Teoria Strun

Teoria strun i unifikacja
Michał Spaliński
Instytut Problemów Jadrowych
˛
im. Andrzeja Sołtana
19 maja 2006
Teoria strun i unifikacja
Abstrakt
Teoria strun jest od lat jedyna˛ propozycja˛ teorii unifikujacej
˛
wszystkie oddziaływania
i materie˛ w ramach teorii kwantów. Postaram sie omówić obecny kształt teorii strun i
jej znaczenie dla fizyki wysokich energii i kosmologii.
Teoria strun i unifikacja
2
Plan
•
•
•
•
•
Efektywne teoria pola i unifikacja
Podstawowy teorii strun
Jak grawitacja pojawia sie˛ w teorii strun
Rozwiazania
˛
klasyczne i dualność
Co dalej?
Teoria strun i unifikacja
3
Wstep
˛
• Fundament: efektywna kwantowa teoria pola obejmujaca
˛ Model Standardowy i
Ogólna˛ Teorie˛ Wzgledności
˛
– “MS+OTW”:
Z
R
2
4 √
S=
d x g(
+ O(R ) + LM S + . . .)
16πG
√
Kładac
˛ gµν = ηµν + κhµν (gdzie κ ≡ 16πG) mamy
Z
1
1
4
µνρλ
µν
2
S=
d x( hµν V
hρλ + κhµν T + O(h ))
2
2
Ponieważ [κ] = L, to teoria jest nierenormalizowalna: ma sens jako rozwiniecie
˛
niskoenergetyczne: kolejne rz˛edy rachunku zaburzeń wymagaja˛ kontrczłonów
wyższych rz˛edów w krzywiźnie. Taki opis jest dobry o ile krzywizna jest mała
wzgledem
˛
κ.
• Granice˛ stosowalności efektywnej teorii pola MS+OTW wyznacza skala κ−1 (czyli
skala Plancka MP = (h̄c/G)1/2 ∼ 1019 GeV).
• Analogia: teoria Fermiego – efektywny opis oddziaływań słabych przy niskich
energiach. Przy wysokich energiach ujawniaja˛ sie˛ dodatkowe stopnie swobody
(bozony W i Z).
Teoria strun i unifikacja
4
• Naturalne pytanie: jakie jest “ultrafioletowe dopełnienie” MS+OTW? Możliwość
“unifikacji” biegnacych
˛
stałych sprz˛eżenia sugeruje, że może sie˛ ono wiazać
˛
z
unifikacja˛ wszystkich oddziaływań MS+OTW.
• Teoria unifikujaca
˛ powinna:
– dać konsystentny kwantowy opis grawitacji który redukuje sie˛ do perturbacyjnej
kwantowej teorii pola opartej na działaniu Einsteina-Hilberta; wyjaśnić efekty
kwantowe czarnych dziur (np. ich entropie);
˛
– wyjaśnić strukture˛ modelu standardowego (grupe˛ cechowania, wystepowanie
˛
chiralnej materii, strukture˛ oddziaływań Yukawy), a także ew. supersymetrie.
˛
– Wyjaśnić sens osobliwości OTW, w szczególności sens osobliwości Wielkiego
Wybuchu.
Teoria strun i unifikacja
5
Teoria Strun
• Teoria strun jest jedyna˛ propozycja˛ unifikujac
˛ a,
˛ która wytrzymała próbe˛ czasu –
być może ona, lub jakaś jej modyfikacja, daje rozwiazanie
˛
problemu unifikacji.
• Teoria strun powstała w 1970 jako próba opisu oddziaływań silnych, ale już w
1974 roku okazało sie,
˛ że jest teoria˛ kwantowej grawitacji – tzn. jest “dopełnieniem
ultrafioletowym” dla perturbacyjnej kwantowej grawitacji.
• Teoria strun stanowi uogólnienie kwantowej teorii pola
– mechanika kwantowa – tak
– szczególna teoria wzgledności
˛
– tak
– czastki
˛
punktowe – nie
• Naturalna skala długości: skala Plancka lP = (h̄G/c3)1/2 ∼ 10−33 cm – struny
musza˛ być bardzo małe.
• Eksperymenty przy E << MP = (h̄c/G)1/2 ∼ 1019 GeV nie widza˛ struktury
struny.
• Lekkie wzbudzenia strun można opisywać kwantowa˛ efektywna˛ teoria˛ pola
(zawierajac
˛ a˛ grawitacje,
˛ pola Yanga-Millsa i materie).
˛
Teoria strun i unifikacja
6
Struny relatywistyczne
• Czastka
˛
relatywistyczna opisana jest działaniem na linii świata, danym przez jej
długość:
Z
Z
q
p
2
2
S = −mc
dτ −ηµν ẋµẋν = −mc
dt 1 − v 2/c2
gdzie xµ(τ ) – zanurzenie linii świata w czasoprzestrzeni (µ = 0, . . . d).
• Struna relatywistyczna opisana jest działaniem na powierzchni świata, danym
przez jej powierzchnie:
˛
Z
q
1
S=− 2
dτ dσ − det (ηµν ∂X µ∂X ν )
ls
gdzie X µ(τ, σ) – zanurzenie powierzchni świata w czasoprzestrzeni. a ls – skala
długości.
• W zmiennych σ ± = τ ± σ mamy (po ustaleniu cechowania)
– równania ruchu: ∂+∂−X µ = 0 (równanie Laplace’a w σ, τ )
– wiezy:
˛
ηµν ∂±X µ∂±X ν = 0
• Zasada Hamiltona dopuszcza dwa typy warunków warunki brzegowych: struny
otwarte i zamkniete.
˛
Teoria strun i unifikacja
7
Mechanika kwantowa strun
• Warunki brzegowe – n.p. struny zamkniete
˛ spełniaja˛
µ
µ
X (σ + 2π, τ ) = X (σ, τ )
µ
• Rozwiazanie
˛
równania Laplace’a: X µ = XLµ(σ +) + XR
(σ −)
µ
XL
µ
XR
=
µ
xL
=
µ
xR
+
2 µ +
ls pLσ
X 1 µ −inσ+
i
αne
,
+ √ ls
n
2 n6=0
+
2 µ −
ls pR σ
X 1 µ −inσ−
i
α̃ne
,
+ √ ls
2 n6=0 n
• Relacje komutacyjne (kwantowanie kanoniczne):
µ
ν
µν
ν
ν
[αm, αn] = η mδm+n,0
• Przestrzeń Focka:
µ
µ
αm11 . . . αmrr |0 > ⊗α̃n11 . . . α̃nss |0 >
Teoria strun i unifikacja
(mi, ni < 0)
8
• Wiezy
˛ określaja˛ fizyczna˛ podprzestrzeń Hilberta i widmo mas.
• Fizyczne stany bezmasowe: ζµν (k)α̃µ−1αν−1|0 >, przy czym
µ
µ
k ζµν = k ζνµ = 0
Grawiton odpowiada symetrycznej i bezśladowej cz˛eści ζµν .
• Stany fizyczne określone sa˛ z dokładnościa˛ do stanów o normie zerowej, co
tłumaczy sie˛ na relacje
ζ(µν) ∼ ζ(µν) + kµζν + kν ζµ
• Odpowiada to symetrii cechowania w perturbacyjnej kwantowej OTW
x
µ
−→
x + η (x)
µν
−→
h
h
µ
µν
µ
µ ν
ν
+∂ η +∂ η
µ
• Stan podstawowy struny zamknietej
˛
zawiera stan o spinie 2, który można
utożsamić z grawitonem perturbacyjnej OTW.
• Pozostałe stany bezmasowe: skalar i dwuindeksowe pole antysymetryczne.
Teoria strun i unifikacja
9
Oddziaływania strun
• W teorii pola trzeba podać amplitude˛ prawdopodonieństwa dla każdego
elementarnego procesu – stałe sprz˛eżenia.
• W teorii strun istnieje tylko jeden elementarny proces.
• Obraz ten prowadzi do jednoznacznego przepisu na obliczanie perturbacyjnych
amplitud w teorii strun.
• Dla strunowych grawitonów można w ten sposób odtworzyć rzad
˛ po rz˛edzie wyniki
perturbacyjnej OTW gdy E << MP .
• Oddziaływania grawitonów reprodukuja˛ w wiodacym
˛
rz˛edzie teorie˛ Einsteina, ale:
– OTW jest modyfikowana w wyższych rz˛edach w krzywiźnie
– grawitacja nie wystepuje
˛
w izolacji – zawsze sa˛ dodatkowe stopnie swobody
(także bezmasowe)
Teoria strun i unifikacja
10
Struny i efektywna teoria pola
• Widmo struny: skończona ilość stanów bezmasowych i nieskończona ilość stanów
cieżkich
˛
o masach ∼ 1/ls.
• Dla E << 1/ls możliwy jest opis w jezyku
˛
efektywnej teorii pola dla lekkich stopni
swobody
Z
p
1
1 µνρ
2
−2φ
10
d x −ge
H Hµνρ + 4(∂φ) + . . .)
S= 8
(R −
ls
12
• Stała sprz˛eżenie dana jest wartościa˛ próżniowa˛ dylatonu: gs = eφ.
• Dodatkowe pola bezmasowe:
– pola wektorowe (Maxwella, Yanga-Millsa) wynikajace
˛
z kwantyzacji strun
otwartych
– pola fermionowe
• Konsystencja teorii kwantowej:
– wymaga antykomutujacych
˛
pól na powierzchni świata struny; prowadza˛ one do
supersymetrycznego widma stanów w czasoprzestrzeni.
– struna w płaskim tle czasoprzestrzennym wymaga d = 10.
– 5 supersymetrycznych teorii strun w d=10: I, IIA, IIB, H/E8, H/SO(32).
Teoria strun i unifikacja
11
Kompaktyfikacje teorii strun
• Kompaktyfikacje – rozwiazania
˛
opisujace
˛
czasoprzestrzenie o pewnej ilości
“małych” wymiarów (n.p. M4 × K6).
• Istnieje ogromna liczba rozwiaza
˛ ń, które na obecnym poziomie zrozumienia teorii
strun wydaja˛ sie˛ być całkowicie konsystentne.
• Rodziny rozwiaza
˛ ń sa˛ parametryzowane przez moduły (n.p. objetość
˛
K6);
modułom kompaktyfikacji odpowiadaja˛ bezmasowe pola skalarne w teorii
efektywnej.
• W efektywnej teorii pola nie ma bezwymiarowych stałych (α, me/mµ, . . . ) –
wszystko wyznaczone jest przez wartości oczekiwane modułów; n.p. GN = gsls8.
• Pytania:
– Dlaczego istnieje aż 5 konsystentnych teorii strun w d = 10? Ile ich jest dla
d < 10?
– Czy można jakoś wyeliminować wiekszość
˛
kompaktyfikacji aby uzyskać
konkretne przewidywania przy niskich energiach?
– Jak sytuuja˛ sie˛ w teorii strun efekty nieperturbacyjne w teoriach pola?
– Jaki charakter maja˛ strunowe efekty nieperturbacyjne?
– Czy i jak generowany jest potencjał dla modułów?
• Ostatnie 10 lat przyniosło ogromny postep
˛ w zrozumieniu jak te różne rozwiazania
˛
sa˛ powiazane.
˛
Teoria strun i unifikacja
12
Czastka
˛
na okregu
˛
• d + 1 wymiarów, kierunek u – okresowy: (t, x⊥, u) ∼ (t, x⊥, u + 2πR).
• Funkcja falowa
ψ(t, x⊥, u) = e
inu/R
ψ̃(t, x⊥)
gdzie n = 0, ±1, . . ..
• P˛ed w kierunku u jest skwantowany: pu = n/R.
• Zwiazek
˛
dyspersyjny czastki
˛
bezmasowej w d + 1 wymiarach:
2
2
E =p =
2
p⊥
n2
+ 2
R
To jest widmo energii charakterystyczne dla czastki
˛
o masie n/R w d wymiarach.
Pojawia sie˛ “wieża” stanów masywnych o masach mn = n/R. .
• Granica R → 0: redukcja wymiarowa.
• Granica R → ∞: dekompaktyfikacja.
Teoria strun i unifikacja
13
Struna na okregu
˛
• Warunki brzegowe:
X(σ + 2π, τ ) = X(σ, τ ) + 2πR
• Rozwiazanie
˛
istnieje dla wszystkich promienia; R jest modułem takiej
kompaktyfikacji
• W efektywnej teorii pola odpowiada mu bezmasowy skalar – przykład
geometryzacji.
• Widmo zawiera dodatkowe stany o masach
2
Mn,m
n2
m2R2
= 2+
R
ls4
• T-dualność:
– teoria nie rozróżnia kompaktyfikacji na okregu
˛
o promieniu R i l22/R.
– liczby kwantowe pedu
˛
i nawiniecia
˛
zamieniaja˛ sie˛ rolami.
• T-dualność wiaże
˛ teorie typu IIA i IIB, a także H/E8 i H/SO(32): te pary sa˛
tożsame w teorii na okregu.
˛
Teoria strun i unifikacja
14
Dualność
• Teoria kwantowa może mieć wiele różnych granic klasycznych
• Wszystkie pozornie różne teorie strun sa˛ różnymi rozwinieciami
˛
perturbacyjnymi
(semiklasycznymi) jednej teorii.
• Można podać relacje dualności miedzy
˛
pozornie różnymi teoriami:
0
0
fA(gs, R, . . .) = fB (gs, R , . . .)
gdzie n.p. gs0 = 1/gs. Wtedy A i B to dwa dualne opisy tej samej fizyki.
• Dualność w teorii pola “miesza” pola i solitony; w teorii strun mieszaja˛ sie˛ stany
nawiniete
˛ strun i innych obiektów rozciagłych,
˛
których istnienie jest konsekwencja˛
istnienia strun.
Teoria strun i unifikacja
15
Brany
• Tak jak nie ma relatywistycznej teorii samych elektronów, tak nie ma teorii
samych strun – istnienie strun implikuje istnienie innych obiektów rozciagłych
˛
o
określonych własnościach
• Teoria zawiera nieperturbacyjne wzbudzenia (brany) o p-wymiarach przestrzennych
z p = 0, 1, . . . 8.
• Brany sa˛ niewidoczne w rachunku zaburzeń, bo ich masa na jednostk˛e objetości
˛
zachowuje sie˛ jak 1/gs (D-brany) lub 1/gs2 (solitony).
• Stany bran nawinietych
˛
na cykle w przestrzeni kompaktyfikacji uzupełniaja˛
perturbacyjne widmo i prowadza˛ do relacji dualności, które uogólniaja˛ T-dualność.
Teoria strun i unifikacja
16
Granica silnego sprzeżenia
˛
teorii IIA
• Teoria strun typu IIA zawiera D0-brany o masie 1/gsls.
• Progowe stany zwiazane
˛
D0-bran maja˛ masy:
mN =
N
,
ls gs
• W granicy silnego sprz˛eżenia wszystkie te sany staja˛ sie˛ lekkie: ich obecność
sygnalizuje nowy wymiar o promieniu R = gsls.
• Granica silnego sprz˛eżenia teorii strun typu IIA ma dualny opis jako
supergrawitacja w d = 11.
– D0-brany maja˛ interpretacje modów Kaluzy-Kleina metryki w d = 11.
– Dodatkowy wymiar jest niewidoczny w rachunku zaburzeń wokól gs = 0!
Teoria strun i unifikacja
17
M-teoria
Teoria strun i unifikacja
18
Co dalej?
• Teoria strun stanowi fascynujace
˛ uogólnienie kwantowej teorii pola; przy niskich
energiach prowadzi do efektywnych teorii pola zawierajacych
˛
– grawitacje˛
– pola Yanga-Millsa
– supersymetrie˛
• Istnieje tylko jedna teoria strun, i jako taka nie zawiera bezwymiarowych
parametrów – ale dopuszcza ogromna˛ ilość klasycznych próżni.
• Brak zrozumienia zasady selekcji próżni – czy istnieja˛ dodatkowe warunki
konsystencji?
• Brak sformułowania teorii, które ukazywałoby wszystkie stopnie swobody w
jednolity sposób
• Istnieje ogromna ilość metastabilnych próżni z dodatnia˛ stała˛ kosmologiczna˛
• Zasada wyboru - kosmologiczna ewolucja w przestrzeni modułów?
• Dlaczego prawa fizyki sa˛ takie, jakie sa˛ – i czy mogłyby być inne?
Teoria strun i unifikacja
19