Ćwiczenia URE 3

dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
1/8
Obliczenie filtru pasmowoprzepustowego Czebyszewa
1. Wprowadzenie
Rozróżniamy kilka rodzajów filtrów. Najbardziej znane to:
Filtr Butterwortha – charakterystyka płaska w paśmie przepustowym, monotoniczna w paśmie
zaporowym
Filtr Czebyszewa – charakterystyka posiada zafalowania w paśmie przepustowym (I rodzaju) lub
zaporowym (II rodzaju)
Filtr Cauera (eliptyczny) – charakterystyka posiada zafalowania w paśmie przepustowym i zaporowym
2. Wielomiany Czebyszewa
Do zaprojektowania filtru Czebyszewa niezbędna jest znajomość wielomianów Czebyszewa.
Cechą charakterystyczną tych wielomianów jest ortogonalność - posiadanie wszystkich ekstremów w
obszarze ograniczonym wartościami –1 i 1.
Wielomiany te mogą być obliczone jednym z podanych niżej sposobów:
a) wzór rekurencyjny Tn+1 ( x) = 2 x ⋅ Tn ( x) − Tn−1 ( x) . Daje on kilka pierwszych wielomianów o
następujących postaciach:
T1 ( x) = x
T2 ( x) = 2 x 2 − 1
T3 ( x) = 4 x 3 − 3x
T4 ( x) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
b) postać trygonometryczna
cos(k arccos x ), x ∈ (− 1,1)
⎧
⎪
Tk ( x) = ⎨
cosh (k arccos h( x )), x ≥ 1
⎪(− 1)k cosh (k arccos h(− x )), x ≤ −1
⎩
3. Niech mamy układ pracujący w pewnym dość szerokim paśmie częstotliwości od fdown do fupper.
f down
f1
f upper
f2
f3
f4
f5
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
2/8
Wprowadźmy oznaczenia:
Rg – rezystancja generatora (źródła sygnału)
RL – rezystancja obciążenia
A – tłumienie sygnału poza pasmem przepustowym
fupper - górna częstotliwość robocza zestawu filtrów
fdown - dolna częstotliwość robocza zestawu filtrów
Mamy więc w rzeczywistości zaprojektować zestaw filtrów. W celu ujednolicenia struktury będą to filtry
quasi-oktawowe, tzn. stosunek częstotliwości górnej do dolnej dla każdego z filtrów jest stały i wynosi
ok. 1,6-1,8.
Należy zauważyć, że stosunki częstotliwości poszczególnych filtrów tworzą ciąg geometryczny, czyli
możemy zapisać:
⎛ f upper
⎜⎜
⎝ f down
k
⎞ ⎛ f2 ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ , k = 1,2,3... ⎠ ⎝ f1 ⎠
W celu wyznaczenia ilości filtrów oktawowych należy najpierw ustalić względną szerokość pasma dla wszystkich
filtrów. Pozwoli to na zachowanie jednakowej struktury filtrów, przy zmianie jedynie wartości elementów.
Przyjmijmy stosunek częstotliwości granicznych jednej sekcji filtru:
f2
= 1.7 . f1
log
Możemy więc wyznaczyć ilość sekcji filtra a następującej zależności: k =
f upper
f down
.
log 1.7
Musi ona być liczbą całkowitą, więc uzyskany wynik należy zaokrąglić do liczby całkowitej i ponownie
wyznaczyć stałą k.
Następnie należy wyznaczyć częstotliwości graniczne dla poszczególnych sekcji, korzystając z zależności:
f n = k ⋅ f n−1 . Należy pamiętać, że należy zachować dokładność do 3 lub 4 znaków, gdyż będzie to wpływać
precyzję wyznaczenia częstotliwości granicznych.
4. Wyznaczymy wartości elementów jednej z sekcji roboczej filtru. Przyjmiemy dalej, że wyznaczamy elementy
dla pierwszej sekcji, stąd nasze częstotliwości graniczne sekcji wynoszą f1 i f 2 .
5. Typowa procedura obliczeniowa filtru pasmowo-przepustowego polega na wyznaczeniu struktury i wartości
elementów dla dolnoprzepustowego filtru prototypowego, a następnie na wykorzystaniu odpowiedniej
transformacji i wyznaczeniu rzeczywistych wartości elementów. Zagadnienia te są dość szczegółowo opisane w
literaturze przedmiotu.
Filtrem prototypowym nazywamy taki filtr dolnoprzepustowy, którego pasma
przepustowe kończy się dla pulsacji Ω = 1 rad/s, zaś wzbudzany jest
z generatora o SEM=1V i Rg =1Ω, obciążeniem jest RL =1Ω.
6. Pierwszym krokiem jest określenie rzędu dolnoprzepustowego filtru prototypowego. Rząd filtru jest
bezpośrednio związany z nachyleniem charakterystyki filtru poza pasmem przepustowym – im wyższy rząd filtru
tym węższe staje się pasmo przejściowe, a charakterystyka szybciej opada. Należy jednak zauważyć, że wraz ze
wzrostem rządu filtru rosną problemy konstrukcyjne i ilość elementów filtru. Należy dążyć do tego, aby rząd filtru
był możliwie najmniejszy.
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
3/8
Tłumienie filtru określamy dla drugiej harmonicznej częstotliwości początkowej pasma roboczego sekcji, a więc w
naszym przypadku dla 2 f1 . Tłumienie wyznaczamy z zależności:
AdB = 20 ⋅ log(ε ⋅ Tn (Ω A ))
W celu jej wyznaczenia należy wyznaczyć wartość zafalowania w skali liniowej, przekształcając zależność
ε dB = 10 ⋅ log(1 + ε 2 ) .
Następnie należy założyć rząd filtru (np. n=5 lub 6) i określić wartość odpowiedniego wielomianu Czebyszewa w
punkcie o pulsacji Ω A .
Wartość Ω A wyznaczamy z transformacji częstotliwości dla filtru prototypowego:
ω 2 −ω 0 2
2
, gdzie ω0 = ω1 ⋅ ω2 oraz ∆ω = ω2 − ω1
Ω=
∆ω ⋅ ω
Pulsacja Ω A jest pulsacją, dla której wyznaczane jest tłumienie poza pasmem przepustowym – w naszym
przypadku ω A = 2 ω 1 . Po podstawieniu tej wartości do wzoru otrzymujemy:
ω A 2 −ω 0 2 (2 ω 1 )2 − ω 1⋅ω 2 4 ⋅ ω 12 − ω 1 ⋅ω 2
ω 1⋅ (4ω 1−ω 2 )
f (4 f 1− f 2 )
4 ⋅ f 1− f 2
ΩA =
=
=
=
= 1
=
(ω 2 − ω 1 )⋅ 2 ω 1 (ω 2 − ω 1 )⋅ 2 ω 1 (ω 2 − ω 1 )⋅ 2 ω 1 ( f 2 − f1 )⋅ 2 f1 2 ⋅ ( f 2 − f1 )
∆ω ⋅ ω A
Mając wyznaczoną tą wielkość, możemy wyznaczyć wartość wielomianu Czebyszewa danego rzędu oraz
wyznaczyć tłumienie poza pasmem przepustowym.
Jeżeli wartość tłumienia wyjdzie zbyt mała, należy zwiększyć rząd filtr o 1 i ponownie wyznaczyć wartość
wielomianu Czebyszewa i tłumienie. Procedura jest powtarzana, aż uzyska się wymaganą wartość tłumienia.
Należy zwrócić uwagę na to, że wartość tłumienia jest zależna od rzędu filtru i zmieniać się będzie skokowo, tak
jak skokowo zmieniamy rząd.
7. Rząd filtru określa nam strukturę dolnoprzepustowego filtru prototypowego.
Struktura filtru przedstawiono na powyższym rysunku. Wartości elementów filtru prototypowego dla danego
zafalowania i rzędu są stabelaryzowane.
Należy zwrócić uwagę, że dla nieparzystego rzędu filtru struktura układu jest symetryczna i wartości elementów
także parami będą równe (czyli np. dla 5-ego rzędu filtru g0=1, g1=g5, g2=g4, g6=1).
W przypadku parzystego rzędu filtru, ostatnim elementem będzie cewka szeregowa, symetria nie będzie
obserwowana i ostatni element (obciążenie) ma wartość rożną od 1, co oznacza, że układ filtru dokonuje
transformacji impedancji.
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
4/8
8. Denormalizacja wartości elementów filtru.
Znając strukturę i wartości elementów filtru prototypowego możemy wyznaczyć strukturę i wartości elementów
filtru rzeczywistego, pasmowoprzepustowgo.
Zasady transformacji są następujące:
'
Cewka szeregowa na szeregowy układ rezonansowy Lsi =
Li ⋅ R f
ω0
2
Lsi ⋅ C si =
'
Ci
Kondensator równoległy na równoległy układ rezonansowy C ri =
2
R f ⋅ ω0
Lri ⋅ C ri =
1
ω0 2
1
ω0 2
Na tym etapie musimy zdecydować, do której strony filtru normujemy rezystancję – czy do rezystancji generatora,
czy do rezystancji obciążenia. Wygodniej jest przyjąć rezystancję generatora, choć nie zawsze uzyskane wartości
elementów są możliwe do racjonalnego wykonania (szczególnie cewki). Wartość R f występującą we wzorze
należy wtedy przyjąć jako równą rezystancji generatora, czyli R f = Rg (lub przy decyzji normowania do
rezystancji obciążenia R f = RL ). Wartości elementów wyznaczamy w takiej kolejności, jak są zapisane, tzn. przy
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
5/8
transformacji cewki – najpierw cewkę, a później kondensator, przy transformacji kondensatora – najpierw
kondensator, a potem cewkę.
9. Wstawienie transformatora
Po wyznaczeniu wszystkich wartości elementów należy jeszcze wstawić transformator, który dopasuje poziom
rezystancji wyjściowej filtru do rezystancji obciążenia.
Rezystancja wyjściowa filtru jest równa rezystancji, do której normowaliśmy, w naszym przypadku jest to Rg .
Rg
Przekładnia transformatora jest związana z rezystancjami następującą zależnością: p =
RL
. 10. Transformacja Nortona
W celu wyeliminowania transformatora, którego istnienie w zakresie częstotliwości radiowych jest pewnym
problemem konstrukcyjnym, można wykorzystać transformację Nortona. Zastępuje ona transformator wraz z
pewną kombinacją elementów układem złożonym z trzech kondensatorów lub trzech cewek, zgodnie z
przedstawionymi poniżej zależnościami.
1:K
L1
LI
⇒
L2
LI = L1 − (K − 1) ⋅ L2 LII = K L2
LIII
LII
LIII = K (K − 1) ⋅ L2 1:K
C1
C2
⇒
C I = C1 − (K − 1) ⋅ C2 C II = K C 2
CI
CII
CIII
C III = K (K − 1) ⋅ C2 W celu przeprowadzenia transformacji Nortona, należy najpierw znaleźć takie miejsce, gdzie ona może być
wykonana. Należy więc przesuwać transformator, aż do uzyskania wymaganej konfiguracji. Pamiętać trzeba o
przetransformowaniu wartości elementów poprzez transformator. Przy przesuwaniu transformatora (przełożenie
1:K) od obciążenia do źródła należy wartości impedancji elementów zwiększyć K 2 razy, tzn. wartości
indukcyjności zwiększyć, zaś pojemności zmniejszyć.
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
Przykład obliczeniowy
Wyznaczyć wartości elementów dla trzeciej sekcji filtru quasi-oktawowego.
Dane:
Rg = 3,5 Ω
RL = 75 Ω
A = 45 dB
fupper = 2 MHz
fdown = 35 MHz
ε dB = 0,2
Wyniki:
Współczynnik podziału częstotliwości = 1,6113
k=6
f1.= 2 MHz;
f2.= 3,22 MHz
f3.= 5,19 MHz
f3.= 8,36 MHz
f3.= 13,47 MHz
f3.= 21,70 MHz
f3.= 35 MHz
n=6, ΩΑ =1,96, T6(Ω)=1173,98, A=48,1260 dB
Wartości znormalizowane elementów:
g0=1, g1=1,3598, g2=1,3632, g3=2,2394, g4=1,4555, g5=2,0974, g6=0,8838, g7=1,5386
Zgodnie z naszymi oznaczeniami mamy:
g1= C1' , g2= L2' , g3= C3' , g4= L4 ', g5= C5 ', g6= L6'
Denormalizacja dla Rf=Rg
Cr1=19,506 nF, Lr1=29,93 nH
Ls2=239,55 nH , Cs2=2,437 nF
Cr3=32,124 nF , Lr3=18,17 nH
Ls4=255,76 nH, Cs4=2,283 nF
Cr5=300,87 nF, Lr5=19,4 nH
Ls6=155,3 nH, Cs6=3,76 nF
K==5,7418
Denormalizacja dla Rf=RL
K1=4,6291
Cr1=910,28 pF, Lr1=0,641 uH
Ls2=5,133 uH, Cs2=113,73 pF
Cr3=1499,1 pF, Lr3=0,389 uH
Ls4=5,481 uH, Cs4=106,52 pF
Cr5=1404 pF, Lr5=0,416 uH
Ls6=3,328 uH, Cs6=175,43 pF
K2=1,2404
W przypadku normalizacji do rezystancji obciążenia uzyskujemy elementy o wartościach znacznie
korzystniejszych do realizacji.
6/8
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
7/8
Obliczenie filtrów w programie DIASP
Metodyka obliczenia filtrów w programie DIASP bazuje na przedstawionych wcześniej zależnościach.
W projektu z przedmiotu Urządzenia Telekomunikacyjne należy zaprojektować zestaw filtrów quasioktawowych do wzmacniacza szerokopasmowego.
Ze względu na to, że wszystkie filtry będą miały jednakową strukturę, a różnią się jedynie wartościami
elementów, projektowany będzie jedynie jeden, dowolnie wybrany filtr.
Charakterystyki powinny zostać wykreślone w zakresie częstotliwości od około 0.8 f1 do około 2.2 f1,
gdzie f1 to częstotliwość dolna analizowanego filtru. W przypadku charakterystyk impedancyjnych należy
skale ustawić tak, aby widoczne były poziomy dopasowania impedancji.
Procedura obliczeniowa
1. Wyznaczyć częstotliwości graniczne filtrów quasi-oktawowych i wybrać jeden do obliczeń.
2. Wyznaczyć częstotliwości obserwacji charakterystyk w programie DIASP: 0.8 f1 do około 2.2 f1,
gdzie f1 to częstotliwość dolna analizowanego filtru.
3. Przygotować niezbędne dane wejściowe (z obliczeń wzmacniacza i danych do projektu):
Pwe – moc wyjściowa sumaryczna z dwóch tranzystorów
Zwe – impedancja wyjściowa sumaryczna wzmacniacza mocy, będąca jednocześnie impedancją
wejściową filtru
Zwy – zadana impedancja obciążenia filtru (typowo 50Ω lub 75Ω)
4. Uruchomić program DIASP (polecenie diasp.bat lub poprzez DOSbox)
5. Wprowadzić dane
Generator type – Power source – constant
Pg –równe mocy wyjściowej sumarycznej wzmacniacza
Rg – równe rezystancji wyjściowej sumarycznej wzmacniacza mocy
Kind of Za – zadana impedancja obciążenia (typowo 50Ω lub 75Ω)
6. Uruchomić projektowanie filtru – wybrać filtr pasmowo-przepustowy Czebyszewa
Network describe – F7 - synthesis – Chebyshev filter – Band-pass filter
Fp1 – dolna częstotliwość robocza filtru
Fp2 – górna częstotliwość robocza filtru
Fa – częstotliwość, na której uzyskujemy pożądane tłumienie poza pasmem przepustowym
TWR – współczynnik fali bieżącej – należy go wyznaczyć z danego WFS
dA – wartość tłumienia w paśmie przepustowym, program sam wyznacza, wciskamy Enter
N – rząd filtru – nie znamy go, przyjąć np. 5
A – tłumienie dla częstotliwości Fa, zależy od rzędu filtra N, jeżeli jest za małe, należy
wpisać potrzebną wartość, a program sam zmieni rząd filtru. Uwaga, zmiany następują
skokowo!
Konfiguracja T lub Π - wybrać dowolną
Resistance of generator/load – filtr jest jednocześnie transformatorem impedancji, program
wyznacza wartości impedancji i przekładnie transformatora klikamy enter
7. Zastąpić transformator obwodem zastępczym
Podświetlić transformator (ruch strzałkami) – F8 (Norton Transformation) - Move ideal
transformer – przechodzimy strzałkami w celu wybrania miejsca, w której zostanie
przeprowadzona transformacja – wybieramy jeden z proponowanych obwodów.
8. Przeprowadzić analizę zaprojektowanego układu
Analysis
Generator/Load A
Obejrzeć i zapisać niezbędne charakterystyki:
SWR
Power P/Pmax
Network Immitance
dr inż. Maciej Sadowski , Filtry pasmowoprzepustowe, Materiały dydaktyczne
8/8
Do sprawozdania należy załączyć:
1. Wykaz wartości częstotliwości filtrów quasi-oktawowych wraz z obliczeniami
2. Struktura filtru przed transformacją Nortona (z transformatorem) i po niej (bez transformatora)
3. Wykaz wartości elementów filtru
4. Wykresy charakterystyk: WFSwe, WFSwy, Zwe filtru, Zwy filtru, Pnorm dB (dwa wykresy – jeden do
określenia tłumienia poza pasmem przepustowym i drugi, z tłumieniem w paśmie przepustowym
– rysunki w różnych skalach).
Wskazane jest zaznaczenie na rysunkach poziomów dopasowania impedancji, pasma pracy oraz wartości
tłumienia.