Zapisz jako PDF

Logika
Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się
"logiczne myślenie" w sensie wyciągania wniosków itp. Tu "logika" oznacza "formalne reguły
dotyczące prawdziwości zdań".
Zdanie
Zdaniem w sensie logiki (zdaniem logicznym) nazywamy wyrażenie, któremu możemy
jednoznacznie przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0).
Uwaga
W sensie logiki zdaniami nie są zdania pytające i rozkazujące.
Przykład
"Warszawa jest stolicą Polski" jest zdaniem (prawdziwym), "Pcim jest stolicą Polski" jest zdaniem
(fałszywym), "najładniejsze kwiaty to malwy" nie jest zdaniem.
Zdania złożone
Z jednego (lub kilku) zdań możemy utworzyć nowe zdania — zdania złożone— przy pomocy
operatorów logicznych (zw. czasem też spójnikami zdaniowymi, funktorami zdaniotwórczymi).
Podstawowe operatory
Zaprzeczenie (negacja) zdania: " ". Dla zdania
jest operacją jednoargumentową;
czytamy: "nieprawda, że ". Zaprzeczenie
Zaprzeczenie (negacja)
1
0
0
1
Koniunkcja zdań
: " ". ("Mnożenie" logiczne). Operacja dwuargumentowa: czytamy " i
". Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba są prawdziwe, co
ilustrujemy przy pomocy tabelki logicznej:
Koniunkcja
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Alternatywa zdań
: " ". ("Dodawanie" logiczne). Operacja dwuargumentowa: czytamy "
lub ". Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedno z
nich jest prawdziwe. Zapisujemy to przy użyciu tabelki:
Alternatywa
Implikacja zdań
:"
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
". Operacja dwuargumentowa: czytamy "jeżeli
to ".
Implikacja
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Równoważność zdań:
:"
". Operacja dwuargumentowa: czytamy " wtedy i tylko
wtedy gdy ". Dwa zdania są równoważne, gdy są oba jednocześnie prawdziwe lub
jednocześnie fałszywe:
Równoważność
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Alternatywa wykluczająca zdań:
: " ". Operacja dwuargumentowa. Jest to operacja
działająca odwrotnie niż równoważność: Wynik zadziałania alternatywy wykluczającej jest
prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy jedno ze zdań jest fałszywe, a drugie prawdziwe:
Alternatywa wykluczająca
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Tautologia
Tautologią nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych
zdań, z których jest złożone. (W językoznawstwie "tautologią" nazywa się wyrażenie w stylu "masło
maślane", czyli powtórzenie tego samego, może innymi nieco słowami; tu definicja jest nieco szersza,
gdyż dotyczy zdań złożonych.)
Niektóre prawa rachunku zdań
1. Prawo podwójnego przeczenia:
.
2. Prawo wyłączonego środka: Przykł: Niech będzie zdaniem: "Legia wygrała"; wtedy
"Legia przegrała lub zremisowała". Zdanie:
jest zawsze prawdziwe.
3. Prawa de Morgana:
to
1. Prawo zaprzeczenia koniunkcji:
. (o tym można się
przekonać bezpośrednim rachunkiem, wstawiając możliwe wartości logiczne zdań i
patrząc czy po lewej i prawej stronie dostanie się to samo. Jest to uniwersalna metoda
sprawdzania, czy dwa zdania złożone są równoważne.)
2. Prawo zaprzeczenia alternatywy:
.
4. Prawo zaprzeczenia implikacji:
5. Prawo transpozycji:
6. Prawa łączności:
1. Łączność koniunkcji:
2. Łączność alternatywy:
7. Prawa rozdzielności:
1. koniunkcji względem alternatywy:
2. alternatywy względem koniunkcji:
Kwantyfikatory
Dotyczą form zdaniowych.
Dla każdego
zachodzi
Istnieje taki , że zachodzi
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
.
.
Przykład
Powiedzieć, że "nieprawda, że wszystkie liczby naturalne są parzyste" jest tym samym, co
powiedzieć, że "istnieje taka liczba naturalna, która jest nieparzysta".
Zbiory
Zbiór
Zbiór jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowalnym. Aby jednak na tym nie poprzestać i powiedzieć o
co tu chodzi, to taką pseudodefinicją mogłoby być: "coś, co zawiera elementy".
Zbiór pusty
Zbiorem pustym nazywamy zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Oznacza się go .
Zbiór skończony
Zbiorem skończonym nazywamy zbiór posiadający skończoną ilość elementów. Ilość elementów
zbioru skończonego
oznaczamy jako
, czasem też
.
Równość zbiorów
Mówimy, że zbiory i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru
zbioru i każdy element zbioru należy do zbioru . Zapisujemy to tak:
należy do
Zawieranie się zbiorów
Zbiór zawiera się w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest jednocześnie
elementem zbioru . Sytuację taką oznaczamy
, a o zbiorze mówimy, że jest podzbiorem
zbioru
. Zapisujemy to tak:
.
A jest podzbiorem B
Przykład
Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych.
Niektóre proste własności inkluzji (zawierania się ) zbiorów
(zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru
(każdy zbiór jest swoim podzbiorem).
)
Podzbiór właściwy
Jeśli
i
, to mówimy, że
jest podzbiorem właściwym zbioru
.
Pytanie
Ile podzbiorów ma zbiór skończony zawierający
Odp.
elementów?
.
Suma zbiorów
Sumą zbiorów i nazywamy zbiór tych elementów, które należą do co najmniej jednego z tych
zbiorów. Zapisujemy to jako:
Suma A i B, oznaczana A ∪ B
Przecięcie zbiorów
Przecięciem (iloczynem) zbiorów i nazywamy zbiór tych elementów, które należą do obu
zbiorów. (Przecięcie nazywamy też częścią wspólną). Zapisujemy to jako:
Przecięcie A i B, oznaczane A ∩ B.
Różnia zbiorów
Różnicę zbiorów
i
zapiszemy już tylko wzorem i zilustrujemy:
Różnica
A\B
Rozłączność zbiorów
Mówimy, że zbiory
gdy
.
i
są rozłączne wtedy i tylko wtedy, gdy nie mają wspólnych elementów, tzn.
Dopełnienie zbioru
Każdy zbiór możemy uważać za podzbiór jakiegoś większego zbioru
nadzbiorem zbioru ).
Def. Dopełnieniem zbioru do zbioru
oznacza się też
od "complement").
nazywamy zbiór
(wtedy
nazywamy
. (Czasem dopełnienie
Iloczyn kartezjański zbiorów
Iloczynem kartezjańskim zbiorów
:
i
nazywamy zbiór par uporządkowanych
, gdzie
Przykład
Niech
. Wtedy
— parę liczb rzeczywistych można interpretować jako współrzędne
punktu na płaszczyŹnie. Tak więc
to płaszczyzna.
Przykład
Niech — zbiór dat,
historycznych.
— zbiór miejsc na Ziemi; wtedy
Iloczyn kartezjański
=
— zbiór zdarzeń
zbiorów
Analogicznie definiujemy iloczyn kartezjański
uporządkowanych:
zbiorów
jako zbiór -ek
Przykład
Nasza przestrzeń, w której żyjemy, to
.
Podstawowe zbiory liczbowe i ich oznaczenia
1.
— zbiór liczb naturalnych ("natural"),
2.
— zbiór liczb całkowitych ("Zahlen"),
3.
— względnie pierwsze — zbiór liczb wymiernych
("quotient"),
4.
— zbiór liczb rzeczywistych ("real").
Przedziały liczbowe i ich oznaczenia
Przedziały ograniczone
Niech
1.
2.
3.
i
.
(przedział obustronnie otwarty)
4.
(przedział obustronnie domknięty)
Przedziały nieograniczone
Niech
1.
2.
3.
4.
.