LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem

LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem

LISTA 4
1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć
ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus
uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w m komputerach?
2.Czy można dobrać stałe a, b ; aby funkcja F(t) była:
(i) dystrybuantą zmiennej losowej;
(ii) dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej;
(iii) dystrybuantą zmiennej losowej dyskretnej?
a)


aet , gdy t ≤ −1,

1
, gdy −1 < t ≤ 1,
F (t) =
2


1
b(2 − t ), gdy t > 1.
b)
F (t) = a + barctgt.
3.Sprawdzić, że jeśli gęstość zmiennej losowej X jest funkcją parzystą to dystrybuanta F (t) tej zmiennej spełnia:
a) F (0) = 0.5
b) F (−t) = 1 − F (t)
c) P (|X| < c) = 2F (c) − 1
d) P (|X| ≥ c) = 2F (−c)
4.Dla jakiej
( wartości a funkcja
a(2 − x), gdy −1 < x < 2
a) f (x) =
0, gdy x ≤ −1 lub x ≥ 2
−|x|
b) f (x) = ae
jest gęstością pewnej zmiennej losowej X. Dla przykładu a) oraz b) znaleźć
dystrybuntę zmiennej losowej X, naszkicować wykresy gęstości oraz dystrybuant, obliczyć P (1 < X < 5), P (X < 0 ∪ X > 1).
5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową
X o gęstości:
f (x) =
(
1
(3
9
+ 2x − x2 ), gdy 0 < x < 3,
0, gdy x ≤ 0 lub x ≥ 3
Jakie jest prawdopodobieństwo, że zużycie energii w ciągu dnia jest:a) większe niż 100 kWh; b) między 100 a 200 kWh.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 30 dni jest 10 dni, w których
1
zużycie energii przekroczy 200 kWh.
6.Czas pracy diody jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym
z α = 10−4 . Jakie jest prawdopodobieństwo,że dioda będzie pracować co najmniej 5000h ? Wiadomo,że dioda pracowała bezawaryjnie przez 1000h, jakie
jest prawdopodobieństwo, że popracuje jeszcze co najmniej 5000h ?
7.Prawdopodobieństwo wykrycia awarii urządzenia w czasie krótszym niż
t minut wynosi F (t) = 1 − e−5t . Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wykrycie awarii potrzeba: a) więcej niż 4 min. b) więcej niż 4,ale mniej niż 6
min. c) co najwyżej 5 min. Ile potrzeba czasu na wykrycie awarii z prawdopodobieństwem większym niż 0.5?
8.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(-3,2) wyznaczyć, korzystając z tablic: P (−1 ≤ X ≤ 1), P (X > −2), P (−3 ≤ X ≤ −1),
P (X ≤ 5), P (X > −10), P (|X| > 2).
9.Dla zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N(m,σ) obliczyć
P (|X − m| < σ).
10.Czas oczekiwania na połączenie telefoniczne w pewnej centrali dla każdego abonenta ma rozkład wykładniczy z α =0.2 s. Z centrali korzysta jednocześnie i niezależnie 100 abonentów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
najkrótszy z czasów oczekiwania na połączenie jest większy niż 5s; najdłuższy mniejszy niż 10s.
11.Czasy pracy każdej z n żarówek są niezależne i mają taki sam rozkład
wykładniczy z parametrem α = 0.001. Niech zmienna losowa X oznacza czas
pracy układu złożonego z n żarówek połączonych równolegle, zaś zmienna
losowa Y czas pracy układu złożonego z n żarówek połączonych szeregowo.
Wyznaczyć dystrybuantę i gęstość X oraz Y.
Odpowiedzi do listy 4
m
.
zad.1 z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy (pλ)
m!epλ
zad.2 a) Dla 0 ≤ a ≤ 2e oraz b = 12 funkcja F (t) jest dystrybuantą ;
dla a = 2e oraz b = 12 funkcja F (t)jest dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej;
nie można dobrać stałych a,b, żeby F (t) była dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej.
b) Dla a = 1/2; b = 1/π jest to dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej,
odpowiedź na inne pytania jest negatywna.
zad.4 a) a=2/9
2



0, gdy t ≤ −1,
−
+ 59 , gdy −1 < t ≤ 2,
F (t) =


1, gdy t > 2.
1
P (1 < X < 5) = 9 , P (X < 0 ∪ X > 1) = 23 ;
b) a=1/2
(
1 t
e , gdy t ≤ −1
2
F (t) =
1 − 12 e−t , gdy t > 0
P (1 < X < 5) = 21 (e−1 − e−5 ), P (X < 0 ∪ X > 1) = 21 (1 + e−1).
30
zad.5 a) P (X > 100) = 13
, b) P (100 < X < 200) = 13 ;
( 5 )10 ( 22
)20
27
10 27
27
zad.6 P (X > 5000) = P (X > 6000|X > 1000) = e−0.5 ;
zad.7 a) P (X > 4) = e−20 ; b) P (4 < X < 6) = e−20 − e−30 ; c) P (X ≤ 5) =
1 − e−25 ; P (X < T ) ≥ 0.5 dla T ≥ 0.2 ln(2).
zad.8 P (−1 < X < 1) = Φ(2) − Φ(1) = 0.1359
P (X > −2) = 1 − Φ(0.5) = 03085;
P (−3 < X < −1) = 0.3413;
P (X < 5) = Φ(4) = 1; P (X > −10) = 1; P (|X| > 2) = 1−Φ(2.5)+Φ(0.5)
zad.9 2Φ(1) − 1 = 0.6826.
zad.11 X(= max(X1 , X2 , ..., Xn ); Y = min(X! , X2 , ..., Xn )
0, gdy t < 0
FX (t) =
−tα n
(1 − e ) , gdy t ≥ 0
4
t
9
1 2
t
9
(
0, gdy t < 0
nαe−tα (1 − e−tα )n−1 , gdy t > 0
(
0, gdy t < 0
FY (t) =
−ntα
1−e
, gdy t ≥ 0
(
0, gdy t < 0
fY (t) =
−ntα
nαe
, gdy t > 0
fX (t) =
LISTA 5
1.Na loterii jest n1 losów na które pada wygrana x1 , n2 losów na które pada wygrana x2 , ..., nk losów na które pada wygrana xk . Wszystkich losów jest
N. Wartość oczekiwana wygranej X przy jednokrotnym losowaniu jest równa
połowie ceny losu. Obliczyć cenę losu.Czy warto wziąć udział w takiej loterii.
2.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a,b]. Jaka jest
jej wartość oczekiwaną i wariancję. Wyznaczyć stałe A, B takie, że zmienna
losowa Y = AX + B ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1].
3.Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla następujących zmiennych
losowych:
a) zmienna losowa X każdą z wartości 1,2,3,4,5,6 przyjmuje z takim samym
3
prawdopodobieństwem;
b) P( Y = -2)= P( Y = 0)= 0.1; P( Y = 2)= 0.8;
c) dystrybuanta zmiennej losowej Z jest postaci:
F (t) =


 √


0, gdy t ≤ 1,
t − 1, gdy 1 < t < 4
1, gdy t ≥ 4
d) X ma rozkład wykładniczy z parametrem α.
4.Podać przykład zmiennej losowej X, dla której nie istnieje EX.
5.Dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z α = 2 wyznaczyć
medianę oraz kwantyl rzędu 34 .Jaka jest interpretacja otrzymanych wartości?
6.Zmienna losowa X ma rozkład B(n,p). Dla jakich p wariancja X jest
największa?
7.Wiedząc,że: EX= -1, EX 2 = 3 wyznaczyć:
varX , E(4X-1), var(4X-1), E(-2X-2), var(-2X-2).
8.Rzucamy kostką sześcienną. Niech X oznacza numer rzutu, w którym
ścianka z 2 oczkami wypadła po raz pierwszy. Jaka jest EX oraz varX ?
9.Prawdopodobieństwo,że obroty firmy jednego dnia przekroczą 1 mln zł
wynosi 0.2.Jaka jest oczekiwana, a jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba dni z obrotami większymi niż 1 mln w ciągu 24 dni pracy firmy?
Odpowiedzi do listy 5
P
zad.1 c = 2EX = N1 N
i=1 xi ni , nie warto,ponieważ cena losu jest większa niż
wartość oczekiwana wygranej.
(b−a)2
1
1
,
varX
=
, A = b−a
albo A = − b−a
; B = 12 − A2 (a + b).
zad.2 EX = a+b
2
12
zad.3 a)EX= 27 , varX = 35
; b) EY=1.4, varY=1.64
12
−1
c)EZ= 73 , varZ= 34
;
d)
EX=α
; varX=α−2 .
45 √
zad.5 mediana=ln 2, kwantyl rzędu 34 = ln 2; zad.6 p=0.5;
zad.7 2; -5; 32; 0; 8. zad.8 EX=6, varX=30; zad.9 EX=4.8 ,k0 = 4lubk0 = 5.
LISTA 6
1.Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład
N(1000,100).Jaki powinien być okres gwarancji, aby na 99% miernik działał
4
przynajmniej przez okres gwarancji ?
2.Czas działania (w dniach) drukarek pewnego typu ma rozkład N(1000,σ).Dla
jakich σ drukarka będzie działała co najmniej 900 dni z prawdopodobieństwem 0.95.
3.Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 8. Dla
zmiennej losowej Y = −2X + 3 wyznaczyć: EY , varY oraz rozkład prawdopodobieństwa .
4.Niech P(X=2)=P(X=-1)=0.2; P(X=1)=0.1; P(X=-4)=0.5.
Dla Y = X 4 wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa oraz EY .
5.Energia kinetyczna K poruszającego się ciała o masie m wyraża się wzorem K = 12 mV 2 , gdzie V jest prędkością. Wyznaczyć dystrybuantę K, jeśli V
jest zmienną losową o rozkładzie N (0, σ). Obliczyć P (K > 2m), P (K < σm2 ).
6.Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem α.√Wyznaczyć dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = X.
7.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,a]. Obliczyć:
a) EX k , k = 1, 2, 3, . . .;
b) EeX ;
c)EcosX.
8.Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0,1].
Obliczyć EY dla Y=min(X,1-X).
9.Niech ciągła i rosnąca funkcja F (x) będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y = F (X). Jaki rozkład
ma zmienna losowa Y ?
10.Zmienne losowe X1 , X2 są niezależne i mają rozkład jednostajny na
przedziale [-1,5]. Dla zmiennej losowej Z = max(X1 , X2 ) wyznaczyć funkcję
gęstości oraz obliczyć EZ.
Odpowiedzi do listy 6
zad.1 co najwyżej 767 dni,
) ≥ 0.95,, σ ≤ 61
zad.2 Φ( 100
σ
zad.3 EY = −13; varY = 32,
m
P (Y = k) = e−8 8m! gdzie m = 3−k
; k = 3, 1, −1, −3, ....
2
5
zad.4 P(Y=1)=0.3;
P(Y=16)=0.2; P(Y=256)=0.5; EY=131.5.
√
2t
√
zad.5 F (t) = 2Φ( σ m ) − 1
√
P (K > 2m) =(2Φ( σ2 ); P (K < σm2 ) = 2Φ( 2) − 1.
√
0, gdy t < 0
√π .
zad.6FY (t) =
;
EY
=
2
2 α
1 − eαt , gdy t > 0
ak
zad.7 a) EX k = k+1
a
b) EeX = e a−1
c) EcosX = sina
.
a
zad.8 EY=0.25
zad.9 Y ma rozkład
jednostajny na [0,1].
(
t+1
, gdy −1 < t < 5
18
zad.10 fZ (t) =
,
0, poza
EZ=3.
LISTA 7
1.W windach osobowych jest napis: ”maksymalne obciążenie 7 osób albo
500 kg”. Zakładając,że waga pasażerów ma rozkład N(70,4) obliczyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg.
2.Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , Xn są niezależne i każda ma rozkład N(0,1).Jaki
P
rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Yn = √1n nk=1 Xk .
3.Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi 0.25. Ile prób należy wykonać,aby prawdopodobieństwo,że liczba sukcesów odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej niż 20% wszystkich prób było większe od 0.8?
4.Prawdopodobieństwo porażki w każdej próbie wynosi 0.9. Oszacować:
a) wykorzystując nierówność Czebyszewa;
b) centralne twierdzenie graniczne
prawdopodobieństwo,że w 400 próbach liczba porażek będzie większa niż 320
i mniejsza niż 400.
5.Komputer dodaje 1200 liczb rzeczywistych przedtem każdą zaokrąglając
do najbliższej liczby całkowitej.Zakładamy, że błędy zaokrągleń są niezależne
i mają rozkład jednostajny na przedziale [-0.5; 0.5]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że błąd w obliczaniu sumy będzie większy niż 5 i mniejszy niż 10?
6.Czas pracy diody (w godz.) jest wykładniczy z α = 0.001.Jakie jest
prawdopodobieństwo,że zapas 100 diod wystarczy na co najmniej 80000 go6
dzin pracy?
7.Korzystając ze zdjęć satelitarnych mierzono odległości między 2 obiektami. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi opisującymi wyniki kolejnych pomiarów.Założono,że EXk = d, varXk = 1, k=1.2,. . . ,n.
Za oszacowanie odległości d przyjęto
Yn =
n
1X
Xk
n k=1
. Ile pomiarów należy wykonać, aby P (|Yn − d| ≤ 0.1) ≥ 0.99.
8.Prawdopodobieństwo, że aparat zepsuje się w czasie jego konserwacji
wynosi 0.02. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w trakcie konserwacji 100
aparatów zepsuje się:
a) nie mniej niż 5 aparatów;
b) więcej niż 5 i mniej niż 10 aparatów ?
9.Jeśli gracz wyrzuci kostką sześcienną 6 oczek to wygrywa 4 zł, w przypadku innej liczby oczek przegrywa 1 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
przy 500 rzutach przegra więcej niż 200 zł?
10.Prawdopodobieństwo,że wyprodukowany detal okaże się dobry wynosi
0.9. Ile elementów należy wyprodukować,aby prawdopodobieństwo, że będzie
wśród nich co najmniej 50 dobrych było większe niż 95%.
11.Zmienne losowe X1 , X2 , . . . , X100 są niezależne i mają rozkład wykład1
niczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 100
Σ100
k=1 Xk przyjmie
wartości mniejsze niż 4 i większe niż 3.5.
Dla jakiego n, n1 Σnk=1 Xk odchyla się od swojej wartości oczekiwanej o mniej
niż 1 ,z prawdopodobieństwem większym niż 0.9?
12.Rzucamy 900 razy monetą. Wykorzystując centralne tw. graniczne
znaleźć najkrótszy przedział, który z prawdopodobieństwem 0.95 nakrywa
liczbę wyrzuconych orłów.
13.Dana jestR funkcja f (x) całkowalna na przedziale [0,1]; 0 < f (x) < 1
oraz niech I = 01 f (x)dx. Ciąg (Xn , Yn ); n = 1, 2, ... jest ciągiem punktów losowo wybranych z kwadratu o wierzchołkach (0, 0); (0, 1); (1, 1); (1, 0). Niech
Zn oznacza liczbę tych punktów (Xk , Yk ); 1 ≤ k ≤ n, które leżą pod wykresem funkcji f (x).
7
Jaki rozkład prawdopodobieństwa ma zmienna losowa Zn ?
Wykazać, że dla każdego > 0 zachodzi limn→∞ P (| Znn − I| < ) = 1.
14.W ciągu (Xn ); n = 1, 2, ... odbieranych niezależnych sygnałów zmienne
losowe X2n mają rozkład jednostajny na przedziale [1,3], zaś zmienne losowe
X2n−1 mają rozkład jednostajny na przedziale [-1,1].
a)Do czego jest zbieżny według prawdopodobieństwa ciąg zmiennych loso1 P2n
wych Yn ; n = 1, 2, ...; gdzie Yn = 2n
k=1 Xk ?
b)Jaka jest granica ciągu dystrybuant zmiennych Zn ,
P
gdzie Zn = √12n 2n
k=1 (Xk − EXk ) ?
Obliczyć P (Zn > 0).
Odpowiedzi do listy 7
zad.1 0.1711,
zad.2 N(0,1)
391
zad.4 a)większe niż 400
; b)równe 1
zad.6 Φ(2)=0.9772.
zad.8 a) 1-Φ( 15
) = 0.016 b)Φ( 40
) − Φ( 15
) = 0.016
7
7
7
zad.9 Φ(−2.8) = 0.0026;
zad.10 n ≥ 70.
zad.11 n ≥ 44
zad.12 [471,529].
8