Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny
Transkrypt
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny
Fizyka statystyczna Zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Zespół kanoniczny Zespół mikrokanoniczny jest (przynajmniej w warstwie koncepcyjnej) świetnym narz˛edziem do opisywania układów izolowanych. Bardzo cz˛esto mamy jednak do czynienia z układami nieizolowanymi, mogacymi ˛ wymieniać z otoczeniem energie˛ w formie ciepła, ale pozostajacymi ˛ z otoczeniem w równowadze. Wyobraźmy sobie, że badany układ i jego “otoczenie” łacznie ˛ stanowia˛ układ izolowany o energii E. Energia “otoczenia” wynosi E2, energia układu E1, E1 + E2 = E (przy założeniu skończonego zasiegu ˛ oddziaływań i zaniedbaniu efektów powierzchniowych). Liczba czastek ˛ “otoczenia” jest wiele wieksza ˛ od liczby czasteczek ˛ układu, a zatem energia (wielkość ekstensywna) też jest o wiele wieksza: ˛ N2 N1, E2 E1. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–2 Dowodzac ˛ ekstensywności entropii w zespole mikrokanonicznym wykazaliśmy, że dwa podukłady pozostajace ˛ w równowadze musza˛ mieć te˛ sama˛ temperature, ˛ T1 = T2 = T . Objetość ˛ fazowa zajmowana przez “otoczenie” wynosi Γ2(E2). Układ i “otoczenie” tworza˛ zespół mikrokanoniczny. W zespole mikrokanonicznym gestość ˛ stanów wynosi 1 na powłoce energii i zero poza nia. ˛ Gestość ˛ stanów samego układu otrzymamy jako rodzaj “rozkładu brzegowego”, wycałkowujac ˛ po stopniach swobody “otoczenia”. %(p1, q1) = Z dp2 dq2 ∼ Γ2(E2) = Γ2(E − E1) . (1) Γ2 Spodziewamy sie, ˛ że tylko wartości E1 bliskie Ē1 dadza˛ wkład do Γ2(E − E1), c 2015 P. F. Góra Copyright 8–3 możemy wiec ˛ dokonać rozwiniecia: ˛ ∂S2(E2) kB ln Γ2(E − E1) = S2(E − E1) ' S2(E) − E1 ∂E2 = S2(E) − E1 T E2 =E (2) Wobec tego " # ! 1 E S2(E) exp − 1 . (3) kB kB T Pierwszy czynnik nie zależy od E1, możemy wiec ˛ go potraktować jako stała. ˛ Biorac ˛ pod uwage, ˛ że E1 jest wartościa˛ hamiltonianu układu, otrzymujemy wzór na gestość ˛ stanów w rozkładzie kanonicznym: Γ2(E − E1) ' exp %(p1, q1) = e−H(p1,q1)/kB T . c 2015 P. F. Góra Copyright (4) 8–4 Suma statystyczna Dla uproszczenia zapisu, odtad ˛ bedziemy ˛ oznaczać β = k 1T . Wielkość B d3N p d3N q −βH(p,q) ZN = ZN (V, T ) = e (5) 3N N! h nosi nazwe˛ sumy statystycznej lub funkcji rozdziału. N oznacza liczbe˛ czastek. ˛ Czynnik N ! wprowadzamy dla zapewnienia “poprawnego zliczania boltzmannowskiego”. Stała h ma wymiar iloczynu pedu ˛ i położenia i jest wprowadzana (na poziomie klasycznym) po to, aby uczynić sume˛ statystyczna˛ wielkościa˛ bezwymiarowa. ˛ Z Termodynamik˛e uzyskujemy ze wzoru ZN (V, T ) = e−βF (V,T ) , c 2015 P. F. Góra Copyright (6) 8–5 gdzie F jest energia˛ swobodna˛ Helmholtza. Aby pokazać, że F ze wzoru (6) jest energia˛ swobodna, ˛ po pierwsze zauważmy, że F jest ekstensywne: Jeśli układ jest suma˛ dwu podukładów, to, przy zwykłych założeniach, ZN jest iloczynem dwu czynników. Po drugie, zbadajmy zwiazek ˛ pomiedzy ˛ F a innymi wiekościami termodynamicznymi. Mianowicie, w sposób oczywisty zachodzi 1 3N p d3N qeβ(F (V,T )−H(p,q)) . 1= d N ! h3N Różniczkujac ˛ obustronnie po β dostajemy Z 1 N ! h3N Z ∂F 3N 3N β(F (V,T )−H(p,q)) F (V, T ) + β d p d qe ∂β " (7) # − H(p, q) . V (8) Pierwszy i drugi człon w nawiasie kwadratowym nie zależa˛ od p, q, można je wiec ˛ wyciagn ˛ ać ˛ przed całk˛e, która daje jeden. Ostatni człon daje hHi, c 2015 P. F. Góra Copyright 8–6 czyli energie˛ wewnetrzn ˛ a˛ U . Zatem ∂F F −U −T =0 ∂T V Jeśli przyjmiemy, że entropia spełnia ∂F S=− , ∂T V odtwarzamy znana˛ z termodynamiki relacje˛ (9) F = U − TS , (10) (11) co dowodzi, że F zdefiniowane przez równaie (6), jest energia˛ swobodna. ˛ Dla kompletu, ciśnienie ∂F p=− . ∂V T c 2015 P. F. Góra Copyright (12) 8–7 Fluktuacje energii w rozkładzie kanonicznym Jak widzieliśmy przed chwila, ˛ zachodzi Z d3N p d3N q[U − H(p, q)]eβ(F −H(p,q)) = 0 . (13) Różniczkujac ˛ to wyrażenie po β otrzymujemy ∂U + ∂β Z ∂F 3N 3N β(F −H(p,q)) d pd qe (U − H) F − H − T ∂T = 0 . (14) Biorac ˛ pod uwage˛ wyprowadzone przed chwila˛ relacje termodynamiczne, (14) jest równoważne D E ∂U 2 + (U − H) = 0 . ∂β c 2015 P. F. Góra Copyright (15) 8–8 Zatem rD E (U −H)2 = rD s E H 2 − hHi2 = − ∂U ∂β s ∂U = = kB T 2CV .(16) kB T 2 ∂T Ponieważ hHi ∼ N oraz CV ∼ N , wzgledne ˛ fluktuacje energii vD E u u H 2 − hHi2 u 1 t √ ∼ , 2 N hHi q (17) a wiec ˛ sa˛ zaniedbywalne w granicy termodynamicznej. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–9 Wielki zespół kanoniczny Rozważamy teraz sytuacje, ˛ w której układ może z otoczeniem wymieniać nie tylko ciepło, ale także materie˛ (czastki), ˛ pozostajac ˛ przy tym w równowadze. Rozpatrujemy “kolekcje” ˛ zespołów kanonicznych, w którym układ i otoczenie maja˛ inne liczby czastek, ˛ sumujace ˛ sie˛ jednak do tej samej całkowitej liczby czastek ˛ N oraz inne energie, sumujace ˛ sie˛ do tej samej energii całkowitej. Postepuj ˛ ac ˛ podobnie jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że dla każdego elementu tej kolekcji gestość ˛ stanu układu (przy ustalonym N1 !) wynosi %(p1, q1, N1) = ZN2 (V2, T ) e−βH(p1,q1,N1) N1!h3N1 (18) ZN (V, T ) Sumy statystyczne w powyższym wyrażeniu wyrażamy przez odpowiednie energie swobodne ZN2 ZN c 2015 P. F. Góra Copyright = e−β[F (N −N1,V −V1,T )−F (N,V,T )] (19) 8–10 Ponieważ N N1, V V1, F (N − N1, V − V1, T ) − F (N, V, T ) ' −N1µ + pV1 (20) Ostatecznie otrzymujemy eβN µ −βpV −βH(p,q) %(p, q, N ) = e . (21) 3N N !h Każdy element rozważanej “kolekcji” jest opisywany rozkładem kanonicznym, a każdy element ma taka˛ sama˛ temperature, ˛ ciśnienie i potencjał chemiczny, jak inne elementy. Zdefiniujmy wielka˛ sume˛ statystyczna˛ Ξ(z, V, T ) = ∞ X z N ZN (V, T ) , z = eβµ . (22) N =0 c 2015 P. F. Góra Copyright 8–11 Całkujac ˛ obie strony (4) po p, q przy ustalonym N , a nastepnie ˛ sumujac ˛ po wszystkich N , otrzymujemy pV = ln Ξ(z, V, T ) kB T (23) Termodynamik˛e otrzymujemy z ∂ ln Ξ(z, V, T ) , ∂z F = N kB T ln z − kB T ln Ξ(z, V, T ) . N = z (24a) (24b) W powyższych równaniach “N ” oznacza średnia˛ liczbe˛ czastek. ˛ c 2015 P. F. Góra Copyright 8–12 Fluktuacje liczby czastek ˛ w wielkim zespole kanonicznym Prawdopodobieństwo, że układ w wielkim zespole kanonicznym ma N 0 czastek ˛ wynosi 0 W (N 0) = z N ZN 0 (V, T ) (25) Spodziewamy sie, ˛ że fluktuacje liczby czastek ˛ powinny być małe. Aby tak mogło być, musi istnieć taka liczba czastek ˛ N , że W (N 0) ma w niej ostre maksimum. Policzmy wiec ˛ pochodna˛ ∂W/∂N 0: ∂W ∂F = W (N ) βµ − β . (26) 0 0 0 0 ∂N N =N ∂N N =N Aby W (N 0) miało maksimum w N , pochodna musi znikać, co oznacza, że pierwsza pochodna energii swobodnej musi być równa potencjałowi che c 2015 P. F. Góra Copyright 8–13 micznemu (układ ma taki sam potencjał chemiczny, jak otoczenie). ∂F = µ 0 0 ∂N N =N ∂ 2F > 0 γ= 2 0 ∂N N 0=N (27a) (27b) Drugi z tych warunków wynika z żadania ˛ istnienia maksimum. Korzystajac ˛ z ekstensywności energii swobodnej, po wykonaniu elementarnych przekształceń widać, że 2 ∂ F v 2 ∂p(v) , =− 2 0 N ∂v ∂N N 0=N (28) gdzie v = V /N jest objetości ˛ a˛ właściwa˛ obliczana˛ w maksimum W . Aby maksimum mogło istnieć, ∂p/∂v < 0, co jest spełnione dla zdecydowanej wiekszości ˛ substancji. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–14 Rozwińmy teraz W (N 0) wokół maksimum. Ponieważ maksimum ma być waskie, ˛ ograniczamy sie˛ do rozwiniecia ˛ do drugiego rz˛edu: 1 W (N 0) ' W (N ) exp − βγ(N 0 − N )2 . 2 Jest to rozkład gaussowski o szerokości s ∆N = 2kB T N . v 2(−∂p/∂v) (29) (30) ∆N/N → 0 w granicy N → ∞. Uwaga: Powyższa analiza załamuje sie, ˛ jeśli ∂p/∂v = 0. Odpowiada to przejściu fazowemu pierwszego rodzaju. W tym wypadku fluktuacje liczby czasteczek ˛ moga˛ być duże, bowiem układ składa sie˛ z dwu (lub wiecej) ˛ różnych faz, o różnych gestościach ˛ liczby czastek. ˛ Szczegółowa analiza, która˛ tu pomijamy, pokazuje, że ciśnienie obliczone w zespole kanonicznym jest równe ciśnieiu obliczonemu w wielkim zespole kanonicznym, jeśli c 2015 P. F. Góra Copyright 8–15 tylko ∂p/∂v 6 0. Gdyby okazało sie, ˛ że ∂p/∂v > 0, “fizyczne” ciśnienie można znaleźć za pomoca˛ konstrukcji Maxwella. Dla bardzo egzotycznych substancji, dla których trwale ∂p/∂v > 0 — na przykład dla (hipotetycznej) ciemnej energii — przedstawiona tu analiza nie ma sensu. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–16 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H= N X p ~i2 i=1 2m . (31) Zamykamy czastki ˛ w bardzo dużym pudle o idealnie sztywnych ścianach — pedy ˛ sa˛ wówczas skwantowane i czasteczki ˛ moga˛ obsadzać tylko poziomy energii p2 εp = 2m gdzie p jest wartościa˛ własna˛ operatora pedu ˛ p= c 2015 P. F. Góra Copyright 2π~ n L (32) (33) 8–17 Aby obliczyć wartość energii, nalezy teraz wysumować po (obsadzonych) wartościach własnych pedu. ˛ Jeżeli pudło jest naprawde˛ bardzo duże, sumowanie po pedach ˛ zastepu˛ jemy całkowaniem Z X V (34) −→ 3 d3p h p Stan układu możemy wyznaczyć przez podanie liczby obsadzeń np poszczególnych stanów. Całkowita energia i całkowita liczba czastek ˛ sa˛ równe E = N = X p X εpnp (35a) np (35b) p c 2015 P. F. Góra Copyright 8–18 Bozony i fermiony Możliwe liczby obsadzeń bardzo sie˛ różnia˛ dla bozonów i fermionów: np = 0, 1, 2, . . . 0, 1 bozony fermiony (36) Dla czastek ˛ boltzmannowskich np = 0, 1, 2, . . . ale jeden układ {np} Q określa N !/ (np!) stanów układu N czastek: ˛ dla czastek ˛ boltzmannowp skich przestawienie dwu czastek ˛ prowadzi do nowego stanu, podczas gdy dla bozonów przestawienie czastek ˛ nie prowadzi do żadnych zmian, a dla fermionów może jedynie zmienić znak funkcji falowej. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–19 Gdy V → ∞, poziomy energetyczne tworza˛ widmo ciagłe. ˛ Podzielmy je na grupy poziomów — komórki — zawierajace, ˛ odpowiednio, g1, g2, . . . poziomów. Średnia energia i-tej komórki wynosi εi, a jej liczba obsadzeń, bed ˛ aca ˛ suma˛ liczby obsadzeń poszczególnych poziomów, wynosi ni. (Ta dziwna konstrukcja służy do tego, abyśmy mogli wykonywać dyskretne sumowanie, formalnie przeszedłwszy do widma ciagłego.) ˛ Niech W {ni} bedzie ˛ liczba˛ stanów odpowiadajac ˛ a˛ układowi liczb obsadzeń {ni}. Wówczas Γ(E) = X W {ni} (37) {ni } gdzie sumujemy po wszystkich mozliwych stanach o zadanej energii i liczbie czastek. ˛ Teraz wystarczy znaleźć wszystkie możliwości rozmieszczenia ni czastek ˛ w i-tej komórce, zawierajacej ˛ gi poziomów ,. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–20 Doskonały gaz Bosego Każdy poziom może być obsadzony przez dowolna˛ liczbe˛ czastek. ˛ Niech i-ta komórka ma gi podkomórek (poziomów) i gi−1 przegród pomiedzy ˛ nimi. Trzeba znaleźć liczbe˛ permutacji ni czastek ˛ i gi−1 przegród, które prowadza˛ do różnych rozmieszczeń. W {ni} = Y (ni + gi − 1)! i c 2015 P. F. Góra Copyright ni!(gi − 1)! (38) 8–21 Doskonały gaz Fermiego Liczba czastek ˛ w każdej z gi podkomórek wynosi 0 lub 1. Trzeba znaleźć liczbe˛ sposobów wybrania ni spośród gi przedmiotów W {ni} = c 2015 P. F. Góra Copyright gi ! i ni !(gi − ni )! Y (39) 8–22 Doskonały (kwantowy) gaz Boltzmanna Umieszczamy N czastek ˛ w komórkach, tak, aby i-ta komórka zawierała Q ni czastek. ˛ Można to zrobić na N !/ (ni!) sposobów. Z kolei w każdej i n ˛ może komórce jest gi poziomów: jest (gi) i sposobów, na które ni czastek obsadzić te gi poziomów. Ostatecznie zatem Y (gi)ni Y (gi)ni 1 W {ni} = N! = N! n ! ni! i i i (40) W (40) podzieliliśmy przez N ! aby zapewnić “poprawne zliczanie boltzmannowskie” (jest to pewna niekonsekwencja, ale kwantowy gaz czastek ˛ klasycznych sam w sobie jest niekonsekwencja). ˛ c 2015 P. F. Góra Copyright 8–23 Entropia gazów kwantowych Aby policzyć entropie, ˛ formalnie musimy wysumować po wszystkich możliwych konfiguracjach {ni}. Jednak dla dużych układów, entropia jest dobrze przybliżona, jeśli W {ni} zastapimy ˛ przez W {n̄i}, gdzie {n̄i} jest P układem odpowiadajacym ˛ maksimum W {ni} przy warunkach εini = E, P i i ni = N . Otrzymujemy gi z −1eβεi − 1 gi n̄i = z −1eβεi + 1 gize−βεi Bose Fermi (41) Boltzmann z = eβµ i β = 1/kB T formalnie graja˛ role˛ mnożników Lagrange’a. c 2015 P. F. Góra Copyright 8–24 Prowadzi to do nastepujacych ˛ wyrażeń na entropie: ˛ X βε − ln z i −βεi ) − ln(1 − ze g i z −1eβεi − 1 i X βε − ln z S/kB = gi −1i βε + ln(1 − ze−βεi ) z e i+1 i X −βεi (βε − ln z) z g e i i i c 2015 P. F. Góra Copyright Bose Fermi (42) Boltzmann 8–25 Ciepla długość fali Dla gazu Boltzmanna N =z X gie−βεi −→ i E=z X giεie−βεi −→ i zV h3 Z∞ zV h3 0 Z∞ 2 zV 4πp2e−βp /2mdp = 3 λ 4πp2 0 p2 (43a) ! 2 3 e−βp /2mdp = N kB T 2m 3 (43b) v u u 2π~2 jest cieplna˛ dlugościa˛ fali, czyli długościa˛ fali de Broglie’a λ = t mkB T czastki ˛ o masie m i energii kbT . c 2015 P. F. Góra Copyright 8–26