Wstęp do logiki i teorii mnogości

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2001/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
Rok studiów:
Semestr:
I
1
ECTS: 3
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
30
S
L
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne
Przedmiot stanowi wprowadzenie do matematyki na poziomie nieco bardziej abstrakcyjnym niż
matematyka wykładana w szkole średniej. Użyteczna (chociaż nie niezbędna) jest umiejętność
wykonywania podstawowych działań teoriomnogościowych na skończenie wielu zbiorach liczbowych,
znajomość podstawowych praw rachunku zdań oraz umiejętność stosowania zasady indukcji
matematycznej.
Założenia i cele przedmiotu
Zadaniem przedmiotu jest zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami i metodami matematyki
takimi jak funkcja, relacje równoważności i porządkujące, przeliczalność , indukcja i rekurencja.
Student nabywa biegłości w stosowaniu rachunku zdań i kwantyfikatorów, uczy się przeprowadzania
dowodów oraz wykorzystywania zasady indukcji matematycznej. Ponadto zdobywa umiejętność
wykonywania działań na zbiorach, wyznaczania obrazów i przeciwobrazów elementów i zbiorów
poprzez funkcję, badania podstawowych własności funkcji, sprawdzania własności relacji,
wyznaczania klas abstrakcji (w przypadku równoważności) oraz elementów wyróżnionych (w
przypadku porządków). Na koniec zapoznaje się z elementarnymi zagadnieniami teorii
nieskończoności (tzn. uczy się odróżniania zbiorów przeliczalnych od nieprzeliczalnych).
Metody dydaktyczne
Wykład i ćwiczenia audytoryjne.
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
Student musi uzyskać zaliczenie ćwiczeń (na podstawie kolokwiów i aktywności w rozwiązywaniu
zadań podczas ćwiczeń) oraz zdać pisemną i ustną część egzaminu.
Aby uzyskać zaliczenie przedmiotu student powinien posiąść następujące umiejętności:
-logicznej analizy zdań języka naturalnego;
-zapisywania zdań matematycznych wyrażonych w języku naturalnym przy użyciu symboli
matematycznych;
-odczytywania formuł i zdań zapisanych w języku formalnym;
-stosowania praw rachunku kwantyfikatorów;
-wykonywania działań na zbiorach i rodzinach zbiorów;
-sprawdzania własności relacji;
-wyznaczania klas abstrakcji (w przypadku relacji równoważności);
-wskazywania elementów wyróżnionych (w przypadku relacji porządkujących);
-badania podstawowych własności funkcji;
-stosowania Zasady Indukcji Matematycznej i rozumienia definicji rekurencyjnych;
-rozstrzygania, czy nieskończony zbiór jest przeliczalny;
-rozumienia przebiegu dowodu oraz wskazania praw logiki, na których opierają się poszczególne
fragmenty dowodu.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1.Rachunek zdań i kwantyfikatorów.
Zdanie w sensie logiki; spójniki logiczne i ich wartościowanie; tautologie; formuła zdaniowa;
kwantyfikatory; zmienne wolne i związane formuły; prawa rachunku kwantyfikatorów (w
szczególności prawa de Morgana ); metody dowodzenia twierdzeń (przedstawienie różnych
metod na przykładach).
2.Naiwna teoria zbiorów.
Przypomnienie podstawowych pojęć i własności: suma, iloczyn, różnica, różnica symetryczna
zbiorów, dopełnienie zbioru, podzbiór, zbiór potęgowy, algebra zbiorów, suma rodziny zbiorów;
przecięcie (iloczyn) rodziny zbiorów; prawa de Morgana dla zbiorów; para uporządkowana;
iloczyn kartezjański;.
3.Relacje.
Definicja relacji; dziedzina relacji; relacje: zwrotna, antyzwrotna, symetryczna, antysymetryczna,
słabo antysymetryczna, przechodnia; relacje porządku: częściowego, liniowego, dobrego;
wyróżnione elementy: minimalny, maksymalny, najmniejszy, największy, majoranta, minoranta,
supremum, infimum; Lemat Kuratowskiego-Zorna i Aksjomat Wyboru; relacje równoważności;
klasa abstrakcji; przestrzeń ilorazowa.
4.Funkcje.
Definicja funkcji; dziedzina i przeciwdziedzina funkcji; zbiór wartości; obraz i przeciwobraz
elementu i zbioru; injektywność, bijektywność, surjektywność; twierdzenie Cantora-Bernsteina;
działanie składania funkcji i jego własności, działania na funkcjach rzeczywistych.
5.Zbiór liczb naturalnych i jego własności.
Aksjomatyka Peano; Zasada Indukcji Matematycznej; Zasada Minimum; definiowanie rekurencyjnie; przykłady obiektów definiowanych rekurencyjnie.
6.Teoria mocy.
Równoliczność zbiorów; twierdzenie Cantora; metoda przekątniowa Cantora; twierdzenie
Cantora-Bernsteina; zbiór przeliczalny; zbiór nieprzeliczalny.
7.Zbiory liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych.
Szkicowe konstrukcje tych zbiorów; zupełność porządkowa (topologiczna) zbioru liczb rzeczywistych (informacyjnie)
Ćwiczenia audytoryjne
Rachunek zdań i kwantyfikatorów.
Ćwiczenie wartościowania zdań; badanie, czy zdanie jest tautologią; wskazanie, które zmienne
formuły zdaniowej są wolne; ćwiczenie podstaw rachunku kwantyfikatorów;
badanie
poprawności wnioskowań;
Zapisywanie zdań języka naturalnego w przy użyciu kwantyfikatorów i symboli matematycznych;
odczytywanie (ze zrozumieniem) zdań zapisanych w języku formalnym.
Rachunek zbiorów. Ćwiczenia w wykonywaniu poniższych działań na zbiorach:
Suma, iloczyn, różnica, różnica symetryczna zbiorów i ich własności; dopełnienie zbioru;
podzbiór, zbiór potęgowy; algebra zbiorów; suma rodziny zbiorów; przecięcie (iloczyn) rodziny
zbiorów; prawa de Morgana dla zbiorów; para uporządkowana; iloczyn kartezjański.
Relacje.
Wyznaczanie dziedziny relacji i badanie jej własności (zwrotności, antyzwrotności,
symetryczności, antysymetryczności, przechodniości itd.); sprawdzanie, czy relacja jest relacją
porządku: częściowego, liniowego, dobrego; wyznaczanie wyróżnionych elementów
(minimalnego, maksymalnego, najmniejszego, największego, majoranty, minoranty, supremum,
infimum); przykłady zastosowania Lematu Kuratowskiego-Zorna; badanie relacji równoważności;
wyznaczanie jej klas abstrakcji i przestrzeni ilorazowej.
Funkcje.
Sprawdzanie, czy relacja jest funkcją; wyznaczanie dziedziny i przeciwdziedziny funkcji oraz
zbioru wartości; wyznaczanie obrazu i przeciwobrazu elementu i zbioru; badanie injektywności,
bijektywności i surjektywności; działanie składania funkcji i jego własności; działania dodawania,
mnożenia funkcji rzeczywistych (jako wstęp do traktowania funkcji jako elementów przestrzeni
wektorowej)
Zbiór liczb naturalnych i jego własności.
Ćwiczenie stosowania Zasada Indukcji Matematycznej i Zasady Minimum; symbol Newtona,
dwumian Newtona; definiowanie rekurencyjne.
Teoria mocy.
Badanie równoliczności zbiorów; metoda przekątniowa Cantora; sprawdzanie, czy nieskończony
zbiór jest przeliczalny czy nieprzeliczalny.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] W. Guzicki, P. Zakrzewski, „Wykłady ze wstępu do matematyki”, PWN, Warszawa, 2005
[2] W. Guzicki, P. Zakrzewski, „Wstęp do matematyki. Zbiór zadań” , PWN, Warszawa 2005
[3] J. Cichoń, „Wykłady ze wstępu do matematyki” Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław
2003
[4] K.A.Ross, Ch.R.B. Wright „Matematyka dyskretna” PWN, Warszawa 2006
[5] W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach”, PWN, Warszawa,
2004 (i wcześniejsze)
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa, 2004 (i wcześniejsze)
[2] Z. Adamowicz, P. Zbierski „Logika matematyczna” PWN Warszawa 1991
[3] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa, 2004 (i wcześniejsze)
[4] K. Devlin „The Joy of Sets”, Springer, 1997
[5] P. R. Halmos „Naive Set Theory” Springer,1974 (i późniejsze)
Osoby odpowiedzialne za przedmiot:
dr Magdalena Grzech
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK