FinEng 1_wprowadzenie - E-SGH

Inżynieria Finansowa:
1. Wprowadzenie: zasady wyceny,
spekulacja, arbitraż
Piotr Bańbuła
[email protected]
Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES
5 marca 2014 r.
Warszawa, Szkoła Główna Handlowa
Dwa podejścia w wycenie
Dwa podejścia do problemu wyceny:
• Wycena aktywów „od podstaw”, odwołująca się do
funkcji preferencji i użyteczności, oczekiwań, technologii
To domena ekonomii finansowej
• Wycena biorąca część cen jako dane (tzw. aktywów
bazowych – akcji, obligacji, walut, surowców) i
wyceniająca inne aktywa (pochodne) względem nich
To domena matematyki finansowej
Inżynieria finansowa jest obszarem zastosowań
matematyki finansowej oraz metod ilościowych, w tym
statystyki i programowania
Inżynieria finansowa
Wycena instrumentu wymaga określenia/oszacowania:
A.
• Wypłat `x’ w różnych stanach w przyszłości
• Wagi poszczególnych stanów `m’ z punktu widzenia dobrobytu
• Prawdopodobieństw `p’ wystąpienia tych stanów
LUB
B.
• Wypłat `x’ w różnych stanach w przyszłości
• Prawdopodobieństw `q’ wystąpienia tych stanów, na które to `q’
składają się (w niepotrzebny do określenia sposób)
prawdopodobieństwa `p’ oraz wagi `m’ poszczególnych stanów
Inżynieria finansowa stosuje to drugie podejście
Dwa podejścia w wycenie
Absolutna wycena
Oczekiwania
(prawdopodobieństwa),
preferencje
technologia (wypłaty)
Względna wycena
Obserwacja cen
istniejących papierów
NA/LOOP
NA/LOOP
Zasada braku arbitrażu
Stochastyczny
czynnik
dyskontujący/ceny
przestrzeni stanów
LOOP
Określ cenę dowolnego
aktywu
Określ cenę aktywów
poprzez istniejące
Inżynieria finansowa
Celem inżynierii finansowej jest przede wszystkim:
•
•
•
•
•
Wycena instrumentów (pochodnych)
Szacowanie ryzyka
Wycena ryzyka
Zarządzanie ryzykiem
Tworzenie nowych instrumentów
Wszystkie powyższe działania są powiązane
Cena = wartość oczekiwana wypłat?
Zgromadziliśmy 10 mln PLN majątku: 𝑊𝑡 =10 mln
Czego spodziewamy się w przyszłości?
𝑃 𝑊𝑡+1 = 0 = 1%
𝑃 𝑊𝑡+1 = 𝑊𝑡 = 98%
Stany natury i przypisane
im prawdopodobieństwa
1%
Wypłaty
98%
1%
𝑃 𝑊𝑡+1 = 2𝑊𝑡 = 1%
Cena = wartość oczekiwana wypłat?
Oferuje się nam instrumenty U i D, gdzie U wypłaca 10 mln w
pozytywnym scenariuszu, a D 10 mln w negatywnym.
Stany natury i przypisane
im prawdopodobieństwa
1%
98%
1%
Wypłaty
D
U
Pytanie: Czy za instrument U i D bylibyśmy skłonni zapłacić
tyle samo?
Cena ≠ wartość oczekiwana wypłat
Źródło: J.Siegel (2007, s.6)
WZÓR wyceny aktywów
Cena
𝑝 = 𝐸(𝑚 ∙ 𝑥)
Oczekiwania
(prawdopodobieństwo)
Wypłaty
Stochastyczny
czynnik
dyskontujący
„Asset prices should equal expected discounted cashflows”
John Cochrane, JoF (2011)
Risk-neutral valuation - intuicja
Ceny A-D
miara risk-neutral
Cena
=
3.5
Prawdopodobieństwo
3.5
Wypłata
4
Źródło: Opracowanie własne
4.5
4
3.5
4.5
4
„Użyteczność”,
czynnik dyskontujący
3.5
4
4.5
4.5
0
Plan wykładu
Podstawowe pojęcia, statyczna replikacja
Zasada braku arbitrażu w ujęciu statycznym
Ceny terminowe
Stopy procentowe
Swapy
Opcje
Dynamiczna replikacja, wycena w oparciu o miary
martyngałowe
Model rynku i procesu cenowego
Model dwumianowy
Wycena opcji i model Blacka Scholesa
Miary martyngałowe
Praktyka
Zasada braku arbitrażu
Arbitraż w ekonomii finansowej (teoretyczny)
Portfel inwestycyjny, który:
• nic nie kosztuje,
• nie może przynieść strat
• może przynieść zyski
Innymi słowy: z niczego może my wytworzyć nieograniczone
bogactwo bez żadnego ryzyka (tzw. money pump)
Arbitraż na rynkach finansowych
Portfel inwestycyjny, który:
• bardzo niewiele nie kosztuje,
• straty wystąpią z małym prawdopodobieństwem
• najprawdopodobniej przyniesie zyski
Arbitraż (statystyczny)
Wyszukiwanie możliwości arbitrażowych jest czasochłonne i
przez to kosztowne – w rzeczywistości angażowany jest
kapitał ludzki i technologia
vs.
Five years ago it would have taken $500,000 and 12 people to do what today takes a few computers and
two co-workers. I'm executing 1,500 to 2,000 trades a day and monitoring 1,500 pairs of stocks.
My software can automatically execute a trade within 20 milliseconds - five times faster than it would take
for my finger to hit the buy button.
Luis Morgan, hedge fund managing director
(akurat nie ten pan na zdjęciu)
Wycena pochodnych - Przykład 1
Akcja
Bieżąca cena akcji notowanej na giełdzie to 𝑆𝑡 = 100 PLN.
Stopa, po których możemy aktualnie pożyczać i lokować to 5%
Uważamy (jesteśmy wręcz pewni), że w ciągu roku cena wzrośnie
do 125 PLN (wartość oczekiwana, inaczej 𝐸(𝑆𝑡+1 ) = 25% ).
Akcja dawałyby więc stopę oczekiwaną stopę zwrotu 𝐸(𝑟𝑡+1 ) = 25%
Nie mamy teraz gotówki, ale możemy kupić akcję w transakcji
terminowej: dziś ustalamy cenę, po której kupimy bądź sprzedamy
papier w terminie zapadalności umowy.
Jaką cenę w transakcji terminowej powinniśmy zaakceptować?
Rozpiętość cen?
Przykład 1 - c.d.
Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości
<100
100-110
110-120
120-130
130-140
140+
5%
10%
20%
40%
15%
10%
Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125?
Cena terminowa 125?
Cena terminowa 120?
Cena terminowa 110?
Cena terminowa 105?
Cena terminowa 100?
Przykład 1 - c.d.
Prawdopodobne przedziały cen akcji w przyszłości
<100
100-110
110-120
120-130
130-140
140+
5%
10%
20%
40%
15%
10%
Po jakiej cenie bylibyśmy skłonni kupować, jeśli E(S)=125?
Cena terminowa 125?
Cena terminowa 120?
Cena terminowa 110? (Załóżmy…)
Cena terminowa 105?
Cena terminowa 100?
Przykład 1 – c.d.
Cena terminowa to 110.
Co zrobi druga strona?
Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy.
Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%.
t0
+100 PLN: pożyczka
t1
Przykład 1 – c.d.
Cena terminowa 110.
Co zrobi druga strona?
Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy.
Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie rocznej 5%.
Za uzyskane środki kupuje akcje.
t0
+100 PLN: pożyczka
-100 PLN: zakup akcji
t1
Przykład 1 – c.d.
Cena terminowa 110.
Co zrobi druga strona?
Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy.
Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%.
Za uzyskane środki kupuje akcje.
Trzyma je przez rok.
t0
+100 PLN: pożyczka
-100 PLN: zakup akcji
t1
Przykład 1 – c.d.
Cena terminowa 110.
Co zrobi druga strona?
Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy.
Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%.
Za uzyskane pieniądze kupuje akcje.
Trzyma je przez rok.
Sprzedaje Państwu te akcje po 110.
t0
+100 PLN: pożyczka
-100 PLN: zakup akcji
t1
+110 PLN: sprzedaż akcji
Przykład 1 – c.d.
Cena terminowa 110.
Co zrobi druga strona?
Załóżmy, że tak jak Państwo nie ma pieniędzy.
Pożycza 100 PLN po bieżącej stopie 5%.
Za uzyskane pieniądze kupuje akcje.
Trzyma je przez rok.
Sprzedaje Państwu te akcje po 110.
Spłaca pożyczkę, która z odsetkami wynosi 105.
t0
+100 PLN: pożyczka
-100 PLN: zakup akcji
Zostaje 5 PLN za każde 100 PLN.
t1
+110 PLN: sprzedaż akcji
-105 PLN: spłata pożyczki
Przykład 1 – c.d.
Jakie ryzyko podjęła druga strona (załóżmy, że są Państwo
wiarygodni i na pewno dopełnią warunków umowy)?
Inaczej, czy wynik jej transakcji zależy od ceny akcji na
rynku w momencie wykonania umowy?
Cena na rynku w czasie t1: 125
Wynik: (Zysk/Strata na sprzedaży akcji)-koszt pożyczki
(110-100) – 5 = 5
Przykład 1 – c.d.
Jakie ryzyko podjęła druga strona (załóżmy, że są Państwo
wiarygodni i na pewno dopełnią warunków umowy)?
Inaczej, czy wynik jej transakcji zależy od ceny akcji na
rynku w momencie wykonania umowy?
Cena na rynku w czasie t1: 125
Wynik: +5
Cena na rynku w czasie t1: 150
Wynik: (110-100) – 5 = 5
Cena na rynku w czasie t1: 100
Wynik: (110-100) – 5 = 5
Wynik drugiej strony nie zależy od ceny na rynku (choć nasz
już tak)
Przykład 1 – podsumowanie
t0
+100 PLN: pożyczka
-100 PLN: zakup akcji
t1
+110 PLN: sprzedaż akcji
-105 PLN: spłata pożyczki
Czy druga strona angażowała jakikolwiek swój kapitał?
Nie, tylko pożyczała.
Czy mogła stracić?
Nie (abstrahujemy od ryzyka kredytowego kontrahenta).
Czy mogła zyskać?
Tak, niezależnie od okoliczności 5 PLN.
To był arbitraż (przeprowadzony niestety na nas, a nie przez nas).
Wycena pochodnych jest oparta o zasadę braku arbitrażu.
Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż
Spekulacja
Zwiększamy naszą ekspozycję na pewne ryzyko – np. kurs
walutowy, stopę procentową, ceny akcji – tym samym zwiększamy
niepewność co do przyszłych wypłat, ale liczymy, że przyniesie nam
to zysk (choć może także straty)
Zabezpieczenie (hedging)
Zmniejszamy (eliminujemy) naszą ekspozycję na pewne ryzyko i
tym samym zmniejszamy (eliminujemy) zmienność wypłat (stają się
one niemal pewne). Pozbywamy się możliwości zysku, ale i straty.
Arbitraż
Kupujemy i sprzedajemy papiery, które dają identyczne wypłaty, ale
mają różne ceny – osiągamy zysk nie ponosząc ryzyka.
Sprawiedliwa wycena, w tym wycena derywatów, ma
sprawiać, że do takich sytuacji nie dochodzi.
Spekulacja, zabezpieczanie, arbitraż
Spekulacja
Długa pozycja
Krótka pozycja
Zabezpieczenie (hedging)
Pierwotna
długa pozycja
Pierwotna
krótka pozycja
Efekt netto=0
Zabezpieczenie
Efekt netto=0
Zabezpieczenie
Arbitraż
Efekt netto>0
1 pozycja
2 pozycja
2 pozycja
Efekt netto>0
1 pozycja
Przykład 1 - Spekulacja
Spekulacja
Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska i
sądzimy, że wzrośnie bardziej niż inne ceny na rynku akcji.
100
Przykład 1 - Spekulacja
Spekulacja
Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska i
sądzimy, że wzrośnie bardziej niż inne ceny.
kupujemy dziś tą akcję po cenie rynkowej, lub
Kupujemy ją w transakcji terminowej po dziś ustalonej cenie, lub
Kupujemy opcję na zakup akcji po określonym kursie
…
100
Przykład 2 - Spekulacja
Spekulacja 2
Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska,
natomiast banku B wynosząca 75 za wysoka.
Co możemy zrobić, jeśli nie wiemy co stanie się z cenami akcji w
ogóle i nie chcemy na to spekulować?
100
75
Przykład 2 - Spekulacja
Spekulacja
Uważamy, że cena akcji banku A wynosząca 100 jest za niska,
natomiast banku B wynosząca 75 za wysoka.
Co możemy zrobić, jeśli nie wiemy co stanie się z cenami akcji w
ogóle i nie chcemy na to spekulować?
Kupujemy 75 000 akcji A (ewentualnie na termin) za 7 500 000
Sprzedajemy 100 000 akcji B (ewentualnie na termin) za 7 500 000
Dla uproszczenia r=0%, zatem cena terminowa równa się obecnej
100
75
Przykład 2 – obie ceny rosną, A bardziej.
Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za:
150 × 75𝑡𝑦𝑠. = 11,25 𝑚𝑙𝑛
Wynik: −7,5 𝑚𝑙𝑛 + 11,25 𝑚𝑙𝑛 = 3,75 𝑚𝑙𝑛
Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za:
90 × 100𝑡𝑦𝑠. = 9 𝑚𝑙𝑛
Wynik: 7,5 𝑚𝑙𝑛 − 9𝑚𝑙𝑛 = −2,5 𝑚𝑙𝑛
Netto: +1,25 𝑚𝑙𝑛
150
100
75
90
Przykład 2 – obie ceny rosną, B bardziej
Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za:
120 × 75𝑡𝑦𝑠. = 9 𝑚𝑙𝑛
Wynik: −7,5 𝑚𝑙𝑛 + 9 𝑚𝑙𝑛 = 2,5 𝑚𝑙𝑛
Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za:
110 × 100𝑡𝑦𝑠. = 11 𝑚𝑙𝑛
Wynik: 7,5 𝑚𝑙𝑛 − 11 𝑚𝑙𝑛 = −3,5 𝑚𝑙𝑛
Netto: −1,0 𝑚𝑙𝑛
120
100
75
110
Przykład 2 – obie ceny spadają, A mniej
Kupione 75 tys. akcje A za 7,5 mln sprzedajemy na rynku za:
60 × 75𝑡𝑦𝑠. = 4,5 𝑚𝑙𝑛
Wynik: −7,5 𝑚𝑙𝑛 + 4,5 𝑚𝑙𝑛 = −3,0 𝑚𝑙𝑛
Aby sprzedać 100 tys. akcji B za 7,5 mln kupujemy ja za:
30 × 100𝑡𝑦𝑠. = 3 𝑚𝑙𝑛
Wynik: 7,5 𝑚𝑙𝑛 − 3 𝑚𝑙𝑛 = 4𝑚𝑙𝑛
Netto: +1,0 𝑚𝑙𝑛
100
75
60
30
Przykład 3 – Zabezpieczenie pozycji
Zabezpieczenie przed ryzykiem
Dane:
Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5%
Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4%
Za rok będziemy potrzebować 1 mln PLN na inwestycje – weźmiemy
kredyt
Nie wiemy jak zmienią się stopy procentowe i nie chcemy na to
spekulować.
Czy możemy przeprowadzić transakcję, która sprawi, że koszt
kredytu (oprocentowanie depozytu) ustalimy dziś i będzie ono
niezależne od tego co stanie się w przyszłości?
Przykład 3
Weźmy pożyczkę na 2Y, a uzyskane pieniądze złóżmy na 1Y depozyt
Co w ten sposób otrzymujemy?
Syntetyczny roczny kredyt za 1Y.
Pytania:
Jaką jest stopa naszego kredytu?
Czy zależy od tego jakie będą stopy procentowe w przyszłości?
t0
+0.96 mln PLN: pożyczka
- 0.96 mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: depo
t2
-1,06 mln PLN: spłata pożyczki
Przykład 3
Jakiej wielkości musi być dzisiejszy depozyt, by za 1Y mieć 1 mln?
𝑋 ∙ 1,04 = 1 → 𝑋 = 0.961mln
Tyle musimy pożyczyć. Ile będziemy musieli spłacić za 2Y?
𝑋 ∙ 1 + 𝑟 0,2
2
= 0.961 ∙ 1.052 = 1.06mln
Ile wynosi stopa procentowa dla stworzonego przez nas kredytu?
1,052 ∙ 0.961𝑚𝑙𝑛 = 1,06𝑚𝑙𝑛
= 1,06 = 𝑅 = 1 + 𝑟 → 𝑟 = 6%
1,04 ∗ 0.961𝑚𝑙𝑛 = 1,0𝑚𝑙𝑛
t0
+0.96 mln PLN: pożyczka
- 0.96 mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: depo
t2
-1,06 mln PLN: spłata pożyczki
Przykład 4 – Wycena a zabezpiecznie
Wycena i zabezpieczanie się
Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5%
Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4%
Co by było, gdyby ktoś oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w
wysokości 5,5%?
Podpowiedź: taka pożyczka jest relatywnie tania w stosunku do
pożyczki/depozytu, który można (statycznie) zreplikować.
Przykład 4 – c.d.
Wycena i zabezpieczanie się
Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5%
Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4%
Co by było, gdyby ktoś nam oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w
wysokości 5,5%?
Zaciągamy tę pożyczkę (1x2) i syntetyzujemy depozyt 1x2:
Zakładamy depozyt na 2Y i zaciągamy pożyczkę na 1Y
+1 mln PLN: pożyczka
-1mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: pożyczka
t2
-1,04 mln PLN: pożyczka
+1,10mln PLN: depozyt
-1,097 mln PLN: spłata pożyczki
Przykład 4 – c.d.
+1 mln PLN: pożyczka
t1
t2
-1,04 mln PLN: pożyczka
t1
t2
+1,10mln PLN: depozyt
-1mln PLN: depozyt
+1 mln PLN: pożyczka
-1mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: pożyczka
t2
-1,04 mln PLN: pożyczka
+1,10mln PLN: depozyt
-1,097 mln PLN: spłata pożyczki
Przykład 4 - c.d.
Wycena, arbitraż i zabezpieczanie się
Stopa pożyczki/depozytu 2-letniej: 5%
Stopa pożyczki/depozytu rocznej: 4%
Co by było, gdyby ktoś nam oferował stopę pożyczki 1Y za rok (1x2) w
wysokości 5,5%?
Zaciągamy tę pożyczkę (1x2) i syntetyzujemy depozyt 1x2:
Zakładamy depozyt na 2Y i zaciągamy pożyczkę na 1Y
Zarabiamy 2800 PLN przy umowach na 1 mln
+1 mln PLN: pożyczka
-1mln PLN: depozyt
t1
+1,04mln PLN: pożyczka
t2
-1,04 mln PLN: pożyczka
+1,10mln PLN: depozyt
-1,097 mln PLN: spłata pożyczki
Zajęcia
Ocena końcowa:
Egzamin 100%
(Wykłady, praca własna z literaturą, rozwiązanie zadań i
zagadnień w Niezbędniku)
Literatura:
Salih Neftci „Principles of Financial Engeneering”, Elsevier
(rozdziały 1-15)
Weron i Weron „Inżynieria Finansowa”
Kontakt: [email protected]
Materiały: http://www.e-sgh.pl/banbula/222250-1254
Poza wykładami warto zaznajomić się z zamieszczonymi
zagadnieniami i zadaniami do rozwiązania