Grupa ćwiczeniowa 4

Zajęcia nr 10
Teoria: Przedziały ufności dla: średniej, wariancji, wskaźnika struktury (procentu); Minimalna liczność próby.
Zad 1 Na podstawie losowej próby 120 tabliczek czekolady otrzymano średnia wagę równą 95g oraz odchylenie standardowe
10 g. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.90 oszacować przedziałowo odchylenie standardowe w rozkładzie wagi
wszystkich produkowanych tabliczek czekolady.
Zad 2 W instytucie chemii przeprowadzono badania czasu trwania określonej reakcji chemicznej. W tym celu wykonano 10
niezależnych prób tego eksperymentu, otrzymując następujące wyniki (w s): 9;14;10;12;7;13;11;12;10;8. Wiedząc, że w
określonych warunkach badany czas jest zmienną losową o rozkładzie normalnym:
1. oszacować przedziałowo średni czas trwania badanej reakcji, przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.95,
2. ustalić, jak zmieni się precyzja oszacowania średniej, jeśli wielkość próby zwiększymy czterokrotnie.
Zad 3 Celem zbadania niezawodności p (prawdopodobieństwo p poprawnej reakcji na dany sygnał) pewnego układu
elektronicznego wykonano 400 doświadczeń polegających na nadawaniu danego sygnału i obserwowaniu reakcji układu.
Stwierdzono, że w 330 przypadkach nastąpiła reakcja poprawna. Oszacować p i obliczyć przedział ufności na poziomie
ufności 0.99.
Zad 4 Średnia długość stopy studentów Warszawy ma rozkład normalny. W celach antropometrycznych dokonano na
wylosowanych n=400 studentach Warszawy pomiarów i otrzymano z tej próby s=1.7cm oraz oszacowano przedział ufności
(26.3; 26.5) dla średniej długości stopy. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji?
Zad 5 Poniższy szereg rozdzielczy przedstawia strukturę 1000 losowo wybranych mieszkań na osiedlu Ursynów w Warszawie
według liczby izb.
Liczba izb w mieszkaniu
2
3
4
5
6
Liczba mieszkań
96
288
404
168
44
Oszacowano na podstawie powyższej próby przedział liczbowy dla odsetka lokali 4-izbowych w populacji wszystkich
mieszkań na Ursynowie: (37,4%; 43.4%).
1. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy konstrukcji powyższego przedziału?
2. Jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli przy założeniu niezmienności struktury oraz przy tym samym współczynniku
ufności liczebność próby zmniejszymy do 250 mieszkań?
Zad 6 Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka uczniów zamierzających po maturze
kontynuować studia, jeśli w klasie liczącej 40 uczniów 40% z nich nie zamierza kontynuować nauki w szkole wyższej?
Przyjąć współczynnik ufności 0.90 i maksymalny błąd szacunku równy 6%.
Zad 7 Średnia frekwencja widzów w kinie na seansie filmowym w jednym z kin warszawskich ma rozkład N(*,40). Na
podstawie obserwacji liczby widzów na 25 losowo wybranych seansach kinowych oszacowano przedział liczbowy (184, 216)
dla nieznanej średniej frekwencji na wszystkich seansach.
1. Jaki poziom współczynnika ufności przyjęto przy estymacji?
2. Ile wynosiła średnia liczba widzów w zbadanej próbie 25 seansów kinowych?
Zajęcia nr 11
Teoria: Parametryczne testy istotności dla: średniej, wariancji, wskaźnika struktury, dwóch średnich, dwóch wariancji, dwóch
wskaźników struktury.
Zad 1 Z wieloletnich obserwacji liczby kontuzji, jakim ulegli zawodnicy sekcji judo Warszawskiego Klubu Sportowego
„Gwardia” wynika, że średnia liczba kontuzji wynosi 2 z odchyleniem standardowym równym 1,3. W grupie 25 losowo
wybranych zawodników tej sekcji w 1994 r. zanotowano łącznie 55 kontuzji, a odchylenie standardowe liczby kontuzji było
równe 1,5: Czy na podstawie powyższych wyników można uznać, że:
1. Średnia liczba kontuzji w 1994r. nie różniła się w porównaniu ze średnią w poprzednich latach?
2. Wariancja liczby kontuzji w 1994r. była wyższa w porównaniu z wariancją w poprzednich latach?
Przyjąć poziom istotności 0.02.
Zad 2 W teście badającym pamięć uczniów, dla 8 wylosowanych uczniów otrzymano następujące liczby zapamiętanych przez
nich elementów: 16, 13, 14, 21, 19, 18, 26, 17. Natomiast po specjalnym treningu pamięci grupa ta wykazała następujące
wyniki: 21, 17, 20, 26, 23, 22, 21, 18. Przyjmując poziom istotności alfa = 0.05 zweryfikować hipotezę, że trening zwiększa
liczbę zapamiętanych przez uczniów elementów.
Zad 3 Sondaż przeprowadzony wśród 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra dostarczył m. in. informacji,
iż 1480 osób oceniło komfort jazdy metrem pozytywnie, a 1588 osób – negatywnie. W podobnym sondażu przeprowadzonym
w grupie 2500 losowo wybranych pasażerów korzystających ze stołecznych autobusów 1200 osób dokonało pozytywnej oceny
komfortu jazdy, a 1000 osób oceniło komfort jazdy negatywnie.
b) Czy na tej podstawie można uznać, że odsetki osób zadowolonych oraz niezadowolonych z komfortu jazdy warszawskim
metrem oraz stołecznymi autobusami nie różnią się istotnie?
c) Z jakiego przedziału liczbowego powinny pochodzić wartości odpowiednich statystyk aby przy alfa=0.05 nie było
podstaw do odrzucenia sformułowanych hipotez?
Zad 4 W wyniku badania zmian poziomu płac pracowników firmy Intraco w Warszawie w latach 1993-1994 otrzymano
następujące dane dla 50 losowo wybranych pracowników w każdym roku:
1993: xśr=398 PLN, s=118,7 PLN, n=50
1994: xśr=654 PLN, s=213,5 PLN, n=50
3. Czy na podstawie powyższych wyników można mówić o wzroście poziomu płac ogółu pracowników Intraco w 1994 r. W
porównaniu z rokiem 1993?
4. Czy można uznać iż zróżnicowanie płac w 1994r. wzrosło w porównaniu z rokiem 1993?
Przyjąć poziom istotności 0.05.
Zad 5 W grupie 100 losowo wybranych pracowników Banku PKO S.A. 36 osób otrzymało w lutym 1995r. premię w
wysokości 15-20%. W lutym 1994r. w podobnej próbie 100 pracowników premię w takiej wysokości otrzymały 24 osoby.
1. Czy można twierdzić, że odsetek ogółu pracowników Banku PKO S.A. otrzymujących premię w wysokości 15-20% był w
1994r. niższy w porównaniu z rokiem 1995? Przy weryfikacji przyjąć poziom istotności równy 0.05.
2. Do jakiego przedziału liczbowego powinna należeć wartość odpowiedniej statystyki z próby, aby nie było podstaw do
odrzucenia hipotezy zerowej?
Zajęcia nr 12
Teoria: Testy zgodności: Chi-kwadrat Pearsona, Kołmogorowa.
Zad 1 Miesięczne dodatkowe dochody studentów pewnej uczelni w zbadanej grupie 120 wylosowanych studentów były
następujące (w zł):
Dochody
150250350450550650750850950250
350
450
550
650
750
850
950
1050
Liczba studentów
7
10
21
30
19
15
10
6
2
Na poziomie istotności alfa = 0.05 zweryfikować hipotezę, że rozkład dochodów studentów badanej uczelni jest rozkładem
normalnym. (test Kolmogorowa)
Zad 2 W punkcie skupu mleka zbadano n=400 próbek mleka skupowanego od różnych gospodarzy na zawartość tłuszczu w
dostarczonym mleku. Otrzymano następujące wyniki (w procentach):
Zawartość tłuszczu
Liczba próbek
Zawartość tłuszczu
Liczba próbek
3.2 –3.3
21
3.3 -3.4
72
3.4 –3.5
66
3.5 –3.6
38
3.6 –3.7
51
3.7 –3.8
56
2.8 –3.9
64
3.9 –4.0
32
Na poziomie istotności alfa=0.05 zweryfikować zgodność rozkładu zawartości tłuszczu w mleku z rozkładem prostokątnym w
przedziale 3.2-4.0. (test chi-kwadrat Pearsona, test Kolmogorowa)
Zad 3 W pewnej fabryce zaobserwowano następujący rozkład absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej próbie 900
pracowników z absencją:
poniedziałek
wtorek
środa
czwartek
piątek
sobota
Dzień tygodnia
Liczba nieobecnych
200
160
140
140
100
160
Na poziomie istotności zweryfikować hipotezę, że absencja w tej fabryce jest jednakowa w każdym dniu tygodnia. (test chikwadrat Pearsona)
Zad 4 Zakłada się, że rozkład wagi noworodków (w kg) jest rozkładem normalnym o wartości średniej równej 3.5kg oraz
odchyleniu standardowym 0.5kg. Na podstawie losowej próby 200 noworodków ustalono, co następuje:
Numer przedziału
1
2
3
4
5
6
7
Ogółem
Liczebności teoretyczne 10
15
50
.....
....
20
18
200
w przedziale
1. Obliczyć i zinterpretować liczebności teoretyczne w czwartym i piątym przedziale, wiedząc, że [xo4, x14]= [3.0; 3.5].
2. Z jakiego przedziału liczbowego pochodzi obliczona wartość statystyki chi-kwadrat, jeśli przy poziomie istotności równym
0.1 nie odrzucamy hipotezy zerowej?
Zajęcia nr 13
Teoria: Moc testu; Test ilorazowy
Zad 1 Weryfikację hipotezy o wadliwości p pewnej partii towaru przeprowadzono w oparciu o wynik pięcioelementowej
(n=5) próby prostej za pomocą następującego testu: jeżeli w próbie zaobserwujemy więcej niż jedną sztukę wadliwą to
hipotezę H0 odrzucamy w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do jej odrzucenia. Znaleźć poziom istotności testu oraz
prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, jeśli :
H0 : p = 0.2 oraz
H1: p = 0.3
Zad 2 Do weryfikacji hipotezy H0:X~N(4,3) przy alternatywie H1:N(2,2) zastosowano test xn <c(n), gdzie xn jest średnią z
próby (H0 odrzucamy, gdy xn<c(n)). Wyznaczyć taką liczbę c(n) aby poziom istotności alfa=0.05. Jaka powinna być liczba
pomiarów n, aby moc testu była nie mniejsza niż 0.99.
Zad 4 W celu weryfikacji hipotezy H0: X – N(-1,2), H1: X – N(2,3) na poziomie istotności 0.05 pobrano próbkę 15elementową. Jaka jest moc testu o obszarze krytycznym K=[0; 2.0]. Jaki jest obszar krytyczny i moc testu najmocniejszego?