Ruch drgający tłumiony. Drgania wymuszone.

Ruch drgający tłumiony
12.
12-1
Ruch drgający tłumiony
W rzeczywistości oprócz siły sprężystości działają jeszcze siły oporu,
rozpraszające energię drgań i powodujące zmniejszanie się amplitudy
drgań. W przypadku ruchu w ośrodku lepkim, np. powietrze, ciecz,
występuje tłumienie czyli siła oporu proporcjonalna do prędkości
i przeciwnie skierowana.
!
!
F = − f ⋅v
F =−f
f – współczynnik oporu lepkiego
dx
dt
k
dx
d 2x
= ω 02 częstość drgań swobodnych
m 2 = −k ⋅ x − f
m
dt
dt
f
d 2 x f dx k
= β współczynnik tłumienia
0
+
⋅
+
x
=
2
2
m
m dt m
dt
d 2x
dx
równanie różniczkowe drgań tłumionych
+ 2 β ⋅ + ω02 x = 0
2
dt
dt
Jeżeli β < ω0, to rozwiązanie ma postać
x = A0 ⋅ e − β ⋅t cos(ωt + ϕ 0 )
gdzie ω = ω 0 − β .
2
2
Ruch drgający tłumiony
12-2
Ruch drgający tłumiony
12-3
Dla β = ω0 mówimy o tłumieniu krytycznym
x = ( A1 + A2t )e − β ⋅t .
A dla β > ω0 mówimy o tłumieniu nadkrytycznym
x = ( A1e
β 2 −ω 02 ⋅t
+ A2 e −
β 2 −ω 02 ⋅t
)e − β ⋅t .
Ruch drgający tłumiony
Funkcja x = A0 ⋅ e
12-4
− β ⋅t
cos(ωt + ϕ 0 ) nie jest okresowa w ścisłym sensie.
Mimo to ω nazywamy częstością drgań tłumionych. Jest ona zawsze
mniejsza od częstości drgań swobodnych tego samego układu (bez
tłumienia). Dla ruchu słabo tłumionego (β << ω0) różnica ta jest bardzo
mała i drgania są prawie okresowe.
− β ⋅t
Czynnik wykładniczy e
nosi nazwę czynnika tłumienia.
A(t ) = A0 ⋅ e − β ⋅t jest wykładniczo malejącą amplitudą drgań. Logarytm
stosunku dwu kolejnych amplitud nazywa się logarytmicznym
dekrementem tłumienia:
A(t )
A0e − β ⋅t
e − β ⋅t
δ = ln
= ln
= ln − β ⋅t − β ⋅T = β ⋅ T
A(t + T )
A0e − β ( t + T )
e e
δ = β ⋅T =
T
⋅f
2m
Praktycznie wykorzystuje się pomiary logarytmicznego dekrementu
tłumienia do wyznaczenia współczynnika oporu lepkiego f. W takim
wypadku lepiej jest wyznaczyć δ ze stosunku amplitud rozdzielonych
większą liczbą okresów
1
A(t )
δ = ln
n A(t + nT )
f =
2m
A(t )
ln
nT A(t + nT )
W przypadku słabego tłumienia wartość δ wyznaczyć można ze wzoru
przybliżonego
∆A
A
gdzie ∆A jest stratą amplitudy na jeden okres.
δ =
Drgania wymuszone
13.
13-1
Drgania wymuszone
Zajmujemy się teraz przypadkiem układu drgającego, który nie jest już
odosobniony ale oddziałuje z otoczeniem. Oddziaływanie polega w tym
przypadku na działaniu na układ drgający siły periodycznej o częstości
Ω. W wyniku działania takiej siły układ wykonuje drgania o tej samej
częstości Ω - drgania te nazywa się drganiami wymuszonymi.
W najprostszym przypadku siła zmienia się w czasie jak funkcja sinus
lub cosinus.
F = F0 sin(Ωt ) F0 – amplituda siły; Ω – częstość siły
Równanie ruchu ma wtedy postać
dx
d 2x
m 2 = F0 sin(Ωt ) − k ⋅ x − f
dt
dt
lub
d 2x
dx
2
+
⋅
+ ω 02 x = F0 sin(Ωt ) ,
β
2
dt
dt
gdzie
f
=β.
2m
Odpowiednimi rachunkami można sprawdzić, że szczególną funkcją
spełniającą to równanie jest
x1 (t ) = A ⋅ sin(Ωt − ϕ )
Pełne (ogólne) rozwiązanie równania różniczkowego drgań
wymuszonych daje się przedstawić jako suma rozwiązania ogólnego
równania drgań tłumionych
x0 (t ) = A0 ⋅ e − β ⋅t cos(ωt + ϕ 0 )
i przedstawionego wcześniej rozwiązania szczególnego
x1 (t ) = A ⋅ sin(Ωt − ϕ ) .
Pełne, ogólne rozwiązanie ma zatem postać:
x(t ) = A0 ⋅ e − β ⋅t cos(ωt + ϕ 0 ) + A ⋅ sin(Ωt − ϕ )
Drgania wymuszone
13-2
Z upływem czasu pierwszy składnik wykładniczo zanika (tzw. stan
przejściowy) i pozostaje tylko drugi, przedstawiający drgania
harmoniczne z częstością Ω (tzw. stan ustalony).
Amplituda i przesunięcie fazy drgań wymuszonych w stanie ustalonym
wynoszą
A(Ω) =
F0
m (ω 02 − Ω 2 ) 2 + 4 β 2Ω 2
;
tgϕ =
2β Ω
ω02 − Ω 2
Amplituda osiąga maksimum dla częstości Ωr
Ω r = ω 02 − 2 β 2
wynoszące
Ar =
F0
2mβ ω 02 − β 2
=
F0
f ⋅ω
Przy słabym tłumieniu częstość rezonansowa Ωr jest bardzo bliska
częstości drgań własnych układu ω0.
Zjawisko narastania amplitudy drgań ustalonych przy częstości siły
wymuszającej bliskiej częstości drgań własnych nazywa się rezonansem
a częstość Ωr – częstością rezonansową układu drgającego.
A0 =
F0
– jest wychyleniem układu pod działaniem stałej siły F0. (Ω =
k
0).
1
A(Ω)
=
2
2
A0
 Ω2   β Ω 
1 − 2  +  2 2 
 ω0   ω0 
Drgania wymuszone
13-3