Zapisz jako PDF

Wstęp
W poprzednim rozdziale wspominaliśmy, że fale dźwiękowe rozchodzą się we wszystkich kierunkach.
Dlatego równanie falowe oraz funkcja falowa powinna uwzględniać ten fakt. Klasyczne równanie
falowe w przestrzeni trójwymiarowej we współrzędnych kartezjańskich ma postać:
lub uwzględniając operator Laplace’a:
W wielu zagadnieniach, wygodniej jest używać innego układu współrzędnych. We współrzędnych
cylindrycznych laplasjan ma postać:
,
Natomiast we współrzędnych sferycznych:
W przypadku przestrzeni trójwymiarowej są dwa rodzaje rozwiązań klasycznego równania falowego
w postaci fali harmonicznej. Pierwszy rodzaj rozwiązania jest następujący:
. Wektor
równa:
nosi nazwę wektora falowego. Jego długość jest
, natomiast jego zwrot określa kierunek rozchodzenia się fali. Czasami falę biegnącą
zapisujemy w formie zespolonej:
.
Drugi rodzaj rozwiązania ma postać:
. Taką falę nazywamy
falą kolistą lub kulistą. Fala rozchodzi się izotropowo we wszystkich kierunkach. Na rysunku Figure
1 pokazano czoła fali płaskiej i fali kolistej.
Czoła fali płaskiej (po
lewej stronie) i fali kolistej
(po prawej stronie).
Należy zwrócić uwagę na bardzo ważny fakt. Średnia moc źródła fali wynosi:
oznacza, że amplituda fali kulistej:
, co
.
W przypadku fali rozchodzącej się w przestrzeni dwuwymiarowej amplituda fali maleje z odległością
od źródła jak
., natomiast w przestrzeni trójwymiarowej jak
płaszczyźnie mają postać:
. A zatem kołowe fale na
a kuliste fale w przestrzeni trójwymiarowej
.
Fale stojące
Teraz zajmiemy się kolejnym zagadnieniem: falami stojącymi. Jako przykład poszukajmy fal stojących
w dwuwymiarowej membranie o wymiarach
zamocowanej na końcach. Szukamy rozwiązania
równania
w postaci
harmonicznych fal stojących:
.
Jeśli uwzględnimy warunki brzegowe — membrana jest zamocowana na końcach (co matematycznie
oznacza, że dla dowolnej chwili czasu t spełnione są warunki
to otrzymamy, że składowe
wektora falowego mogą przyjmować tylko następujące wartości:
,
.
gdzie n i m są liczbami całkowitymi. Stąd otrzymujemy, że długość wektora falowego, częstotliwość
fali i jej długość przyjmują tylko następujące wartości:
Jeśli membrana byłaby kwadratowa
to:
W przypadku membrany kwadratowej tej samej częstotliwości odpowiadają różne rodzaje fal, np.
.
Na rysunku Figure 2 schematycznie pokazano rodzaje fal stojących w kwadratowej membranie
zamocowanej na końcach.
Postacie fal stojących w
kwadratowej membranie
zamocowanej na końcach
(przyjęto:
).
O wiele bardziej skomplikowany matematycznie jest przypadek membrany kołowej. Klasyczne
równanie falowe zapisujemy we współrzędnych cylindrycznych:
.
Poszukujemy rozwiązania w postaci fali stojącej:
do równania falowego i uwzględnieniu równości
Wprowadzając oznaczenie
równania:
oraz przyjmując
. Po podstawieniu
otrzymujemy równanie na funkcję
otrzymujemy dwa
:
Rozwiązania pierwszego równania są następujące:
, natomiast drugie
równanie nosi nazwę równania Bessela. Równanie to pojawia się dość często w fizyce. Jego
rozwiązanie — funkcje Bessela (oznaczane
) są stablicowane.
Rozwiązania w postaci fal stojących membrany kołowej zamocowanej na końcach są więc
następujące:
1.
, funkcja falowa jest postaci:
symetrię obrotową.
2.
, dwie liniowo niezależne funkcje falowe:
Na rysunku Figure 3 pokazano schematycznie kilka postaci fal stojących.
Przykładowe postacie fal
stojących w membranie
kołowej zamocowanej na
końcach.
. Funkcja ta ma pełną