(PLL) w przetwornikach pomiarowych

18
PAK vol.54,nr l/2008
ARTYKUŁ TECHNlczNY
Tadeusz SIDOR
AKADEMlA GÓRN lczo-H UTN IczA' KATEDRA M ETRoLOG||
Zastosowanie synchronicznej pęt|ifazowej (PLL)
w przetwornikach pomiarowych
Układy Synchronicznej Pętli Fazowej (SPF łub PLL - Phase Lock Loop)
są powszechlie stosowane we współczesnych urządzeniachtelekomunika.
cyjnych do synchronizacji, powielania i detekcji częstotliwości.Wynika to
w nafuralny sposób z genezy ich powstania' Idea PLL powstałabowiem
juz w latach trzydziesfych ubiegłego wieku jako pewna metoda odbioru
i detekcji sygnałów radiowych It]. Nie zyskałajednak dużejpopulamości
ze wzg|ędu na trudności techniczne przy stosowanej wówczas technice
układów elektronicanych.Dopiero od momentu kiedy pojawiĘ się układy
scalone zawierające wszystkie podzespoĘ pętli w jednym chipie zaczęto
powszechnie je stosować, gdyż posiadają bardzo ciekawe własności
i stwarz-ająrozliczne możliwości ich wykorzystywania. Uk'lady PLL mogą
teŻ słuryć do budowy elementów różnych elektronicznych przetworników
pomiarowych, zastępując z powodzeniem istniejące inne rozwiązania
układowe,a także,ze względu na swoje unikalne własności
stwarzajądufe
pole do inwencji w tej dziedzinie. Jednak wiedza na ich temat nie jest
powszechna w środowiskumetrologów i m.in. z'tego powodu podstawy
działaniaukładów PLL zostanąszerzejomówione we wstępie.
Słowa kluczowe: PLL, pętla fazowa, stabilnośćpętli fazowej, detekcja
fary, demodulacjaczęstotliwości,wzmacniacz homodynowy'
się wówczas składowa stała,k1óra utrzymuje częstotliwośćgenefatora VCo dokładnie równą częstotliwościsygnafu wejściowego.
Tęn stan jest ufzymywany nawet jeżeli częstotliwośćsygrrału
wejściowegozmieni się, pod waruŃiem,lż nniana nie przel<łocry
zakresu przestlajania generatoraVCo, czyli zakesu t.rymania !ętli'
2. Warunki stabilnościukładupętli fazowej
Tak jak dla kazdego układu ze sprzężeniem zwrotnym' muszą
byc zachowane pęwne waruŃi aby układ był stabilny. Analizę
stabilności najprościej można przeprowadzić badając postać
transmitancji operatorowej układu przy otwartej pętli sprzężenia
zwrotnego. Transmitancja taka jest iloczynem transmitancji poszczególnych bloków układu wg rysunku 1.
Detektor fazy jest układem bezinercyjnym i może być opisany
przy załoŻeniuliniowości charakterystyki transmitancją G' wyni.
kającąz zależnościpostaci (l):
Keywords: phase lock loop, PLL stabilify, phase detection, frequency
demodulation,homodyne amplifier.
1. Wstęp
Synchroniczna pętla fazowa składasię z kilku bloków funkcjo.
nalnych przedstawionychna rysunku L
\9l-ęr)/Ut
Rys. l.
Fig. I .
Ul/U2
u,/f
G, =
(i)
Transmitancja c, (s) nttru dolnoprzepustowego za|eĄ od jego
strukturyi ogólnie moiebyć opisana zależnością(2):
c r ( r ) =u 2 / U t
(2)
Fizycznym sygnałem wyjściowym generatora VCo jest napię.
cie przemienne o częstotliwości/ ' ale ponieważ detektor fazy
reaguje na różnicę faz sygnałów wejściowych Ezeba formalnie
przekształ.cicczęstotliwośćna fazę. Dla sygnafu sinusoidalnego
postaci (3) o zmiennej częstotliwości,korespondująca z argumen.
(4).
tem funkcji sinus faza Q2 jest okeślonaprzez zaleźność
Schemat b|okowy syncfuonicznej pętli fazowej
Block diagram of the phase lock loop
Blokiem wejściowymukładu PLLjest detektorfazy, ktÓry daje
na wyjściu napięcie będące funkcją (proporcjonalne) rófntcy faz
napięć przemiennych podawanych na wejścia.Kolejnym blokiem
jest filtr dolnoprzepustowy' którego napięcie wyjściowe steruje
częstotliwościągenefatoraYCo (Yoltage Control}ed oscillator),
Napięcie wyjściowe generatorapoprzez opcjonalny dzielnik częstotliwości(:N) podawanejest zwlotnie na wejściedetektorafazy.
Na skutek dział'aniatej pętli sprzężeniazwrofnego częstotliwość
generatoraprzestrajasię tak, że w stanie ustalonym staje się równa
częstotliwościsygriafuwejściowego(przy N=l), lub jego całkowitej wielokrotności.Pętla wchodzi wówczas w synchronizm. Mechanizm dochodzenia pętli do synchronizmu najłatwiejwyjaśnić
przyjmując, że detektorem fazy jest układ mnożący, tak jak ma to
miejsce w przypadku układuscalonego LM565 [5].
Niech w pewnej chwili na wejścieukładupętli zostanie podany
sygnał sinusoidalny o częstotliwościf Generator VCo oscyluje
z początkową częstotliwością1f6.
Iako wynik mnożeniana wyjściu
detektora pojawiają się sygnały o częstotliwościacb f+fg i f-fy. Fi\tr
dolnoprzepustowy ma tak dobrane pasmo przenoszenia, ze eliminuje przebieg o częstotliwościf+fg aprzepuszcza sygnał o częstotli.
wości różTlicowej
Stosunkowo wolny przebieg przemienny
"/:fo.
o częstotliwości różnicowej dztała na wejście generatora Vco
przestrajającjego częstotliwośćw obu kierunkach. W okresie kiedy
różnica częstotliwości zmniejsza się przebieg o częstotliwościróŹ.
nicowej zrnienia się coraz wolniej i proces ten trwa aż do momentu
kiedy różnica częstotiiwości zmaleje do zera. Na wyjściu układu
mnożącego,a więc i na wyjściufiltru dolnoprzepustowego,pojawia
U'
= lr,
9t -Qz
U = U . s i n 2 r f t= U , s i n a t
(3)
9, = Jatdt
(4)
.
0
:
Zakładając iż częstotliwośćgeneratora/ j est proporcjonalna do
napięcia sterującego U, za|eżnośćfazy od napięcia sterującego
możnawYazić przez (5):
w , =k , ) Ur d t
,
l-,
(5)
0
(5) otrzymujesię
Dokonując transformatyLaplace'a zależności
wyrazenie na transmitancjęopelatorową G,(s) generatoraVCo
w postaci(6):
G,(s)=
?r'=r'
u2
s
t
.ł
.{
(6) {
s
t:
Transmitancjagenelatoraodpowiada więc postaci transmitancji
członu całkującego [2]. Ma to swoje istotne konsekwencje WZy
określaniuwarunków stabilności układu pętli fazowej o wypad.
kowej transmitancji z otwańą pętlą sprzężenia wyrażoną przez
(7):
zależnośc
c(s)=c, 'Gt'G, =t ,'Gr(r)'L
;
t
(7)
#
g
19
PAK vol. 54, nr l/2008
Transmitancja rypowego filtru dolnoprzepustowegomoże być
przedstawionaw postaci (8)' gdzie iz jest rzędem filtru równym
iiczbie bieeunów.
)
U^
U
u - l.r,= rc
ń_ t
)
r'.
n
s + a , 5' + . . . +a , s + o :
ń_l
1
U
(8)
Przy sinusoidalnym sygnale wejściowymkazdy biegun wpro.
wadza do sygnafu wyjściowego filtru przesunięcie fazowe, które
asymptotycznie dąŻry do 90o przy wztastającej częstotliwości.
Jeże|iwziąć pod uwagę, Że człon całkujący przesuwa równieŹ fazę
zawsze o 90.' to już filtr pierwszego rzędu w połączeniuszelego.
wym z integratorem daje przy wysokich częstotliwościach kry.
tyczne, wg kryterium Nyquista, przesunięcie fazowe, które powo.
duje' iż ujemne sprzężenie Ziwotnę zamienia się na dodatnie.
Jeżeli dodatkowo całkowite wzmocnienie toru jest wówczas więk.
sze odjedności,to układ staje się niestabilny.
Ściśle rzecz biorąc jest to sytuacja hipotetyczna, gdyżz ftltr
pierwszego rzędu daje przesunięcie fazowe równe 90" dopiero
przy nieskończenie wysokiej częstotliwości,aie nie naleĘ zapo.
minac, że w układzie rzeczylvistym istnieją jeszcze inne stopnie
np. wzmacniające, które również dodatkowo przesuwają fazę
sygnafu,tak że granica stabilnościukładumoże byc przekroczona
przy znacznie ni;zszych częstotliw ości ach. oczywi ścieni ebezpie.
czeństwo utrary stabilnościukładu rośnielawinowo w przypadku
filtru wyższego rzędu. Z tego powodu najczęściejstosowanym
filtrem w uk]adach pętli fazowej są frlĘ pierwszego rzędu i to
o transmitancjizmodyfi kowane1 poprzez dodanie,,zera". Typowy
układ takiego filtru przedstawiono na rysunku f, a jego transmi(9).
tancjęopisuje zależność
./+sCR.
G ', ( s J = t l r ( 9 )
l + s C ( R ,+ R r J
Zastosowanie filtru o takiej transmitancji praktycznie zabezpiecza uk]ad pętli przed utrat{ stabilności,gdyż zwiększa margines
fazowy i co za tym idzie skaca przebieg przejściowy, a]e równocześniegorzej tfumi sygnał o częstotliwości sumacyjnej f+fg co
powoduje flŃtuacje fazy generatora VCo.
Rys' 2.
Fig. 2.
schemat zmodyfikowanego układu filtru pievszego
Diagram of the modified I st order filter
Detektor typu II jest skomplikowanym układemlogicznym generującym impulsy dodatnie lub ujemne wyzwalane i kasowane
zboczarni narastającymiprzebiegów wej ściowych'Znak generowanych impulsów za|eĄ od tego które zbocze narastająceobu
pŹebiegów pojawi się wcześniejna odpowiednim wejściu.lmpulsy wyjściowe,podobnie jak w przypadku detektora rypu I, są
uśrednianew flltrze dolnoprzepustowym i wynikowe napięcie
generatoraVCo.
stałesterujeczęstotliwością
Istotnaróżnica w działaniupętli z detektolem typu II polega na
Ęm, ze nie tylko częstotliwośćgęneratoraVCo, w stanie syncfuonizmu, staje się równa częstotliwościprzebiegu wejściowego,
ale również i przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegiem generatora a przebiegiem wejściowym zostaje zredukowane do zera.
Detektor Ępu II w tym stanie nie generuje żadnych impulsów na
wyjściu' a częstotliwośćgeneratora VCo wynika ze stałego napięcia, które przez jakiś czas uhzymuje się na kondensatorzę
wyjściowym filtru.
Pehry synckonizm, zarówno co do częstotliwości jak i fazy'
generatora VCo z przebiegiem wejściowym stwarza dodatkowe
możliwości wykorzystania układu takiej pętli. Dodatkowym atutem pętli z detektorem typu II jest fakt, iż.na wyjściudetektora
w stanie synchronizmu impulsy pojawiają się rzadko w przeciwieństwie do detektorafypu I' który generuje zawsze na wyjściu
przebieg o podwojonej częstotliwościprzebiegu wejściowego.
Uklad scalony typu MC4046 zawiera w swojej strukrurze zarówno detektorfazy rypu I jak i Ępu II, którę mogą być zamiennie
użyte w za|ehtościod potrzeb.
Ponizej przedstawiono kilka układów zawierającychpętle fazowe,
lctóremogą maleźćzastosowaniew przetwornikachpomiarowych.
4. Liniowy demodu|ator częstot|iwości
Możliwośćzastosowania synchronicznej pętli fazowej do demodulacji sygnafu torów pomiarowych z modulacjączęstotliwości
wynika wprost z zasady działaniaukładupętli. Jeżelizmodulowany częstotliwościowo sygnał majdzie się w paśmie chwytania
pętli wówczas pętla po wejściu w synchronizm będzie śledzić
zmiany częstotliwości,o ile maksymalna dewiacja sygnafu nie
przeWoczy jej zakresu trzymania. Sledzenie zmian częstotliwości
zwięane jest ze zmianami napięcia sterującego generatorem
YCo. Związek pomiędzy napięciem na wejściugeneratorai dewiacjąza|'eizyoczylviście od ksztattu charakterystyki 7(u). lezett
charakterystyka ta jest liniowa, tak jak na rysunku 3 wówczas
w zakesie od .fc.. do .fo-* może być opisana zależnością(10):
zędu
Trudno jednak ocenić dynamikę układu rzeczyrvistegona pod.
stawie przedstawionegopowyżej linearyzowanego modelu dyna.
micznego pętli fazowej, gdyi w układzie rzeczywistym zarówno
charakterystyka detektora fazy jak i generatora VCo są w ogól.
nym przypadku nieliniowe. Można jednak badac przebiegi przej.
ściowepętli za pomocą nieliniowego modelu zbudowanego przy
wykorzystaniu moŻliwościstwarzanych przez uniwersalne programy analizy układów e|ektronicmych.
3. Detektoryfazy
Układy scalonych pętli fazowych zawierająróżne rypy detektorów fazy, umownie podzielone na dwie kategorie[3]'
Tzw. detektor typu I jest najczęściejukładem mnożącym i na
jego wyjściupojawiają się sygnały będące,jak już wspomniano
poprzednio, sumą i różnicą częstotliwościsygnałów podawanych
na wejściadetektora.
0
Rys. 3.
Fis. l.
Typowa chilakterystyka generatora VCO
Characteristicofthe VCO
fo=for+kU"
(10)
gdzie,t- jest współczyrrnikiem
proporcjonalności
PoniewaŹ w stanie synchronizmu częstotliwość Eerleratora fc
jest równa częstotliwości/, a ta z kolei dla przebiegów zmodulo.
wanych częstotliwościowomoże być zapisana w postaci (ll),
(10) możnaprzekształcićdo postaci (12):
więc zależność
f=f^+Lf
(11)
f0
PAK vol. 54, nr l/2008
fr+Lf=for+kU"
(l 2 )
Jeżeli częstotliwoścpoczątkow4 fco genelatora VCo dobterze
się równą częstotliwościnośnej /o przebiegu zmodulowanego,
wówczas wyraienie ( l 2) upraszczasię do postaci( l 3):
u' = ! y
k'
(13)
Napięcie wyjściowesynchronicznej pętli fazowe3jest więc zależne wprost proporcjonalnie od dewiacji demodulowanego przebiegu.
5. Selektywny wzmacniacz (woltomierz)
homodynowy
Zasadę działania wzmacniacza homodynowego ilustruje schemat blokowy przedstawionyna rysunku 4.
Rys. 4.
Fig. 4.
Schemat blokowy wzmacniacza homodynowego
Block diagram of the homodyne amplifier
Zasadnicza częśćwzmacniacza homodynowego składasię z pę.
tli fazowej P.L.L. oraz mnoŻarki analogowej ,,X''. Jezeli pętla
fazowa jest wyposażonaw detektor tazy typu II Qak np. w układzie MC4046) wówczas w stanie s1mchronizmuna wyjściugeneratora pojawia się przebieg prostokątnybędący dokładniew fazie
z przebiegiem wejściowym [3]. Mnożarka w takim przypadku
pracuje podobnie jak detektor synchroniczny. Przebieg wyjściowy
mnofarki podawany jest następniena filtr dolnoprzepustowy.
w stanie ustalonym na wyjściufiltru pojawia się napięcie,które
możnaokreślićzależnością
( 14):
U^=1
l ( Jd t
(1 4 )
a
gdzie: T - okres przebiegu prostokątnego,rp . przesunięcie fazy
pomiędzy przebiegiem prostokątnym a przebiegiem wejściowym
Dla okresowegoprzebieguwejściowego(15) wartość
napięcia
wyjściowegookreślazależność
(| 6),
Ui=U.,'"(!,.r)
2U-
u o = -cosQ
7t
sygnaĘ wejściowe, nawet wieloklotnie mniejsze od poziomu
zakłóceń'
6. Powielanie częstotliwości
operacja mnożenia częstotliwościmusi przebiegaó z peWnym
opóźnieniem,gdyŻ logicznie rzecz biorąc operacja taka kłóci się
z zasadą iż przyczyna musi wyprzedzac skutek. Nie można bo.
wiem wygenerowaÓ fali o większej liczbię okresów dopóki nie
skończy się okres fali o częstotliwościpodlegającej mnożeniu.
Pomimo tego oczylvistego ograniczeniapowielanie częstotliwości,
czyli operacja mnożenia częstotliwościprzez liczbę natulalną
możełatwo być przeprowadzonaza pomocą pętli fazowe1poprzez
wprowadzenie dzielnika częstotliwościpomiędzy wyjściegeneratora VCo a wejściedetektorafazy,tak jak to pokazano na rysunku
l. Stosując jako dzielnik częstotliwościlicznik modulo N stan
synchronizmu pętli jest osi4gany przy częstotliwościgeneratora
VCo równej N razy częstotliwość/sygnafuwejściowego.NaleŻy
wówczas oczywiściedobrać częstotliwość
początkową fG, generatora VCo tak by nie różniła się od wartości N/ więcej niż
o pasmo chwytania pętli.
operacja mnożenia częstotliwościmoŻę zostać wykorzystana
w wielu różnych syn:acjach' ale w systemach pomiarowych jest
szczególnie Przydatn^ do wywarzania impulsów zegarowych
zsynchronizowanych z częstotliwością
sieci 50 Hz' Jęże|iimpulsy
takie w liczbie będącej całkowitą wielokrotnościąokresu sieci
zostaną użyte do sterowania pracą przetwomika analog - cyfra
z podwójnym całkowaniem, wówczas zakłócenia sygnafu pze.
twarzanego pochodzące od sieci zosianą całkowicie wyeliminowane' Zastosowanie w tym przypadku pętli fazowej gwaranfuje,
że eliminacja zakłóceń sieciowych będzie całkowita nawet
w przypadku flukruacji częstotliwościsieci, gdyż generatorVCo
pętli zostanie wówczas odpowiednio przestrojony.
7. Generacja przebiegów kwadraturowych
W wielu różnych układach pomiarowych potrzebne są sygnały
przesunięte względem siebie o % okresu (90.)' Jako przykład
można podać układ automatycznęgo równoważenia mostków
prądu zmiennego [ól. Do równoważenia mostka stosowane są
układy mnożące sterowane z demodulatorów synchronicznych
dających na wyjściusygnaĘ o wańościnapięcia niezrównowaŹenia mostka mnożoneodpowiednio przez cosp i sinq, gdzie <pjest
przesunięciem fazy napięcia nierównowagi względem napięcia
zasilania mostka.
Do sterowaniademodulatorów synchronicznych potrzebazatem
napięć, najlepiej w postaci fali prostokątnej dokładnie w fazie
z napięciem zasilania mostka i przesuniętegowłaśnieo 90o czy1i
o % okresu. Dobrze do tego celu nadaje się układ zawierający
pętlęfazową przedstawionyna rysunku 5.
(1s)
(l 6 )
Poniewai przy zastosowaniu pętli z detektorem fazy typu II
przesunięcie fazy rpjest równe zero na wyjściufiltru otrzymuje się
przebieg będący wartościąśredniąwyprostowaną przebiegu wej.
ściowego.
Podobnie jak we wzmacniaczll z przetwarzaniemukład taki d.
mnożarkai filtr dolnoprzepustowyma własność
eliminacji wszelkich zakłóceń o częstotliwościach
różniącychsię od częstotliwości
wzmacnianego przebiegu o więcej niż wynosi pasmo przenoszenia
wyjściowego filtru dolnoprzepustowego [7]. Stosując więc filtr
o wąskim paśmiemożna z powodzeniem mierzyc bardzo słabe
Rys' 5'
Fig. 5.
Układ pętli fzowej do generacjisygnałÓw kvadraturolvych
Phase loop circuit for the generationofquadrature signals
Przy zastosowaniu ukJadu pętli z detektorem fazowym Ępu 2
(np.MC4046) przebieg fali prostokątnejgenerowanejprzez YCo
jest dokładnie zsynchronizowany z sinusoidalnym przebiegiem
wejściowym,ponieważ roŻnicafaz sygnałów na wejściudetektora
musi byc równa dok.ładniezero w stanie syncfuonizmu [4].
Przebiegi czasowe w różnych punktach układu przedstawiono
na rysunku 6.
:,\
j
I
:ś
.:
.ii
I
fi
i
.ł.
21
PAK vol. 54.nr l/2008
wośćimpulsów generowanychpTzez rastetzrównała się z częstotliwościągeneratorawzorcowego.
Raster
Rys.6.
Fig. 6.
Pnebiegi czasowe w układziewg rys. 5
Signal vs. time chaactcrsitics for the circuit presentedin Fig. 5
W układzie zastosowano plzerzutniki typu D połączone jako
dwÓjki liczące. Przerzutniki takie zmieniają stan przy narastającym zboczu sygnałuwejściowego.Poniewaz częstotliwośćfali na
wyjściu generatora VCo jest dwukrotnie wyższa niż przebiegu
wejściowego,a dwójki ltczące z kolei dzielą częstotliwośćprzez
dwa, na wyjściachWy1 i Wy2 otrzymuje się przebiegi o tej samej
częstotliwościco plzebieg wejściowyale przesunięte względem
siebie o % okresu. Przesunięcieto wynika z zastosowaniainwenera w torze wyzwalania dol-negoprzerzutnika na rysunku 5.
8. Układprecyzyjnej stabl|izacji prędkości
obrotowej
Układ działający na zasadzie pętli fazowej może zostać wykorzystany do precyzyjnej stabilizacji prędkościobrotowej. Zamiast
generatora VCo w układzie pętli występuje wówczas zespół
złożony z precyzyjnego rastra naniesionego na obracający się
obiekt, detektora impulsów generowanych przez raster i napęd
sterowanynapięciem stałym.Schemat całegouk.ładuprzedstawiono na rysunku 7.
Detektor fazy generuje sygnat zaleany od różnicy faz przebiegu
generowanegoprzez gęneratorwzorcowy G.W. (np. kwarcowy)
i przebiegu w}twarzanego'przez detektor impulsów pochodzących
od wirującego rastra. Po przejściuprzez fl'Itrsygnał częstotliwości
różnicowej po wzmocnieniu steruje napędem tak aby częstotli.
Rys' 7.
Fig. 7.
Uklad stabiliacji prędkościobrotow€ j
The circuit for the rotationalspeed stabiliztion
Stan taki jest utrzymylvany bo nawet jeŹeli prędkośćobrotowa
rastraulegnie zmianie np. na skutek zrniany obciążenianapędu' to
sygnał detektora fazy tak zmieni zasilanie napędu, że stan poprzedni zostanieprzywrócony.
Powyższych kilka przykładów ilustruje różnorodnemożliwości
wykorzystania synchronicznych pętli fazowych w układach pomiarowych co' jak już wspomniano we wstępie,może stac się
inspiracjądo wykorzystania ich w innych rozwiązaniach.
9. Literatura
! ] Tony van Roon: Phase Locked Loops. http:i/www.uoguelph.ca./
-antoon/ gadgets.pllipll.html
[2] J. B. Calvert: The phase.Locked Loop. hftp://www.du.ędu/-etunle/
electror/electI 2.htm
[3] P. Horowiu' W. Hill: Sznrka eiektroniki. w.K.Ł. Warszawa l997'
[4] J. Smith: IvlodernCommunication Circuits. McGraw-Hill 1987
[5] NvSE5ó5 Phase.Locked Loop. www.DataSheet'in
[6] M. M. Stabrowski: Mierni*wo
Warszawskiej 1994
elektryczne. Oficyna Wyd. Poi.
[7] T. Sidor: Elektroniczne Przetworniki Pomiarowe. ACH
Nauk..Dydakt. Kraków 2006
INFORMACJE
Cennik publ'ikacjireklam
w miesięczniku naukowo.technicznymPAK
..
l.
ii...'.'*l.ia.
t'ł'łil,a;.'.:...
okładka
I 800:00 PI-N netto
okladka
I 600:00 PtN netto
I okładka
I 500i00 PLN netto
V okładka
1 700i00 PLN netto
1 strona(17,5x250
mm)
9-00.00PLN netto
% strony (175x125mm): poaoma
500ł00Pf'N.netto
700j00.PLN'nętto
% strony (85x250 mm)- pionowa
1./3
,
sEon} (l i )xó) rnm)
500,00 PLN, netto
700,00 PLN netto
400,00PLN netto
%strony(85x125mm)
300.00 PLN netto
Do podanych cen naleĘ doliczyć podatek VAT w wysokości22Yo.
1 100i00 PLN netto
Ucz. Wyd.