Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga
Transkrypt
Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga
Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Parametr porzadku ˛ W niskich temperaturach układy wystepuj ˛ a˛ w fazach, które łamia˛ symetrie˛ hamiltonianu: Sieć krystaliczna narusza symetrie˛ translacyjna, ˛ uporzadkowane ˛ spiny (momenty magnetyczne) naruszaja˛ symetrie˛ obrotowa˛ itp. Jeżeli hamiltonian jest niezmienniczy ze wzgledu ˛ na pewne symetrie, a stan podstawowy nie wykazuje tej symetrii, mówimy, że symetria została spontanicznie złamana. Niech P bedzie ˛ operacja˛ symetrii, wzgledem ˛ której hamiltonian H jest niezmienniczy: P−1HP = H (1a) Jeśli |ψi jest stanem podstawowym, czyli H|ψi = E|ψi c 2015 P. F. Góra Copyright (1b) 13–2 to także H (P|ψi) = E (P|ψi) (1c) a wiec ˛ stan podstawowy musi być zdegenerowany. Jeżeli układ łamie symetrie˛ ciagł ˛ a, ˛ stan podstawowy musi być nieskończenie zdegenerowany. Rozważmy modelowy ferromagnetyk. Fizyczna˛ manifestacja˛ przejścia fazowego jest to, że pojawiaja˛ sie˛ bloki uporzadkowanych ˛ spinów. Kolektywny, spontaniczny obrót spinu całego bloku pod wpływem zaburzeń termicznych jest mało prawdopodobny i układ na długo pozostaje uwieziony ˛ w jakiejś konfiguracji. Symetria zostaje złamana, a w układzie pojawia sie˛ parametr porzadku: ˛ magnetyzacja spontaniczna. Istnienie parametru porzadku ˛ jest wspólna˛ cecha˛ przejść fazowych II rodzaju (ciagłych). ˛ c 2015 P. F. Góra Copyright 13–3 Układ ferromagnetyk antyferromagnetyk nadciekłość model Kuramoto Przykłady parametru porzadku ˛ Parametr porzadku ˛ Złamana symetria magnetyzacja symetria obrotowa magnetyzacja podsieci symetria obrotowa funkcja falowa kondensatu globalna symetria cechowania moduł fazy zsynchronizowanej (układ niehamiltonowski) Wszystkie przejścia fazowe II rodzaju sa˛ wiec ˛ w pewnym sensie “podobne” i możemy spróbować opisać je wspólnie. c 2015 P. F. Góra Copyright 13–4 Teoria Ginzburga-Landaua Pomijajac ˛ wszystkie mikroskopowe szczegóły układu, opisujemy układ poprzez pewne pole φ(x) w D-wymiarowej przestrzeni. Przypuśćmy, że istnieje także jakieś pole zewnetrzne ˛ h(x) (w modelu ferromagnetyka byłoby to zewnetrzne ˛ pole magnetyczne). Postulujemy, że energia ma postać E[φ] = Z 1 dD x |∇φ(x)|2 + Ω(φ(x)) − h(x)φ(x) 2 (2) Człon kinetyczny narzuca pewien koszt energetyczny zwiazany ˛ z gradientem φ, przez co układ daży ˛ do jednorodności. Ω jest potencjałem zawierajacym ˛ tylko parzyste potegi: ˛ Ω(φ(x)) = r0φ2(x) + u0φ4(x) + · · · c 2015 P. F. Góra Copyright (3) 13–5 ale wyrazy wyższe zazwyczaj sie˛ pomija. Wymagamy, aby u0 > 0, dzieki ˛ czemu E[φ] ma dolna˛ granice. ˛ r0 może mieć dowolny znak. Cały układ wykazuje symetrie˛ “góra-dół”. Sume˛ statystyczna˛ otrzymamy całkujac ˛ po wszystkich możliwych funkcjonalnych postaciach φ: Z[h] = Z (Dφ)e−βE[φ] (4) Policzywszy sume˛ statystyczna, ˛ energie˛ swobodna˛ i pozostałe wielkości c 2015 P. F. Góra Copyright 13–6 termodynamiczne liczymy w zykły sposób: F = −kB T ln Z[h] M = Z χ= dD x φ(x) = − 1 ∂M V ∂h ∂F ∂h (podatność) ∂ 2F Ch = −T ∂T 2 c 2015 P. F. Góra Copyright (5a) (5b) (5c) (5d) 13–7 Całkowanie funkcjonalne Całka w (4) oznacza całkowanie funkcjonalne (czyli całk˛e po trajektoriach). Możemy założyć, że całk˛e te˛ można wykonać nastepuj ˛ aco: ˛ Zastepujemy ˛ ciagł ˛ a˛ przestrzeń dyskretna˛ siatka˛ {x1, x2, . . . }. Niech φi = φ(xi). Całka funkcjonalna może być przybliżona przez Z (Dφ) = Z∞ −∞ c 2015 P. F. Góra Copyright dφ1 Z∞ dφ2 . . . (6) −∞ 13–8 Konfiguracje pola φ wykazujace ˛ silne oscylacje, tym bardziej zaś niecia˛ głości∗, prowadza˛ do dużych wartości członu |∇φ|2 w energii (2), a zatem daja˛ mały przyczynek do sumy statystycznej (4). Oczekujemy, że najwiek˛ szy przyczynek bed ˛ a˛ dawać konfiguracje o niewielkiej zmienności. ∗ Po zdyskretyzowaniu przestrzeni, także operator gradientu zastepujemy ˛ jego dyskretnym przybliżeniem. c 2015 P. F. Góra Copyright 13–9 Teoria średniego pola W jednorodnym polu zewnetrznym ˛ h(x) = h, pole φ fluktuuje wokół pewnej stałej. Zaniedbujemy fluktuacje i przyjmujemy, że (7) φ(x) = m gdzie m jest stała. ˛ Pole φ ma zatem stała, ˛ uśredniona˛ wielkość w obrebie ˛ całego układu. Energia swobodna wynosi wówczas F (m) = V (r0m2 + u0m4 − hm) (8) Chcemy zminimalizować te˛ wielkość ze wzgledu ˛ na m. Dla h = 0 mamy m m2 + r0 2u0 ! =0 (9) Jeśli r0 > 0, jest tylko jeden pierwiastek m = 0. Jeśli r0 < 0, pojaq wiaja˛ sie˛ dwa dodatkowe pierwiastki ± −r0/2u0. Dla r0 < 0 pierwiastek c 2015 P. F. Góra Copyright 13–10 m = 0 odpowiada maksimum energii swobodnej — układ musi wybrać pomiedzy ˛ jednym z minimów, łamiac ˛ w ten sposób symetrie. ˛ c 2015 P. F. Góra Copyright 13–11 Przypuśćmy teraz, że T −1 Tc b > 0, a t jest temperatura˛ zredukowana. ˛ Mamy wiec ˛ r0 = bt , m= 0 t= T > Tc √ ±m 0 −t T < Tc (10) (11) W ten sposób odtworzyliśmy charakterystyczna˛ krzywa˛ pierwiastkowa˛ dla spontanicznej magnetyzacji w modelu Isinga (a także, przy innych oznaczeniach, kształt modułu fazy zsynchronizowanej dla modelu Kuramoto). c 2015 P. F. Góra Copyright 13–12 Wykładniki krytyczne W punkcie t = 0 funkcje termodynamiczne zawieraja˛ cz˛eść regularna˛ w t i cz˛eść osobliwa, ˛ zachowujac ˛ a˛ sie˛ jak pewne potegi ˛ t. Potegi ˛ te nazywane sa˛ wykładnikami krytycznymi. Najcz˛eściej wprowadza sie˛ nastepuj ˛ ace ˛ wykładniki krytyczne: M ∼ |t|β parametr porzadku ˛ (12a) χ ∼ |t|−γ podatność (12b) C ∼ |t|−α pojemność cieplna (12c) 1 . Można łatwo wyliczyć, że Widzieliśmy, że w teorii pola średniego β = 2 α = 0, γ = 1. Zestawienie wykładników krytycznych dla modelu Isinga zawiera poniższa tabela: c 2015 P. F. Góra Copyright 13–13 Wykładniki krytyczne w modelach Isinga Układ α β γ średnie pole 0 1/2 1 2D (dokładnie) 0 1/8 7/4 3D (przybliżenie) 0.12 0.31 1.25 3D (pomiar) 0−0.14 0.32−0.39 1.3−1.4 Teoria średniego pola jest zaledwie takim sobie przybliżeniem rzeczywistości. . . c 2015 P. F. Góra Copyright 13–14