1. Równania i warunki brzegowe 2. Metoda obrazów – idea i przykład

1. Równania i warunki brzegowe 2. Metoda obrazów – idea i przykład

Metoda obrazów – wielki skrypt przed poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa
1. Równania i warunki brzegowe
Dlaczego w ogóle metoda obrazów działa? W elektrostatyce do policzenia wszystkiego wystarczą 2 rzeczy:
1. Znajomość równań, czyli np. prawo Coulomba (albo prawo Gaussa, z jednego można udowodnić drugie),
to, że siły elektrostatyczne są zachowawcze, więc praca nie zależy od drogi itd. Te równania są prawdziwe
zawsze, o ile ładunki po ustaleniu równowagi się nie ruszają (bo to elektrostatyka).
To skrypt, więc wypiszę najważniejsze równania:
Prawo Coulomba: siła między 2 ładunkami punktowymi q i Q odległymi o r:
Prawo Gaussa: całka z pola po powierzchni zamkniętej daje ładunek w środku:
Napięcie między punktami A i B, czyli różnica potencjałów:
Elektrostatyczna energia potencjalna dla ładunku q wynosi , czyli różnica energii potencjalnych to
2. Warunki brzegowe, czyli rozmieszczenie ładunków i wartość potencjału na brzegach obszaru.
Dlaczego brzegowe? Bo jak liczę potencjał w jakimś obszarze, muszę znać potencjał na brzegach tego
obszaru. Jak liczę pole wszędzie, brzeg jest „w nieskończoności”. Wtedy warunki są zwykle proste: pole i
potencjał zerują się w nieskończoności, (choć np. dla nieskończonej, jednorodnie naładowanej
płaszczyzny to nie działa). Poza wartością potencjału na brzegach trzeba jeszcze znać wartości i położenia
ładunków, (ale np. nie trzeba znać ładunków związanych w dielektrykach ani rozkładu ładunków
wyidukowanych w przewodnikach, wystarczy znać ładunki „całkiem nieruchome”). Warunki brzegowe
zależą od problemu, który liczymy. Np. dla idealnych przewodników te warunki to stały potencjał (równy
zero dla uziemionych przewodników) wewnątrz i na powierzchni przewodnika. Natężenie pola
elektrycznego to -gradient potencjału (
), czyli jest równe zero wewnątrz przewodnika. Na
powierzchni przewodnika tylko składowa styczna jest 0! Składowa prostopadła zależy od ładunku
wyidukowanego na powierzchni przewodniku (ładunek w przewodniku gromadzi się tylko na powierzchni).
Dygresja 1 (warto przeczytać, bo przyda się później):
Ile wynosi ta składowa prostopadła? Można to policzyć z
prawa Gaussa (patrz rysunek). Wybieram graniastosłup o
polu podstawy A i wysokości , przechodzący przez
powierzchnię naładowaną z gęstością powierzchniową .
Składową prostopadłą nad oznaczmy
, a tę pod
Jeśli wysokość i pole A są zaniedbywalnie małe (ale
, strumień przez powierzchnię to
(bo boki się nie liczą, a iloczyn
raz jest dodatni, a raz ujemny, bo wektor
jest
skierowany raz w górę, a raz w dół, a zawsze jest w tę samą stronę). A jest małe, więc ładunek wewnątrz
to
Podstawiam do prawa Gaussa:
Dzielę stronami
przez A:
Ten wzór jest prawdziwy zawsze, nie tylko dla przewodników! Dla
przewodników pole w środku jest zero, czyli
Stąd wynika
(dla przewodników). I tyle!
2. Metoda obrazów – idea i przykład
Jak znamy równania i warunki brzegowe, rozwiązanie jest tylko jedno! Mówi nam to twierdzenie o
jednoznaczności – jego dowód jest trochę trudny, więc przyjmijmy je na wiarę. W metodzie obrazów chodzi o
to, żeby nie liczyć pola wszędzie (uwzględniając warunki „w nieskończoności”), tylko w obszarze gdzie nas to
interesuje. Wtedy rozkład ładunku poza tym obszarem może być całkowicie dowolny, ważne żeby warunki
brzegowe się zgadzały. Standardowy przykład z przewodzącą płaszczyzną,
+q
nad którą na wysokości d jest ładunek q: interesuje nas pole koło ładunku q,
d
czyli pole w zakreskowanym obszarze. Pole poniżej płaszczyzny nas nie
interesuje. Dlatego szukam rozwiązania, które spełnia warunki brzegowe na
brzegach zakreskowanego obszaru. Jednym z brzegów jest przewodząca
d
płaszczyzna, a odpowiadający jej warunek to
. Pozostałe brzegi to
„nieskończoność”, gdzie normalnie
Tu jest problem, bo „na rogach”
-q
jest skok potencjału. Dlatego jeśli w zadaniu nie ma, że płaszczyzna jest np.
naładowana albo podłączona do baterii, utrzymującej stałe napięcie V między płaszczyzną a nieskończonością,
można bezpiecznie przyjąć, że
(albo przyjąć, że w nieskończoności
, co na 1 wychodzi).
Dla prostoty przyjmijmy, że mamy warunki brzegowe
na płaszczyźnie i w nieskończoności. Ostatni
warunek, jaki trzeba uwzględnić, to obecność ładunku q. Teraz rozwiązuję problem, jakie jest pole w
zakreskowanym obszarze. Pole od samego ładunku q nie wystarczy, bo wtedy potencjał nie zeruje się na
płaszczyźnie. Teraz kluczowe: skoro liczę pole w zakreskowanym obszarze, poza nim mogę wstawiać
cokolwiek! Ale warunki brzegowe muszą być spełnione: co mogę wstawić na dole, żeby potencjał na
płaszczyźnie się zerował? Coś „symetrycznego” względem tej płaszczyzny (jak wstawię niesymetrycznie, nie
ma powodu aby potencjał wszędzie na płaszczyźnie się zerował) – najprościej wstawić lustrzany ładunek –q.
Teraz patrzę, czy warunki brzegowe są spełnione: niech początek układu współrzędnych będzie w połowie
odległości między q i –q, a płaszczyzna będzie w płaszczyźnie xy. Wtedy potencjał od 2 ładunków to:
Na płaszczyźnie
powinien się zerować:
zgadza się! Po sprawdzeniu warunków brzegowych wiem, że
dobrze policzyłem potencjał w zakreskowanym obszarze (dla
). Siła działająca na ładunek +q jest taka jak
od ładunku –q odległego o 2d. A co jest poniżej (dla
)? Wystarczy stwierdzić, że w obszarze poniżej nie
ma żadnych ładunków, a na brzegach
. Jednym z rozwiązań dla takiego obszaru jest
wszędzie. Z
tw o jednoznaczności wiem, że to jedyne rozwiązanie. Czyli pod płaszczyzną wszędzie
(a zatem
).
Ale można popatrzeć na to inaczej: przenoszę „lustrzany” ładunek –q na górę tak, że kasuje się z ładunkiem +q,
i wtedy liczę potencjał od takiego układu w obszarze pod płaszczyzną (też wychodzi wszędzie
). Okazuje
się, że często pole w „tym drugim” obszarze można otrzymać, przenosząc lustrzany ładunek do 1. obszaru!
Dygresja 2 (związana z dygresją 1): teraz możemy zastosować w praktyce wzór
. Wiemy że
, czyli
Policzenie gęstości powierzchniowej ładunki na płaszczyźnie jest banalnie proste,
wystarczy policzyć
, pamiętając że jest ono liczone tuż nad płaszczyzną. „Tuż nad” wystarczy, żeby
zastosować metodę obrazów, czyli pole
jest takie, jak pole od 2 ładunków +q i –q, liczone dla
. Ale
chodzi o składową prostopadłą do płaszczyzny (czyli w naszym układzie wsp. chodzi o ). +q
Ile wynosi
? Policzmy je z definicji jako gradient potencjału!
d
Nas interesuje składowa z-owa, czyli
. Pamiętamy, że:
a pochodna?
d
-q
Teraz (nie wcześniej!) możemy podstawić
(bo liczę pole „tuż nad” płaszczyzną):
Po przemnożeniu stronami dostaję rozkład gęstości ładunku:
Wychodzi z minusem, bo ładunek +q indukuje na płaszczyźnie ładunek
przeciwnego znaku. Nie będę tego pokazywał, ale jak się policzy
Wyjdzie tyle, ile
wynosił nas „lustrzany” ładunek! To kolejna fajna własność metody obrazów: lustrzany ładunek zwykle równa
się temu wyindukowanemu. Pozostaje jeszcze 1 problem: wyobraźmy sobie, że najpierw ładunek +q znajdował
się nieskończenie daleko. Wtedy płaszczyzna z pewnością była nienaładowana. Potem przysunąłem ładunek na
odległość d od płaszczyzny. I co, na płaszczyźnie nagle wyindukował się ładunek –q? Skąd on się wziął, jak to
się ma do zasady zachowania ładunku? Można argumentować, że warunek
na płaszczyźnie oznacza, że
płaszczyzna jest uziemiona, więc ten ładunek przypłynął „z uziemienia”. Ale nie trzeba się odwoływać do
uziemienia, żeby to wytłumaczyć. Płaszczyzna to idealny przewodnik (ma zerowy opór) i jest nieskończona. W
takim razie gdy „w pobliżu” ładunku +q wyindukował się ładunek –q, kompensujący ładunek +q potrzebny do
tego, aby płaszczyzna była obojętna elektrycznie, mógł uciec nieskończenie daleko! Zerowy opór oznacza, że
ładunki mogą się swobodnie przemieszczać, więc równie dobrze mogły się przemieścić nieskończenie daleko.
W rzeczywistości nie ma takich problemów, bo nie ma nieskończonych płaszczyzn!
3. Metoda obrazów – uziemiona przewodząca sfera
tak oznaczamy uziemienie
magiczne zgadnięcie
Teraz trzeba skorzystać ze wzoru cosinusów, aby policzyć
chodzi o to, że dla
i
potencjał zeruje się dla każdego kąta
Poza policzeniem potencjału można policzyć także inne rzeczy, jak siłę, z jaką sfera przyciąga ładunek q:
Uwaga: na następnej stronie liczę gęstość powierzchniową ładunku. Po jej scałkowaniu okazałoby się, że
całkowity ładunek zgromadzony na sferze wynosi . Skąd on się wziął? Tym razem uziemienie jest ważne,
ponieważ ładunek przypłynął do sfery „z ziemi”. Co gdyby przewodząca sfera nie była uziemiona? Wtedy
jej całkowity ładunek musiałby być zero! Jak to pogodzić? Znamy rozwiązanie dla V=0, szukamy rozwiązania
dla V=(dowolna stała) z dodatkowym warunkiem, aby ładunek na sferze był zero. Widać, że wystarczy
skorzystać z zasady superpozycji i dodać w środku sfery drugi wymyślony ładunek, równy
. Wtedy
potencjał na sferze wciąż będzie stały, a sumaryczny ładunek będzie zero. Oczywiście wszystkie wyniki takie
jak siła przyciągania czy rozkład wyidukowanego ładunku się wtedy zmienią.
Aby policzyć gęstość powierzchniową, trzeba znać składową prostopadłą do powierzchni. Tym razem
powierzchnia jest sferyczna, więc trudno byłoby używać współrzędnych x,y,z. Zamiast tego można zauważyć,
że za „współrzędną prostopadła do powierzchni” (standardowo oznaczaną jako n) można wybrać r
powinno być policzone
W tym przypadku
Po policzeniu pochodnej wyjdzie
4. Inne zastosowania metody obrazów
a) To samo co wyżej, tylko „w dwuwymiarze”, tzn przewód naładowany z gęstością liniową nad płaszczyzną:
albo koło rury o promieniu R:
(oczywiście siła przyciągania, rozkład
+
ładunku itp. się zmienią, tylko metoda
d
pozostaje ta sama)
d
+
b) Półpłaszczyzny pod ściśle określonym kątem:
Na rysunku kąt jest 90 stopni, i potrzeba aż 3
ładunków, dla innych specjalnych kątów
(np. 30, 45 albo 60 stopni) będzie potrzeba ich
-q
jeszcze więcej…
Ciekawostka: łączny ładunek wyindukowany
na rysunku po prawej to -q+q-q=-q
c) Są jeszcze inne zastosowania, ale te powinny
wystarczyć, żeby nabrać intuicji o co chodzi…
d
d
+q
h
2h
2d
+q
h
-q
5. Metoda obrazów dla dielektryków (dla ambitnych, radzę najpierw poczytać skrypt z dielektryków)
Działa prawie tak samo jak dla przewodników, tylko warunki brzegowe są inne. Potencjał wewnątrz
przewodnika jest stały, a natężenie pola się zeruje – ładunki wyidukowane w przewodniku idealnie „ekranują”
zewnętrzne pole. Natężenie pola w dielektryku jest słabsze niż w próżni, ale się nie zeruje – ładunki związane
w dielektryku tylko częściowo ekranują zewnętrzne pole!
No to jakie są te warunki brzegowe? W skrypcie z dielektryków pokazałem, że
Gdzie to wektor jednostkowy (o długości 1) prostopadły („normalny”) do powierzchni, na której jest
zgromadzony ładunek powierzchniowy
(czyli
to po prostu składowa prostopadła wektora polaryzacji,
mierzona tam, gdzie liczymy
). Teraz trzeba skorzystać z tego, że polaryzacja jest proporcjonalna do pola:
, czyli
Teraz najtrudniejsze: ładunek związany sam wytwarza ! Trzeba
pamiętać, że liczymy
tam, gdzie gromadzi się ładunek związany, czyli tuż pod powierzchnią! Dostatecznie
blisko powierzchni dowolna gęstość ładunku powierzchniowego wytwarza pole jak od nieskończonej
płaszczyzny, tzn
,
My bierzemy pod uwagę
, bo to ono wpływa na polaryzację.
Oprócz tego jest jakieś
Ale z drugiej strony
pochodzące z zewnętrznych źródeł. Czyli
Podstawiam pod
to wyrażenie:
Teraz dodam stronami
Teraz dzielę stronami przez
Czyli powierzchniowy ładunek związany jest proporcjonalny do
, tak
samo jak dla przewodników! I to jest nasz warunek brzegowy, który wykorzystamy w metodzie obrazów!
Dygresja: Zaraz, a co z objętościowym ładunkiem związanym
W pkt. 5 skryptu z dielektryków pokazałem, że
? Policzmy (patrz skrypt z dielektryków):
podstawiam ten wzór pod wzór wyżej:
Dodaję stronami
=
(1+ )=
A zatem
Dzielę stronami przez (1+ )
jest proporcjonalne do
, czyli dopóki ładunki swobodne występują poza
dielektrykiem (tak jak zwykle bywa w metodzie obrazów),
powinno się zerować.
6. Przykład zastosowania metody obrazów dla dielektryków
Jak dotąd mamy tylko warunek brzegowy
który nie jest idealny, bo nie mówi bezpośrednio
o potencjale, jak porządny warunek brzegowy powinien. Ale okaże się bardzo przydatny! +q
Rozważmy płaski dielektryk (zajmuje cały zakropkowany obszar na rysunku), nad którym
na wysokości d znajduje się punktowy ładunek +q. Z jaką siłą jest przyciągany?
Odp. wykorzystajmy nasz warunek brzegowy! Aby znaleźć
, należy
policzyć
na powierzchni dielektryka.
pochodzi tylko od ładunku
punktowego, czyli
(łatwo to policzyć samemu).
d
q’
Powierzchniowy rozkład ładunku okazał
Warunek brzegowy daje
się być taki sam jak dla przewodzącej płaszczyzny (tam było
czynnik
d
), tylko przemnożony przez
. W związku z tym zamiast ładunku –q na dole należy umieścić ładunek
q=q’. Wtedy dostanę
potencjał i pole w górnej półpłaszczyźnie. Ale nam chodzi tylko o to, z jaką siłą ładunek +q jest przyciągany!
Przyciągany jest z tą samą siłą, z jaką byłby przyciągany przez ładunek q’ odległy od niego o 2d, czyli:
Czyli siła jest taka sama jak dla przewodzącej płaszczyzny, tyle
że przemnożona przez
. Tak właśnie stosuje się metodę obrazów: zauważamy, że rozkład ładunku
jest prawie taki sam jak dla przewodnika, i wystarczy przemnożyć ładunki lustrzane przez jakiś czynnik.
Należy tylko pamiętać o paru rzeczach:
Uwaga 1: tym razem zasada zachowania ładunku jest ściśle spełniona, tak więc nie można dla dielektrycznej
kuli liczyć wszystkiego tak samo jak dla uziemionej przewodzącej sfery – trzeba najpierw policzyć jak będzie
dla zwykłej, nieuziemionej przewodzącej sfery, której sumaryczny ładunek jest zero
(wtedy
), a dopiero potem mnożyć przez odpowiedni czynnik.
Uwaga 2: jeśli wewnątrz dielektryka są jakieś ładunki, trzeba uwzględnić
, jakie wywołują (jeśli to ładunki
punktowe, wystarczy podzielić pole pochodzące od nich przez , patrz końcówka skryptu z dielektryków).
Uwaga 3: przewodniki są „granicznym przypadkiem” dielektryków, tzn. jeśli zastąpię dielektryk przez
przewodnik, odpowiada to przejściu granicznemu
Dygresja: dla przewodzącej płaszczyzny pole pod płaszczyzną się zerowało. A jak będzie dla dielektryka?
Trzeba przenieść ładunek zwierciadlany na drugą stronę, wtedy pole wewnątrz dielektryka będzie takie jak od
ładunku punktowego q+q’=q
umieszczonego w odległości d nad dielektrykiem.
UWAGA: cały ten skrypt jest oparty na „Podstawach Elektrodynamiki” Griffithsa, sam nic nie wymyśliłem.