Wykład 2: Prawdopodobieństwo warunkowe. Twierdzenie o

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 2: Prawdopodobieństwo warunkowe.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń.
Definicja.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem,
że zaszło zdarzenie B, gdzie A, B ∈ F, P (B) > 0, dane jest wzorem
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Dla B takiego, że P (B) = 0, można przyjąć P (A|B) = 0.
Przy ustalonym B, P (B) > 0, oznaczyć możemy P (A|B) = PB (A). PB to nowe prawdopodobieństwo na (Ω, F), tzn. (Ω, F, PB ) jest nową przestrzenią probabilistyczną.
P (A) - prawdopodobieństwa a priori (przed faktem)
PB (A) - prawdopodobieństwa a posteriori (po fakcie).
Własności prawdopodobieństwa warunkowego:
1. Jeśli A ⊂ B, A, B ∈ F, P (B) > 0, to P (A|B) =
P (A)
.
P (B)
2. Jeśli B ⊂ A, A, B ∈ F, P (B) > 0, to P (A|B) = 1. W szczególności, P (B|B) = 1.
3. Jeśli A ∩ B = ∅, A, B ∈ F, P (B) > 0, to P (A|B) = 0.
4. Jeśli A, B ∈ F, P (B) = 1, to P (A|B) = P (A).
1
Definicja.
Rozbiciem zbioru Ω nazywamy rodzinę {Bn ,Sn ∈ T ⊂ N} zdarzeń losowych parami
rozłącznych (tzn. Bi ∩ Bj = ∅ dla i 6= j) taką, że
Bn = Ω.
n∈T
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy
P (A) =
X
P (A|Bn )P (Bn ).
n∈T
Wzór Bayesa:
Niech {Bn , n ∈ T ⊂ N} będzie rozbiciem zbioru Ω takim, że P (Bn ) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A takiego, że P (A) > 0, i dla każdego n ∈ T
mamy
P (A|Bn )P (Bn )
.
P (Bn |A) =
P (A)
P (A) możemy wyliczyć z tw. o prawdopodobieństwem całkowitym.
Przykłady do zad. 1.4
2
Definicja.
Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy niezależnymi, gdy
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Własności zdarzeń niezależnych.
1. Jeśli A i B są niezależne i P (B) > 0, to P (A|B) = P (A).
2. Jeśli A ∩ B = ∅, P (A) > 0, P (B) > 0, to A i B nie są niezależne.
3. Jeśli A ⊂ B, P (A) > 0, P (B) < 1, to A i B nie są niezależne.
4. Jeśli A i B są niezależne, to niezależne są także zbiory
• A i Bc,
• Ac i B,
• Ac i B c .
5. Jeżeli P (A) = 1, tzn. A jest zdarzeniem prawie pewnym, to A i dowolne zdarzenie B są niezależne. W szczególności, Ω i dowolne zdarzenie B są niezależne.
6. Jeżeli P (A) = 0, to A i dowolne zdarzenie B są niezależne. W szczególności, ∅ i
dowolne zdarzenie B są niezależne.
Definicja.
Zdarzenia A, B i C z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy niezależnymi
(wzajemnie niezależnymi), gdy
P (A ∩ B ∩ C)
P (A ∩ B)
P (A ∩ C)
P (B ∩ C)
P (A)P (B)P (C),
P (A)P (B),
P (A)P (C),
P (B)P (C).
=
=
=
=
Definicja.
Zdarzenia z rodziny A = {At , t ∈ T} z przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) nazywamy
niezależnymi (wzajemnie niezależnymi), gdy dla dowolnego n ∈ N i dla dowolnych
różnych t1 , t2 , . . . , tn ∈ T zachodzi
P (At1 ∩ At2 ∩ . . . ∩ Atn ) = P (At1 )P (At2 ) . . . P (Atn ).
A to rodzina zdarzeń niezależnych.
Uwaga.
Jeżeli dla dowolnych t1 , t2 ∈ T zachodzi P (At1 ∩ At2 ) = P (At1 )P (At2 ), to mówimy, że A
jest rodziną zdarzeń parami niezależnych.
Przykłady do zad. 1.5
3