x - MEiL

DRGANIA
Informacja o drganiach nieliniowych,
parametrycznych i samowzbudnych
Drgania nieliniowe układów o jednym stopniu swobody
•© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe - wprowadzenie
Pod pojęciem drgań nieliniowych rozumiemy drgania opisane pewnym
równaniem nieliniowym, na przykład
m&x& + T ( x& ) + S ( x) = 0
gdzie S(x) jest nieliniową siłą spręŜystą, zaś T(v) jest tłumieniem
zaleŜnym nieliniowo od prędkości (np. tarciem suchym.
Przykładowe charakterystyki siły spręŜystej i tłumienia przedstawione są
na rysunkach
T(v)
S(x)
v
x
W układzie występuje silna nieliniowość - nieciągłość T(v) dla v = 0.
Równanie powyŜsze opisuje drgania swobodne układu z nieliniową
charakterystyką spręŜystą i tarciem suchym.
© F.A. Dul 2013
Źródła nieliniowości mogą być rozmaite:
•
•
nieliniowe charakterystyki
spręŜyste,
luzy występujące w układzie,
S(x)
k
m
x
x(t)
•
•
nieliniowe charakterystyki
tłumienia,
S(x)
k
napięcie wstępne elementów
spręŜystych,
m
x(t)
l
c
•
nieliniowa geometria
układu,
x
ϕ
b
k
mg
•
siły zewnętrzne zaleŜne
nieliniowo od ruchu układu
(np. siły aerodynamiczne),
cz(α)
cx(α)
α
•
i wiele innych...
L = 12 ρV 2 S cz (α )
D = 12 ρV 2 S cx (α )
© F.A. Dul 2013
Wszystkie pojęcia zdefiniowane dla drgań liniowych stosują się do drgań
nieliniowych, w szczególności: częstość, częstotliwość i okres drgań,
amplituda i faza.
Podobnie jak drgania liniowe, drgania nieliniowe mogą być swobodne
bądź wymuszone; tłumione lub nie tłumione.
W drganiach nieliniowych spotyka się teŜ wszystkie zjawiska występujące
w drganiach liniowych: np. tłumienie, rezonans.
Drgania nieliniowe cechują się jednak bogactwem zjawisk
nie spotykanym w drganiach liniowych:
•
•
•
•
•
•
częstość drgań moŜe zaleŜeć od amplitudy,
mogą wystąpić róŜne rodzaje stanów równowagi układu,
występują przeskoki amplitudy,
istnieje jakościowa zaleŜność ruchu od warunków początkowych,
moŜliwe są drgania o skończonym czasie trwania,
... a w końcu mogą pojawić się drgania chaotyczne (!)
UWAGA! Dla układów nieliniowych nie obowiązuje zasada superpozycji.
© F.A. Dul 2013
Równanie drgań nieliniowych ma zazwyczaj postać w której bezwładność
jest liniową funkcją przyśpieszenia
m&x& = F (t , x, x& )
( 2 .2 .1 .2 )
Klasyfikację drgań moŜna przeprowadzić przedstawiając równanie drgań
nieliniowych w następującej postaci
m&x& + S ( x) = Q ( x, x& ) + P (t )
( 2 .2 .1 .4 )
gdzie: S(x) jest nieliniową siłą zachowawczą,
Q ( x, x& ) jest nieliniową siłą niezachowawczą,
P(t) jest siłą wymuszającą zaleŜną od czasu.
© F.A. Dul 2013
Równanie (2.2.1.4) moŜna przedstawić w postaci energetycznej
d
dE
(Ek + E p ) =
= v Q ( x, v)
dt
dt
Znak wyraŜenia vQ(x,v) decyduje o tym, czy energia jest odbierana czy
doprowadzana do układu.
a) JeŜeli vQ(x,v) = 0 na całej płaszczyźnie fazowej (x,v) to energia układu
jest zachowana i nazywa się go układem zachowawczym.
b) JeŜeli vQ(x,v) < 0 na całej płaszczyźnie fazowej (x,v) to układ
rozprasza energię i nazywa się go układem dysypatywnym.
c) JeŜeli vQ(x,v) > 0 w niektórych obszarach płaszczyzny fazowej (x,v),
zaś w innych vQ(x,v) < 0 to mamy układ samowzbudny.
Układy dysypatywne i samowzbudne są układami niezachowawczymi.
Równanie Rayleigha drgań samowzbudnych z tłumieniem nieliniowym
&x& + ( − Ax& + Bx& 3 ) + ω02 x = 0
• przy małych prędkościach tłumienie jest ujemne, energia jest
doprowadzana do układu i amplituda drgań rośnie,
• przy prędkościach większych tłumienie jest dodatnie, energia jest
odprowadzana z układu i amplituda drgań maleje.
© F.A. Dul 2013
Linearyzacja równania w otoczeniu połoŜenia równowagi
Nieliniowe równanie drgań w wielu przypadkach moŜe być zastąpione
równowaŜnym równaniem liniowym.
s(x)
Osiąga się to najczęściej poprzez linearyzację
równania nieliniowego w otoczeniu pewnego
połoŜenia równowagi.
RozwaŜmy równanie nieliniowe
x
&x& + s ( x) = 0
gdzie s(x) jest nieliniową siłą spręŜystą, s(0) = 0.
Rozwijamy funkcję s(x) w szereg Taylora w otoczeniu x0 = 0
ds
s( x0 + ∆x) = s( x0 ) +
∆x + ...
dx x = x0
JeŜeli oznaczymy
s ' (0) = ω 02 oraz zdefiniujemy nową zmienną
ξ = ∆x = x − x0
to otrzymamy równanie zlinearyzowane wokół połoŜenia równowagi
2
&
&
ξ + ω0ξ = 0
© F.A. Dul 2013
Drgania opisane równaniem zlinearyzowanym
s(x)
ξ&& + ω ξ = 0
2
0
w pewnym otoczeniu punktu równowagi x0
| ξ − x0 | < xL
-xL
xL
x
róŜnią się „mało” od drgań opisanych
równaniem nieliniowym,
ξ (t ) − x(t ) < δ , t > t0
Takie drgania nazywamy małymi drganiami układu w otoczeniu punktu
równowagi.
Wartość xL nie jest określona ściśle; przyjmuje się na ogół, Ŝe róŜnica δ nie
powinna przekraczać kilku procent amplitudy drgań układu nieliniowego.
UWAGA! Nie kaŜde równanie moŜna sensownie
zlinearyzować!
•
charakterystyka moŜe być nieciągła,
•
równanie zlinearyzowane moŜe mieć
zupełnie inne własności, niŜ wyjściowe
równanie nieliniowe.
T(v)
v
© F.A. Dul 2013
Wahadło matematyczne - stateczne i niestateczne punkty równowagi
ml 2ϕ&& + mgl sin(ϕ ) = 0
Trajektorie fazowe wahadła ω(ϕ)
l
ϕ
g
ϕ
-π
π
m
π
ϕ
T
Własności drgań wahadła nieliniowego
• dolne połoŜenie równowagi ϕ = 0 jest stateczne,
• górne połoŜenie równowagi ϕ =±
±π jest niestateczne,
• okres drgań zaleŜy od amplitudy - rośnie z jej
wzrostem.
T0
-π
π
A
© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe swobodne nietłumione
Równanie drgań z nieliniową charakterystyką spręŜystą
&x& + s ( x) = 0
S(x)
s(x) - nieliniowa charakterystyka spręŜysta;
Energia potencjalna nieliniowej siły spręŜystej
x
wyraŜa się całką
x
e p ( x) = ∫ s (ξ ) dξ
0
Punkty osobliwe trajektorii fazowych v(x) określone są równaniem
de p
dx
= s(x) = 0
Punkty osobliwe trajektorii mogą być stateczne lub niestateczne.
ep(x)
v
e
Centrum
(stateczny)
ep(x)
e
x
v
x
Siodło
(niestateczny)
x
x
© F.A. Dul 2013
Masa na spręŜynie nieliniowej - drgania złoŜone
&x& + s ( x ) = 0
S(x)
s ( x ) = ω 02 x + µ x 3
m
• gdy µ > 0 charakterystyka jest „twarda”,
• gdy µ < 0 charakterystyka jest „miękka”,
x(t)
Rozwiązanie ścisłe (ciąg nieskończony)
S(x)
µ
µ
3
x(t ) = ( A −
)
cos
ω
t
+
A
cos 3ωt + C5 cos 5ωt + K
32ω 2
32ω 2
Częstość drgań jest w przybliŜeniu równa
3
4
Własności drgań z nieliniową charakterystyką
spręŜystą:
• drgania są złoŜone - występują w nich
składniki z wielokrotnością częstości
podstawowej,
• częstość drgań zaleŜy od amplitudy,
• przy charakterystyce twardej częstość drgań
rośnie z amplitudą, zaś przy miękkiej - maleje.
µ >0
µ <0
x
ω 2 ≈ ω 02 + µ A 2
ω
µ >0
ω0
µ <0
A
© F.A. Dul 2013
Porównanie trajektorii fazowych drgań liniowych i nieliniowych
Trajektorie fazowe ruchu (np. drgań) są liniami na płaszczyźnie x,v które:
• obrazują stan układu (x,v) w kolejnych chwilach czasu,
• okrąŜają punkt równowagi x=0, v=0,
• są zamknięte gdy układ wykonuje ruch okresowy.
Drgania nieliniowe
Drgania liniowe
v
v
E=const
v0
x0
x
Trajektorie fazowe drgań liniowych:
- są jednoznacznie określone
warunkami początkowymi,
- są stateczne.
x
Trajektorie fazowe drgań nieliniowych:
- mogą być zarówno stateczne, jak i
niestateczne,
- nie zaleŜą jednoznacznie od warunków
początkowych,
- realizują się tylko trajektorie stateczne.
© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe tłumione tarciem suchym
x0
a a
k
µ>0
m
T
x(t)
− µ mg dla x& > 0
T =
+ µ mg dla x& < 0
( 2.2.3.1)
Tarcie suche wprowadza silną nieliniowość
Strefa nieczułości a jest równa
a=
µ mg
T(v)
⇒
v
( 2.2.3.2)
k
Przy małych wychyleniach masy tarcie równowaŜy siłę spręŜystości, więc
ruch nie wystąpi gdy |x|<a.
© F.A. Dul 2013
Ruch masy w lewo opisany jest równaniem
m&x& = − kx + µmg = − k ( x − a ) dla x& < 0
( 2.2.3.4)
Ruch masy w prawo opisany jest równaniem
m&x& = − kx − µmg = − k ( x + a ) dla x& > 0
( 2.2.3.9)
x(t)
a
a
a
-a
t
Własności drgań tłumionych tarciem suchym:
• częstość drgań jest równa częstości drgań nietłumionych,
• amplituda drgań maleje liniowo (o 2a w kaŜdym okresie),
• czas trwania ruchu jest skończony.
© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe wymuszone nietłumione
S(x)
m
F(t)
x(t)
s ( x ) = ω 02 x + µ x 3
&x& + ω 02 x + µ x 3 = f 0 sin(Ωt )
( 2.2.4.1)
( 2.2.4.2)
Rozwiązanie przybliŜone ma postać
x (t ) ≈ B sin Ωt
( 2.2.4.3)
Amplituda B spełnia równanie trzeciego stopnia
µ f0
3µ f 0 3
Ω2
− (1 − 2 ) B +
B =0
2
2
ω
ω
4ω
( 2.2.4.6)
© F.A. Dul 2013
µ f0
3µ f 0 3
Ω2
− (1 − 2 ) B +
B =0
2
2
ω
ω
4ω
( 2.2.4.6)
W zaleŜności od współczynników tego równania istnieją: jedna, dwie lub
trzy (rzeczywiste) wartości amplitudy drgań wymuszonych, B1, B2, B3
µ>0
B
B
B1
f0 = const
B2
B1
µ <0
f0 = const
B1
f0 = 0
B2
f0 = 0
B3
Ω
 
 ω 1
Ω
Ω
=1  
ω
 ω 2
Ω
 
 ω 3
Ω
ω
Ω
=1
ω
Ω
ω
W układzie nieliniowym moŜliwe są drgania ustalone o róŜnych
amplitudach (przy tej samej częstości wymuszenia)
© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe wymuszone tłumione
&x& + 2hx& + ω 02 x + µ x 3 = f 0 sin(Ωt )
( 2.2.5.1)
Rozwiązanie przybliŜone ma postać
x(t ) = D sin( Ωt + ϕ )
µ>0
D
Ω
=1
ω
D
Ω
ω
( 2.2.5.2)
µ <0
Ω
=1
ω
Ω
ω
• amplitudy drgań są ograniczone,
• występuje przesunięcie fazowe drgań w stosunku do siły wymuszającej.
© F.A. Dul 2013
Zjawisko przeskoku amplitudy
D3
D
D4
D9
D2
D10
D8
D1
D11
D7
D5
D6
Ω
=1
ω
Ω
ω
• Przy zwiększaniu częstości wymuszenia amplitudy rosną do wartości D4.
• Przy dalszym zwiększaniu częstości następuje skokowy spadek amplitudy
do wartości D5 - jest to zjawisko przeskoku.
• Przy zmniejszaniu częstości wymuszenia amplitudy rosną do wartości D8.
• Przy dalszym zmniejszaniu częstości następuje skokowy wzrost amplitudy
do wartości D9 - jest to równieŜ zjawisko przeskoku.
• Drgania z amplitudami na łuku D4 - D8 są niestateczne.
© F.A. Dul 2013
Drgania nieliniowe – bogactwo zjawisk …
• Drgania mogą być złoŜone - występują w nich składniki
z wielokrotnością częstości podstawowej.
• Częstość (a więc i okres) drgań nieliniowych moŜe zaleŜeć od
amplitudy drgań.
• Drgania mogą zaniknąć po skończonym czasie.
• MoŜe istnieć wiele punktów równowagi.
• Punkty równowagi mogą być stateczne lub niestateczne.
• Przy danej częstości wymuszenia układ moŜe drgać z róŜnymi
amplitudami.
• W trakcie drgań mogą występować nagłe zmiany amplitudy - przeskoki.
• Mogą występować cykle graniczne, stateczne lub nie.
© F.A. Dul 2013
DRGANIA
Informacja o drganiach nieliniowych,
parametrycznych i samowzbudnych
Drgania parametryczne
•© F.A. Dul 2013
Drgania parametryczne są to drgania układów których parametry (masa,
sztywność, tłumienie) zmieniają się w czasie.
m(t ), I (t ), k (t ), c(t ), ...
Przykłady:
•
•
•
•
•
•
•
•
huśtawka (zmienny moment bezwładności),
układ kół zębatych (zmienna sztywność),
mechanizm korbowo-wodzikowy,
winda na spręŜystej linie,
wahadło z ruchomym punktem podwieszenia,
drgania wirujących wałów,
wibrujący telefon komórkowy,
pręt o zmiennej długości.
l
g
k
g
y(t)
x(t)
M
Drgania parametryczne wywołane są zmianami wartości parametrów
- do ich wywołania siła zewnętrzna nie jest potrzebna.
Układy w których występują drgania parametryczne mogą być zarówno
liniowe, jak i nieliniowe.
© F.A. Dul 2013
Huśtawka - klasyczny układ parametryczny
• moŜna ją rozhuśtać do bardzo
duŜych amplitud (a nawet kręcić
się na niej w kółko w przypadku
huśtawek treningowych),
• rozhuśtanie nie dokonuje się pod
działaniem sił zewnętrznych,
• w czasie huśtania następuje
zmiana połoŜenia środka masy,
a co za tym idzie - momentu
bezwładności huśtawki:
l (t ) = l0 + h(t )
( 2.3.1)
I (t ) = m(l0 + h(t )) 2
( 2.3.2)
g
ϕ
l
h
I0(t)
Równanie ruchu huśtawki
ml 2 (t ) ϕ&& + 2ml (t )ϕ& + mgl (t ) ϕ = 0
( 2.3.3)
© F.A. Dul 2013
• człowiek przysiada w chwilach
zatrzymania się huśtawki, a wstaje
gdy huśtawka przechodzi przez
połoŜenie równowagi,
• potencjalna siła cięŜkości wykonuje
pracę równą zeru na pełnym okresie
ruchu huśtawki,
• siła styczna Fs nie wykonuje pracy,
gdyŜ Fs ⊥ h ,
• siła dośrodkowa Fd nie wykonuje
pracy w skrajnych połoŜeniach
huśtawki, gdyŜ Fd = 0,
• przy przechodzeniu przez połoŜenie
równowagi siła dośrodkowa Fd dwa
razy wykonuje pracę dodatnią na
przemieszczeniu h,
∆ L=2(mv2/l)h
g
l
v=0
Fd=0
h
Fs
v=0
Fd=mv2/l
h
v=vmax
• praca ta dodaje się do energii całkowitej układu powodując wzrost amplitudy huśtania.
• źródłem energii jest sam człowiek - a dokładniej - energia chemiczna zawarta
w jego poŜywieniu.
Huśtanie się stanowi przykład rezonansu parametrycznego.
© F.A. Dul 2013
Układy z parametrami zmiennymi harmonicznie
ω 02 (t ) = ω 02 ( 1 − 2q cos( 2 pt ) )
( 2.3.6)
ω(t)
Równanie Mathieu
&x& + ω (1 − 2q cos( 2 pt ) ) x = 0
2
0
t
( 2.3.7)
Definiujemy: współczynnik częstości λ i współczynnik modulacji µ
λ=
ω 02
4p
2qω 02
µ = −2qλ = −
4 p2
2
( 2.3.8)
Równanie Mathieu w postaci standardowej
&x& + (λ + µ cos pt ) x = 0
( 2.3.9)
Rezonans parametryczny przy µ = 0 zachodzi dla
λ =
1
4
, 1,
9
4
( 2.3.10)
, 4 , ...
2 p = 2ω 0 , ω 0 ,
2
3
ω 0 , 14 ω 0 , ...
© F.A. Dul 2013
&x& + (λ + µ cos pt ) x = 0
µ
niestateczność
stateczność
1/4
1
9/4
4
λ
Wykres Ince’a-Strutta
© F.A. Dul 2013
2.3. Drgania parametryczne
Wahadło matematyczne z ruchomym punktem zaczepienia
Przemieszczenie punktu zaczepienia wahadła
x(t ) = b cos(2 pt )
&x& = −4 p 2b cos(2 pt )
( 2.3.11)
x(t)
Siła bezwładności działająca na masę m
Bx = −m&x& ⇒ ( Bx )ϕ = 4mp 2b cos(2 pt ) ϕ
g
Równanie ruchu wahadła
ml ϕ&& = −mglϕ + 4mp b cos(2 pt ) ϕ l
2
2
g
4 p 2b
ϕ&& + (1 −
cos(2 pt ) ) ϕ = 0
l
g
2
4
p
b
g
2
<0
λ = ω 0 = > 0 µ = −λ
g
l
ϕ
l
m
( 2.3.12)
( 2.3.13)
Równanie ruchu w formie równania Mathieu
ϕ&& + ( λ + µ cos(2 pt ) ) ϕ = 0
( 2.3.14)
Częstości drgań rezonansu parametrycznego:
p = ω0 ,
1
2
ω0 ,
1
3
ω 0 , ...
( 2.3.15)
© F.A. Dul 2013
2.3. Drgania parametryczne
Wahadło odwrócone z ruchomym punktem zaczepienia
Równanie ruchu wahadła odwróconego
ml 2ϕ&& = mglϕ + 4mp 2b cos(2 pt ) ϕ l
( 2.3.16)
g
4 p 2b
ϕ&& + ( − 1 −
cos(2 pt ) ) ϕ = 0
l
g
g
λ =− <0
l
4 p 2b
µ = −λ
>0
g
g
m
ϕ
( 2.3.17)
l
x(t)
Równanie ruchu w formie równania Mathieu
ϕ&& + ( λ + µ cos(2 pt ) ) ϕ = 0
Rezonans parametryczny wahadła odwróconego nie występuje.
Ruch jest na ogół niestateczny, ale dla kaŜdego λ<0 istnieją wartości µ
przy których ruch stateczny jest moŜliwy.
© F.A. Dul 2013
2.3. Drgania parametryczne
Wahadło matematyczne z ruchomym punktem zaczepienia
µ
µ12
niestateczność
stateczność
µ11
λ1
wahadło
odwrócone
1/4
1
9/4
4
λ
wahadło
proste
Niestateczny układ, jakim jest wahadło odwrócone, moŜe być
ustabilizowany poprzez odpowiedni ruch punktu zaczepienia.
© F.A. Dul 2013
Wnioski
•
•
•
•
•
•
Drgania parametryczne powstają na skutek zmian w czasie takich
parametrów obiektu, jak masa lub sztywność.
Do wywołania drgań parametrycznych nie jest potrzebna zewnętrzna
siła wymuszająca.
Drgania parametryczne są drganiami wymuszonymi jakby „od
wewnątrz”
Przy periodycznych zmianach parametrów moŜe wystąpić rezonans
parametryczny.
Częstość drgań w rezonansie parametrycznym jest ułamkiem
częstości wymuszenia.
Najgroźniejszy jest rezonans przy częstości wymuszenia dwukrotnie
większej od częstości drgań własnych.
© F.A. Dul 2013
DRGANIA
Informacja o drganiach nieliniowych,
parametrycznych i samowzbudnych
Drgania samowzbudne
•© F.A. Dul 2013
2.4. Drgania samowzbudne
Drgania samowzbudne są to drgania wymuszone nieoscylacyjną siłą
zewnętrzną, sterowane przez sam układ drgający.
Przykłady:
• dzwonek elektryczny,
• zegar spręŜynowy lub napędzany
cięŜarkami,
• instrumenty smyczkowe (skrzypce,
wiolonczela),
• szklanka z wodą pocierana palcem,
• pisk kredy podczas pisania na tablicy,
• drgania cięŜkich przedmiotów przy ich
przesuwaniu,
• skrzypienie zawiasów w drzwiach,
• drgania noŜa tokarskiego w trakcie
obróbki skrawaniem,
• pisk kół tramwaju na zakrętach,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
zabawka - dzięcioł,
buczenie rur wodociągowych,
drgania zaworów pomp,
drgania powietrza w kanałach
wentylacyjnych i kominach,
generatory drgań elektrycznych,
galopowanie przewodów
elektrycznych,
kołysanie się kominów, mostów,
budynków,
węŜykowanie podwozia („shimmi”),
flatter skrzydeł lub sterów
samolotów.
Drgania samowzbudne występują w przyrodzie i technice powszechnie!
© F.A. Dul 2013
Istotą powstania i trwania drgań samowzbudnych jest dopływ energii ze
źródła zewnętrznego sterowany przez sam układ.
zawór
źródło
energii
układ
drgający
drgania
sprzęŜenie zwrotne
Zasadniczą cechą układów w których powstają drgania samowzbudne
jest występowanie sprzęŜenia zwrotnego sterującego dopływem energii.
Źródło energii nie wykonuje drgań.
© F.A. Dul 2013
Dzwonek elektryczny
Jest to jeden z najprostszych układów w którym powstają drgania
samowzbudne
• źródłem energii jest bateria,
• układ drgający tworzą
elektromagnes i kotwica,
• zaworem regulującym dopływ
energii jest wyłącznik utworzony
z kotwicy i stycznika,
• kotwica wykonuje drgania
samowzbudne
Zawór
Źródło
energii
Układ
drgający
Drgania kotwicy są ustalone - trwają tak długo, póki nie wyłączy się
dopływu prądu.
W dzwonku energia elektryczna zamieniana jest na energię mechaniczną
drgań (a ta z kolei zamieniana jest na energię akustyczną i cieplną).
Dzwonek, pomimo swojej prostoty, jest układem nieliniowym!
© F.A. Dul 2013
Zegar wahadłowy
Jest to klasyczny układ mechaniczny,
w którym powstające drgania samowzbudne
są wykorzystywane z poŜytkiem w praktyce
• źródłem energii grawitacja lub spręŜyna,
• układem drgającym jest wahadło lub
balans,
• zaworem regulującym dopływ energii
jest koło wraz z kotwicą,
• wahadło wykonuje drgania
samowzbudne.
W zegarze energia grawitacyjna lub
spręŜysta zamieniana jest na energię
mechaniczną wahań.
ϕ
g
m
© F.A. Dul 2013
Układy z tarciem suchym
W bardzo wielu maszynach i urządzeniach występuje tarcie suche
• koła i sprzęgi pojazdów szynowych,
• łoŜyska panewkowe i kulkowe,
• walcowane metale.
Masa na taśmociągu
• źródłem energii jest ruchoma
szorstka taśma,
• układ drgający stanowi masa na
spręŜynie,
• zaworem regulującym dopływ
energii jest tarcie masy o taśmę,
• masa wykonuje drgania
samowzbudne
g
x(t)
k
µ(v-u)
m
u
Energia kinetyczna taśmociągu zamieniana jest na energię mechaniczną
masy.
Układ jest silnie nieliniowy.
© F.A. Dul 2013
Układy elektroniczne
W urządzeniach elektronicznych drgania samowzbudne są generowane
celowo, bądź powstają w wyniku sprzęŜeń elektromagnetycznych.
Generator drgań elektrycznych
• źródłem energii jest bateria
zasilająca o napięciu U1,
• układem drgającym jest obwód
rezonansowy złoŜony z
indukcyjności L2 i pojemności C2,
• zaworem regulującym dopływ
energii jest tranzystor T oraz
indukcyjność L1
• obwód rezonansowy L2 C2
wykonuje drgania samowzbudne,
• napięcie U2 ma przebieg
sinusoidalny.
U1
R1
R2
L1
L2
C2
C1
U2
T
© F.A. Dul 2013
Układy z ośrodkiem płynnym
W urządzeniach przepływowych drgania samowzbudne występują
bardzo często:
•
•
•
•
buczenie rur wodociągowych,
drgania zaworów,
galopowanie przewodów,
większość lotniczych zjawisk aeroelastycznych.
Aerohydroelastyczność - dziedzina w której
najwaŜniejszym zjawiskiem są drgania samowzbudne.
© F.A. Dul 2013
Układy z ośrodkiem płynnym
Drgania zaworu wtryskiwacza paliwa
• źródłem energii jest ciśnienie cieczy lub
gazu,
• układem drgającym jest zawór
wtryskiwacza dociskany spręŜyną do dyszy
wylotowej,
• regulacja dopływu energii następuje
poprzez spręŜystość,
• zawór wykonuje drgania samowzbudne
x(t)
k
m
p
W podobny sposób wywoływane są drgania samowzbudne zaworów w
kranach wodociągowych („buczenie rur”).
Rolę spręŜyny pełni przy tym rura, zaś elementem regulującym dopływ
energii jest obluzowany grzybek zamykający dopływ wody.
© F.A. Dul 2013
Układy z ośrodkiem płynnym
Galopowanie przewodów energetycznych wywołane oderwaniem
• źródłem energii jest wiatr,
• układem drgającym jest
oblodzony odcinek przewodu
pomiędzy słupami,
• zaworem regulującym dopływ
energii jest odrywanie się
przepływu od przewodu na skutek
przekroczenia krytycznego kąta
natarcia,
• przewód wykonuje drgania
samowzbudne.
U
x(t)
oderwanie
oblodzenie
cz(α)
cx(α)
Cechą charakterystyczną tego typu
drgań samowzbudnych jest
mała częstotliwość drgań (~1Hz),
znaczna amplituda (~3 m)
oraz mała liczba okresów (~1-2).
dcz /dα
α
© F.A. Dul 2013
Układy z ośrodkiem płynnym
Galopowanie przewodów energetycznych wywołane śladem wirowym
• źródłem energii jest wiatr,
• układem drgającym jest
oblodzony odcinek przewodu
pomiędzy słupami,
• zaworem regulującym dopływ
energii jest odrywanie się wirów
Karmana od przewodu,
• przewód wykonuje drgania
samowzbudne.
U
x(t)
ślad wirowy
Cechą charakterystyczną tego typu drgań samowzbudnych jest duŜa
częstotliwość drgań (~100 Hz), mała amplituda (~0.1 m) oraz duŜa
liczba okresów (~20-30).
© F.A. Dul 2013
Układy z ośrodkiem płynnym
Katastrofa mostu Tacoma (USA, 1940)
• źródłem energii był wiatr (42 mph),
• układem drgającym był most,
• zaworem regulującym dopływ
energii była ścieŜka wirowa
Karmana.
wiry Karmana
U
Mała sztywność skrętna i duŜa róŜnica ciśnień generowana wirami
Karmana spowodowały wystąpienie drgań samowzbudnych o duŜej
amplitudzie i zawalenie się mostu.
Po analizie katastrofy (University of Washington):
• usztywniono konstrukcję na
skręcanie,
• usunięto boczne usztywnienia
zapobiegając w ten sposób
powstawaniu wirów Karmana,
• wykonano otwory zmniejszające
róŜnice ciśnień.
U
© F.A. Dul 2013
Wnioski
•
Drgania samowzbudne są jednymi z najczęściej występujących w
przyrodzie i technice.
• Drgania samowzbudne powstają na skutek doprowadzenia do
układu energii ze źródła zewnętrznego.
• Źródło energii jest nieoscylacyjne.
• W układzie samowzbudnym występuje mechanizm regulujący
dopływ energii zewnętrznej.
• W układach samowzbudnych występują cykle graniczne stateczne
lub niestateczne
• Amplitudy tych cykli granicznych są ściśle określone.
• W układach liniowych w których występuje tłumienie ujemne mogą
pojawić się drgania samowzbudne.
• Drgania samowzbudne występują często w układach
przepływowych.
© F.A. Dul 2013