Matematyka Finansowa – Wzory - Uniwersytet Ekonomiczny w

Matematyka Finansowa – Wzory - Uniwersytet Ekonomiczny w

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Matematyka Finansowa – Wzory1
I Oprocentowanie
1. Okresowa stopa procentowa
r=
I
Kt − K0
=
K0
K0
(1)
2. Realna stopa procentowa
rreal =
r−i
1+i
(2)
3. Faktyczna stopa procentowa
rf = r · (1 − P D)
(3)
Kn − Kn−1
Kn−1
(4)
4. Efektywna stopa procentowa
rnef =
II Oprocentowanie proste
5. Oprocentowanie proste – wartość przyszła kapitału po n pełnych okresach
Kn = K0 (1 + n · r) ,
n ∈ R+
(5)
6. Oprocentowanie proste – wartość przyszła kapitału po n okresach, gdy stopy procentowe są zmienne
Kn = K0 (1 + n1 · r1 + n2 · r2 + . . . + nk · rk ) ,
ni ∈ R+
(6)
7. Oprocentowanie proste – przeciętna stopa procentowa
k
r̄ =
1X
nj rj
n j=1
(7)
III Oprocentowanie składane
8. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n pełnych okresach
n
Kn = K0 (1 + r) ,
n∈N
(8)
9. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n okresach, gdy stopy procentowe są zmienne
n1
Kn = K0 (1 + r1 )
· (1 + r2 )
n2
nk
· . . . · (1 + rk )
,
ni ∈ N
10. Oprocentowanie składane – przeciętna stopa procentowa
v
u k
uY
n
n
r̄ = t
(1 + rj ) j − 1
(9)
(10)
j=1
11. Oprocentowanie składane – wartość przyszła kapitału po n podokresach przy kapitalizacji w m podokresach
r n
Kn|m = K0 1 +
,
ni ∈ N
(11)
m
IV Dyskontowanie
12. Dyskontowanie rzeczywiste proste – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach
K0 = Kn (1 + nr)−1 ,
n ∈ R+
(12)
13. Dyskontowanie rzeczywiste składane – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach
K0 = Kn (1 + r)−n ,
1
n∈N
Zestaw wzorów dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/wzorymatfin.pdf
1
(13)
14. Dyskontowanie handlowe (proste) – stopa dyskontowa
d=
Kn − K0
Kn
(14)
15. Dyskontowanie handlowe (proste) – wartość bieżąca kapitału przy n pełnych okresach
K0 = Kn (1 − nd),
n ∈ R+
(15)
16. Jedna z możliwych formuł na równoważność stopy dyskontowej i procentowej (dla oprocentowania prostego)
d
1 − nd
r=
(16)
17. Zasada równoważności weksli (stosowana przy odnowieniu weksla)
Kn(1) (1 − n(1) d) = Kn(2) (1 − n(2) d)
(17)
V Wartość kapitału w czasie
18. Model z ciągłą kapitalizacją odsetek
Kn = K0 er·n ,
K0 ­ 0, r ­ 0, n ∈ R+
(18)
19. Równoważność stóp procentowych: oprocentowania złożonego z k–krotną kapitalizacją oraz oprocentowania
ciągłego
r k
= e rc
(19)
1+
k
20. Model wartości kapitału w czasie przy rocznej stopie procentowej r
K(t) = K(t0 ) (1 + r)
t−t0
t∈R
,
(20)
21. Model wartości kapitału w czasie z kapitalizacją ciągłą (przy rocznej stopie procentowej r)
K(t) = K(t0 )erc ·(t−t0 ) ,
t∈R
(21)
22. Zasada równoważności kapitałów – warunek formalny
K1 (t1 ) (1 + r)
−t1
= K2 (t2 ) (1 + r)
−t2
(22)
23. Zasada równoważności kapitałów – warunek formalny z wykorzystaniem stopy oprocentowania ciągłego
K1 (t1 )e−rc t1 = K2 (t2 )e−rc t2
(23)
24. Zasada równoważności kapitałów – wartość stopy procentowej, przy której dwa kapitały są równoważne
1
K1 (t1 ) t1 −t2
r=
− 1,
t1 =
6 t2
(24)
K2 (t2 )
25. Zasada równoważności kapitałów – wartość stopy procentowej oprocentowania ciągłego, przy której dwa kapitały są równoważne
1
K1 (t1 )
,
ln
t1 − t2 K2 (t2 )
t1 6= t2
(25)
Kn(1) (1 − n(1) d) = Kn(2) (1 − n(2) d)
(26)
rc =
26. Zasada równoważności weksli
VI Rachunek rent
27. Wartość początkowa renty
PV =
n
X
Rj (1 + r)−j
(27)
Rj (1 + r)n−j
(28)
j=1
28. Wartość końcowa renty
FV =
n
X
j=1
29. Wartość początkowa renty o stałych ratach
PV = R
n
X
1 − (1 + r)−n
= Ran r ,
(1 + r)−j = R
r
j=1
gdzie an r =
1 − (1 + r)−n
r
(29)
30. Wartość końcowa renty o stałych ratach
F V = P V (1 + r)n = R
1 − (1 + r)−n
(1 + r)n − 1
(1 + r)n = R
= Rsn r ,
r
r
2
gdzie sn r =
(1 + r)n − 1
r
(30)
Matematyka Finansowa – Wzory c.d.
31. Wartość początkowa renty odroczonej o H okresów
PV
(−H)
n
X
=R
(1 + r)−H−j = R(1 + r)−H an r
(31)
j=1
32. Wartość końcowa renty odroczonej o H okresów
F V (−H) = R
n
X
(1 + r)n−j = Rsn r
(32)
1 − (1 + r)−n
R
=
r
r
(33)
j=1
33. Wartość początkowa renty wieczystej
P V ∞ = R lim R
n→∞
34. Względny błąd aproksymacji zastąpienia renty o nieznanej liczbie płatności rentą wieczystą
PV ∞ − PV
=
PV
R
r
− Ran r
1
1
=
−1=
Ran r
ran r
(1 + r)n − 1
(34)
35. Wartość początkowa renty o ratach seriami stałych, gdy wszystkie raty mają wspólny moment początkowy
M
X
PV =
Rm anm r
(35)
m=1
36. Wartość końcowa renty o ratach seriami stałych, gdy wszystkie raty mają wspólny moment końcowy
M
X
FV =
Rm snm r
(36)
m=1
37. Wartość początkowa renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
P V aryt = R1 an r +
d
an r − n(1 + r)−n
r
(37)
38. Wartość końcowa renty o ratach tworzących ciąg arytmetyczny
d
F V aryt = R1 sn r + (sn r − n)
r
(38)
39. Wartość początkowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
P V geom = R1
n
X
−j
q j−1 (1 + r)
R1
an p ,
q
=
j=1
gdzie
p=
1+r
−1
q
(39)
40. Wartość końcowa renty o ratach tworzących ciąg geometryczny
F V geom = R1
n
X
q j−1 (1 + r)
n−j
= R1 q n−1 sn p ,
gdzie
j=1
p=
1+r
−1
q
(40)
VII Spłaty długów
41. Warunek równoważności długu i rat przy aktualizacji na moment m
m
K0 (1 + r)
=
n
X
Rj (1 + r)m−j
(41)
j=1
42. Dług bieżący – ujęcie retrospektywne
Dm = K0 (1 + r)m −
m
X
j=1
3
Rj (1 + r)m−j
(42)
43. Dług bieżący – ujęcie prospektywne
Dm =
n
X
Rj (1 + r)m−j
(43)
j=m+1
44. Część kapitałowa raty Rm (kapitał umorzony)
∆Dm = Dm−1 − Dm
(44)
Im = Dm−1 r
(45)
Rm = ∆Dm + Im
(46)
45. Część odsetkowa raty Rm
46. Dekompozycja raty Rm
47. Wnioski z dekompozycji rat
n
X
Dm = K0 −
∆Dj = K0 ,
j=1
m
X
∆Dj ,
Dm =
j=1
n
X
∆Dj
(47)
j=m+1
48. Łączna wartość odsetek od długu na moment zerowy (wzór ogólny)
I(0) =
n
X
Ij (1 + r)−j
(48)
j=1
49. Rekurencyjny schemat obliczania wartości długu i dekompozycji rat [przy założonym priorytecie spłaty odsetek]
Dla kolejnych okresów j = 1, 2, . . . , n obliczamy:
Ij = Dj−1 r
(49a)
∆Dj = Rj − Ij
(49b)
Dj = Dj−1 − ∆Dj
(49c)
50. Schemat spłaty długu – tabelarycznie
j
1
2
..
.
Dj−1
...
...
..
.
Rj
...
...
..
.
Ij
...
...
..
.
∆Dj
...
...
..
.
Dj
...
...
..
.
n
P
...
—
...
—
...
—
...
...
...
—
R=
K0
an r
(50)
51. Spłaty w ratach o stałych wysokościach
(51)
52. Łączna wartość wszystkich odsetek zaktualizowana na moment 0 dla planu spłaty w ratach o stałych wysokościach
n
I(0) = K0 −
(R − K0 r)
(52)
1+r
53. Spłaty w ratach o stałej części kapitałowej
∆Dj = ∆D =
K0
n
(53)
54. Łączna wartość wszystkich odsetek zaktualizowana na moment 0 dla planu spłaty w ratach o stałych częściach
kapitałowych
I(0) = (n − an r ) ∆D
(54)
55. Równanie służące do wyznaczania RRSO (należy z równania wyznaczyć r mając dane pozostałe wielkości)
m
X
−tα
Aα (1 + r)
=
α=1
k
X
−t0β
Bβ (1 + r)
(55)
β=1
56. Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV )
NPV =
n
X
j=0
4
−tj
Aj (1 + r)
(56)