N podciąg taki aby pierwsza
jego współrzędna była zbieżna do pewnego g 1 . Następnie z tego podciągu wybieramy
kolejne podciągi tak aby otrzymać zbieżność na pozostałych współrzędnych. W ostatnim kroku pokazujemy jak poprzednio, że cały ciąg jest zbieżny do granicy będącej
granicą tak otrzymanego podciągu.
• Półprosta otwarta (0, ∞) nie jest przestrzenią zupełną, gdyż ciąg xn =
ciągiem Cauchy’ego a nie jest w niej zbieżny.
1
n
jest w niej
Definicja 1.6 (norma) X - przestrzeń liniowa nad R (ogólnie nad ciałem K). Funkcja
N : X → R+ nazywa się normą, gdy dla t ∈ R, u, v ∈ X spełnione są warunki:
• N (tu) = |t|N (u) (jednorodność)
• N (u) = 0 ⇒ u = 0 (niezdegenerowaność)
• N (u + v) ¬ N (u) + N (v) (warunek trójkąta)
Parę (X, N ) nazywamy przestrzenią unormowaną.
Przykłady
• W Rn :
– euklidesowa: kxk = kxk2 = (
Pn
i=1
1/2
x2i )
– maksimum kxk = kxkmax = kxk∞
– miejska kxk = kxk1 =
Pn
i=1
|xi |
• Norma supremum w przestrzeni B(X, Y ), gdzie X - przestrzeń metryczna, Y - przestrzeń unormowana. Wtedy dla f ∈ B(X, Y ) określamy kf k = sup kf (x)k.
• Norma w przestrzeni L(X, Y ) - wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni unormowanej X w przestrzeń unormowaną Y. Niech f ∈ L(X, Y ). Wtedy określamy kf k =
supkxk¬1 kf (x)k.
Stwierdzenie 1.5 Norma definiuje metrykę: d(u, v) = N (u − v).Mówimy że jest to metryka
indukowana przez normę.
3
Dowód: Własności normy wynikają bezpośrednio z własności metryki, polecam własnoręczne
sprawdzenie.
Definicja 1.7 (przestrzeń Banacha) Przestrzeń liniową unormowaną zupełną nazywamy
przestrzenią Banacha.
2
Ciągi funkcyjne
Definicja 2.1 (Zbieżność punktowa ciągów funkcyjnych) Ciąg funkcji fn : X → R jest
zbieżny punktowo na zbiorze A ⊂ X do funkcji f : X → R jeśli:
∀x∈A
fn (x) → f (x)
dla n → ∞
Definicja 2.2 (Zbieżność jednostajna ciągów funkcyjnych) Niech f, fn ∈ B(X, R) dla
n ∈ N. Ciąg funkcji fn jest zbieżny jednostajnie do funkcji f ((fn ⇒ f ) jeśli jest zbieżny w
sensie normy supremum, tzn:
kf − fn ksup → 0
Wniosek: ciąg funkcji ograniczonych zbieżny jednostajnie jest zbieżny punktowo. Uwaga:
implikacja przeciwna nie zachodzi!!!
Powyższe definicje można w sposób oczywisty uogólnić na przypadek funkcji których zbiorem
wartości jest dowolna przestrzeń metryczna.
Poznawszy definicje zbieżności możemy się teraz zająć tym, jak taką granicę ciągu funkcyjnego policzyć oraz jak sprawdzić czy zbieżność jednostajna zachodzi.
Uwaga 1: W celu poznania funkcji granicznej ciągu funkcyjnego fn liczymy granicę ciągu
liczbowego fn (x) dla każdego ustalonego x otrzymując w ten sposób wartości funkcji granicznej f . Obszar złożony z tych x, dla których granica taka istnieje nazywamy obszarem
zbieżności ciągu funkcyjnego.
Uwaga 2: Gdy już poznamy granicę ciągu, możemy sprawdzić czy zbieżność jest jednostajna na danym podzbiorze obszaru zbieżności. Pozostaje tu jeszcze uświadomić sobie, że
jeśli zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego ma zachodzić do jakiejkolwiek funkcji, to musi
to być funkcja wyznaczona tak jak w Uwadze 1. W celu sprawdzenia czy zbieżność jest
jednostajna na danym zbiorze A sprawdzamy, czy na zbiorze A zachodzi:
kf − fn ksup → 0
czyli, czy:
sup |fn (x) − f (x)| → 0.
x∈A
Najprostszym sposobem sprawdzenia tego warunku jest zbadanie przebiegu zmienności funkcji |fn (x) − f (x)| na zbiorze A i stwierdzenie czy żądane supremum zbiega do 0.
Przykłady
• Ciąg funkcyjny
fn (x) = xn jest zbieżny na przedziale (−1, 1] do funkcji granicznej
(
0 dla x ∈ (−1, 1)
f (x) =
. Zbieżność jednostajna jednak nie zachodzi, gdyż w sen1 dla x = 1
sie normy supremum odległość między każdą z funkcji fn a funkcją f wynosi 1.
4
• Rozważmy funkcje fn (x) = sin nx dla x ∈ R. Tu funkcją graniczną jest funkcja stała
równa tożsamościowo 0. Zbieżność jednostajna znowu nie zachodzi, gdyż dla x =
nk π2 , k ∈ Z (Z oznacza zbiór licz całkowitych) mamy |fn (x) − f (x)| = 1 dla każdego n.
n sin x
• Rozważmy funkcje fn = n+sin
określone na R. Funkcją graniczną jest funkcja f (x) =
x
sin x, obszarem zbieżności cała prosta. Sprawdzamy, czy zbieżność jest jednostajna:
sin2 x 1 →0
¬ − sin x = sup n + sin x
n − 1
x∈R n + sin x n sin x
sup |fn (x)−f (x)| = sup x∈R
x∈R
Tak więc w tym przypadku zbieżność jest jednostajna.
5
dla n → ∞.